Условия разрешимости многоточечной задачи Валле Пуссена для операторов свертки Текст научной статьи по специальности «Математика»

202

Матем атика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2012, № 4 (1), с. 202-205

УДК 517.98

УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ МНОГОТОЧЕЧНОЙ ЗАДАЧИ ВАЛЛЕ ПУССЕНА ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ СВЕРТКИ

© 2012 г. А.А. Нуятов

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

[email protected]

Поступила в редакцию 16.04.2012

Найдены условия, при которых имеет место представление Фишера, которое, в свою очередь, эквивалентно разрешимости многоточечной задачи Валле Пуссена.

Ключевые слова: оператор свертки, многоточечная задача Валле Пуссена, пары Фишера.

1. Предварительные сведения

Пусть H(C) - пространство целых функций в C с топологией равномерной сходимости на компактах, H (C) - сопряженное пространство к H(C). Пусть FeH (C); известно (см., например, [1]), что

преобразование Лапласа F(z) = (рц, e ц'z) устанавливает топологический изоморфизм между H(C) и PC с топологией тс индуктивного предела пространств

Bn = {ф(А)e рс :|1 Ф= sup1 Ф(А) 1 <«I neN

L AeC J

Пусть S - множество единственности в PC. Тогда в PC можно ввести топологию ts индуктивного предела пространств

BnS = {ф(А) e PC :||Ф ||nS = sup| Ф(А)| ««l neN.

L AeS J

Определение 1. Множество S называется достаточным в пространстве PC , если тс = ts.

В работах [2, 3] изучены свойства топологии ts и указан метод построения достаточных множеств для различных весовых пространств целых функций.

Пусть 9(z) e PC и FeH*(C), такой, что F( z) = = 9(z). Рассмотрим в H(C) оператор свертки Мф[f](z) = (F, f (z +1)), f e H(C).

Возьмем произвольную функцию y(X)eH(C) и построим в H(C) идеал

(VMV(W): R(^)eH(C)}. Определение 2. Пара функций (9(z), y(z)) называется парой Фишера, если пространство H(C) можно представить либо в виде

H(C)=KerМф ® (v), (1)

при этом равенство (1) называется разложением Фишера, либо в виде

H(C)= Ker Мф + (у), (2)

при этом равенство (2) называется представлением Фишера.

Замечание 1. Из равенства (2) следует, что любая функция представима неединственным образом в виде

/(2) = А1(2) + А (2), / (2) є КегМф, / (2) є (у). Дадим эквивалентную формулировку задачи Валле Пуссена для оператора свертки Мф: Н(С)^-ЩС) с данными на дивизоре 2у: для любой функции ^.г)єЩС) существует решение

h__и

и(г)єЩС) уравнения Мф = 0, такое, что -----є

V

є Н(С), т.е. h - и делится на у в Н(С).

Применив результат статьи [4] к пространству Н(С) получим:

Теорема 1. Следующие утверждения эквивалентны:

(1) Задача Валле Пуссена для Мф с данными на 2у разрешима;

(2) имеет место представление Фишера. Согласно результатам статьи [5] функция

у(Х)єН(С) порождает в пространстве Рс линейный и непрерывный оператор Му: Рс^ Рс, действующий по правилу

Му [/](2) = -^ Ге^уф/(^ ,

2гаС

где у(£) - функция, ассоциированная по Борелю с у(г), С - замкнутый контур, охватывающий все особые точки у(£).

В работе [6] доказана

Теорема 2. Пусть ф(2)єРс , у(Х)єН(С) и Ыф является достаточным множеством в ядре оператора Му. Тогда имеет место представление Фишера

Н(С) = Кег Мф + (у).

Также найдены условия, при которых Ыф является достаточным множеством в Кег Му. В данной работе доказывается, что ^ - достаточное множество в Кег Му при более общих условиях.

2. Основной результат

Теорема 3. Пусть последовательность Nф={^ *о простых нулей целой функции экспоненциального типа ф(г) лежит в угле Da= = (2єС:|Ітг| < а^ег|, 0 < а < да}, пронумерована целыми числами в порядке возрастания вещественных частей и Re X* ^ ±да,* ^±да. Последовательность Nу ={а* }^=_^ простых нулей

целой функции у лежит в угле Dp={zєC:|Imz|<

< Р^е2|,0<Р<да}, пронумерована целыми числами в порядке возрастания вещественных частей и Re ц* ^ ±да,* ^±да. Числа а и Р связаны соотношением

а-р < 1.

Тогда множество Nф является достаточным в Кег Му.

Доказательство. Согласно результату работы [5] пространство Кег Му состоит из квазиполиномов с показателями из множества ^ нулей функции у(г), т.е. любой элемент г(2) є КегМу запишется в виде

r (z) = 2 Cj‘

1. Докажем, что при выполнении условия (4) коэффициент Cj(m) отличен от нуля, только если |Re^;| < (1 + a)o. Проведем доказательство от противного. Пусть для фиксированного m ц такое, что Re^ = max { Re^;, j: Cj(m) Ф 0} > (1 + + a)o и C(m) - коэффициент при e^z в квазиполиноме rm(z). Тогда по соотношению (4)

| rm (Xk )| e

< Me когда ReXk ^ + да.

С другой стороны,

| rm (Xk ) | e_(1+aP)Re^ReXk

((1+a)a_(1+aP) Re^) Re Xk

_(1+aP) Re^ ReXk

2c(me

j

< 2 |c ,(m)|e Re(^jXk )e-(l+aP)Re^ Re Xk < j

<2 C (m)|eRe^ Re^k_ImЦ! ReXk e-<1+aP)ReЦReXk <

(1+ap)|Re ц j|Re Xk _(1+ap)Re^ Re Xk

< 2C (m) e "' “P)|Re "j|Re Xk e^"a')R^ Re Xk

=2

C (m)|e(1+ap)(|Re^_Re^)ReXk ^ C(m),

где лишь конечное число коэффициентов Сі отлично от нуля.

Поскольку Nф является подмножеством С, то для топологий хN и тс справедливо неравенство

X N < Тс,

1 ф

поэтому для доказательства того, что множество Nф является достаточным множеством в ядре оператора Му, требуется показать, что Тс < хN .

1 ф

Другими словами, нужно показать, что если последовательность пространства Кег Му

(3)

jеЪ

стремится к нулю в топологии хN , то эта последовательность стремится к нулю и в топологии Тс.

По известным свойствам рассматриваемых топологий (см. [7]) и с учетом дискретности множества Nф условие сходимости к нулю в топологии хN можно записать в виде: для неко-

^ф

торых постоянных о, М > 0 выполняются соотношения

| гт(Хк)|<Меп|Хк1, VтеН, VкеХ (4)

и для V кеХ

Гт(Хк)| ^ 0, т^да. (4.1)

Итак, предполагаем, что гт ^ 0 в топологии хИ , и надо показать гт ^ 0 в топологии тс.

когда ReA,k ^ + да. То есть С(т)=0, что противоречит определению ц. Таким образом, Reц,■ < (1+ + а)о. Аналогично, используя то, что ReA,k ^ -да, когда к да, доказывается оценка > -(1 + + а)о.

2. Докажем дальше, что если последовательность квазиполиномов гт(2) стремится к нулю в топологии хх , то коэффициенты С,(т) ограничены, то есть найдется константа С такая, что С(т) < С для всех ,еЪ и т=1,2,... В первом пункте мы показали, что в представлении (3)

участвуют лишь е 1 с показателями ц, , удовлетворяющими оценке < (1 + а)о. Поскольку ц — нули целой функции, то показателей, участвующих в представлении (3), конечное число.

Для упрощения изложения дальнейших рассуждений перейдем к последовательности ква-

,-ч ,-ч (-2minReц, )2

зиполиномов qm (2) = Гт (2)е у , которая

тоже стремится к нулю в топологии хы . Если

положить у,- = ц — 2minReцp, то после перенумерования можно считать, что для некоторого N

N

qm(2) = 2 С1(т)е 1, т = 1 2,.

1=1

при этом Re V, > 0, у,-е (2еС:|1тг| < P|Rez|, 0 < Р <

< да}. Мы воспользуемся простым замечанием, что если набор из N нулей Xк выбрать так, что

определитель матрицы А = {е^Хкр), 1, р = 1,2,.N, отличен от нуля, то коэффициенты С,(т) являются решениями системы линейных уравнений

e

204

А.А. Нуятов

2 C/;Xlp = qm (X kp), p =1, 2,...N.

Таким образом, если нуль Xк выбрать с достаточно большим Re Xк , то Д = det|A(?)|

е

1=1

Докажем по индукции по параметру . = будет больше 1. По правилу Крамера = 1,2,., что набор нулей можно выбрать так, что д

” ли\ I у 1хкр 1 ■ С (т) = —^~,

модули определителей матриц А(1) = \е р],,, р = ' д’

= 1, 2,...1, будут больше 1. Покажем, что |detA(1)| = где Д, — определитель матрицы, полученной из / „ х \ заменой 1-го столбца столбцом свободных

^(е 1 к1 ) > 1 в случае, когда ^Хк1 > 0 . Пусть членов. Для того чтобы оценить Д, сверху.

a^P = 0, тогда ev,Xkl = eRev,ReXkl > 1, если Re Xk > 0. столбцу

v Х N , v

Пусть теперь a-p>0 и ReXk > 0, тогда ev' kl = д ,=2 (-1)J+p det Aj,pqm (Xk ).

ReVl ReXk

1 k1

разложим соответствующую матрицу по j-му

k1

11|,

J=1

= eRev1 Reimv1imXk1 >ea^ 1 ^ 1 1 >l, т.к. Так же как соотношение (6), получим оценку

-|ішУі ІтХ*і І—ІтУі ІтX*1

> 1 т к так же как соотношени

а-р < 1 по условию теоремы. Таким образом, в ^ Аір| <(N — і)!е^—1)(1+ар)Ш:VNRe,

качестве X* можно взять любой нуль с поло- а по условию (4)

жительной вещественной частью. к (х ) = Г (X )|е(-2шіпКе)Reх*р <Ме3^1+а)тReх'

Допустим, что нули X* , р = 1, 2,...і-1, вы- 1 р 11 р 1

р Таким образом,

браны нужным образом, причем Re X * возрас- |д I < ШМв' ^ОМРМ+а^ X*N +3п(1+а^ X,

тает по р. Определитель матрицы А(і) разложим по последней строке = ШМе

j

((N-1 )(l+ap )+1 )3a(l+a)Re Xk;

det А(1) = 2 (-1) 1+' det Аие ЬХк‘ , С ,(т) < С = ММ^-1^'3^3'1^^6 ^

где (-1) det А.. - алгебраическое дополнение 3. Докажем, что Нт С (т) = 0,1 = 1, N .

1 ,г J

элемента еУ]Хк‘. Отсюда Поскольку из предыдущего пункта следует, что

|detA(I)|>IdetA„\eRe(vtXk|)(l-(detAtt)-1 )x для Д в силу (41) справедаив°

( , , (З) N < N|det AJ,n \ • \qm (Xkp)^ 0

X 2 (-1) J+ det A,,te<Vj_V| )Xk|

J=1

(З)

J,N| |^m\ kp

при m ^ да и VpєZ, то

lim Cj (m) = 0 , j = 1,N.

Грубо оценим сверху ^ Ац]. Этот опреде-

/ЛГ 1Ч| 4. Закончим доказательство достаточности

литель есть сумма (N-1)! слагаемых, каждое

дГ 1 - множества Nф. В пунктах 1, 2 мы доказали, что

слагаемое есть произведение N-1 множителей ф -1 ’ м ’

„ х Re V! < 3(1 + а) о и Сщ)^ С. Следовательно,

вида е 1 кр , 1 = 1, 2,...1, р = 1, 2,...1-1. Учитывая

монотонность наборов v,, Xk , получим

|det A,,t j < (N - l)!e(N_‘)(1+ap)ReV|ReXk|_1, (6)

поэтому

\qm (z)| < |Cj (m)|NeRe(vjzJ < CNe3(1+“)(1+P)nH , z e C.

В пункте 3 мы доказали, что Cfmi) ^ 0 при любом j, значит, max|Cj (m) ^ 0 . Поэтому для

і

любого компакта К при 2 є К

і , і I , І 3(1+а)(1+В)ашахігі

\дт (г) < N шах \С (т)\е геК ^ 0.

1 1 і =1,..., N і і

Из этого следует, что дт(т) ^ 0 в топологии тс.

Замечание 2. При Р = 0 получаем результат

/,т .,4 (N—l)(l+аB)Re Уі Re X* +Re V , +(аВ—1^є Уі Re X* .

х N — 1)г Л ; і *і—1 ; і *і < работы [6].

Zj+I (v J _vt )Xk

(-1) det A e 1

j=i

<(N - l)!x

<(N - l)!(N-l)e

(n(l+ap)ReXk|-1 +(ap_l)ReXk| )Revt

Список литературы

Алгебраическое дополнение А,,, совпадает с матрицей А(1 — 1), и по допущению индукции 1. Напалков В.В. Уравнения свертки в много-

det А(1 — 1) > 1. Из (5) теперь имеем мерных пространствах. М.: Наука, 1982.

^ А(1) > |det А |е^1_a3^Reхк<Re^1 — ^det А )-1 )х 2. Напалков В.В. О дискретных слабодостаточ-

1 1 I , I , Ных множествах в некоторых пространствах целых

х (ы — 1)|(у — 1^еN(1+ар^ехк'—1 +(“3—1)Re}-к, )ReV, функций// Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1981. Т. 45. №

^ ! ” . 5. С.1088—1099.

3. Напалков В.В. О строгой топологии в некоторых весовых пространствах функций // Матем. заметки. 1986. Т. 39. № 4. С. 529—538.

4. Напалков В.В., Попенов С.В. Голоморфная задачи Коши для оператора свертки в аналитически равномерных пространствах и разложения Фишера // Докл. РАН. 2001. Т. 381. №2. С. 164—166.

5. Muggli H. Differentialgleichungen unendlich hoher Ordnung mit konstanten Koeffizienten // Comment. Math. Helv. 1938. Vol. 11. № 1. P. 151-179.

6. Напалков В.В., Нуятов А.А. Многоточечная задача Валле Пуссена для операторов свертки// Мат. сборник. 2012. Т. 203. №2. С. 77-86.

7. Себаштьян-и-Силва Ж. О некоторых классах локально-выпуклых пространств, важных в приложениях// Математика. Сб. пер. 1957. Т. 1. С. 60-77.

SOLVABILITY CONDITIONS OF DE LA VALLEE-POUSSIN PROBLEM FOR CONVOLUTION OPERATORS

A.A. Nuyatov

We have found the conditions for the existence of the Fisher representation, which in turn is equivalent to the solvability of the multipoint de la Vallee-Poussin problem.

Keywords: convolution operator, multipoint de la Vallee-Poussin problem, Fischer pairs.