Классы пространств, порождаемые интерполяцией диагональных операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.982.23, 517.982.276

КЛАССЫ ПРОСТРАНСТВ, ПОРОЖДАЕМЫЕ ИНТЕРПОЛЯЦИЕИ ДИАГОНАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

© 2006 г. М. А. Шубарин

In this paper we study a properties of Frechet spaces classes, which are defined with interpolating properties in terms continuous and bounded operators unnormed Frechet spaces. We demonstrate that any power series Kothe space (as defined by Zahariuta-Shaginyan) takes this interpolation properties.

1. Известно, что существуют интерполяционные пары, состоящие из несовпадающих пространств Фреше, для которых нет нетривиальных промежуточных и интерполяционных между ними пространств [1] (основные определения теории интерполяции линейных операторов, используемые в статье, цитируются по [2, 3]).

Нетривиальное интерполяционное свойство можно получить, если существенно ограничить класс операторов, фигурирующих в его определении. В данной работе изучаются интерполяционные свойства, в определении которых рассматриваются только операторы, диагональные относительно фиксированного общего базиса в паре пространств Фреше. Приведённый ниже пример показывает, что класс пространств Кёте, определяемый этими свойствами, совпадает (с точностью до изоморфизма) с классом степенных пространств Кёте в смысле Захарюты-Шагиняна.

2. Пусть даны две интерполяционные пары пространств Фреше X = [хо,X1], Y = [о,У[]; общие безусловные базисы f = (/п ) и h = (кп ) соответственно в

X и У.

Линейный непрерывный оператор Т, действующий из X в У , называют диагональным относительно базисов f и к (или (f, h )-диагональным), если

существует числовая последовательность (Лп) такая, что Т/п = КК для произвольного натурального числа п . Множество всех линейных непрерывных (f, к )-диагональных операторов, действующих из X в У, обозначим через Д/,к (Х,У). Определение линейного

оператора, действующего в паре пространств, берётся из [3, определение 4.1].

Линейный оператор, действующий из X в У, называют ограниченным, если существуют открытые окрестности нуля в пространствах Xj, переводимые

данным оператором в ограниченные подмножества в У]- , ] = 0,1. Множество всех ограниченных (£Ь)-

диагональных операторов, действующих из X в У,

обозначим через Дв/ к X, У). Свойства ограниченных

(и, в частности, компактных) операторов, действующих в пространствах Фреше, рассматривались, например, в [4, 5].

3. Изменим определение интерполяционного свойства [3, определение 4.2; 4, 6], приспособив его к интерполяции диагональных операторов (непрерывных или ограниченных).

Определение 1. Пусть даны пространства X и У , промежуточные соответственно между Xо и X!, Уо и У. Будем говорить, что тройка пространств [Xо, X, Xl] соответственно Д/ к - или Дв/к - интерполяционна относительно тройки пространств [Уо, У ,У{], если для произвольного непрерывного (£Ь)-

диагонального оператора Т: X ^ У выполняется следующее условие: сужение оператора Т на пространство X является непрерывным (соответственно ограниченным) оператором, действующим

из X в У. Пространство X называют Д/ к - (соответственно, дв -) интерполяционным между X^

о

и X1, если тройка X,X1] Д/к - (соответственно Дв к -) интерполяционна самой себе.

4. Модифицируя критерий Драгилева М. М. [7] и используя методику доказательства основных утверждений из [4], можно получить критерии Д/ к - или Дв{к - интерполяционности. В теоремах

1 и 2 предполагается, что, Xо, Xl - ядерные пространства Фреше и оператор вложения Xl с X плотный.

Теорема 1. При сделанных предположениях Д/ к -интерполяционность тройки пространств

^о, X, Xl] относительно тройки пространств [Уо,У ,У1] эквивалентна условию:

Vp Vp: N ^ N 3q 3C > 0:

Уп \hn

< C max

j=0,1; r <q

h

W r ), j

Здесь

1. (I

Л (l • L j)

(i)

.) - наборы

"p 1 'p, j 11 np, j

норм, задающие исходные топологии соответственно в Y , X, X. и Yj , j = 0,1;

и

2- (fn) - последовательность биортогональных функционалов для базиса (/п ); 3. 11^1^-= 5иР{| х'(х)|: х 6 -^'Ир - 1} для произвольного линейного функционала х'б X' -

Доказательство. Достаточность условия (1) следует из ядерности пространств X, и того' что

Ур У у: N ^ N У: N ^ N 3ц,С

14 <Е

< C

Е max

=1

max Д

4 <

llq

<C

Е max

'mr),j

r),j.

max sui

J=0,1;r=1,..,q

< C max T : X ^ Y .

r=1,...,qll \\ф( r ),r

Здесь

(2)

T :X ^ Yllq,p := sup

\Tx

T : X ^ Y

: max sup

|Tx

Vs 3r Vp 3q 3C > 0: Vn

< C max^^

j=0.1 \ f\

менно

Л

f. f

и Лßf f -интерполяционно между

K(A(0)) и K(A(1)).

Множество всех (х, /)-степенных пространств Фреше обозначим через (р_ ) - В свою очередь'

через РХ'/ обозначим множество всех пространств Фреше' изоморфных подходящему пространству из (Рт)-

Пример 1. Пространство Кёте К (А) называют степенным (в смысле Захарюты-Шагиняна [2' 3]) и обозначают через Фь (а)' если матрица Кёте

А = ( арп) этого пространства имеет вид а п = ехр(Л (п)ап)' ап Т+да при п Т+да и

Ур 3q: Уп С 1 - hq (п) - hр (п) - С.

Теорема 3. Пространство Кёте изоморфно степенному пространству Кёте тогда и только тогда' когда оно изоморфно подходящему ([Е0 (а), Еда (а)],е) -степенному (в смысле Захарю-

ты-Шагиняна) пространству Кёте-

Пример 2. Рассмотрим тройку степенных пространств Кёте ФА(0) (а)' Фь(а)' Фй® (а) такую' что

ФА(0)(а) зФь (а) зФА(1> (а) - Найдём условия' при

которых ФИ(а) является ([Ф^(а), Фh(1)(а)], е) -

степенным-

Эти условия формулируются в терминах множеств dj (X) = (X, е)' вводимых в следующем

определении:

Определение 3. Пусть дано пространство Фреше X с абсолютным базисом / = (/п) - Тогда

dj(X'/):={п) с Ж: ^рО~п{/п } 6 (Dj)}' j = 1,2-

для любого х 6 X1 и произвольного непрерывного (^И)-диагонального оператора Т : X ^ У'

+да

Тх :=ХЛЛ(х)/п -

п=1

Необходимость условия (1) является следствием того' что

Ур У^ 3q' С: УТ 6 Д/ ь(X'У) ||Т : X ^ У\\ -

II Ц' р .у»0'1 Х6X,' 1*0 Х

' II 1^',

Условие (2)' в свою очередь' следует из определения Д/ И -интерполяционности и одного из вариантов теоремы о замкнутом графике [8' теорема 6-7-1]-

Теорема 2. При сделанных в предыдущем утверждении предположениях ДР^Ь -интерполяцион-

ность тройки ^0' X' X!] относительно тройки [У0'У'У1] эквивалентна следующему условию :

Доказательство этого утверждения повторяет в основных моментах доказательство теоремы 15- Пусть дана пара пространств Кёте

X = [К(А(0)}'К(А(1)}] ' К(А(1)) с К(А(0))' в которой

фиксирован абсолютный базис / = (/п) -

Определение 2. Пространство Фреше X будем называть (X' /)-степенным' если

К (А(1)) с X с К (А(0)) (с плотным оператором вложения

К(А(1)) в X) и пространство X одновре-

Здесь span{fn^ }+= замыкание в X линейной оболочки, натянутой на подпоследовательность ( f,k )

данного базиса. Если же последовательность ортов e = (en ) является абсолютным базисом в X, то

dj ( X ):= dj ( X, e).

Следует напомнить (см., например, [6]), что класс пространств (Dj ), j = 1,2, состоит из всех пространств Фреше таких, что выполняется соответственно условие 3p0Vp3px3C : Vx e X ||x||p < C||x||p ||x||p

(если j = 1) или Vp03pVpj3C : x'e X '

H)2 < CMlJlx|ip1 (если j = 2): Теорема 4. Пространство Ф h (a) тогда и только тогда является ([Ф^)(а), Ф^ц(а)], e)-степенным, когда dj(ФЛ(а)) зdj(Ф^(а))п^(Ф^ (a)), j = 1,2.

Литература

1. Deutsch N. // Bull. Soc. France. Suppl. Mem. 1968. Vol. 13. P. 3-187.

2. Крейн С. Г., Семёнов Ю. И., Брудный Ю. А. // Мат. анализ. Итоги науки и техники. М., ВИНИТИ. 1986. Т. 24. С. 3-164.

7

s> j

3. Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семёнов Е. М. Интерполяция линейных операторов. М., 1976.

4. Шубарин М. А. Условия интерполяционности для семейств пространств Фреше // препринт.

5. VogtD. // J.Reine Angew. Math. 1983. Vol. 345. P. 182-200.

6. Zachariuta V.P. // Studia Math. 1973. Vol. 46. P. 201-221.

7. Драгилев М. М. Базисы в пространствах Кёте. Ростов н/Д, 2004. 200 с.

8. Эдвардс Р. Функциональный анализ. М., 1969.

Ростовский государственный университет

23 мая 2005 г.