О точности кубатурных формул в пространствах C. Л. Соболева Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.518.87

О точности кубатурных формул в пространствах О.Л. Соболева

В.И. Половинкин*

Сибирский федеральный университет 660041 Россия, Красноярск, Свободный, 791

Получена 01.05.2008, окончательный вариант 03.06.2008, принята к печати 10.03.2009 Устанавливаются условия, необходимые и достаточные для того, чтобы функционалы ошибок кубатурных формул были ограничены в пространствах типа Ц?, соответствующих рассматриваемым множествам интегрируемых функций, заданных на ограниченных подмножествах цилиндрических и конических поверхностей.

вычисление интегралов.

Большинство работ С.Л. Соболева по теории кубатурных формул, в частности монографии [1, 2], посвящены оценкам погрешностей приближенного интегрирования функций / через Ц/||ьт(п)- Также через эти полунормы оцениваются погрешности интегрирования и в работах других авторов, например в [3] и [4].

У исследований подобного рода может быть следующий недостаток. От рассматриваемых кубатурных формул требуют, чтобы они были точны на множестве многочленов степени ниже т Рт, т. е. их функционалы ошибок I должны были удовлетворять условиям

(1,Р ) = 0 при Р е Рт. (1)

Однако множество рассматриваемых интегрируемых функций может не содержать всего Рт, и требование выполнения условия (1) в ряде случаев представляется завышенным. Например, при интегрировании многомерных периодических функций, порождающих пространства ит(А), где А — невырожденная квадратная матрица, требование (1) можно заменить условием точности соответствующей кубатурной формулы на константах.

В работах [3-5] от исследуемых кубатурных формул не требовалась формально точность на Рт. Однако в них алгоритмы интегрирования опираются на суммирование формул, удовлетворяющих условиям типа (1).

Тем не менее там удалось построить асимптотически оптимальные последовательности кубатурных формул в соответствующих пространствах типа Ь^.

В этой статье доказывается и применяется к теории кубатурных формул следующий результат.

Теорема 1. Пусть Н — замкнутое подпространство пространства Шрт (П), линейный функционал I ограничен на Н. Тогда для того, чтобы существовала постоянная К такая, что

№,/)|< К/ЦЬт(п) при / е Н, (2)

необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

(1,Р )=0 при Р е Р т(Н), где Р т(Н )= Рт П Н. (3)

* Corresponding author E-mail address: [email protected]

1 © Siberian Federal University. All rights reserved

Ключевые слова: кубатурные формулы, функционалы ошибок, пространства Urn, приближенное

Далее будут приведены примеры пространств Н и соответствующих им Рт(Н), в частности, связанных с функциями, заданными на ограниченных множествах цилиндрических и конических поверхностей.

Теорема 1, как и некоторые примеры пространств Н, рассматриваемые в этой работе, были опубликованы ранее в статье [6]. Доказательство этой теоремы, приводимое здесь, отлично от доказательства в [6] и, по сравнению с ним, короче.

Полученные ниже результаты применимы непосредственно к теории приближенного интегрирования, если в формулах (2) и (3) I считать функционалами ошибок кубатурных формул, т. е. определенными равенствами

N

(1,1 ) = I (х)1х Ск I(хк).

■А к=1

(4)

Здесь и далее: П — ограниченная область п-мерного арифметического пространства векторов х = (х1,..., хп); хк — точки из замыкания П, Ск — постоянные, к = 1,..., N = 1, N. Условие (3) в случае функционалов (4) равносильно точности соответствующих кубатурных формул на многочленах из Рт(Н). Если А, В — подпространства некоторого линейного топологического пространства X, то будем обозначать А+В = {х : х = а + Ь, а € А, Ь € В}.

Следующие две теоремы [7] относительно целей настоящей работы имеют вспомогательное значение.

Теорема 2. Пусть А — замкнуто, а В — конечномерно. Тогда А + В — замкнутое подпространство

Теорема 3. Предположим, что А и В — такие замкнутые подпространства банахова пространства X, что X = А + В. Тогда при некоторой постоянной 7 > 0 каждый вектор х € X допускает представление в виде

х = а + Ь, где а € А, Ь € В и ||а||х + ||Ь||х < 7||х||х.

Приведем необходимые сведения [1, 8], относящиеся к пространствам С.Л. Соболева Шрт(П). Здесь и далее: р, т — числа, р € [1, те), т — натуральное.

— линейное пространство функций I, заданных в П, обладающих там всеми обобщенными производными порядка т с конечной полунормой

Ьт(П) = = (хъ .. . ^п^Ь-СП)

31 = 1 Зт = 1

дт I

дх о. * * * дх о

(х)

р/2

¿х

1/р

(5)

Оно становится линейным нормированным пространством, если задать проекционный

оператор П, проектирующий Шт(П) на все Рт, в Рт ввести норму || • ||р — и положить

т ИР

+

1/

(6)

Считаем далее П выбранным так, что пространство (П) полно.

В любом конечномерном пространстве все нормы эквивалентны. Отсюда следует, как увидим из доказательства теоремы 1, что конкретный вид П не имеет значения.

2

V

Доказательство теоремы 1. Необходимость условий (3) для теоремы, а в случае

Рт(Н) = Рт (7)

и их достаточность, вытекают непосредственно из формул (5) и (6).

Предположим, что: Н — замкнутое подпространство Шрт(О), не удовлетворяющее равенству (7); I — линейный ограниченный функционал на Н.

Будем доказывать достаточность условия (3) в теореме. Предположим, что оно выполняется.

Определим в подпространство Н = Н + Рт. Оно замкнуто по теореме 2, а

поскольку ШР^(О) предполагается банаховым, то и полно. Продолжим I с Н на Н до функционала I, полагая при

ж = а + Р, а е Н, Р е Рт

(I, х) = (I, а). (8)

Непосредственно проверяется, что функционал I будет линейным.

Пусть 7 — постоянная, существование которой утверждает теорема 3, соответствующая в ней А = Н, В = Рт. Тогда при х вида (8) получим

\(1,х)\ = \(!,а)\ < \\1\\и*||а||н = \\1\\и*\\а\\и < 7\\1\\и*\\х\\и. (9)

Здесь Н* — сопряженное пространство Н.

Из неравенств (9) следует ограниченность I в Н. Так как Рт(Н) = Рт, и теорема для Н, удовлетворяющих равенству (7), верна, то существует постоянная К — такая, что

Ю,х)\< К\\х\\Ьт{п) при х е Н. (10)

Но

(Ц ) = (1,1) при / = х е Н.

Отсюда, и из неравенств (10) вытекает оценка (2) при Рт(Н) = Рт. Следовательно, теорема верна.

Замечание 1. Если проекционный оператор П из определения нормированного пространства отображает Н в Рт(Н), то справедливость теоремы 1 вытекает непосредственно из формулы (6).

Пусть рт > п, область О с замыканием О и проекционный оператор П, определяющий нормы (6), таковы, что пространства полны и справедлива теорема вложения Соболева из в С (О), где С (О) — пространство непрерывных в О функций ] с

\\1 \\с(п) = тах{\! (х)\}.

Класс областей О, для которых существует оператор П с данными свойствами, является широким, причем за П можно брать шаровые проекционные операторы [1, 8]. При таких П норма (6) на линейном пространстве эквивалентна следующей

\1 (х)\р ¿х + \\/\Цт{П)

1/р

(11)

При этих условиях функционалы ошибок кубатурных формул l вида (4) будут ограничены в W^(Q) и, если они удовлетворяют условиям (3), то будет определена следующая норма

\\l\\LriH) = sup {\(l,f )\}/\\f\\Lm{n),

f ен\о

а погрешность вычислений по соответствующей l кубатурной формулы оценивается так

\(l,f)\<\\l\\Lr(H)\\f\\Lm(П) при f е H. (12)

Для использования неравенств (12) при оценках погрешностей приближенного интегрирования функций из H необходимо описать множество Pm(H) и убедиться, что на нем соответствующие кубатурные формулы точны.

Сказанное сейчас может быть обобщено на весовые и эрмитовы (содержащие значения производных) кубатурные формулы.

Замечание 2. Теорема 1 остается верной, если в ее формулировке W^(Q) заменить на пространство из тех же элементов с нормой, эквивалентной (6), например, на W^(Q) c нормой (11).

Оставшаяся часть статьи будет посвящена, главным образом, описанию Pm(H) для различных пространств H интегрируемых функций.

Следующий пример при n = 2 связан с функциями, заданными на цилиндрических поверхностях в трехмерном пространстве.

Пример 1. Пусть натуральное число s < n; ai, i = 1,n — положительные числа; Q = Q(ai, ...,an) = {(xi, ...,xn): \xi\ < ai, i = 1,n}; Ds = {(xi,.. .,xn) : \xi\ < ai, i = s + 1,n}.

Через H обозначим подпространство Wm(Q), образованное сужениями на Q функций, заданных на Ds, периодических там с периодами 2ai по переменным xi, i = 1, s, имеющих во всех ограниченных областях Ds обобщенные производные порядка т.

Теорема 4. Если H — пространство из примера 1, то Pm(H) — совокупность многочленов из Pm, зависящих только от переменных xi, i = s +1, т.

Доказательство. Введем переменные у = (xi,... ,xs) и z = (xs+i,..., xn).

Если многочлены из Pm зависят только от z, то они принадлежат Pm(H). Покажем, что других элементов Pm нет.

Пусть многочлен P е Pm. Тогда его можно записать в виде

P(x) = £ увPe(z), (13)

\в\<т

где в = (вь ... ,ps), \в\ = fii + • • • + es, ув = xei.....xes, Pp — многочлены степени не

выше т — \ei \ — 1.

Обозначим через p = (pi,..., ps) некоторый вектор-индекс, соответствующий ненулевому слагаемому в сумме (13) с наибольшей степенью относительно у.

Предположим, что P е Pm(H) и \p\ > 0. Тогда некоторая координата p > 0. Для определенности будем считать, что pi = 0. Другие случаи координат p, не равных 0, могут быть рассмотрены аналогично.

Из периодичности P по переменной xi с периодом 2ai следует, что должно выполняться равенство

д\^\ — i

P (x)

dx$1~idx%2 ••• xts

д\^\ — i

P (x)

dx^1—idx^ ••• xts

xi= — ai

xi=ai

Значения производных из формулы (14) на слагаемых правой части равенства (13) при в = И равны 0, а если в = И, являются нечетными функциями относительно переменной xi. Следовательно P^(z) = 0, когда и = 0.

Отсюда следует теорема 4.

Замечание 3. Аналогично примеру 1 рассматривается случай периодических по всем переменным Xi функций с периодом 2ai, i = 1,п, заданных в области П из этого примера. В нем Pm(H) состоят лишь из констант.

Следующее ниже обобщение теоремы 4 посвящено лишь двумерному случаю.

Пример 2. Пусть числа ai, a2 > 0; а, в — функции, заданные на (-ж, ж), непрерывные там с периодом 2ai и удовлетворяющие неравенствам

а(х) < -a,2 < a2 < в(х) при x € (ж, ж)

D = {(x,y) : а(х) <y < в(х)}; П = {(x,y) : \х\ < ai, а(х) <y < в(х)}.

Через Но обозначим подпространство WP^^o), образованное сужением на По функций, заданных на D, периодических на нем с периодом 2ai по переменной х, обладающих суммируемыми в степени p обобщенными производными порядка m в любой ограниченной области из D.

Теорема 5. Pm(Ho) состоит из .многочленов, зависящих от переменной y.

Доказательство. Многочлены, зависящие только от y, степени ниже m, принадлежат

P mHo).

С другой стороны, многочлены, зависящие от х, не могут принадлежать Pm(Ho), так как из включения

П = Ü(ai,a2) = {(x,y) : \х\ < ai, \y\ < a2} С По (15)

вытекает, что Pm(Ho) С Pm(H), где Н — пространство из теоремы 4, соответствующее области П в формуле 15.

Поэтому, из теоремы 4 следует теорема 5.

Следующий далее пример связан с задачами приближенного интегрирования функций, заданных на секторах.

Пример 3. Множества Pm, как и пространства W^(n), будем считать состоящими из функций двух переменных — х, y.

Введем полярные координаты r, ф : r = \Jх2 + y2, х = r cosф, y = r sinф, а многочлены P(x, y) € Pm будем обозначать P{r, ф}.

Считаем a, b, ф такими числами, что 0 < a < b, ф € (0,п).

Положим: D — совокупность {r, ф}, у которых a < r < b; П — множество точек {r, ф} € € D, где ф € (-ф, ф).

Через H обозначим подпространство W^(n), образованное сужениями на П функций, заданных в D, периодических там с периодом 2ф по полярной координате ф, имеющих в любой ограниченной области из D суммируемые в степени p обобщенные производные порядка m.

Теорема 6. а) Пусть -, п — натуральные числа, не имеющее общих делителей

ф = -п, 0 < y < п. (16)

п

Тогда Pm(H) состоит из многочленов следующего вида

m— 1

p{г,ф} = q(r)+j2 rkпк(ф),

где

к=1

[(m—1)/2]

Q(r) =

г23

(17)

j=o

Пк (ф) = 0 при k < п,

[к/и]

Пк(ф) Mi'k cos(tnф) + sin(tnф)

t=1

, 3 =0, [(т — 1)/2], ¡¿{к, к = 1,т — 1, г = 1, [к/п] -б) При ф, не имеющих вида (16), Рт(Н) состоит из .многочленов вида (17).

Доказательство. Пусть многочлен Рт(Н). Представим его в виде

т — 1

постоянные.

P{г,ф} = £ гЛPк(ф),

(18)

к^

где Pk (ф), k = 0,m — 1, однородные тригонометрические многочлены относительно совокупности cos ф, sin ф степеней k.

Лемма 1. Рк(<ф>), к = 0,т — 1, периодичны по с периодом 2ф.

Доказательство. Утверждение леммы очевидно при к = 0. Будем считать к > 0. Рассмотрим вначале случай к = т — 1.

Пусть Р е Рт—1(Н). Тогда Р периодичен по полярному углу с периодом 2ф. Поэтому

д

i

df-m— i

—P {г,ф}

д

i

ф=Т

дт'

-Г P{r, ф}

р=т+2m

при всех т е (ж, ж). Отсюда и из равенства (18) следует

Рт—1(т )= Рт—1(т )(т + 2ф). Так же как равенства (20) и (19) получаем

(19)

(20)

д

г—2

-г [p{г,ф}— rm—iPm—i

drm—2

(ф)

р=т

dr

г—2

—2 [p{г,ф}— rm—iPm—i

(ф)

р=т+2-ф

Pm — 2(T )= Pm — 2(T )(т + 2ф) .

(21)

Далее, последовательно вычитая из Р многочлены высших степеней из правых частей равенств (18) и дифференцируя, аналогично выводу формул (20) и (21) находим индукцией по к, что

p^t )= Pк (т + 2ф), k =l,m — 1. Следовательно, лемма верна.

j

c

j

д

Применяя к однородным тригонометрическим многочленам степени k, суммой которых являются Pk, k = 2, m — 1, k — 1 раз формулы тригонометрии

2sin A cos B = sin(A + B) + sin(A — B), 2cos A cos B = cos(A + B) + cos(A — B),

2 sin A sin B = cos(A — B) — cos(A + B), можно Pk представить в виде

k

Pk (ф) = Ск + 5>k cos(sf) + bk sin(s^)], (22)

s=1

где ck, aks, bks, s = 1,k — постоянные. Представление (22) верно и при k = 1 с c1 = 0.

Будем далее опираться на известные свойства преобразования Фурье F обобщенных функций [9]. Аргументами оригинала и изображения будут ф, x. Обозначим: F(Pk) = Pk. Так как F(1) = 2nS(x) и

F(sin(s^)) = —in[S(x + s) — S(x — s)], F(cos(s^)) = n[S(x + s) — S(x — s)],

где S — обобщенная функция Дирака, то, применяя преобразование Фурье к обеим частям равенств (22), находим, что

s

Pk(x) = Y. XkS(x — s), (23)

k=-s

где Xk, s = —k, k — постоянные. Отсюда имеем

s

(x) = £ Xke2nsS(x — s), (24)

k=-s

Лемма показывает, что

Pk (x) = e2ni^Pk (x). (25)

Из равенств (23) и (24) следует, что формула (25) может быть справедлива, если при всех s = —k, k таких, что Xk = 0, выполняется

e2nS = 1. (26)

Пусть выполняются условия (16). В этом случае формула (26) верна тогда и только тогда, когда s^n-1 — целое число. Отсюда и из равенства (23) получим

k=[k/n]

Pk(x)= Y, XknS(x — tu). (27)

t=-[k/n]

Если k > n, то формулу (27) можно преобразовать к виду

_ [k/n]

Pk(x) = jkF(1) +J2 JfF(cos(tny)) + i4'kF(sin(tn^))],

t=i

где jk, ¡jt{k, j2k, t = 1, [k/n] — постоянные.

Следовательно,

[к/и]

Рк(ф) = /к ^^ [.{к cos(tn^) + ^2к sin(tny>)]. (28)

t=\

Заметим попутно, что из вывода формулы (28) не видно непосредственно, что в ней числа /к, ¡л{ , у«2 являются действительными. Они не могут быть не действительными потому, что правая часть ее действительна, как равная Рк (ф), а совокупность функций, состоящая из cos(tn^), sin(tn^), t = 1, [k/n] и 1 линейно независима на любом интервале.

Если k < n, то из формулы (27) вытекает, что Рк — константы .к из формулы (28). Когда k — нечетные, эти .к = 0, так как гк не являются многочленами.

Непосредственно проверяется, что все слагаемые правой части формулы (28) — периодические функции ф с периодом 2ф, где ф — величины из (16).

Аналогично устанавливается теорема в случае "б". При этом учитывается, что в нем равенство (26) не выполняется при целых s.

Следовательно, теорема верна.

Замечание 4. Так как в формуле (16) n > 2, то при ф из нее, как и в случае "б" теоремы, Рm(H) не содержит однородных многочленов степени 1. Поэтому при m > 1 Рm(H) = Рm.

Замечание 5. При n > m и ф вида (16) Рт(Н) состоит из многочленов вида (17).

Пример 4. Пусть m = 3, ф = 2-1. Тогда Рm(H) состоит по теореме 6 из многочленов

Р{г,ф} = A + Br2 + (Cсов(2ф) + D ёт(2ф))г2, A, B, C, D - const. (29)

Непосредственно проверяется, что множество многочленов вида (29) — это совокупность многочленов от x, y степени не выше 2, не содержащих одночленов первой степени.

Замечание 6. Аналогично тому, как в двумерном случае была получена теорема 5, теорема 6 может быть обобщена с рассматриваемых в ней областей Q на области Qq, заданные ниже с помощью периодических с периодом 2ф, ф € (0, п), непрерывных и неотрицательных на всей числовой оси функций а, ß следующих видов:

а) Q — множество точек {r, ф} таких, что а(ф) < r < ß(^), \ф\ < ф. При этом предполагаем, что max а(ф) < min ß(ф).

б) Qq — совокупность {r, ф} € Q, у которых \ф\ < ф.

Считаем область Q далее такой, что при

pm > n (30)

верна теорема вложения из W^(Q) в C(Q). Предполагаем, что числа p и m удовлетворяют

(30).

Теорема 7. Пусть множество п С Q не лежит на гиперповерхности порядка ниже m; Н — множество функций из W^(Q), равных 0 на п. Тогда Рт(Н) = 0.

Данная теорема является непосредственным следствием того обстоятельства, что условие на п из нее необходимо и достаточно, чтобы не существовало элемента Рт\0, равного нулю на п [10]. Условие (30) — необходимо, чтобы были определены значения функций из WPim(Q) в точках п.

Следствие. Если l — функционал ошибок кубатурной формулы вида (4), Н — пространство из теоремы 7, то оценки вида (2) всегда существуют при любых l такого вида.

Замечание 7. Оценки погрешностей приближенного интегрирования функций из пространства Н с Рm(H) имеют следующий недостаток.

Даже незначительные изменения коэффициентов кубатурных формул (например, связанные с округлением десятичных дробей, выражающих их значения), точных на многочленах из Pm(H), могут нарушать эту точность. Также малая погрешность вычислений значений интегрируемых функций в узлах формул может сделать невозможным пользоваться для оценок погрешностей неравенствами вида (2).

Этого недостатка нет у H при Pm(H) = 0, например, H из теоремы 7.

Интегрируемые функции f обычно не принадлежат Pm. В этих случаях для получения оценок приближенного интегрирования вида (2) можно выбирать H, содержащие f такими, что Pm(H) =0. В некоторых случаях перед применением кубатурных формул можно из f вычесть многочлен, после чего она будет принадлежать H с Pm(H) = 0.

Пример 5. Пусть Q, ai,... ,an — область и числа из теоремы 4, H — множество периодических функций из замечания 3, pm > n, x0 — некоторый узел кубатурной формулы, соответствующей функционалу ошибок l вида (4). Так как mes Q = 2nai.....an и

J f (x)dx = 2nai.....anf (x0) + J[f (x) - f (x0)]dx,

n n

то, если совершить переход от пространства H к его подпространству Ho = {g : g G H, g(x0) = 0} с Pm(Ho) =0 из теоремы 4, получим при некоторой постоянной K оценку

\(l(x),f (x) - f(x0))| < K\\f (x) - f (x0)\\Lm(n) = K\\f\\Lm{n),

которая будет корректна относительно малых изменений ек, /(хк), к = 1, N.

Замечание 8. Важными задачами, связанными с работами С. Л. Соболева по теории приближенного интегрирования, являются проблемы построения последовательностей решетчатых кубатурных формул, зависящих от шага сетки узлов к, асимтотически оптимальных в подпространствах Н пространств Ь[1-5]. Последовательности функционалов ошибок таких формул {¡н} называются асимптотически оптимальными в Н.

Пусть {¡н} — асимптотически оптимальна в Н, — разностные операторы с носителями, принадлежащими множествам узлов кубатурных формул, соответствующих 1Н, равные 0 на Рш. Тогда, если числа Х(к) достаточно малы по абсолютной величине, то {¡н + Х(к)Ан} будет асимптотически оптимальной в Н.

Теорема 1 позволяет указанным выше способом строить новые асимптотически оптимальные последовательности кубатурных формул в Н, если равны 0 на РП1(Н). Следовательно, её применение позволяет при т > 1, так как тогда Рш шире РШ(Н), расширить класс асимптотически оптимальных последовательностей кубатурных формул, если

Н = Ь?(П).

Замечание 9. В списке литературы работы [6] название статьи [5] было приведено неточно. В нем вместо слова "решетчатых" было написано "развертывающихся".

Работа поддержана аналитической целевой программой Министерства образования и науки РПН.3.1.1.5349, РФФИ, грант № 07-01-00326.

Автор благодарит к.ф.-м.н. Сидорову Т. В. за помощь при подготовке текста этой статьи.

Список литературы

[1] Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул / С.Л. Соболев. - М.: Наука, 1974.

[2] Соболев С.Л. Кубатурные формулы / С.Л. Соболев, В.Л. Васкевич. - Новосибирск: Изд-во ин-та математики СО РАН, 1996.

[3] Половинкин В.И. Декартовы произведения формул прямоугольников и формул с регулярным пограничным слоем / В.И. Половинкин // Пятое советско-чехословацкое совещание по применению методов теории функций и функционального анализа к задачам математической физики: материалы совещания. - Новосибирск: Изд-во Ин-та математики СО АН СССР, 1978. С. 248-250.

[4] Носков М.В. Приближенное интегрирование функций, периодических по некоторым переменным / М.В. Носков // Теоремы вложения и их приложения. № 1. - Новосибирск: Изд-во Ин-та математики СО АН СССР, 1982. - С. 93-102.

[5] Носков М.В. Асимптотически оптимальные кубатурные формулы на решетчатых поверхностях / М.В. Носков // Применение функционального анализа к уравнениям в частных производных. - Новосибирск: Изд-во Ин-та математики СО АН СССР, 1983. - № 2. - С. 103-112.

[6] Половинкин В.И. Об интегрировании функций, заданных на линейных многообразиях пространств С.Л. Соболева / В.И. Половинкин // Труды КГТУ. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2006. № 2-3. - С. 204-208.

[7] Рудин У. Функциональный анализ / У. Рудин. - М.: Мир, 1975.

[8] Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / С.Л. Соболев. - М.: Наука, 1988.

[9] Брычков Ю.А. Интегральные преобразования обобщенных функций / Ю.А. Брычков, А.П. Прудников. - М.: Наука, 1977.

[10] Мысовских И.П. Интерполяционные кубатурные формулы / И.П. Мысовских. - М.: Наука, 1981.

On Exactness of Cubature Formulas in S. L. Sobolev Spaces

Vladimir I. Polovinkin

Siberian Federal University 79 Svobodny, Krasnoyarsk, 660041 Russia

It is established conditions which are necessary and sufficient in order that error Junctionals of cubature formulas will be limited in spaces U^, corresponding to considered sets of integrable functions, defined on limited subsets of cylindrical and conal surfaces.

Key words: cubature formulae, error funtionals, U^ spaces, approximate calculation of integrals.