ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕТЧАТЫХ ОПТИМАЛЬНЫХ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ФОРМУЛ В ПРОСТРАНСТВЕ СОБОЛЕВА $\widetilde{L_2^{(m)}}(H)$ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ $n$ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДОМ СОБОЛЕВА Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 5. № 1 (2013). С. 90-101.

УДК 519.65

ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕТЧАТЫХ ОПТИМАЛЬНЫХ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ФОРМУЛ В ПРОСТРАНСТВЕ

СОБОЛЕВА Ь{2т)(И) ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ п ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДОМ СОБОЛЕВА

Н.Х. МАМАТОВА, А.Р. ХАЁТОВ, Х.М. ШАДИМЕТОВ

Аннотация. В настоящей работе рассматривается задача построения решетчатых оптимальных интерполяционных формул в пространстве ) периодических функ-

ций п переменных. Найдены коэффициенты решетчатых оптимальных интерполяционных формул.

Ключевые слова: пространство Соболева, оптимальная интерполяционная формула, свойства дискретного аналога оператора Дт, оптимальные коэффициенты.

1. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Напомним определение пространства Соболева ь2т)(Н) периодических функций п переменных.

Пусть функция <^(х) периодична с матрицей периодов Н:

<^(х + Н7) = <^(х), ж е Мга,

где 7 — произвольный целочисленный вектор столбец, Н — матрица размера п х п с единичным определителем.

Матрице Н сопоставим ее фундаментальный параллепипед По, положив

П0 = {ж е Мга : х = Ну, где 0 ^ у- < 1, ] = 1, 2,..., п}.

Предположим, что 2т > п, и конечен интеграл

/ ^ тт!1(Да^(х))2^Х’

По |а|=т

где а

D“^(x)

мультииндекс, а

d|a|^(x)

(ai, a2,..., an), a!

dx^"1 dx^"2 ...dx£ (т)

Норма в L2 (H) определяется формулой

||^(x)|L2m) (H )|| =

a1!a2!...an!, |a|

I -~!(D“^(x))2dx

а!

_По H=m

Ea,

j=1

N.Kh. Mamatoya, A.R. Hayotov, Kh.M. Shadimetoy, Construction of optimal grid

INTERPOLATION FORMULAS IN SOBOLEV SPACE LV^ (H) OF PERIODIC FUNCTION OF n VARIABLES BY SOBOLEV

method.

© Маматова Н.Х., ХАЁтов А.Р., Шадиметов Х.М. 2013.

Поступила 20 декабря 2011 г.

n

9G

Элементами пространства ь2т)(Н) служат функции, отличающиеся друг от друга на постоянное слагаемое.

Пространство ь2т)*(Н) будет состоять из всех периодических функционалов, которые ортогональны единице, т.е.

№), 1) = о. (1)

Рассмотрим интерполяционную формулу вида

N

Р(х) = Р<р(х) = ^ Ск(х)р(х(к)) (2)

к=1

в пространстве ь2т)(Н), точки х(к) Е По и параметры Ск(х) называем соответственно узлами и коэффициентами интерполяционной формулы (2).

Одной из основных задач теории интерполирования является отыскание максимума погрешности интерполяционной формулы р(х) = РДх) в функциональных пространствах. Погрешность в некоторой точке г есть значение функционала погрешности на функции

N

(£(х),р) = р(г) - Р^(г) = р(г) - ^ Ск(г)р(х(к)) =

к=1

N

£(х — г) — у ^ Ск(г)£(х — х( ^ ) * ф0(Н х)

По

где $(х) — известная дельта-функция Дирака, ф0(Н-1х) = ^$(х — Нв),

р(х)^х,1

в

£(х) = ^(х — г) — Ск(г)^(х — х(к))^ * ф0(Н-1х) (3)

— функционал погрешности интерполяционной формулы.

Переменными параметрами интерполяционной формулы являются узлы х(к) и коэффициенты Ск (г). Оптимальной интерполяционной формулой называем такую, функционал погрешности которой при заданных узлах имеет наименьшую по вариациям коэффициенТ Т)* ( тг\

тов норму в Ь2 (Н).

Если узлы х(к) являются точками решетки, т.е. расположены в точках вида х(т) = к#7, то интерполяционную формулу называем решетчатой. Здесь к — малый параметр, называемый шагом решетки.

В настоящей работе построены решетчатые оптимальные интерполяционные формулы

в пространстве Соболева ь2т)(Н). Аналогичная задача впервые поставлена и рассмотрена Соболевым [1], где найдена экстремальная функция интерполяционной формулы в пространстве Ж2(т) функций, у которых производные порядка т интегрируемы с квадратом.

Следует отметить, что решение при р =2 (теорема Холлидея [2]) задачи о минимизации Ьр-нормы т-й производной функций, интерполирующих заданные значения у в заданных точках х^, привело к развитию теории сплайнов. В дальнейшем эта задача исследовалась во многих работах в более общей постановке как проблема минимизации функционала при ограничениях (см., например, [3-8]).

Центральным результатом данной работы является следующая

1Запись интеграла от функции Дирака есть историческая условность: ^ 5(х — г)<р(х)<1х = (5г, <^) = ^(^); свертка ^-функций определена как 6(х — а)5(х — Ь) = 5(х — (а + Ь)).

Теорема. В пространстве Соболева ь2т)(Н) существует единственная решетчатая оптимальная интерполяционная формула вида (2) с функционалом погрешности (3). Ее коэффициенты определяются формулой

С ([в ]; г) = Л" (1 + £

7=0

ехр(2пгЯ :(ЯЛв* — г)7)

|Н

— 1 * /V12т

где К(7)

Е

.4=^7

1

2. Экстремальная функция интерполяционной формулы Для нахождения в явном виде нормы функционала погрешности £(х) в пространстве ь2т)(Н) будем использовать понятие экстремальной функции функционала. Функцию и(х) из ь2т)(Н) называют экстремальной для данного функционала погрешности £(х),

если выполняется равенство

(£(ж), и(ж))

^2т)*(я)

«|і2т)(Я)

Пространство ь2т)(Н) - гильбертово, со скалярным произведением

(^,^)т = у ^ ^“^(х)Д“^(х)^х.

По |а|=т

По теореме Рисса любой ограниченный функционал £(х) в гильбертовом пространстве представляется в виде скалярного произведения

(€,^) = (4)

для любого р(х) из ь2т)(Н). ^(х) — функция из ь2т)(Н), определенная однозначно по функционалу £(х) и экстремальная для него. Интегрируя по частям в смысле теории обобщенных функций выражение в правой части (4) и пользуясь периодичностью функций р(х) и ^(х), получим равенство

(^) = (—1)т / Дт^(хМх)^.

По

Таким образом, функция ^(х) является обобщенным решением уравнения

Дт^(х) = (—1)т€(х).

(5)

Справедлива следующая

Лемма 1. Явное выражение экстремальной функции функционала погрешности (3) дается формулой

^(х) = (—1)т

N

В2т(х — г) ^ (г)В2т(х — Ж(к)) + ^0

к=1

где ^° постоянная, В2т(х) = (—1)т ^ еХ|2(пя-1н'|2т7) — функция Бернулли-Соболева —

т=°

периодическое фундаментальное решение оператора Дт.

(6)

1

Доказательство. Найдем передическое решение уравнения (5). Применяя к обеим частям (5) преобразование Фурье и пользуясь известными формулами ^[$(х — г)] = е2пр *, ^[ф0(Н-1)х] = ф0(Н*р) (см. [9]), получим

''1 N

^(2пФ^')2

..7 = 1

^[^(х)] = (—1)т[(е-2-р** — V Ск(,ф-2пгр*ж(к))ф0(Н*р)]. (7)

к(

к=1

Здесь р* — вектор-строка (р1,р2, ...,рп), сопряженная с вектором-столбцом р. В силу (1) правая часть (7) равна нулю в окрестности начала координат. Поэтому можно делить обе

П

части (7) на (2пг)2т(£ р2)т. Функция ^[^(х)] определяется из уравнения (7) с точностью

^=1

до слагаемого вида

* ' , ч»

(—1)т«р) + X] ^а£(р).

0<|а|^2т

Поскольку, однако, ^[^(х)] должна быть боронообразной, то есть линейной комбинацией ^-функций, сосредоточенных в узлах целочисленной решетки, то все слагаемые, кроме (—1)т^0$(р), должны быть отброшены.

Следовательно,

ехр(2Пр* г) ф0 (Н *р)

^ [^(х)] = (—1)т«р) +

т

п

(2п)2т ( £ р2 ^=1

N

£ Ск(г) ехр(2Пр*х(к))ф0(Н*р)

к=1

(2п)2т ^£р2

Заменяя ф0(Н*р) рядом по $ функциям и применяя обратное преобразование Фурье к обеим частям (8), получаем (6), что и доказывает лемму 1.

3. Норма функционала погрешности интерполяционной формулы

Норма функционала погрешности интерполяционной формулы выражается через билинейную форму от коэффициентов формулы и значений экстремальной функции ^(х).

Поскольку пространство ь2т)(Н) гильбертово, то имеем

(г,^) = иг|ь2т)*(н)|| ||№2т)(Н)|| = |Иь2т)*(Н)1Г. (9)

Пользуясь формулами (3), (6), (9) после непосредственных вычислений, получим

||£|14т)*(Н )||2 = [ г(х)^(х)^х =

По

N

(— 1)т / I $(х — г) ^ ] Ск(г)$(х — х(к) ) I * ф0(н 1 х) I В2т(х — г) —

По 4 к=1

N

У Ск(г)В2т(х — х(к)) + 4 1 а!х. к=1 /

Отсюда, в силу (1) и по определению дельта-функции, имеем

иг 14т)*(н )|2 =

т

(— 1)т / (X $(х — г — Нв) — ± Ск (г) X $(х — х(к) — Нв) ) X

п \ в к=1 в /

X ( В2т(х — г) — X Ск (г)Вт(х — х(к) ) ) ^х.

N

(х — г) — X Ск (г )В2т(х — хч к=1

Пользуясь характеристической функцией хп0 (х) области П0, последнее выражение, полученное для нормы функционала, перепишем в виде

(х)1Т*(Н)и2 = (— 1)т ( X ХПо(г + Нв)В2т(Нв)—

в

N

— Ск(г) ХПо (г + Нв)В2т(г + Нв — х(к)) —

к=1 в

N

ХСк(г) X ХПо(х(к) + Нв)В2т(х(к) + Нв — г) +

к=1 N

(к)

^....... ■ , , -...(х

к=1 в N N

Л С, ,(г) Х%

+ 5] Ск (г) X Ск, (г) X ХПо (х(к) + Н№т(х(к) + Нв — х(к,)) ). к=1 к, = 1 в

Так как х(к) € П0, г € П0, £ хПо (у + Нв) = 1, у Е П0, используя четность функции

во

Бернулли-Соболева В2т(у), т.е. В2т(у) = В2т(—у), окончательно имеем

цг(х)|£т;(н )и2 =

(N NN \

В2т(0) — 2 X Ск (г)В2т(г — х(к)) + X Ск (г) X Ск, (г)^2т(х(к) — х(к,)) . (10) к=1 к=1 k, = 1 /

Заметим, квадрат нормы функционала г является неотрицательным многочленом второй степени от N вещественных переменных С1(г),... , CN(г). Этот многочлен рассмат-

N

ривается на линейном многообразии £ Ск (г) = 1. Очевидно, такая функция достигает

к=1

минимума в некоторой точке С0(г) = (С0(г),... , С°(г)) . Благодаря строгой выпуклости нормы гильбертова пространства эта точка единственна.

Для нахождения точки минимума нормы (10) при условии (1) можно применить метод неопределенных множителей Лагранжа.

Рассмотрим вспомогательную функцию

Ф(С(г), А) = ||г||2 — 2(—1)тА(г, 1).

Приравнивая к нулю частные производные от Ф(С (г), А) по Ск (г) и А, получим систему уравнений

N

X Ск0(г)В2т(х(к,) — х(к)) + А0 = В2т(г — х(к,)), к' =1, 2, ..., N (11)

к=1

N

X Ск М=1- (12)

к=1

Рассмотрим систему на решетке, т.е. пусть узлы ж(т) = Н^7- Такую интерполяционную формулу будем называть решетчатой. Здесь к — малый параметр, шаг решетки. Тогда система примет вид

С^Я7(^) В2т(кН(в — 7)) + А0 = В2т(г — кНв), кН^ Є По, (13)

ЬН7ЄПо

X Сья7(*) = 1. (14)

ЬЙ7ЄПо

Пользуясь сверткой двух функций дискретного аргумента, определяемой формулой (см. [9])

ГО

/* #[в] = X /М ■ - 7],

7=-ГО

систему (13), (14) записываем в виде уравнений в свертках.

В2т[в] * (С([в]; г) ХПо [в]) + А0 = В2т(г — [в]) [в] Є ^ (15)

X Ст г) = 1, (16)

[вІЄПо

где [в] = кНв.

Систему уравнений (15), (16) будем называть системой Вине'ра-Хопфа, и теперь задача

О

состоит в том, чтобы решить эту систему относительно С([в]; г) и А0.

О

Задача А. Найти функцию С([в]; г) и А, удовлетворяющие системе Винера-Хопфа.

При решении задачи А важную роль играют некоторые свойства дискретного аналога [в] полигармонического оператора Дт, которые будут доказаны в следующем пункте. Традиционно к дискретному аналогу полигармонического оператора приводит замена входящих в Дт производных на соответствующие конечные разности. Восходящая к С.Л. Соболеву [9] идея другого способа дискретизации дифференциального оператора заключается в следующем. В уравнении, определяющем фундаментальное решение дифференциального оператора (у нас это ДтВ2т(ж) = Ф0(х) — в периодическом варианте), переходят к дискретным аргументам фундаментального решения и 5-функции, заменяя полигармонический оператор на некоторую функцию дискретных аргументов, действующую как дискретная свертка на дискретизированное фундаментальное решение.

Это записывается формулой

[в ] * В2т[в ] = X 5 [в - Т/к],

7

где [в] = кНв, в Є ^", 1/к — натуральное число, 5[в] = 50в| — символ Кронекера.

Определяемый этим равенством оператор дискретной свертки [в]* и является дис-

кретным аналогом полигармонического оператора.

4. Новые свойства оператора Д/гЯ)[в]

Займемся обоснованием новых свойств оператора свертки Д/гЯ)[в]. Отметим, что при п =1 дискретный аналог дифференциального оператора ^2т/^ж2т построен в работе [10].

С этой целью ищем такую функцию дискретного аргумента [в], которая удовлетворяет равенству

к"В<’2)[в] * Вт [в] = Ф[в ] - к". (17)

Здесь В2т[в]— функция Бернулли-Соболева, которая задается формулой

-л ехр(—2п*7*кв)

Вт [в] = ( —1)Г

а Ф[в]— дискретная периодическая дельта-функция и

<ВД = X5[в - к-17], (18)

7

[в] = кЯв, к-1— натуральное число, 5[в — к-17] — дискретная дельта-функция, определяемая формулой

7-1 І ) 1, Єсли в — к 7 = О /1М

5[в — к 7] = I „ _ „ _ ,-і , п (19)

,^.1 _ і 1, если в — к 17 = 0,

О, если в — к-17 = 0,

в =Т (в1, в2,..., в")— вектор столбец, в * = (в1 ,в2,...,в")— вектор строка, ві Є ^, Z—

множество целых чисел.

Лемма 2. Решение уравнения в свертках (17) определяется формулой

Дія)[в] = / гія(Р)ехР(2пів*кЯ*Р^ (20)

Пх

где П1— фундаментальный параллелепипед для матрицы к-1Я-1*, |П1|— объем области

П1,

г12(р)

(—1)'

(2п)2т ^ |р — к-1 Я-1*~1'2”‘

X

1

р = к-1Я 7. (21)

Доказательство. Для отыскания оНН^в] пользуемся оператором преобразования Фурье. Известно, что класс функций дискретного аргумента и класс функций боронообразных функций изоморфны (см. [9]). Используя это, от функций дискретного аргумента перейдем к боронообразным обобщенным функциям

7(х) = X ^[вЖ* - кЯв).

в

Для Ф[в], которая определена формулой (18), имеем

¥(*) = X к”ф[вЖ* - кЯв) = к” XX 5[в - к-17]5(ж - кЯв).

в в 7

Отсюда, в силу (19), получим

¥(ж) = X к”5(ж - Я7) = к”фо(Я-1х).

7

Уравнение (17) на классе боронообразных функций примет вид

——т(т) ——^

к” О нн (*)* £^2т(ж) = к”фо(Я-1х) - к”фо(к-1Я-1х), (22)

где фо(к-1Я-1х) = £ к”5(ж - кЯв).

в

Преобразование Фурье функций ф0(Я-1х) и ф0(к-1Я-1х), как известно, соответсвенно задаются формулами

^[фо(Я-1х)] = / е2пгр*хфо(Я-1ж)^ж =

[ е2пгр*х X 5(х — Яв)^г = ^ в2пгр*х5(ж — Яв)^г = X е2пгр*яв, (23)

■і а ■} в

Р[фо(к-1Я-1х)] = I е2пр*жфо(к-1Я-1ж)^г = X к”е2пр*ннв. (24)

в

Пользуясь известной формулой Пуассона

к” X е2пгР*ннв = X ^(р - к-1я-1*в), (25)

вв равенства (23) и (24) приводим к виду

Р[фо(Я-1х)] = X*(Р - Я-1*в), (26)

в

Р[фо(к-1Я-1х)] = X Ф - к-1Я-1*в). (27)

в

Теперь вычислим преобразование Фурье функции

ехр(-2п*7*кв) |2пЯ

—Г *„(*) = к”(-1)» £ X еХРЯ2^«(* - кЯв).

в Т=о

По определению преобразования Фурье

Р[—В 2т(*)] = у в2"*"*" —Б 2т(*)^ =

(-1)т V"1 и” Х'' ехр(-2п*7*кв) ехр(2пгр*кЯв)

(2п)2^^~-'' ^ ^ |Я-1*^12т

1 ' в 7=о 1 ' 1

= (-1)т ехр(2пг(р*Я - 7*)кв)

(2п)2^^—'' ' ■* |Я-1*^12т .

1 ' в 7=о 1 11

В силу (25) имеем

к” ехр(2пг(р*Я - 7*)кв) = X к” ехр(2пг(р* - 7*Я 1)кЯв) =

вв

= X ^(Р - Я-1*7 - к-1Я-1*в).

в

Тогда

Р[—Г (*)] = (-1)т \ " 5(р - Я-1*(7 + к-1в))

Р[ В 2т(х)] = (2п)2т |Я-1*^12т .

1 ' в 7=о 1 11

Делая замену переменных 7 + к-1в = к, окончательно получим

р[—В (*)] = (-1)т у у 5(р - Я-1*к) (28)

[ В 2т(х)] (2п)2т 2^ 1Я-1* (к-к-1в) 12т . (8)

(2п)2т ^ V |Я-1*(к - к-1в)|2т"

в к

Теперь применив к обеим частям (22) преобразование Фурье и пользуясь формулами (26), (27) и (28) и сокращая на к” > 0 получим следующее уравнение:

Р[—С(*)1 ■ XX |Я-^-Я^Г = X ^ - Я-1*~'). (29)

Известно, что

5(р - Я-1*7) = 5(р - Я-1*7) (30)

2^^ |Я-1*(7 - к-1в)|2т = ^ V 1р - к-1Я-1*в|2т. ( )

в 7/г <£1 в 7/г <£1

В силу (30), уравнение (29) эквивалентно уравнению

7(т)

F[D„„(x)] ■ (Г^М)

\-1

1, p = h-1H-1*

Y,

где гНН)(р) определяется формулой (21). Функция гНН)(р) периодическая по р с матрицей периодов к-1 Я-1*, вещественная, аналитическая при всех р = к-1Я-1*7.

Из (31) имеем

——г(т) /

Р [Внн(*)] = гН”Н) (Р). (32)

Применяя к обеим частям равенства (32) обратное преобразование Фурье и переходя от боронообразных обобщенных функий к функциям дискретного аргумента, находим (20), что и доказывает лемму 2.

Лемма 3. Оператор 0(Н)[в] и функция ехр(2пга*кЯв) связаны между собой соотношением

D((H)[e] * exp(2nia*hHe}

(—1)m(2n) exp(2nia* }

E

7

, (7

|h-1H-1*y — a|

2m

1

Здесь D|(H)[e] определяется формулой (20).

Доказательство. Для этого обозначим свертку двух боронообразных функций

——г(т) —_г ——г

D (x) и exp(2nia*x) через T (x):

_—г _—г(т) __г

T (x) = D (x)* exp (2nia*x).

Пользуясь формулой (32), вычислим преобразование Фурье функции T (x):

——г ——г(т) __г

F[ T (x)] = F[ D (x)* exp (2nia*x)]

Лт)

= F[ D (x)] ■ F[exp (2nia*x)] = Гт^р) ■ F[exp (2nia*x)].

По определению боронообразных функций и преобразования Фурье от 5(x — Л,Яв) имеем

F[exp (2nia*x)] = F

hn exp(2nia*^Яв)5(x — Л,Яв)

= hn exp(2nia*hHe) exp(2nip*hHe) = hn exp(2ni(a* + p*)Л,Яв).

в в Отсюда в силу (25) находим

F[exp (2nia*x)] = ^(a + P — h-1H-1*в).

(33)

С помощью формул (21), (33) получим

(—1)m (2n)2m

E

1

|p — h-1H-1*^12т

1

X^(a + p — h-1H-1*в)

в

X^(a + p — h-1H-1*в)

(—1)m (2n)2m

E

1

|h-1H-1*в — a — h-1 Я-1*~ '2m

-1

E 5(a + p — h-1H-1*в)

(—1)m

(2n)2m ^ |h-1H-1*(в — y) — a|2m

E

1

(34)

1

р = к-1 Я-1*7, в - 7 = кЯ*7.

Пользуясь формулой (25), вычислим обратное преобразование Фурье функции £5(а + р - к-1Я-1*в) и, имея в виду определение боронообразных функций, имеем

в

1

X 5(с + р — к-1Я-1*в) . в

X / е-2пгх*р5(а + р - к-1Я-1*в)ф =

в

= е2пгЖ*а X е-2пгж*н-1н-1*в = е2пгЖ*ак” X £(* - кЯв) = в2™*" X к”5(ж - кЯв) = в в в

= X к”в2пит*ннв5(х - кЯв) =ехр (2пга*ж). (35)

в

Теперь, применяя обратное преобразование Фурье к обеим частья формулы (34) и учитывая (35), получим

1

Т (ж) =ЄХр (2пга*ж)

(—1)т __________________1____________

(2п)2т ^ |к-1 Я-1*(в — 7) — ^|2т

, в — 7 = кЯ V.

Перейдя от боронобразных функций к обычным функциям дискретного аргумента, име-

ем

1

Т[в] = ехр(2пга*кЯв) ■

(—1)т X 1

(2п)2т ^ |к-1Я-1*(в — 7) — ^|2т

, в — 7 = кЯV.

Отсюда следует утверждение леммы.

5. Решение задачи А

Справедлива следующая

Лемма 4. Пусть ^[в] дискретная периодическая функция, т.е.

$[в] = ^(кЯв) = ^(кЯв + Я7), тогда справедливо следующее равенство

^[в] = (#[в]ХПо [в]) * ф[в]. (36)

Доказательство. Пользуясь формулами (18), (19), формулой

X ХПо(кЯв + Я7) = 1

о

7

и периодичностью дискретной функции ^[в], имеем

#[в] = #[в] X ХПо(кЯв + Я7) = X #[в]ХПо(кЯв + Я7)

о

7

х #(кЯв + Я7)ХПо(кЯв + Я7) = Х #(кЯв — Я7)Хпо(кЯв — Я7)

7 7

= X £[в — к-1^]ХПо[в — к-17] = XX 2[к]ХПо[к]5[в — к — к-17] =

7 7 к

= X 2[к]Хпо[к] X 5[в — к — к-1^] = X ^[к]Хпо[к]ф[в — к] =

*0 I

к 7 к

= (д[в ]хпо [в ]) * Ф[в ].

Лемма доказана.

Переходим к доказательству теоремы. Для этого пользуемся следующей известной формулой из [9]:

оНн)[в] * [в]к = 0 при к < 2т. (37)

Применяя оператор к”ОНн)[в] к обеим частьям уравнения (15), получаем

нн к”оНн)[в] * (В2т[в] * (С([в]; ^)хпо[в]) + А) = к” ■ оНн)[в] * В2т(г - кЯв), кЯв € По. (38) Пользуясь формулами (17), (36), (37) из (38), имеем С ([в]; 2) - к” X С7 ([в]; 2 ) = к”оНт[в ] * В2™(г - кЯв), кЯв € По. ннвеПо

В силу (16) находим

(7([в]; *) = к” + к” ■ оНн)[в] * В2т(г - кЯв), кЯв € По.

Отсюда, учитывая, что функция В2т(г - кЯв) является функцией Бернулли-Соболева, имеем

С (И;.-) = к” + к” ■ В£н)М * (-1)" X =

7=о | ' |

= к” + (-1)"к” X 7* ОНн) [в] * ехр(2пгкв*7) =

Г-1.

к" + (—1)тк" X еХр1Я-Я-2,г7} Д/т[в] * ехр(2П7*Я-‘(кЯв)). (39)

7=0 | П

Теперь, пользуясь леммой 6 из (39), получим

б'([в]; 2) = к” + (-1)"к” X вх;^1!^71 (-1)"(2п)2" ехр(2пг7*Я- 1 кЯв)х

-

X

^ |к- 1Я- 1 *і — Я- 1 *7|2т

4=И

Отсюда, введя обозначение К(7) = вид оптимальных коэффициентов, т.е.

-1

і

Е |Я-1*(^-1*-7)|2т

4 = ^7

получим окончательный

с. ([в ]; г)=к" (1+—~~)7 > ■ * >

Теорема доказана.

1

Благодарность. Мы искренне благодарны профессору М.Д. Рамазанову за обсуждения результатов настоящей работы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Соболев С.Л. О задаче интерполирования функций n переменных // Докл. АН СССР. І96І. Т. І37, ^ 4, С. 778-781.

2. J.C. Holladay Smoothest curve approximation // Math. Tables Aids Comput. 1957. V. 11. P. 223243.

3. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М.: Мир. 1972. 318 с.

4. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976. 24В c.

5. Лоран П.Ж. Аппроксимация и оптимизация. М.: Мир, 1975, 496 с.

6. Василенко В.А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы. Новосибирск: Наука, 1984.

7. Игнатов М.И., Певный А.Б. Натуральные сплайны многих переменных. Ленинград: Наука, 1991.

8. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. М. Наука, 1981, 424 с.

9. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974. 808 с.

10. Шадиметов Х.М. Дискретный аналог оператора d2™/dx2™ и его построение // Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент, 1985, вып. 79, С. 22-35.

Нилуфар Хусеновна Маматова,

Институт математики и информационных технологий АН РУз, ул. Дурмон йули, 29,

100125, г. Ташкент, Узбекистан

Абдулло Рахмонович Хаётов,

Институт математики и информационных технологий АН РУз, ул. Дурмон йули, 29,

100125, г. Ташкент, Узбекистан E-mail: hayotov@mail .ru

Холматвой Махкамбаевич Шадиметов,

Институт математики и информационных технологий АН РУз, ул. Дурмон йули, 29,

100125, г. Ташкент, Узбекистан