CC BY
9
Владикавказский математический журнал 2014, Том 16, Выпуск 1, С. 68-79
УДК 517.982.23, 517.982.276
КОНСТРУКЦИЯ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО ФУНКТОРА В КАТЕГОРИИ ПАР ПРОСТРАНСТВ ФРЕШЕ С ОБЩИМ БАЗИСОМ
М. А. Шубарин
В статье строится семейство интерполяционных функторов в категории интерполяционных пар пространств Фреше с общим абсолютным базисом и изучаются его свойства. Доказывается, что для этого семейства выполняется аналог теоремы о реитерации. В терминах этого интерполяционного функтора описаны некоторые типы пространств Кёте.
Ключевые слова: интерполяция линейных операторов, интерполяционный функтор, диагональный оператор, пространство Кёте.
1. Постановка задачи
1.1. Классическая теория интерполяции линейных операторов, разработанная в работах Н. Ароншайна, Э. Гальярдо, Ж.-Л. Лионса, А. П. Кальдерона, С. Г. Крейна, в первую очередь ориентируется на изучение линейных операторов, действующих в банаховых пространствах (обзоры интерполяционной теории в банаховых пространствах см. в [4-6, 11])- Ограниченность применимости этой теории, в первую очередь, связана с тем, что множество пространств, интерполяционных между парой пространств Фреше, в общем случае сводится к следующим пространствам: пространствам, образующим пару, их сумме и пересечению. Таким свойством, например, обладает пара А1 (= пространство функций, аналитических в единичном круге) и А^ (= пространство целых функций). Условия существования нетривиальных промежуточных и интерполяционных пространств для данной интерполяционной пары пространств Фреше были доказаны Н. Дойч [13].
Построение нетривиальной интерполяционной теории возможно, если сузить множество ограничений, налагаемых на промежуточное пространство в определении интерполяционного свойства [4, определение 4.2]. Для этого вместо рассмотрения всего пространства линейных непрерывных операторов, действующих в крайних пространствах, следует рассматривать его собственные подпространства. В качестве универсальной конструкции подобных подпространств можно взять пространство морфизмов в подходящей категории. Подобный подход к определению интерполяционного свойства рассматривался, например, в [9, 10].
В статье изучаются свойства интерполяционного функтора, определенного на категории интерполяционных пар пространств Кёте.
Приведем определения основных объектов, рассматриваемых в работе.
© 2014 Шубарин М. А.
1.2. В статье будут рассматриваться только пространства Фреше, в которых существует непрерывная норма и монотонные наборы норм (У ■ ||р), задающие топологию в них. Последнее означает, что
(Vр) (3 д) (3 С) ||ж||р < С||ж||, (Vж е X).
Пусть X, У — пространства Фреше. Будем писать X С У, если X — векторное подпространство в У и оператор вложения X в У непрерывен.
Бесконечную матрицу А = (аР;п)Р;пем называют матрицей Кёте, если для произвольного р найдется число С > 0 такое, что 0 < ар,п ^ Сар+1;п для всех п. Пространство Кёте К (А), определяемое матриц ей Кёте А = (аР;П)Р;Пем, определяется как векторное пространство
К (А) := | ж = (жп) : V р ||ж||р := ^ |Жп|аР;п < | .
Набор норм (|| ■ ||р) определяет в К (А) топологию пространства Фреше.
Матрицы Кёте А = (ар,п) и В = (Ьр,п) называют эквивалентными, если они определяют одно и то же пространство Кёте. Непосредственно проверяется, что эквивалентность матриц Кёте А = (ар,п) и В = (Ьр,п) равносильна следующему условию:
(Vр) (3 д = д(р)) (3 С > 0) ар,п Ьр ,п ^ Caq,n (V п).
Пусть X — пространство Фреше, топология в котором определяется набором норм (| ■ |р). Говорят, что последовательность / = (/п)+=1 элементов этого пространства является абсолютным базисом, если для произвольного ж е X найдется единственная числовая последовательность (ап)+=1 такая, что
1) ряд ^+=1 ап/п сходится к ж в топологии пространства X;
2) ^+=1 |ап| |/п|Р < для произвольного р.
Последовательность е = (еп)+=1, еп = (¿&,п)+=1 называют последовательностью ортов. Известно, что она является абсолютным базисом в произвольном пространстве Кёте. Всякое пространство Фреше, в котором есть абсолютный базис, изоморфно подходящему пространству Кёте.
1.3. В статье изучаются объекты теории интерполяции линейных операторов. Ниже приводятся необходимые определения из этой теории (которые цитируются по [4-6]).
Говорят, что пространства Фреше Xo и X! образуют интерполяционную пару (которую обозначают через X или [Xo,Xl]), если существует отделимое локально выпуклое пространство, в которое пространства Xo и Xl вкладываются непрерывно.
На множестве всех интерполяционных пар определены две операции — сумма и пересечение интерполяционных семейств.
Определение 1. Пусть дана X = ^0^1 ] — интерполяцинная пара пространств Фреше. Множество
X0 + X1 := {ж0 + ж1 : Жj е Xj, ] =0,1}
называют суммой семейства X.
Рассмотрим в Xo х Xl подпространство
Ь := {(ж0,ж1) е X0 х X1 : ж0 + ж1 = 0}.
Известно, что сумму Хо + Х1 данного семейства можно отождествить с фактор-пространством (Хо х Х1 )/£. Тогда каноническая сюръекция
к : Хо х Х1 ^ (Хо х Х^/Ь
индуцирует в Хо + Х1 топологию пространства Фреше.
Определение 2. Пусть Х = [Хо,Х1] — интерполяцинная пара пространств Фреше. Пространство Хо П Х\ называют пересечением семейства X.
Пусть [Хо,Х1 ] — интерполяционная пара пространств Фреше. Пространство Фреше Х называют промежуточным между Хо и Х1, если Хо П Х1 С Х С Хо + Х1 с непрерывными операторами вложения.
Последовательность / = (/п)+=1 будем называть обучим абсолютным базисом в интерполяционной паре пространств Фреше X = [Хо,Х1], если эта последовательность является абсолютным базисом в пространствах Хо П Х1, Х^-, ] = 0,1, и Хо + Х1.
Пусть даны интерполяционные пары пространств Фреше X = [Хо,Х1], У = [Уо,^]-
Определение 3. Пусть Т : Хо + Х1 ^ Уо + У1 — линейный непрерывный оператор. Говорят, что оператор Т действует из X в У, если для произвольного j = 0,1 сужение Т|х. оператора Т на пространство непрерывно действует из Х^ в у-, ] = 0,1.
Множество всех линейных операторов, действующих из X в V, обозначим через Ь(Х, У).
2. Категории интерполяционных пар с общим абсолютным базисом
2.1. Пусть Я — некоторая категория, объектами в которой являются локально выпуклые пространства, а морфизмами — линейные непрерывные операторы, действующие в этих пространствах. Объекты категории К будем называть Я-пространствами.
Пример. Объектами категории являются всевозможные интерполяционные пары пространств Фреше, а множество морфизмов Ь(Х, У) =: 5г(Х, У) совпадает с множе-
ХУ
Определение 4. Категорией интерполяционных пар пространств Фреше с общим базисом будем называть произвольную категорию к, если ее объектами являются пары вида X = (X,/) (которые будем называть ^-парами с общим базисом) такие, что
1. X = [Хо,Х1] — интерполяционная пара пространств Фреше с общим абсолютным базисом;
2. / = (/„) — общий абсолютный базис в паре X = [Хо,Х1].
Морфизмами в категории к являются диагональные операторы. Точнее, если Х = (X,/), У = (У,д) — объекты категории I, то морфизмами этой категории являются линейные непрерывные операторы Т : X —» У такие, что = 1пдп для произвольного п и подходящей числовой последовательности (¿„). Множество морфизмов категории I (действующих из X в У) обозначим через Af д(Х,У).
Пример. Объектами категории являются пары вида X = (X,/), в которых X = [Хо,Х1 ] — произвольная пара пространств Фреше, имеющая общий абсолютный базис / = (/«)■ _
Пример. Пусть НЫ — собственная подкатегория в образуемая произвольными парами вида X = (X, е), в которой
1. X = [К(А^), К(А^)] — интерполяционная пара пространств Кёте;
2. е = (еп) — базис ортов.
Через ieteo обозначим собственную подкатегорию в fete, объектами которой являются пары [K(A(0)),K(A(1))] такие, что K(A(0)) D K(A(1)).
В дальнейшем объекты ([K(A(0)),K(A(1))],e) и [K(A(0)),K(A(1))] будут отождествляться.
2.2. Предположим, что k — некоторая категория интерполяционных пар пространств Фреше с общим базисом.
Определение 5. Пусть X = ([X0,Xi],f), Y = {\Y0,Yi],g) — объекты категории i; пространства Фреше X, Y промежуточные, соответственно, между X0 и X1, Y0 и Y1 Будем говорить, что тройка [Хо,Х, Х\] является ^-интерполяционной относительно тройки [Yo,Y, Y\}1 если для любого оператора Т G I(X,Y) его сужение Т\х на пространство X непрерывно действует из X в Y. Будем говорить, что пространство X является ^-интерполяционным между Хо и Х\, если тройка [Хо, X, Х\ ] ^-интерполяционна относительно самой себя.
Условие, при котором пространство Фреше (в частности, пространство Кёте) интерполяционно между пространствами, образующими объект категории ft, найдено в [7, 8].
Теорема 1 [7, 8]. Пусть ([Хо, Xi], /) — объект категории ft и пространство Фреше X такие, что
1. X — промежуточное между X0 и X1;
2. X0 П X1 — всюду плотное векторное подпространство в X.
Кроме того, пусть (У ■ ||j;P), (У ■ ||p) — наборы норм, задающие топологии соответственно в Xj, j = 0,1, и X. Пространство X тогда и только тогда fi-интерполяционно между Хо X1
(V р : N ^ N) (3 ф : N ^ N) (Vp) (3 Cp > 0)
II/»IUI/X(p)<C max(Vn). j=0,1
Здесь (|| ■ ||р) — набор сопряженных норм в X:
||ж'||Р := вир {|ж'(ж)| : ж е X, ||ж||р ^ 1}, ж' е X'.
Следствие 1 [7, 8]. Предположим, что выполняются условия теоремы 1 и Xl С X С Xo. Тогда / — безусловный базис в X. Если, кроме того, Xo и Xl — ядерные пространства Фреше, то X также ядерно и / — абсолютный базис в X.
1
К (А) тогда и только тогда ЫЫ-интерполяционно между К(А^) и К(А^), когда
(V р : N ^ М) (3 ф : N ^ Н) (Vр) (3 Ср > 0)
аг,п , аг,п ,,, N
-:— ^ С тах —р-— (V п).
а^(г),п а, ч
¿=0,1 ¥>(г),п
3. Конструкция интерполяционных функторов
3.1. Пусть к — категория пространств Фреше с общим базисом. Ковариантный функтор Р, действующий из к в будем называть I- интерполяционным функтором (ср., например, [2, п. 13]; [3, определение 1.2.2]; [10, определение 2.4.3]), если
1) каждой интерполяционной £-паре ([Xo,Xi],/) он ставит в соответствие пространство Фреше, промежуточное между Xo и Xi,
2) а каждому морфизму Т Е ?(Х, Y) (где Л . У — объекты данной категории) — морфизм T
Из определения ^-интерполяционного функтора следует, что пространство F(([Xo,Xi],/)) f-интерполяционно между Xo и Xi.
Интерполяционные функторы в различных категориях пространств Фреше строились Ш. И. Кадампаттой [2, 3], М. А. Шубариным [9, 10].
Через 9Т обозначим множество всех бесконечных семейств V = (у^) таких, что — бесконечны для всех k, попарно те пересекаются и ljfe=i vk = N.
Лемма 1. Пусть v = (vk) G N Для произвольной бесконечной последовательности у натуральных чисел выполняется только одно из следующих условий:
1) у С vi U ... U vko для подходящего ko;
2) в у существует бесконечное подмножество {nj} такое, что nj G vs(j) и s(j) ^ j ^
Построим интерполяционный функтор, конструкция которого носит комбинаторный характер.
Пусть V G 9Т. Обозначим через ttitv собственную подкатегорию в fete, объектами которой являются fete-пары [К(А^), К(А^)] такие, что
(Vp) (3 q = ф (p) > p) (3 Cp) (V k) (p < k < ^o(p)) (V n G vk)
a(o) < C a(i)
ap,n < CPaq,n.
Непосредственно проверяется, что feteo является собственной подкатегорией в htejj . Определение 6. Пусть V е ОТ, fete^-napa X = [К(А^), К(А^)]. Рассмотрим матрицу a = (ap,n), определяемую следующим равенством:
а [, n G vi U ... U Vp, ^
Р'П \aP<°n, n G vi U ... U Vp.
Положим &(X;V) = K(A^); V) := К (A).
Лемма 2. Пусть
1) [K(A(o)),K(A(i))]
— объект категории tete-p-;
2) A(j) = (apjn), A(j) = (cLp)n) — эквивалентные матрицы Кете, j = 0,1.
Если (ap>n), (ap,n) — матрицы, построенные с помощью формулы (2) соответственно по матрицам Кёте A(o), A(i) и
A(o), A(i) ; то (ap,n) ж (ap,n)
< Покажем, что при Сделанных ПредПОЛОжениях выполняются следующие условия:
(3 ф G Nn) (Vp) (3 q = q(p) > p) (3 Cp > 0)
ap,n < Cp a^>(p),n; (3)
ap,n < Cp a^(p),n
(V n). (4)
Из условий леммы 2 и неравенства (1) следует существование возрастающей функции ^ : N ^ N такой, что
(V k) (p < k < <^(p)) (Vn G vk) ap°n < Rpa^n, (5)
(Vn) ap°n < Rpa^n, (6)
(Vn) apS < Rpa^i()p);n. (7)
Покажем, что условия (3) выполняются, если ф(-) = р(-).
Предположим, что существует р0 такое, что множество V := {п : ар0,п > ЯР0 а^((0)п} бесконечно. Если существует к0 такое, что множество V П бесконечно, то из определения матриц (ар,п), (ар,п) следует, что
аР1о),п > йро «^(р )>п, если к0 < р0, ар0),п > а^р0 < к0 < р(р0),
ар0)п
> ДР0 ^Ы.п' если р(р0) < к0
для произвольного п е V П Полученные неравенства противоречат условиям (5), (6), (7). Но тогда из V можно выбрать подпоследовательность V' = (пу) такую, что пу е
и к(?) ^ при ] ^ Снова получается противоречие: ар0),п^ > ЙР0 а^(р0)п. для
всех достаточно больших
Таким образом, неравенство (3) доказано, условие (4) доказывается аналогично. >
Теорема 2. Отображение X н-» <^(Х;Т7) определяет Ни^г-интерполяционный функтор.
< Фиксируем Меи-пары [К(А^), К(А^)] и [К(В^), К(В^)]. В силу леммы 2 всегда можно считать, что матрицы Кёте, определяющие эти пространства, удовлетворяют
(у) (у) (-•) (у)
следующим условиям ар ,п ^ ар+1 п, Ь( ,п ^ Ь(+1 п для всех ^ =0,1, р и п. Будем считать, что матрицы (ар, п)? (Ьр ,п) построены соответственно по парам матриц А(0), А(1) и в(0), по формуле (2).
Если р : N ^ N — произвольная возрастающая последовательность такая, что р(р) > р Для произвольного р. Предположим, что последовательность ф0 определяется условием (1). Рассмотрим последовательность ф, определяемую равенством ф(р) := р(ф0 (р)). Из определения 6 следует, что
Ьр,п а((р),т
5(1)
ьр,п ь(°)
4>(р),п Ь(0)
ьр,п ф(р),п
к ^ р; р < к ^ ф(р); ф(р) < к.
Поэтому из (1) следует (постоянная Ср определяется условием (1)), что
Ь(0) ь(!)( ) ь(1) ь(1)
Ор.п ^о(р)'га < С„ шах < С„ шах
((р),п ^((0 ((р)),п ¥>((),п ^(г),п
для произвольных р, к и п е ^ таких, что р < к ^ р(р) Но тогда
Ь Ь(у) Ь(у)
—- < шах —гтт- <
тах
((р),п ^(г),п
Из полученного неравенства и следствия 2 получается Мер- -интерполяционность [К(А(0)),К(А(0))] относительно [К(В(0)),К(В(0))]. >
Лемма 3. Если [К(А(о)),К(А(1)] — объект категории ЫЫ-^, то
¡) матрица (%,,„), определяемая формулой (2) но матрицам Кете (а рП), также является матрицей Кёте;
и) — пространство Фреше, промежуточное между Хо и Х\;
111) / = (/„) — абсолютный базис в 7).
Пусть V С N. Базисным подпространством в К(А), построенном по множеству V (которое обозначают через К (А; V)), называют замыка пие в К (А) линейной оболочки, натянутой на семейство (еп
Лемма 4. Предположим, что НЫ-р-нара X = [К(А^), К(А^)] такая, что в пространствах К(А(о)) и К(А(1)) нет нормируемых бесконечномерных базисных подпространств. Тогда и в пространстве V) нет нормируемых бесконечномерных базисных подпространств. В частности, это пространство ненормируемо.
< Предположим, что при сделанных предположениях в пространстве К (В) := ^(К(А^), К(А^);Т>) существует нормируемое подпространство К (В; г/). В этом случае найдется ро такое, что множество vq := {п £ V : < 6р0,п} бесконечно для произвольного д. По построению ^+1 С Vq. Применяя диагональный метод, построим последовательность п = (п) такую, что < С6Р0,п для произвольного д подходящего числа С > 0 и произвольного
Предположим, что п П бесконечно для некоторого ко- Всегда можно считать, что ро > ко и п С Искомое противоречие получается из следующего неравенства: ^ СДля произвольного д > ко, из которого в свою очередь следует, что пространство К(А(1); п) нормируемо.
Поэтому п П vq конечно для любого д. Всегда можно считать, что п £ и
) ^ при ] ^ Тогда а^П ^ Сар^п. для произвольного д и всех на-
чиная с некоторого места. В этом случае нормируемо пространство К(А(1); п), а это противоречит предположению.
Таким образом доказана ненормируемость пространства К (В; V) для произвольного бесконечного множества V С N >
3.2. Введем в ЭД бинарные отношения X (отношение частичного порядка) и ^ (ОТношение эквивалентности). Пусть I^ = (njík) £ ОТ, ] = 0,1. Будем писать Щ -< Щ, если
(V к) (3 т = т(к)) vо)fc С Vl)l и ... и V!,™, и 17о ~ если Т7\ ■< Щ и Щ -< щ.
Лемма 5. Если щ -< Щ, то
(8)
для произвольной £е1ео -пары X. Обратно, если непрерывное вложение (8) имеет место для произвольной £е1ео -пары X, то щ -< ^Т-
< Фиксируем Мео-пару [К(А^), К(А^)]. Обозначим через К (А) и К (В) соответственно правую и левую часть вложения (8). Условие (8) эквивалентно следующему условию:
(Vр)(3 д) (3 С) (V п) 6р>га < Са,>га. (9)
Пусть щ -< Щ. Предположим, что условие (9) не выполняется. Из леммы 3 следует, что найдутся последовательность индексов V = (п) и ро такие, что для произвольного д неравенство а^^ ^ 2-16Р0;П^ выполняется для всех возможно начиная с некоторого.
Предположим, что V С Vl)l и ... и Vl)Шо для подходящего Ш0- Всегда можно считать, что ш0 < р0. Получается противоречие: ар0)п^ ^ 2—1 аР0),п^ -
Поэтому V С Vl,l и ... и Vl)m для произвольного ш. Тогда в V существует подпоследовательность V1 = (шу) такая, что шу е Vl)fc(j) и к(^) ^ при ] ^ Но тогда опять
(0) 1 (0) получается противоречие: а(0,п ^ 2 1 ар0>п^.
Пусть vo ^ Vl. При сделанном предположении найдется последовательность индексов
V = (пу) такая, что V С для некоторого к0 и пу е v1)S(j), в(^) ^ при ] ^
Тогда из (9) следует, что
(Vр)(3 д)(3 С)(У¿) а(1п < Са^..
При надлежащем выборе пространств К(А(у)) полученное неравенство не выполняет>
Следствие 3. Следующие условия равносильны:
1) Щ _ ___
2) X; г/о) = для произвольной НЫо -пары X.
Таким образом пространство <^(Х;Т7) однозначно (с точностью до отношения эквивалентности ~) определяется парой пространств X.
3.3. Вычислим пространство ^(Х,Т7) для конкретных пар пространств Кёте X. Предполагается, что а = (ап) — бесконечная большая последовательность положительных чисел, А = (Ап), Ап е (0,1], и = (^п), ип ^ 11) Е5(А, а) := К(А), 5 е (-то, 5р | 5, ар,п = ехр(5р + Ап)ап
2) Е5(а) := Е5(V, а) Vn = 0;
3) Е( А, а) := К (А), где аР)„ = ехр(-| + \пр)ап\
4) := К (А), где аР:П = ехр(-| + т т{цп,р))ап]
5) Ё(ц,а) := К (А), где аР:П = ехр(-± + та х(//п,р))ап.
Пространства Е(А, а) и ^(и, а) (называемые степенными пространствами первого и второго рода) были введены и изучались в работах В. П. Захарюты (обзор известных результатов и нерешенных проблем, связанных с пространствами этих типов см. в [12,
14])-
Лемма 6. Пространства Е(А, а) и Е?(А-1, а) (где А-1 := (А-1)) изоморфны.
< Утверждение следует из того, что отображение Т : Е(А, а) ^ Е?(А-1,а), Теп := ехр(-А-1)еп продолжается до изоморфизма рассматриваемых пространств. >
Степенные пространства первого и второго рода допускают несколько интерпретаций в рамках интерполяционной теории.
Лемма 7. При сделанных предположениях
а) = Е0 (и, а) П Е^ (а), ^(и, а) = Е0 (и, а) + Е^ (а). Искомые равенства следуют из соотношений
К (А(0)) П К (А(1)) = К (А), А =( тах арп у, К (А(0)) + К (А(1) ) = К (А), А =( т1п аруп),
выполняющихся для любой пары пространства Кёте [К(А(0)),К(А(1))].
Лемма 8. Пусть дана возрастающая последовательность (Д&) такая, что множества ^ := {п : Д& ^ < Д^+1} бесконечны, Д& > к для любого к, Д1 =1. Тогда V = £ ОТ и
^(Еоо^^о^а);») = Е(ц,а); а), Е^а); V) = Ё(ц,а).
< Покажем, что [Еоо(а), Ео(/л, а)] есть объект категории Ыи^г. Для произвольных р, к, р < к и п £ ^ верно неравенство
р - 1/р < Др - 1/д < Дк - 1/д ^ - 1/д,
где д > р выбрано так, что Др - р > 1/д - 1/р. Заметим, что это пара не будет объектом категории Мео-
Докажем первое равенство. Обозначим через К (А) левую часть доказываемого равенства. Из определения следует, что К (А) = Ф^(а), где
( ) \- 1/р, п £ Vl и ... и
Лр(п) = \ г
п £ v1 и ... и
Покажем, что Еа) С К(А). Предположим, что это не так. Тогда существует ро такое, что множество Nq := {п : шш(^п,д) - 1/д ^ ЛР0 (п)}. По построению N^+1 С Nq. Применяя диагональный метод, построим бесконечную последовательность V = (п) такую, что шш^^., д) - 1/д ^ ЛР0 (п) Для произвольного д и всех начиная с некоторого ^о(д)-Предположим, что V С Vl и ... и Всегда можно считать, что ко = ро- Тогда - 1/д ^ - 1/ро Для произвольных д > ко и ^ > ^о (д)- Получается противоречие. Но тогда из леммы 1 следует существование в V иодпоследовательности (т^) такой, что т^ £ ^и в(^) ^ при ] ^ Опять получается противоречие: д - 1/д ^ ро -1/ро для любо го д > ко ■ Таким образом доказывается непрерывно сть вложения Е а) С К (А). Непрерывность обратного вложения К (А) С Е а) доказывается анало гично. >
4. Теорема о реитерации
4.1. Для классических интерполяционных методов (вещественного и комплексного метода) доказывается ряд фундаментальных фактов (в первую очередь, теоремы плотности, двойственности и реитерации, обзоры известных фактов содержатся в [5]), делающие эти методы достаточно гибкими и удобными для дальнейшего применения. Для построенного в предыдущем пункте интерполяционного функтора теорема о плотности тривиализуется, так как этот метод применяется к пространствам с общим абсолютным базисом. Теорема двойственности в принципе не может быть сформулирована для этого метода, так как пространство, сопряженное к ненормируемому пространству Фреше, не метризуемо.
Пусть X = [К(А(о)), К(А(1))] — пара пространств Кёте такая, что К(А(о)) э К(А(1)). Для произвольного семейства V = (г/&) £ ОТ, Щ = {и^^) £ 9Т рассмотрим пространства К(В^) := ^(Х,Т7~) и К(В) := ^([К(В^), К(В^)\, V). Из определения 6 следует, что
, _/а£П, п £ N(1);
:=\ арП, п £ N (о) (10)
для произвольных р, п и
^ := и (V* п и (V* П ^Д
№ := и (V* П ^>Я)У У (V* П
,з>р *>р,з>р
Из леммы 5 следует, что К (В(1)) С К (В(0)). К паре [К (В(0) ),К (В(1))] применим функтор & (■; V) и пространство К (В) определено корректно.
Пусть I — категория пар пространств Фреше с общим базисом. Будем говорить, что в категории I для функтора &(■, ■) выполняется теорема о реитерации, если для любой 1-пары [К(А^), К(А^)] и произвольных семейств Щ е 9Т (таких, что Щ -< Щ) и V £ 9Т найдется семейство г} £ 9Т (определяемое только семействами г/, г/д и Щ) такое, что К (В) = 3?(Х;Г1).
(Л
Лемма 9. Из определения семейств N следует, что для произвольного р
1) П0) П Жр(1) = 0, № и ^ = N
2) П № = 0 и = N. р р
Лемма 10. Пусть щ -< Щ. Для произвольного р найдется д = д(р) > р такое, что все элементы множества Хг(1), возможно, за исключением конечного числа, содержатся в Ж?(1).
< Пусть щ -< Т7\. Не ограничивая общности, можно считать, что г/од С г^д и • • • и
Из (11) следует, что
^ = и (V* П ^>Я)У и (V* П = и (V* П VM)U У (V* П У У (^+1 П С и (V* П ^>Я)У и (V* П и и (V?+1 П (V1>1 и ... ^+1)) С N+1.
Поэтому жг(1) С Жр(+)1.
Предположим, что найдется р0 такое, что множество Хг(1) \ Х^1 конечно для произвольного р. Отсюда и го (10) следует нормируемость пространства К (В) вне зависимости от выбора пространств К (А(0)) и К (А(1)).
Применим функторы и к паре [Ео(а), Е^^а)] (в которой а„ —> +оо,
п —> +оо). В силу леммы 4 пространства К(В^) = ^{Ео{а),Е00{а),Т7]) ненор-мируемы. Но тогда из леммы 4 следует ненормируемость пространства К (В) = К(В^), Щ), что противоречит сделанному выше заключению.
Теперь можно сформулировать и доказать искомое утверждение:
Теорема 3. В категории Ме0 для функтора &(■, ■) выполняется теорема о реитерации.
< Возьмем произвольную Мео-пару [К(А^°\ К(А^].
( д ( р))
т/1 := щ := \ к > 1, бесконечно. По построению г} = (щ) е ОТ.
Рассмотрим матрицы Кёте В = (6р,п), В = (6Р;П), первая из которых определяется равенством (10) по семействам V = (у^) £ ОТ, = (у^ к) € ОТ, а вторая — следующим равенством
Ь := /аП1), п £ П1 и ■ ■ ■ и Пр, := \ (о) .
[аПп £ П1 и ■ ■ ■ и Пр.
Из определения семейства п = (Пк) £ N следует, что К (В) = К (В).
Учитывая произвольность пары [К (А(о) ,К (А(1) ], этими рассуждениями доказывается утверждение теоремы.
Литература
1. Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов.—М.: Мир, 1972.—259 с.
2. Кадампатта С. Н. Шкалы локально выпуклых пространств и продолжаемые базисы в пространствах аналитических функций: Дисс. ... канд. физ.-мат. наук.—Ростов н/Д, 1984.—250 с.
3. Кадампатта С. Н. Шкалы пространств аналитических функций // Изв. СКНЦ ВШ.—1975.—№ 4.— С. 64-68.
4. Крейн С. Г., Петунии К). И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов.—М.: Наука, 1978.-400 с.
5. Крейн С. Г., Семенов Е. М., Врудный К). А. Интерполяция линейных операторов // Итоги науки и техники. Сер. Мат. а нал из. -М.: ВИНИТИ, 1986.—T. 24.-С. 3-164.
6. Трибелъ X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операто-ры.-М.: Мир, 1980.-664 с.
7. Шубарин М. А. Условия интерполяционности для семейств пространств Фреше // Владикавк. мат. журн.—2007.—Т. 9, вып. 2.—С. 57-65.
8. Шубарин М. А. Классы пространств, порождаемые интерполяцией диагональных операторов // Изв. вузов Сев. Кавк. региона. Сер. естеств. науки.—2006.—№ 1.—С. 24-26.
9. Шубарин М. А. Обобщенная теорема Ароншайна — Гальярдо.—М., 2007. Деп. в ВИНИТИ, № 446-В2007.
10. Шубарин М. А. Продолжение интерполяционных функторов в различных категориях пространств Фреше // Исследования по мат. анализу.—Владикавказ: ВНЦ РАН и РСО-А, 2008.—С. 229-238.— (Мат. форум. ЮФО. Т. 1).
11. Arouszaja N., Gagliardo Е. Interpolation spaces and interpolation methods // Ann. Mat. Pur. Appl.— 1965.—Vol. 68, ser. 4.-P. 51-117.
12. Aytuna A., Djakov P. В., Goncbarov A. P., Terzioglu T., Zaharmta V. P. Some open problem in the theory of locally convex spaces // Linear Topological Spaces and Complex Analysis I.—Ankara: Metu-Tubitak, 1994.-P. 147-165.
13. Deutsch N. Interpolation dans les espaces vectorieles topologiques localement convexes // Mémoires de la Société Mathématique de France.—1968.—Vol. 13.—P. 3-187.
14. Zaharmta V. Linear topologic invariants and their applications to isomorphic classification of generalized power spaces I I Turkish J. Math.-1996.-Vol. 20.-P. 237-289.
Статья поступила 22 мая 2013 г.
Шубарин Михаил Александрович Южный федеральный университет, доцент кафедры математического анализа РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а E-mail: [email protected]
CONSTRUCTION OF THE INTERPOLATION FUNCTOR IN THE CATEGORY OF FRESCHET SPACES WITH COMMON BASIS
Shubarin M. A.
A family of interpolating functors in the category of pairs of Frechet spaces with common absolute basis is constructed and its properties are studied. A reiteration type theorem is proved for this family. In terms of this interpolation functor some types of Kothe spaces are described.
Key words: interpolations linear operators, interpolation functors, diagonal operators, Kothe spaces.
