Интерполяционные теоремы для операторов, ограниченных на конусах в весовых пространствах числовых последовательностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.98

DOI 10.18522/0321-3005-2016-1-17-20

ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ, ОГРАНИЧЕННЫХ НА КОНУСАХ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

© 2016 г. В.М. Каплицкий, А.К. Дронов

Каплицкий Виталий Маркович - кандидат физико-математических наук, доцент, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail: kaplitsky@donpac. ru

Дронов Алексей Константинович - ассистент, Ростовский государственный экономический университет, ул. Большая Садовая, 69, г. Ростов-на-Дону, 344002, e-mail: floberrr@mail.ru

Kaplitskii Vitalii Markovich - Candidate of Physical and Mathematical Science, Assistant Professor, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: kaplitsky@donpac.ru

Dronov Aleksei Konstantinovich - Assistant, Rostov State Economical University, Bolshaya Sadovaya St., 69, Rostov-on-Don, 344002, Russia, e-mail: floberrr@mail.ru

Исследуются интерполяционные свойства тройки конусов, вложенных в банаховы пространства, по отношению к некоторой банаховой тройке. Сформулированы теоремы о наследовании интерполяционного свойства банаховой тройки тройкой вложенных конусов. Обсуждаются приложения этих результатов к теории базисов в ядерных пространствах Фреше числовых последовательностей.

Ключевые слова: банахово пространство, конус, интерполяция, метод вещественной интерполяции.

We study interpolation properties of triples of cones embedded in some Banach spaces with respect to another Banach triple. We formulate theorems on the inheritance of interpolation property of Banach triple by the triple of embedded cones. We discuss applications of these results to the theory of bases in nuclear spaces of numerical sequences.

Keywords: Banach space, cone, interpolation, the real interpolation method.

Теория интерполяции линейных операторов, ограниченных на конусах в банаховых пространствах, как и классическая теория интерполяции линейных операторов, ограниченных на паре банаховых пространств, может эффективно использоваться в различных задачах функционального анализа [1—9]. Например, интерполяционные теоремы для операторов, ограниченных на конусах в весовых пространствах числовых последовательностей, нашли применение в теории базисов в пространствах Фреше из классов (РИ) и (р) (определение этих классов можно найти в [10]). Интерполяционная теорема из работы [11] позволяет доказать существование базиса в произвольном дополняемом подпространстве ядерного пространства

Фреше с правильным базисом из класса (Р) [12]. В статье мы приведем более общую теорему, которая доказывается тем же методом, который был использован в [11], и рассмотрим некоторые следствия из этой теоремы, не отмеченные в [11].

Предварительно напомним некоторые определения из теорий конусов и интерполяции операторов в банаховых пространствах. При этом будем использовать терминологию теории векторных

решеток, подробное изложение которой можно найти, например, в [13]. Подмножество Q линейного пространства Е называется конусом, если для любых элементов х, у eQ и любого А> 0 выполняется: х+у е Q и Ах eQ . Конус Q линейного пространства Е называется воспроизводящим, если его линейная оболочка 8рап(0) совпадает с Е. Конус Q линейного топологического пространства Е называется тотальным, если его линейная оболочка span(Q) плотна в Е . Говорят, что конус Q обладает свойством нижней полурешетки, если тт(х, у) е Q для любых х, у еQ . Конус Q в нормированном пространстве Е называется несплющенным, если существует такая константа с = с^, Е), что для любого х е Е найдутся

элементы

х,х eQ : х = х+ - :

и при этом

||х+||+||х ||< с||х||. Наименьшая из таких констант

называется константой несплющенности конуса Q и обозначается у = y(Q, E).

Сформулируем постановку задачи теории интерполяции линейных операторов, ограниченных

на конусах [6, 7]. Пусть банахова тройка (Е,, £ь Е) интерполяционна относительно банаховой тройки (Е,,Е,Е) [14, с. 35]. Пусть О, с Ео и Qx сЕ -конусы, и 0 с Е - такой конус, что Оо ^ 01 с 0 с Оо + 01. Говорят, что О - промежуточный конус пары конусов 0о, 01). Пусть Т: Е, + Е1 ^ Е, + Е - линейный оператор такой, что

1ТН1е0 < М<>1ХЕ0' х е °о> 1ТХЦ * м4ХЕ' х е 01 •

Если для любого такого оператора Т из этих неравенств следует неравенство

ЩЕ <ПшахММ1}||Х|Е, Х е 0,

где й = й(Е,, Е1, Е, Ео, Е, Е), то говорят, что тройка конусов О,,01,0) интерполяционна по отношению к банаховой тройке (Е,, Е, Е) •

Пусть {а(п)}* =1 некоторая последовательность положительных чисел. Мы будем рассматривать весовые пространства числовых последовательностей:

с, (а) = ! а(п)х(п) е п, : 8ир а(п)| х(п)| <

I пеЫ

с нормой |Х| = 8ир а(п)\х(п)|.

пеЫ

Пусть Е = с, а ) , Е = с, (Ь1)(/ = ,,1) , Е = с, (а) , Е = с,(Ь). Через Е++, Е+, Е + обозначим конусы Е\,ю+|ПЕ^,Е соответственно. Согласно теореме Петре [15], банахова тройка (Е,,Еье) интерполяционна по отношению к банаховой тройке (Е, Е, Е) тогда и только тогда, когда существует постоянная N > , такая, что

Ь(т)

< с max JMm), bj^ a(n) I a0(n) ax(n)

(1)

при всех т п е N •

Теорема. Пусть Е,, Е1, Е, Е,, Е, Е -пространства С0 с весами, удовлетворяющими (1). Пусть 0 - конус в Е, + Е1 такой, что:

1) 0 - нижняя полурешетка;

2) 0Е+ ^ Е+ - тотальный конус в пространстве Е, Е1;

3) конус 0 ^ Е+П1 Е++ содержит строго положительный вектор.

Тогда тройка конусов Е+, 0 ^ Е+, 0 ^ Е+) обладает интерполяционным свойством по отношению к банаховой тройке (Е, Е, Е).

При этом, если Т: Е, + Е1 ^ Е, + Е - линейный ограниченный оператор такой, что

1ТХЕ < М|| х|Е„ ' х е Е+ ,

< Mr, х

4F, < M 01 "и^

то оператор T пер еводит конус Q n E+ в пространство F и

ITX^ < с max{Mo,Mx}||^ , x е Q n E+, где c = c(E0, Ej, E, Fo, F, F) - интерполяционная постоянная банаховой тройки (Eo,Ej,E) по отношению к банаховой тройке (Fo, Е, F).

В [11] эта теорема доказана при дополнитель-условии вложенности пространств: Fj с F с F0, однако это условие несущественно и теорема справедлива в приведенной выше общей формулировке.

Следствие 1. Пусть выполняются условия теоремы и, кроме того, конус Q n E+ является не-сплющенным в пространстве Eo. Тогда тройка

конусов Q n E+, Q n E+, Q n E+) обладает интерполяционным свойством по отношению к банаховой тройке (Fo, F, F). При этом, если T - линейный ограниченный оператор из Eo + Ej в F) + Fj такой, что

1Т%0 <Mo\\XE ' xеEo+,

|TX|Fi <Mj||XE , xeQnE+ ,

то T: Q n E+ ^ F и

|TX|F <ус max Mo, Mj , x eQ n E+,

где с = c(Eo,Ej,E,Fo,E,F) - интерполяционная постоянная банаховой тройки (Eo,Ej,E) по отношению к банаховой тройке (Fo, Fj, F), а y = y(Q n E+, Eo) - константа несплющенности.

Доказательство. Пусть x е E+ . Тогда существуют векторы x+, x_ е Q n Eo+ такие, что

х eQ n Ej

ном

Ej с E с E0

+ +

х х

E(

< у х

En •

Так

как

||eX|e < M0|X|E при х e Q n E(t

ll^u <

то

Тх+ + Тх~ <

E0 Uo

< Мп

<УМ д

Тогда в силу теоремы справедливо неравенство <ycmax Mo,М^Д^. при хeQnE+. Следствие доказано.

Следствие 2. Пусть выполняются условия теоремы и, кроме того, Q n E+ - замкнутый воспроизводящий конус в пространстве Eq . Тогда тройка

Q n E+ ,Q n E+ ,Q n E+) обладает интерполяционным свойством по отношению к банаховой тройке

(Fq, Fi, F ).

Доказательство. По теореме Крейна -Шмульяна [16] всякий замкнутый воспроизводящий конус является несплющенным, из чего следует утверждение следствия.

В связи с теоремой возникает следующий вопрос. Пусть Q - нижняя полурешетка и выполняются условия 2) и 3) теоремы. Верно ли, что тройка конусов (Q n E(+, Q n E+, Q n E+) обладает интерполяционным свойством по отношению к банаховой тройке (Fq, Fj, F) ? Ответ пока неизвестен. Заметим, что в случае положительного ответа конструкция работы [12] позволила бы доказать существование базиса в произвольном дополняемом подпространстве ядерного пространства Фреше с правильным базисом. Заметим, что интерполяционное свойство банаховой тройки не всегда наследуется тройками конусов. Пример тройки конусов, не наследующей интерполяционное свойство, приведен в [11].

Литература

1. Мазья В.Г. Пространства С.Л. Соболева. Л., 1985. 416 с.

2. Бережной Е. И. Точные оценки операторов на конусах в

идеальных пространствах // Тр. МИАН. 1993. Т. 204. С. 3-35.

3. Бережной Е.И., Буренков В.И. Улучшенные интерполя-

ционные теоремы для одного класса операторов // Изв. РАН. Сер. мат. 1998. Т. 62, № 4. С. 3-24.

4. Берг Й., Лёфстрём Й. Интерполяционные пространства.

Введение. М., 1980. 264 с.

5. Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные про-

странства, дифференциальные операторы. М., 1980. 664 с.

6. Sagher Y. Some remarks on interpolation of operators and

Fourier coefficients // Studia Mathematica. 1972. Vol. 44. P. 239-252.

7. Cedra J., Coll H. Function cones and interpolation // Math.

Nachr. 2005. № 278. P. 227-239.

8. Cedra J., Martin J. Interpolation of operators on decreasing

functions // Math. Scand. 1996. № 78. P. 233-245.

9. Трибель Х. Теория функциональных пространств. М.,

1986. 448 с.

10. Захарюта В.П. Об изоморфизме декартовых произведе-

ний линейных топологических пространств // Функциональный анализ и его приложения. 1970. Т. 4, вып. 2. С. 87-89.

11. Каплицкий В.М., Дронов А.К. К теории интерполяции

операторов, ограниченных на конусах в весовых пространствах числовых последовательностей // Зап. науч. сем. ПОМИ. 2014. № 424. С. 154-178.

12. Каплицкий В.М., Дронов А.К. Применение интерполяци-

онных свойств операторов, ограниченных на конусах, к некоторым вопросам теории базисов в пространствах Фреше // Мат. форум. 2014. № 7. С. 88-103.

13. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных про-

странств. М., 1961. 410 с.

14. Крейн С.Г., Петунин Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция

линейных операторов. М., 1978. 400 с.

15. Peetre J. A theory of interpolation of normed spaces // No-

tas de mathematica. 1968. Vol. 39. P. 1-86.

16. Abramovich Y.A., Aliprantis C.D. Positive operators

// Handbook of Geometry of Banach Spaces. 2001. Vol. 1. P. 85-122.

References

1. Maz'ya V.G. Prostranstva S.L. Soboleva [V.G. Sobolev

spaces]. Leningrad, 1985, 416 p.

2. Berezhnoi E. I. Tochnye otsenki operatorov na konusakh v

ideal'nykh prostranstvakh [Sharp estimates for operators on cones in ideal spaces]. Tr. MIAN, 1993, vol. 204, pp. 3-35.

3. Berezhnoi E.I., Burenkov V.I. Uluchshennye interpoly-

atsionnye teoremy dlya odnogo klassa operatorov [Improved interpolation theorems for a class of operators]. Izv. RAN. Ser. mat., 1998, vol. 62, no 4, pp. 3-24.

4. Berg I., Lefstrem I. Interpolyatsionnye prostranstva.

Vvedenie [Interpolation spaces. Introduction]. Moscow, 1980, 264 p.

5. Tribel' Kh. Teoriya interpolyatsii, funktsional'nye prostran-

stva, differentsial'nye operatory [Interpolation theory, function spaces, differential operators]. Moscow, 1980, 664 p.

6. Sagher Y. Some remarks on interpolation of operators and

Fourier coefficients. Studia Mathematica, 1972, vol. 44, pp. 239-252.

7. Cedra J., Coll H. Function cones and interpolation. Math.

Nachr, 2005, no 278, pp. 227-239.

8. Cedra J., Martin J. Interpolation of operators on decreasing

functions. Math. Scand., 1996, no 78, pp. 233-245.

9. Tribel' Kh. Teoriya funktsional'nykh prostranstv [The theory

of functional spaces]. Moscow, 1986, 448 p.

10. Zakharyuta V.P. Ob izomorfizme dekartovykh proizvedenii

lineinykh topologicheskikh prostranstv [Isomorphisms of Cartesian products of linear topological spaces]. Funktsional'nyi analiz i ego prilozheniya, 1970, vol. 4, no 2, pp. 87-89.

11. Kaplitskii V.M., Dronov A.K. K teorii interpolyatsii opera-

torov, ogranichennykh na konusakh v vesovykh pros-transtvakh chislovykh posledovatel'nostei [On the theory of interpolation of bounded operators on cones in weighted spaces of numerical sequences]. Zap. nauch. sem. POMI, 2014, no 424, pp. 154-178.

12. Kaplitskii V.M., Dronov A.K. Primenenie interpolyatsion-

nykh svoistv operatorov, ogranichennykh na konusakh, k

+

+

х

х

E

E

E

o

o

o

nekotorym voprosam teorii bazisov v prostranstvakh Freshe [Application of interpolation properties of bounded operators on cones, some questions in the theory of bases in Frechet spaces]. Mat. forum, 2014, no 7, pp. 88-103.

13. Vulikh B.Z. Vvedenie v teoriyu poluuporyadochennykh prostranstv [Introduction to the theory of partially ordered spaces]. Moscow, 1961, 410 p.

Поступила в редакцию

14. Krein S.G., Petunin Yu.I., Semenov E.M. Interpolyatsiya

lineinykh operatorov [Interpolation of linear operators]. Moscow, 1978, 400 p.

15. Peetre J. A theory of interpolation of normed spaces. Notas

de mathematica, 1968, vol. 39, pp. 1-86.

16. Abramovich Y.A., Aliprantis C.D. Positive operators. Hand-

book ofGeometry ofBanach Spaces, 2001, vol. 1, pp. 85-122.

26 октября 2015 г.