Новый алгоритм асимптотически оптимальных решетчатых кубатурных формул Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 2. № 3 (2010). С. 63-82.

УДК 519.64 + 517.518.87

НОВЫЙ АЛГОРИТМ АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕТЧАТЫХ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ

М.Д. РАМАЗАНОВ

Аннотация. Решетчатые кубатурные формулы служат для приближенных вычислений интегралов гладких функций нескольких переменных, / /(х)йх, с помощью лип

нейных комбинаций Нп ^ Ск/(Нк). Асимптотически оптимальная формула на

к 62",

НкЕ.О,

' '/

-пространстве определяется равенством sup

f ewm(n)

f f (x)dx — hn Y1 ctsf (hk) П hfceQ

inf sup

{ck} f ew2m (П)

f f(x)dx — hn Y. Ckf(hk) П hk£Q

= 1.

К.И. Бабенко принадлежит понятие ненасыщаемости вычислительных алгоритмов [7] — сохранения оптимальных порядков сходимостей для всех пространств функций, являющихся параметрами задачи.

В работе описан новый алгоритм построения решетчатых кубатурных формул, ненасыщаемых не только по порядку, но и по свойству асимптотической оптимальности на Wm -пространствах, m E (n/2, то).

Ключевые слова: кубатурные формулы, оптимизация, ненасыщаемый алгоритм

1. Введение

Решетчатые кубатурные формулы дают приближенные значения интегралов J dxf (x)

п

по многомерным областям П С Rn в виде линейных комбинаций значений подинтеграль-ной функции в узлах выбранной решетки.

KN f = det HN ■ ck (N )f (HN k), HN —матрица n x n, det HN = |H|/N.

kGZn,

В конце 60-х годов прошлого века С.Л. Соболев [1]—[3] предложил алгоритм формул высокой точности, объединяющий подходы функционального анализа и алгебраический. Именно, гладкость интегрантов задавалась принадлежностью их конкретному банахово-му функциональному пространству B(П) С C, качество формулы определялось нормой функционала погрешности

lN : f ^ f dx f (x) — KN f, с оптимизацией по коэффициентам {ck}. п

lnopt = arg min 11$||[В(П}|*. (1)

Щ ,{ck}

А сам алгоритм строился как сумма локальных формул для интегрирования по элементарным ячейкам решетки QN,k = {x| H— x — k E [0,1)n} с помощью алгебраических формул с теми же узлами, точно интегрирующих многочлены до некоторой степени M, связанной

M.D. Ramazanov, New algorithm for asymptotically optimal lattice cubature formulae. © Рамазанов М.Д. 2010.

Работа поддержана РФФИ (грант 09-01-00349-a).

Поступила 5 июля 2010 г.

с гладкостью интегрантов. С.Л. Соболев установил, что при N ^ ж последовательность функционалов погрешностей таких формул обладает свойством асимптотической оптимальности:

Иг^'Ида)]- ■ (1 + о(1)) (2)

іП, ав і

I

[Я(П)]*

на пространствах интегрантов В(П) = (П) с полунормой

I ь2т) (ад

|а|=т

/( ^ “г1па/(х

1/2

Свойство асимптотической оптимальности было установлено и для многих других банаховых пространств, обычно употребляемых в вычислительной математике [2]—[6]. Важнейшей особенностью соболевского алгоритма является свойство пограничного слоя: узлам, удаленным от границы области на расстояние больше O(N-1/п) соответствуют одинаковые коэффициенты:

ЗЬ, Ук, N ^ (Имк, дП) > LN-1/n ^ Ск = 1. (3)

Это на порядок уменьшает объем вычислительной работы и позволяет установить для таких формул фактическую эквивалентность асимптотической и порядковой оптимальности на соболевских пространствах [5].

Заложенная в алгоритме алгебраическая точность локальных формул на всех многочленах до некоторой степени М проявилась в условной «асимптотической ненасыщаемости» алгоритма. Именно, построенная последовательность кубатурных формул остается асимптотически (при N ^ ж) оптимальной на каждом пространстве с т Е (п/р, М), то есть

в ослабленной форме удовлетворяет введенному К. И. Бабенко определению ненасыщаемости. (У К. И. Бабенко [7], [8] универсальна порядковая оптимальность без ограничения сверху на гладкость интегрантов). Ненасыщаемость — важное свойство вычислительных алгоритмов, позволяющее созданным по ним программам автоматически настраиваться на проявляющиеся характеристики гладкостей параметров задач, обеспечивая наилучшие скорости сходимостей аппроксимаций.

В настоящей работе мы ограничиваемся кубической решеткой узлов И = Н1п, N = Н-п, и предлагаем новый алгоритм решетчатых кубатурных формул

Кь! = Кп ^2 СкI(Ьк), обладающих свойством ограниченного пограничного слоя и являю-

кеЪп

щихся асимптотически ненасыщаемыми на всех пространствах Ш2т(Шп) с т > П.

Сначала выводим формулу коэффициентов оптимальных кубатурных формул для интегралов более общего вида 1^1 = / йх <р(х)/(х) и на более общих пространствах (Кп).

Норма их задается равенством

1/2

II/ I WÏ(Rn)||

/(С

с довольно произвольной функцией ^. Затем упрощаем выражения оптимальных коэффициентов, отсекая слагаемые, порядки которых пренебрежимо малы по сравнению с главным членом.

Таким образом, мы приходим к формуле коэффициентов асимптотически оптимальной кубатурной формулы с ограниченным пограничным слоем.

Далее мы ограничиваемся частным случаем с весовой функцией <£>, являющейся характеристической функцией области интегрирования, и изотропной функцией ^, ^(2п1^) = (1 + |2п£|2)т/2. Окончательно, упрощая формулу коэффициентов в пограничном слое, получаем коэффициенты асимптотически ненасыщаемой формулы.

2

2

2. Формула коэффициентов решетчатой кувлтурной формулы, оптимально аппроксимирующей интегралы с весовыми функциями

Определим пространство (Кп) как пополнение в норме (4) множества С0°(Кп) фи-

нитных бесконечно дифференцируемых функций.

т йх! (х)е-2*,х«

— это преобразование Фурье функции /; ^ : Кп ^ С — функция с конечным интегралом [ й£/|^(2пг£)|2 < ж, что обеспечивает вложение Ш2*(Кп) в пространство непрерывных

К"

функций С(Еп).

Без ограничения общности будем полагать ^ бесконечно дифференцируемой, четной, не обращающейся в нуль нигде и равной единице в начале координат, ^(0) = 1. Кроме того, мы полагаем, что функция ^ имеет не более, чем степенной порядок роста. Точнее:

З т" ^ т > 0, З С> 0 (1 + |£Г'/С) ^ |М2пг£)| ^ (1 + |£Г" ■ С).

Мы берем ^(2пг^) символом гипоэллиптического псевдодифференциального оператора

: 1 (х) ^ М^)!(х) = ^ (С)^(2п*С)е2пг?.

Гипоэллиптичность означает выполнение условия З р Е (0,1] Уа Е Z+ З Са : € Еп

Daß(2ni£)

C

< _______а_____ (5)

- (1 + |Є|)рН-

В этой работе основным частным случаем будет ß(2ni£) = (1 + |2п£|2)m/2 , т > n/2. Обычное обозначение этого пространства, взятого в одной из эквивалентных нормировок W2m(Rn).

Как мы уже указали, качество кубатурной формулы характеризуется [W^(Rn)]*-нормой ее функционала погрешности : f ^ f — Khf.

Оптимальные коэффициенты определяются условием

{cf (h)} = arg min ||Х* — Kh | [W(Rn)]*||.

{ck}

Следует заметить, что мы берем кубатурную формулу с суммированием по всем узлам {hk | k Е Zn}, требуем принадлежность функционала Kh пространству [W^(Rn)]*. Функционал погрешности оптимальной кубатурной формулы l^,opt = Iv — K^* должен удовлетворять условию

||lN,opt | [W(Rn)]* II = inf ||I* — Kh | W(Rn)]* II.

{ck}

В гильбертовом пространстве шар слабо компактен и слабо замкнут. Поэтому мы можем описанную выше операцию инфимума нормы в [W^(Rn)]* || заменить на нахождение минимума нормы. При этом аргумент минимума — единственный и оптимальный функционал погрешности — однозначно определен.

Первой нашей целью является получение формул оптимальных коэффициентов и выписывание их асимптотики по параметру h до такого порядка, который позволит заменить оптимальную кубатурную формулу асимптотически оптимальной Khsf, см. (2), с более простым алгоритмом вычисления коэффициентов.

Коэффициенты кубатурных формул естественно считать комплексными,

Ck = c\ + ick. Поскольку квадрат нормы функционала погрешности является положительным многочленом второй степени от {cj1 ,ck}kezn, уравнения, которым подчиняются

оптимальные коэффициенты, задаются формулами

9 ,, rmt . ги ч т*. || О 9

0 = dCi№,opt I [WWII2 = dC2ll¿ropt I [ВДк")]!2

-'k k

Прямыми вычислениями они сводятся к одному равенству

e2ni£hj

0 = dt e

\M2nit)|2

да - ft" £

opt -2ni£hk

ck • e

Vj G Z" .

R keZn

где <p(£) = f dx tfi(x)e-2niX. Сходимость этого интеграла обеспечивается нашими основны-

Rn

ми предположениями о весовой функции <^. Именно, считаем носитель функции замыканием п—мерной области П, ограниченной гладкой границей Г, а саму функцию бесконечно дифференцируемой в П,

supp <р = П т Rn, дП = Г G C~ v G С~(П). (6)

Эти ограничения впоследствии можно будет ослабить до естественных пределов, включающих обычно употребительные функции весовых интегралов.

Займемся решением уравнений оптимальных коэффициентов.

Интеграл по £ разобьем на отдельные блоки:

t ^ Л”

t = т + П, t G Z", п G Q/h, Q = h

1 • 1)" ./d£= LZ dn.

/ ^ +c.r7/n ”

Rn tfcZ Q/h

Теперь

h" E сГ / dne2nin(j-k)h ¿2 1

k€Zn Q/h t€Zn \M2ni( h + n))|2

= f drne2ninjh У' ______^(h + П)_____

Q/h П tkn \ß(2ni(h + n))\2 .

Сделаем замену переменных h • n = Z

E cf / d(e2niZj-k) E 1

k€Zn Q t€Zn \M2ni(t + С)/h)|2

= h-" Г dZ e2niZj y' ^((t + С)/h)

Q С ¿zn \^(2ni(t + С)/h)|2.

Обе части равенства умножим на e-2niaj и просуммируем по j G Z" :

1

Е e-2niaj J dZ

jezn Q

У' coPte-2niZk __________

,k€Zn t€Zn \M2ni(t + С )/h)|2J

e2ni(j

E e—2niajJ dZ e2niZj

j€Zn Q

h-^ ^((t + Z )/h)

teZn \M2ni(t + Z )/h)|2

Заменим на —] и заметим: в правой и левой частях равенства стоят ряды Фурье по ] с коэффициентами от функций, заключенных в квадратные скобки. Значит, равны сами функции. Отсюда следует

\ Л орЬ -2тСк у,-п \ Л

р(^ + С )/Щ ____________1______

¿пСк е У 1ММ*+С)М)|27¿П |ММ*+С)М)|2.

Заменим ( на — ( и заметим, что сСкР — это коэффициенты ряда Фурье функции, стоящей с правой стороны равенства.

По формулам для коэффициентов Фурье получаем

г Е — С)/Ь)/Ы2пъ(Ь — С)/Ь)|2

орг _ ш,(,) = . ь-п^ег™_____________________________

к “ к ( ) 1 С Е 1/|^(2п*(Я — с)/Ь)|2

Я эеъп

Если ввести функцию непрерывного аргумента (и переменить £ на — £ )

г Е да+с)/ь)/|м2да+с)/ь)|2

Сорг(х, Ь) = й(в2пгСх/к • н-п1еъп ^——-------- ---——----------

] Е 1М2пг(8 + С )/Ь)|2

Я вегп

77и

то

сГ(Ь) = Сор‘(х,Н)\х=кк , Ук Е Тп . (8)

Назовем СорЬ(х,Ь) функцией оптимальных коэффициентов.

Сформулируем полученный результат.

Теорема 1. Равенства (7), (8) задают коэффициенты кубатурной формулы, оптимальной на пространстве Ж^(Кп).

3. Оценка порядка точности вычислений при получении функции асимптотически оптимальных коэффициентов

Асимптотическая оптимальность функционала погрешности означает, что отличие его нормы от нормы оптимального функционала есть величина бесконечно малая по сравнению с нормой асимптотически оптимального функционала. В наших гильбертовых пространствах оценка разности норм может быть заменена на оценку нормы разности оптимального и асимптотически оптимального функционалов. Покажем это, обозначая для краткости [—^(Кп)]* — норму I через ||/||* и эквивалентность порядков знаком х .

111(р,аз11 _ \\1^,орг\\ 111(р,аз112_ \\]<р,орг ц2 /\\1ф,аа _ 1<р,<0рг

0 < II* _ \гЬ, II* 114 II* ^ I 114 II*

Г“11. (\1С'1\. + \\1Г‘ 1\,)\1С'1\. V клі.

и это должно быть о(1) при Ь ^ 0. Лемма 1. Если <р ф 0, то

1

>,ав |

* |[-2- -- и-2---

Доказательство. Очевидно, для любого функционала погрешности и любой функции

и е -деп)

|1С|[И'Т(Кп)]*|| - |(С и)|/||и|И'У(Еп)||.

Подберем подходящую функцию и. Наша функция и будет неотрицательной и обращающейся в нуль в каждом узле Ьк. Поэтому |(/^,и)| = | / йх^(х)и(х)|. Так как непрерывна

п

и не является тождественным нулем, то она отделена от нуля на некотором множестве Ш, |^(х)| \хеш — с > 0.

Можем полагать, что ш имеет форму прямоугольного параллелепипеда

п

ш = П [а,], Ь3], целиком помещающегося в единичном кубе [—1/2,1/2)п.

3 = 1

Обозначим эту область срезывающей функцией. Пусть к(Ь) — «гладкая ступенька»: бесконечно дифференцируемая, неотрицательная, монотонная, с графиком, симметричным относительно точки (1, 2) , к Е С^, К(Ь) — 0, к(Ь) = 0 при Ь < 0 и к(Ь) = 1 при Ь — 1,

К(2 — Ь) = К(2 + Ь). Положим 9(х) = Пп=1 к () • к ^, подобрав параметр т так, чтобы множество, на котором в(х) = 1, было достаточно массивным:

/ п 1 п

йх в(х) = Д(6] — аз — т) — - П(Ь3 — аз) = |йиРР ви2.

3 = 1 3 = 1

Возьмем и(х) = 9(х) • [^(х) — ^(0)], где Уь,(х) — экстремальная функция однородного функционала погрешности ¡1 (х) = (х) — Ьп Е ^(х — hk), = [— НЬ, НЬ)п с

Н = [([1/Ь] + 1)/2] (квадратные скобки последней формулы означают целую часть числа).

Й = К | (№№))*||. и | й^ши = 1.

Пространство —2*(^) состоит из периодических с основным периодом функций

/ (х) = Е /к е2ткх/2НН с /к = (2НЬ)-п / / (у)в-2жгу/2Нкйу и конечной нормой

кегп я

г 1/2

| -ТШН = (2НЬ)-п/2 ( £ |/к^(2пгк/2НЬ)|2 '

\кеЪп

Как известно [6], экстремальная функция У^(х) имеет еще и маленький период Ь, У^(х + Ьк) = У^(х), Ук Е Тп, и вещественна и всюду не меньше своего значения в нуле, Ун(х) — ьн(0) — 0.

Таким образом,

К | (-2,‘(*п))*В — с• £ [йхЫх — Ь]) — %(0)]/||(% — Щ,(0))0 | -де-)!

в\1ТП=1 ъя

Числитель этой дроби есть ^ [dx[vh(x - hj) - Vh(0)] = l{x 1 ” / dx[vh(x)

_ i i^h(x) vh

hn /

jGZn,

0(hj) = 1hQ hQ

= |{x | 0(x) = 1}| ■ (2Hh)-n ■ (lh,vh - vh(0)) = |{x | 0(x) = 1}| ■ (2Hh)-n ■ (/Ц,Vh) =

= |{x | 0(x) = 1}| ■ (2Hh)-n ■ ||lh | (W(Qh))l =

\ 1/2 / \ 1/2

^ |^(2nis/h|-2 | = |{x 1 0(x) = 1}|- (1 + 0(h)) I ^ |^(2nis/h|-2

4«eZ n\0 J yseZn\0

При оценке знаменателя учтем известную эквивалентность норм W2 (Rn) и W(Qh) для функций, сосредоточенных в int Qh, и гипоэллиптических символов ^. Благодаря этому

II(vh - vh(O))0 | W£(Rn)|| ^ const ■ II(vh - vh(O))0 | W2M(Qh)|| ^

^ const ■ ||vh - vh(0) | W%(Qh)H ^ const.

Итак,

1/

| (W^(Rn))*|| ^ const ■ i 1/|^(2nis/h|2

s€Zn

Следствие 1. ||/£ | (W2m(Rn))*|| ^ const ■ hm

(Можно показать, что для оптимального функционала выполняется и обратная оценка

lh°pt I (W2m(Rra))*H ^ const ■ |supp 2 ■ hm ).

4. Упрощение формулы коэффициентов для узлов, достаточно удаленных

от области интегрирования

Возвращаясь от переменных Ь Е Тп, С Е Q к £ = + ^, можем написать

Ь

/г p2ni(x-y)£

dy'Av) J d£ |^(2п-^ )|2 v(t,h), где v(i,h)

JZ- Ы2™ h + с)|2

Функция £ ^ v(£,h) бесконечно дифференцируемая, периодическая с основным периодом Q/h. Мы накладываем условие

dist (x, П) ^ ф(Ь) = o(1) при h ^ 0.

и хотим воспользоваться этим, чтобы упростить выражение Copt(x, h). Зададим финитную функцию а(£,5) = nj=i[1 — к(|£j|h — 2)] с некоторым 5 > 0. Рассмотрим часть функции Copt(x, h) вне O(h-5) окрестности начала координат переменных £.

/г f2ni(x-y)S,

dVV(V) J d£ |^(2ni£)|2v(£,h)[1 — v(£,5)].

П Rn

Теперь подготовим удобное нам интегрирование по частям в интеграле по £ с вычислением первообразных от e2m(x-y)£ . v(£,h). Пусть будет

(x — y

v(£, h). ■ e2ni(x-y)i = Af (e2ni(x-y)i ■ f (£)). Вычислим f (£) как решение этого уравнения.

Af (д(£ )f (£ )) = Af

(С) =

? I / ^9(Ь) • /(х — Ь)

Vй У

= J ¿хв2тХ У &д(Ь) • / (х — Ь) = J dx J dt (2т)2Мд(Ь) • / (х — Ь)в2тХ ф I

Для упрощения формулы возьмем N четным числом.

I = (2п)2М J dx I dt (Щ2 + 2(Ь, х — Ь) + |х — Ь|2)мд(Ь)/ (х — Ь)е2пгх« =

= (2п)2М [ dx ! dte2mxi • ^ С% ^ • (2(Ь, х — Ь))“2 |х — Ь|2аз д(Ь)/(х — Ь).

«1+«2+аз=^

(2(Ь, х — Ь))“2 = 2“2(Ь1(х1 — ^) + ... + Ьп(хп — Ьп))а2 = 2а Е С^(х — Ь)в. Поэтому

вег+, в1 + ...+Рп=а2

1

I = (2п)2х ^ 5] сх с>12а- •

аі+а2+аз=Х ві+...+вп=&-2

• !ііх [Ііе2'іх((і*!2“1 • івд(і)) • (|х - і|2“3(х - і)в}(х - *)) =

= (2п)2К £ £ С СЦ, 2“2 ^ •

аі+а2+«з=-Х ві+---+вп=а2

• [ Ііе2гіх((И2“1 • івд(і)) • (|х - (|2“3(х - ()в}(х - *)) =

= (2п)2Х£ £ СХ с£ 2а2 •

аі+а2+аз=Х ві+---+вп=а2

• (2п,;)2аі+2,,ві+...+Д.)+2аз д(0)(«’ДГ/«))

Применим эту формулу к д(£) = е2т,х-у)£

дм ^(^ = (2п)2Х £ £схС£22а2 (2пг)2аі+ві+...+вп•

аі+«2+аз=Х ві+...+вп=«2

• (х - у)в • |х - уІ2аіе2жі,х-у)і • Бвдаз f (£) = е2жі,х-у)і • V(£, к).

Относительно f (х) получили уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами. Это эллиптическое уравнение — с главным членом Д^мf (£). Р(D)f (£) = V(£, к). Характеристический многочлен дифференциального оператора есть

P(2nit) = (2n)2N £ £ CNC“2 (x - y)e|x - yl2ai (2ni)2“1+2“2+2“3■

“l+“2+“3=N ві+...+вп=«2

■ te|t|2“3 = (2n)4N ■ [|t|2N + \x - y|2N+

+ E E (J“ci(x - y)eix - yi2ai ■ ^iti2“3].

ai+a2 + a3 = N ві + — +вп=а2 ai=N=^3

Замена переменных t = т |x - y| дает P(2піт|x - y|) = (4n2|x - y|)2N[|т|2N + 1 +

+ E C'a Eci (ÏÏX-S ■ тв|x - yi2“1 ■ |т|2“3] = (4n2|x - y|)2NQ(t).

a 1 -I- a о + ao =N в л +... + вг, = a о ' | У | /

Отметим:

в

|x - y|J ' — |x - y|

Рі + ...+Рп=а2

вег+

Фундаментальное решение дифференциального оператора Р(Б) можно задать формулой

/е2пг& г е2піт£\х-у\

dtP(2Ш)=І^=т'x-‘^=|X - У|П У ІТ (4п2|х - у|)2Хд(т) .

Гп ГП/ \ х — у \

Здесь Гп — это п -мерная поверхность в Сп — лестница Хёрмандера для многочлена Р(2пг£), [9], а Гп/|х — у| — соответствующая лестница Хёрмандера для многочлена

Я(т) = |т|2М + !+ X] СМ(ех-у,тГ2|т|2аз с |т|2 = + ... + т2

а-1+а‘2+а3 = ^ aí = N = аз

с может быть комплексными т\,... ,тп. Фундаментальное решение гладкое при достаточно большом М, Ф^ € С2М-п.

Отметим еще: вещественные корни многочлена Q(т), {т | т € Кп, Q(т) = 0} , если они есть, остаются в ограниченной области равномерно по параметрам (х—у). Поэтому лестницу Хёрмандера можно построить так, чтобы фундаментальное решение экспоненциально убывало при |£| ^ ж, £ € Кп.

Подходящее нам решение дифференциального уравнения Р(^)/(£) = V(£,к) можно выписать в виде свертки этого фундаментального решения с правой частью /(£) = / ¿П фN(П) ■ V(£ — п,к).

К"

Итак,

С?‘(х,к) = у іу^(у)у сЦе2*'^/(С)Д.

П Кп

[1 - °(С,6)]

ГГ [' Г е2п'тЦх—у|

(2п)-ш ¿у^(у) е2ж'(х-у)Ч ¿п |х - уГ^ іт V(І - пЛ)-

А

1

^2(2піІ)

Гп/|х-у| [1 - *(£,*)]) =

Я(т)

п—2N

іС I ¿П ФN(п|х - y|)v(С - п,к)

1

$п ГОп

А

N

м

^2(2піІ)

■[1 - ^(С,^)]

где Ф N (п|х - у|) = / ІТ

е2пітпІх-уІ

Гп/|х-у| Q(т)

Для гипоэллиптического символа ^(2пг£) (5) имеем

А

1

^2(2п*С)

[1 - ^(С,^)]

1

1

N

тах

|^2(2п*С)| \М>^ (1 + |С|)2^

+ к

6-2N

С,

N

^2(2п*С)|

(кр + к6

2N

Полагая ф(К) = 0(к1) с 'у < тт{р, £}, получаем

С^1 (х, к) І ^ еопві

к2^

Ф(к)

2^—п

1

¿п ФN (П|х - У|)v(С - П,к)] .Л.,2

зз |v(2пi0|

|?К^-5 кп

1

Внутренний интеграл допускает такую оценку

Ііп ФN(п|х — у |) V(С — п,к)

£ Н-' [ і( ФN

п

*Є2'

к-

і + с к

к

/ (с- Н-н) £Ф

^ + С і і

N1 ■|х - у|

1/2>

Теперь, чтобы сделать С^г(х,к) = о | [ Е 1/^(2пis/к)

достаточно взять боль-

«€2П\0 шое N.

При соблюдении этого условия мы можем пренебречь членом С^р*(х,к), переходя от оптимальной формулы к асимптотически оптимальной.

Таким образом,

Саз(х,к) = J ¿у ^(у) у ¿Се

П мп

2п'(х-у)£

V (С,к) |р(2п*С)|2

а(С, 8) при ¿ібі (х, П) ^ О (к7),

и

Са"(х,к) = J ¿у^(у) J ¿Се2п'(х у) Д ПРИ ^ (X, П) ^ О(к1).

В варианте сИв1 (х, П) ^ 0(к7), возможно уточнение оценки. Благодаря условию |£| ^ 0(к-ё) на носителе а(£,8) после замены £ = | + П, Ь € Ъп, п € Q/к остается только слагаемое с Ь = 0. Поэтому

С“(х,к) = [ ау<р(уу) ( Л,е-2"уМп.8) ■ ——------- 1 -------2 =

П п/ь Е |^(2пin)/^(2пi(^ + п))|

П П/Ь

= [ ¿у^(у) ! ¿п в-2пгупа(п,8)(1 — р(п,к)) п п/ь.

Р(П,к) =£ р(2піП)/Р(2пі( к + п)) / (1+£ |р(2піП)/^(2пі( к + п))

к .

«€2п\0 V «€2п\0

Подберем достаточно малое 8 так, чтобы с некоторым Л > 0 было

!М2піп)|2 ( £ |р(2піз/к)|

«Є2п\0

1/2

1/2

^ С ■ к-2т"6 ( £ |р(2п^/к)|

«Є2п\0

-2

О(кх). (9)

с

2

Тогда

v (£,h) 1

ІМ2^)!2 і+ Е И2п^)|2/|M2ni(s/h- £))|2

s€Zn\Q

1 + О I £ l^(2nis/h)l 2 I ■ И2п^)|2 =

ks€Zn\Q J

/ / \ 1/2 \

и можно исключить из рассматриваемой формулы

1 + о

v (C,h)

£ !^(2nis/h)|

-2

у ys€Zn\Q у у

!М2п^)!2’

Получаем с y < min{8, р}

{/ dy^(y) / dFo(F,8)e2m(x-v^ если dist (x, П) ^ 0(hY),

° Rn (F h)

/ dy V(y) / d^ V9 ^ |2e2ni(x-v)i, если dist (x, П) ^ 0(hl).

Q Rn |P(2n*F )|

Заметим, что

n „

d£a(£,£)e2ni(x-y)i = П / d£j (1 - х(|&|h - 2))e2ni(xj-yj* j=i ^

h-n Д / dr (1 - k(|t| - 2))e2ni(xj-yj)T/hS

j=1 |t |<4

Функция / д,т (1 — к(|т| — 2))в2жит = Т(¿), принадлежит известному пространству 5 быстро убывающих функций. Значит,

I

d£a(£,6)e2ni(x-y)t

< const h-n------------ 1

П(1+ |x- j4 M

с любым M. Следовательно

,s \M

I ^ const h-Sn(= O (h-Sn+(S-Y)M)=o(hm") = o I £ |p(2n*s/h)|-2

'^( )' \sEZn \0

при достаточно большом M.

Поэтому мы положим Cas(x, h) = 0, если dist (x, П) ^ 0(hY) и y < min{8, р}. Приведем в пример пространство Wm(Rn). Для |F| ^ c ■ h-

|p(2n*F)|2 / £ |^(2nis/h)|-2 ^ const h 2m5+m.

V s€Zn \0

Чтобы это было порядка 0(hx) с Л > 0, достаточно положить Л = m(1 — 28) и 8 £ (|, 1) . При этом min{8, р} = min{8,1} = 8 = 1 + е с Vei £ (0, . Значит, можно взять любое

Y < 2.

Итак,

( 0, при dist (x, П) ^ 0(hY)

C ^, h) = < J dy p(y) JdF (1 ^ (2’/F)2)m e2ni(X-V)i , если dist (x, П) ^ 0(hY).

1,0 Rn (1 + |2nF| )

5. АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ КУБАТУРНОй ФОРМУЛЫ В СЛУЧАЕ ФИНИТНОЙ БЕСКОНЕЧНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ ВЕСОВОЙ ФУНКЦИИ p

Пусть p £ С0°°(П).

За основу опять берем формулу оптимальных коэффициентов

г Е p((t + С)/h)/l^(2ni(t + с)/h|2

Copt(x, h) = d(e2mCx/hh-n——=——------- ---——---------.

( , ) J Z E 1/|^(2nz(s + Z)/h|2

Q sezn

Лемма 2.

Cas(x, h) = Copt(x, h) ■ (1 + o(1)) = p(x) ■ (1 + o(1)).

Доказательство

Оценим p((t + Z)/h). p(F) является элементом пространства S бесконечно дифференцируемых функций, убывающих на бесконечности вместе со своими производными быстрее

любой степени |F| . Поэтому при t = 0 |р ((t — Z)/h)| ^ const -----м = 0(hM) с

любым M. В частности, при t = 0

(1 + |t — Z |/h)

1 р((* + С)/к)| = о I £ (1/|р(2п^5/Ь|2

Значит, для асимптотически оптимальной функции достаточно оставить только слагаемое с * = 0

Ca‘(x, h) = dZe2niZx/h ■ h-n ■ P(Z/h) ■ 1/И2т(/Ц2/ £ 1/И2пг(« + Z)/h|2.

Q

Здесь тоже выделим слагаемое с s = 0.

2

s€Zn

Cas(x,h) = j dZe2mCx/hh~np (Z/h) —

Q

^(2п<//|2

E

f о -a ¡u seZn\0 |M2nz(s + Z)/h|2

— I dZe2mZx/hh~np (Z/h) \ , ,o__.;; 2

./ . + v |^(2n*Z/h|2

Q 1 + 2_>

^"\0 И2™^ + С)/к|2

Первое слагаемое есть

I ¿(е2тСх/кк-пр ((/к) = I ¿п е2пщхр (п) = р(х) + I ¿п е2пщхр (п).

3 д/ь жп\д/н

Остаток / ¿п е2пщхр (п) = о [ Е ]—77—. ,, ч[2 ) , так как р € Б.

жп\д/ь, \веъп\о |М2п*з/к)| у

Поэтому первое слагаемое в формуле Сая(х, к) заменим на р(х).

Оценим второе слагаемое. Пусть 8 Е (0,1) удовлетворяет условию

/1/(е 1

тах \а{2піС/К)\ = о К|<л4' ^

V

1>ет»\о И2™/к)\2

Тогда дробь, выписанная в формуле второго слагаемого,

^(2п</к|2 ^"\о Ы2™(з + ()/к|2 1+ ^ H2пi(/k|2

«€2П\0

^(2Ш(8 + ()/к|2

не превосходит о ( Е I /о 1 мч|2 \sezn\0

А для |£ | > к5 используем то, что вся эта дробь меньше 1. Поэтому соответствующая часть интеграла по £ допускает оценку

к п / \<^{(/к)\ ^ еопві ■ к п / —-, Л /7 , чМ с любым М.

сед, сед, (1 + |С/ь|)

|С|>^ |С|>^

Очевидно, что при достаточно большом М это есть

0{к(1 - г)(м - п))

о

/

Е

1>ет»\о И2™/к)|2

Таким образом, мы показали, что при р Е С0° можно положить

Саз(х,к) = р(х).

6. Функция АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ВНЕ

ПОГРАНИЧНОГО слоя

Теперь покажем, что для внутренних узлов, удаленных от границы Г, области больше, чем на ф(к), в асимптотически оптимальной формуле можно полагать значения коэффициентов Ск(к) равными р(кк). Действительно, функцию р Е Сте(П) через гладкую границу Г можно продолжить с сохранением гладкости любых порядков производных вне области

— на все пространство. Причем вне некоторого шара {х | |х| ^ Я} можно считать р(х) ф 0.

Для оптимальной кубатурной формулы, выписанной для области {х | |х| ^ Я}\П, внутренность П будет внешностью. Соответственно, сохраняя асимптотическую оптимальность, можно полагать коэффициенты нулевыми для узлов, лежащих внутри П на расстоянии ф(к) от границы Г. Разность асимптотически оптимальных формул для области {х | |х| ^ Я} с р Е С™ ({х | |х| ^ Я}) и области {х | |х| ^ Я}\П будет асимптотически оптимальной для области П с р Е Сте(П).

Очевидно, ее коэффициенты в узлах из П, удаленных от границы Г на расстояние большее ф(к), будут равны значениям весовой функции р(х) в этих узлах.

В частности, для р(х) = Хп(х) — характеристической функции области П, в этих внутренних узлах коэффициенты равны 1 . Таким образом, в этом отношении полученные формулы являются естественными обобщениями кубатурных формул с ограниченным пограничным слоем. Здесь следует отметить, что прежнее определение ОПС формул [6] ограничивало толщину пограничного слоя порядком О (к). Пограничиный слой наших формул толще, имеет порядок ф(к). Поэтому изменим определение свойства ОПС, разрешив большую толщину пограничного слоя. Пусть теперь требуется, чтобы толщина пограничного

1

слоя была o(1) при h ^ 0. Это сохраняет основные качественные свойства решетчатых ОПС формул, полезные в приложениях, в частности, утверждение об эквивалентности порядковой и асимптотической оптимальностей решетчатых ОПС формул на семействах Wpm пространств [5].

Предлагаемые формулы являются асимптотически оптимальными на каждом W^R”) — пространстве интегрантов, вложенном в C(R”).

Сформулируем этот наш основной результат

Рассматриваются решетчатые кубатурные формулы Kh(f) = h”E ckf (hk), приближа-

fceZn

ющие интегралы с весом I(f) = f dx p(x)f (x). Весовая функция предполагается гладкой

RK _ _ в ограниченной области П с гладкой границей Г : supp <р С П, <р G Сте(П), Г G .

Интегранты f принадлежат пространствам W^R”) с нормами

\

d'l/(0 ■ М2піІ)|2, / <1(И2пФ|2 < X.

Другие свойства функций р перечислены в начале пункта 2.

Теорема 2. Асимптотически оптимальная решетчатая кубатурная формула с ограниченным пограничным слоем может быть задана такой функцией своих коэффициентов ск^(к) = Саэ(кк, к),

Cas(x,h) = <

0

P(x)

Copt (x,h) = f d(e2niZx/hh-n-

Ер ((t + С)/h)/lß(2ni(t + С)/h|2

teZn

E 1/\ß(2ni(s + с)/h|2

s€Zn

при dist(x, l) ^ O(hY), при dist(x, Rn\l) ^ O(hY),

при dist(x, Г) ^ O(hY),

с любым 7 < тіп{5,р), где р— показатель гипоэллиптичности символа р, см. (5), а 5 определяется условием (9).

Сформулируем этот результат в самом важном частном случае, когда пространство изотропно р(2пг^) = (1 + \2п£\2)т/2, а интеграл невесовой

P(x) = Xn(x)

1, x Є l,

0, x = l.

Теорема 3. Для любых т > п/2 асимптотически оптимальная кубатурная формула с ограниченным пограничным слоем может быть задана функцией коэффициентов: с любым ^ < 2

Cas(x,h) = <

0 при dist(x, l) ^ hY,

1 при dist(x, Rn\l) ^ hY, Copt(x, h) = f dy f d( ■ h-n

П Q

Ee2ni(x-y)(t+i)/h/(h2 + |2n(t + Z )|2)m ^ E 1 /(h'2 + |2n(s + С)|2)m----------------- Г) < h.

s€Zn

7. Упрощение формулы асимптотически оптимАльных коэффициентов в

ПОГРАНИЧНОМ слое

Упростим формулу асимптотически оптимальных коэффициентов в пограничном слое. Пограничиный слой задается условием (х, Г) ^ ф(к) = о(1) при к ^ 0. Нам достаточно считать переменные у меняющимися в некоторой малой, но фиксированной (независимо от к ) окрестности Гу. Эту окрестность вырежем домножением на соответствующую гладкую ступеньку кг (у), полагая вместо р(у) произведение р(у) ■ кг(у) ф д(у). С некоторой постоянной С д(у) совпадает с р(у) в окрестности границы, (у, Г) ^ С, и д(у) = 0 в П\{у | (у, Г) ^ 2С}.

Е е-2туі/к/р2(2пі(і + С)/к) СГ(ХМ) = / ЛудМ/ ЧМЪ'Ц, + С)/к)

Гу я веъп

1 + V- е-2М У2(2піС/к)

її 2 ■< ,=о V2 (2пі(Ь + С )/к)

Н-" ас ауд(у)е2"<х-у*/1'• —^--------------;(: )/ )

3 3 л , ^ V2(2п</к)

Я Гу 1 + 2_>

8=о р2(2пі(в + С)/к) Зададимся вопросом: для каких £ будет

£ =о("о^(Л)) -где Мк) =

Р2(2п*(5 - С)/к) ’ \1 ^ ^2(2п*5/к)

— порядок оптимального функционала погрешности.

Дело в том, что для такого множества {£}^ можно убрать из формулы Сор1 (х, к) суммы

Е и Е . Останется

t=0 8=0

СТ*(х,к) = к-'! ё( I д(у)е2М(х-уК/к = У )е2'”£. (10)

(С}ь гу (С}^/ь

Например, для р(2пг£) = (1 + |2п£|2)т/2 наше требование означает

У ( 1 + |2пС/к|2 V = 0(кт)

8=0 V1 + |2п(в - с)/к|2/ ( ).

Или |(/к|2т ■ к2т = о(кт) ^ |С | ^ О (к1+£) с Уе > 0.

В общем случае это будет некоторой окрестностью нуля

{С}н ={С | |С| ^ O(кa), где М2п</к) ^ о(1) 1

^ар,(к) )

Заметим, что наши ранее проделанные вычисления показывают, что можно взять а = 8.

Для |£ | ^ С к6 при Ь = 0 или Є Ц при Ь = 0 упрощение формулы коэффициентов в пограничном слое произведем за счет интегрирования по частям по переменной у. Именно, будем много раз перебрасывать оператор Лапласа Ду с множителя

Ду (е-2"'‘+С'/Н 42Х- С)|2) ^ на М-

1

Для этого воспользуемся формулой Грина

I ¿уд(у)\/ (у) = I ¿у Ауд(у)/(у)+

+ у ¿Гд(у) (пх(у),Ву) /(у) -^ ¿Г (пехр(у),Ву) д(у)/(у). гг

После многократного применения этой формулы интеграл можно будет исключить,

гу

когда порядок этого слагаемого по к при к ^ 0 станет выше иор1:(к).

к2

Итак, при |£ | ^ Ск& с /(у) = е-2пг(*+')/н ■ —.--------— имеем

’ ы *КУ} -|2п(г + с )|2

СГ8(х, к) = - I а( к-“ £ £ | I ¿Г [А*-'д(у).

*,в.«, '=' 1Г

|С|^с^5, (4 = 0), Сед (4 = 0)

■ к«-' ■ (Пех<у>' 2и<* +2<» - (п,х(у),Ву)Ау-'д(у).

(- |2п(г + с)|2)« ' е у) у

е-2жг^+С)у/Ь,

—-----------------. к2«

(-|2п(г + С )|2)« .

^2(2п^(г + ()/к) { е2пгхС/Н

+

р2(2пг(/к) ^ р2 (2пг(«+С)/Ь)

8=0

Надо взять 7 из условия к(1 &')'2J “ = о(иорЬ(к)). Например, при р(2пг£) = (1 + |2п£|2)т/2

т + п получаем ,] > --—.

В итоге, функция асимптотически оптимальных коэффициентов в пограничном слое (х, Г) ^ к1 принимает вид

С“(х,Ъ) = [ гШ0е2"хе + к-“ [ £ 1

^2„ |^(2п*(г + С)/к)|2

|5|^0(^5-1) К^А5, (4=0),

Сед (4=0)

е-2пг^+С )у/Ь

«к2«-1 ^пе(у) ^ 2«(4 + С) - Су)

J /¿Г £—

«=' Е

(-|2п(г + С )|2)«

■ А-1 д(у)е2тхС/н.

8€2п + ()/к)|2

Напомним: здесь 8 > 0 определяется условием

1/2'

{С | К| ^ О(к&)} с 'с | |v(2пi((/к)|2 = о(1)/1 £ |р(2п*5/к)|"

У«€2П\0

^ 1/2>

а 7 = 7(к) —условием к(1-й)^-“ = о ( ( Е |^(2пгв/к)|-2

Ч«€2П\0

Если р(х) = Хп(х), то в пограничном слоем Ввд(у) |г= 0 при любой |в| ^ 1

и остается

1

1

1

C“(xJi)= У«—

liK^h5-1

,Е , (2 -(. + , )/h) |2 / 'Г(пех(У), )

— І ■ h-n (teZn '№( ( + Z)/h)l Г_________________________ _ e-2niyt/h _ e2ni(x-y)C/h

J v 1

|C|^chÄ, (t = 0), ^

CeQ (t=0) s€Zn !M2ni(s + С)/h)|2

Для дальнейших преобразований введем разбиение единицы в приграничной области р

П П supp Кг, Е PP(v) = 1. Можно сделать (так и будем считать), чтобы пересечение

р=1

границы Г с носителем любой функции pP задавалось уравнением, выражающим одну координату через остальные:

Vp Г П supp рр = [y 1 Vp = Ъ(Уъ ... , Vsp-uVsp+u ... , Vn)} ,

причем y £ C^(Rn-1).

Теперь

Г P

Cas(x, h) = d£ KT(Oe2mxi + £ Cps(x, h)

|5|^c^hÄ-1 P 1

cp(x,h) = —г ■ h-^E Н2жІ(і+z)/h)|-2

E |^(2ni(s + С)/h)|-2

)\ s

C6Q (t=0)

Id^ch«, (^=6)', s€Zn

I ¿Г^уКМу). )' е-2"^«"^-^^. (11)

г

Для сокращения записи вычисления проведем только для содержащегося внутри формулы С(х, к) интеграла по Г, считая

Г п эирр рр = {у | уп = Y(у1,... ,у“-1) = 1 (у,)} .

' 0'

Остановимся сначала на варианте y(у') = const = уП. Тогда nex = . ^ [ drpp(y)(nex(y),t + Z)/|t + Z|2 ■ e-2myt/h+2m{x-y)c/h =

= [ аУ ^р(У ’ ^(У )) ^П + е-2пг(*/+С/)у'/Ь , е2тхС/Ь—2пгуП(,п+С,п)/Ь.

7 а/1 + |^7(у')|2 |Ь™ + С™12

В интеграле по у1 произведем многократные интегрирования по частям, используя формулу

( к )2Ы

( Д ,)^ ( к | р-2пг(*/+С/)у//Ь = е-2пг(,/+С/)у//к

( у) \2п|Ь; + С' I) .

Дифференциальный оператор (—Ду/)м перекинем на сомножитель

^ д (у . Благодаря финитности функции рр(у', Y(yl)) граничные члены не появят-

ся.

с

Самая грубая оценка результата дает порядок убывания при к ^ 0 больший

О (к(1-<5)^2М) , который при достаточно большом х можно сделать бесконечно малым по сравнению с главным членом. Таким образом, мы можем пренебречь слагаемыми Ср(х, к) с функциями 1Р, являющимися константами.

Рассмотрим общий случай В1 (у') = 0, для которого построим специальный оператор интегрирования по частям. Мы хотим подобрать функцию /(у', к), удовлетворющую усло-

вию

Ау ■

/(у', к)

е2пг£п1(у')-2жг£' у'

=2пг£„7(у')-2пг£'у'

12)

Здесь обозначено £ = ^ с |£ | > ок& при г = 0 и ( Е Q при г = 0. То есть при к ^ 0 |£| = А ^ ж с порядком не ниже к1-.

Функция / должна быть решением уравнения

М(у', В)/ = Ау'/ - 4пг<£' + £“В1(у'),Ву'/)-

|2п£' + 2п£“В1 (у')| + 2пг£“Ау' 1 / = А2. (13)

Ищем это решение в виде /(у', к) = д(А ■ у', к), что приводит к такому уравнению для д(г',к) : где

Ь(г', В)д = А2'д - 4пг<е' + епВ1, Вх'д)-

- 2п

|е' + е“В112 + ге“А1/А д = 1, (14)

где е = £/А.

<Х>

Естественно положить д(г',к) = Е дв(%',к)/Ая с рекуррентными соотношениями для

8=0

функций д8 : У в ^ 0 и д-1 = 0

Ь^', В)д3 = Ад3 - 4пг<е' + епВ1, Вд3)-

- 4п2|е' + епВ1 ^д,,^ = 2пге“А1 ■ д*- + 80. (15)

Или

Ад0 - 4п2|е' + е,“В1 |2д0 - 4пг<е' + е,“В1, Вд0) = 1.

а для в ^ 1

Ад3 - 4п2|е' + епВ1\2д3 - 4пг<е' + е“В1, Вд3) = 2пгепА1 ■ д3-Ъ

Область определения функции д — это увеличенная в А раз область определения / — последняя является ограниченным множеством в К“-1,

{у' | (y', 1 (у'» Е Г п йиРР Ы .

Наше требование к / следующее: каждое найденное решение уравнения М(у', В)/г = /г-1, г ^ 1, /0 = 1, должно быть ограниченным равномерно по А ^ ж. Но может быть, с весом А-к с фиксированным к при г ^ ж.

Безусловно, все /г бесконечно дифференцируемы как решения эллиптических уравнений (13) с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами. Но нужны равномерные по

п1

А оценки. Благодаря теореме вложения Жт (К“-1) С С (К“-1) при т > —-— достаточно иметь оценки Жт -норм, допуская К = т. Это значит, достаточно получить равномерные по А оценки Ж2т-норм функции д(г',к), которая удовлетворяет более удобному для нас эллиптическому уравнению (14) с ограниченными коэффициентами. Годится любое подходящее решение, поэтому рассмотрим область определения д(г',к), продолжив

коэффициенты (теми же аналитическими выражениями) и потребовав от д быть решением однородной краевой задачи Дирихле в расширенной области,границу которой можно считать тоже бесконечно дифференцируемой. Перейдем к уравнению (15). Обычными априорными оценками можно показать, что решение такой задачи будет единственным и, следовательно, будет существовать в при любых правых частях из С2. Более того, по теоремам о повышении гладкости эллиптического уравнения с оператором Лапласа в главной части получим принадлежность функции д пространству с оценкой нормы равномерно по А ^ ж (несмотря на то, что диаметр области растет пропорционально А). Это то, что нам нужно.

Теперь обратимся к формуле (12), поместив ее в интеграл / йу'. Интегрированием по чаг

стям перебросим оператор Лапласа Ду/ на остальные сомножители и в результате получим функцию f /А2. Повторяя такую операцию много раз, накопим в знаменателе множитель

Д2^-т. Это при достаточно большом N обеспечит всему интегралу порядок убывания

по к, пренебрежимо малый по сравнению с главным членом. Таким образом, и в общем случае в пограничном слое остается только

6'“(х, к) = 2?(£)е2'“«.

|£|<с^5-1

Теорема 4. Асимптотически оптимальную решетчатую кубатурную формулу, приближающую j йх f (х) на интегрантах из пространства Ж^(Кп) с гипоэллиптиче-п

ским символом гладкости р(2пг£) с показателем р G (0,1], подчиненным условию Г -—■;—^ < ж, можно задать функцией коэффициентов

Rn !м2п<)г

0, для dist(x, П) ^ к1,

, . _ . 1, для dist(x, Ега\П) ^ kY,

C (x,k) = ] / d£ х(С)e2nixi, для dist(x, Г) ^ kY.

max |£7- |^h5-1

с любым y < min(p,5), где 5 Є (0,1) и выбирается из условия

1/2

max

1 ^ j ^ n

i^TW I =o(1)

|5j|^h5-1 VseZ \0

Например, для (Кп) пространств можно взять любое 8 ^ - и р =1. Тогда будет

2

8. Заключение

Нам удалось получить асимптотически ненасыщаемую формулу. То есть вид коэффициентов не зависит от показателя гладкости — функции р(2пг£). А в частном случае (наиболее важном) р(2пг£) = (1 + |2п£|2)т/2 и толщина пограничного слоя остается одной и той же для всех т > п. И над каждым пространством интегрантов Жт(Кп) наши формулы коэффициентов дают асимптотически оптимальные решетчатые кубатурные формулы с ограниченным пограничным слоем.

Более того, вид функции коэффициентов в пограничном слое проявляет явление Гиббса в колебаниях амплитуд коэффициентов кубатурной формулы. В частности, эти колебания амплитуд не зависят от гладкостей, заданных пространствами Ж2Р'(Ша). В указанном пограничном слое

max |£j|^h5-1

dC J dy xp(y)e-2niyi+2nixi

П

dy кг(У)П j=i

sin 2n(xj — yj )k

n(xj — yj)

Согласно явлению Гиббса последнее выражение ограничено равномерно по х и к.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука. 1974. 808 с.

2. Соболев С.Л., Васкевич В.Л. Кубатурные формулы. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН. 1996. 484 с.

3. S.L. Sobolev, V.L. Vaskevich The Theory of Cubature Formulas (Mathematics and Its Applications) // 1st edition. Kluwer. 1997. ISBN 0792346319.

4. Рамазанов М.Д. Периодическая кубатурная формула интеграла с весом // Кубатурные формулы и их приложения. X международный семинар-совещание. 24-28 августа 2009 г., г. Улан-Удэ. Материалы конференции. Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2009. С. 118-124.

5. M.D. Ramazanov To the Lp-theory of Sobolev formulas // Siberian advances in mathematics. 1999. Vol. 9, № 1. P. 99-125.

6. Рамазанов М.Д. Теория решетчатых кубатурных формул с ограниченным пограничным слоем. ИМВЦ УНЦ РАН. Уфа: ДизайнПолиграфСервис, 2009. 178 с.

7. Бабенко К.И. Основы численного анализа. 2-е изд. М. ; Ижевск: РХД, 2002. 848 с.

8. V.N. Belykh On the best approximation properties of C-smooth functions on an interval of the real axis (to the phenomenon of unsaturated numerical methods) // Siberian Mathematical Journal. 2005. Vol. 46, № 3. P. 373-385.

9. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. М.: Наука. 1965. 328 с.

Марат Давидович Рамазанов,

Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,

450008, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]