Представление функционала погрешности кубатурной формулы в весовом пространстве Соболева Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии

Том 11, Специальный выпуск, 2006

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛА ПОГРЕШНОСТИ КУБАТУРНОЙ ФОРМУЛЫ В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ СОБОЛЕВА

И.В. Корытов

Восточно-Сибирский государственный технологический университет,

Улан-Удэ, Россия e-mail: [email protected]

A proof of the existence of representation of an error functional of cubature formula at weighted Sobolev space is presented. Such representation also known as a general form of functional is a basis for derivation of the norm of functional and its estimations on the space of functions.

Введение

Если принять во внимание обзор, приведенный в монографии [1], то результаты данного исследования можно отнести ко второму направлению в теории кубатурпых формул — асимптотически оптимальным решетчатым формулам в пространствах функций конечной гладкости. Функционально-аналитический подход, составивший основу исследования, предполагает, что подынтегральные функции объединены в некоторое банахово пространство, а разность между вычисляемым интегралом и приближающей его линейной комбинацией значений подынтегральной функции — результат действия некоторого линейного функционала. Численное значение нормы этого функционала позволяет находить априорные оценки погрешности кубатурной формулы на элементах изучаемого пространства. В рамках данного подхода, в отличие от алгебраического, при оценке качества формулы приближенного интегрирования используется критерий минимальности нормы функционала погрешности. Нормы функционалов определяются через экстремальные функции, являющиеся обобщенными решениями дифференциальных уравнений в частных производных. Набор производных искомой функции, содержащихся в дифференциальном уравнении, зависит от набора производных функций, входящих в норму основного пространства. Иными словами, оператор, составляющий такое уравнение, порождается видом нормы функции в основном пространстве.

После построения С.Л. Соболевым теории для пространств происходило обобщение в направлениях от iL^ к 4m) [2-5] и от факторизации L^ к W2(m) [6, 7]. Первое из них развивалось В.И. Половинкиным, Переход от W2(m) к осуществлен Ц.Б. Шойн-

журовым [8] путем введения специальной нормы, для которой соответствующий дифференциальный оператор был хорошо изучен [9]. Независимо от этого М.Д. Рамазанов

© Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2006.

применил сходный прием нормирования пространства [10], что отражено также и в

монографии С,Л, Соболева и В,Л, Васкевича [1].

Весовые пространства Соболева определяются как замыкание пространств бесконечно дифференцируемых функций, либо убывающих на бесконечности быстрее любой степени, либо финитных в ограниченной области по норме, содержащей линейную комбинацию модулей всех существующих обобщенных частных производных функции, произведения которых с некоторой заданной функцией, называемой весом, суммируемы в р-й степени. Начало исследованиям кубатурных формул в таких пространствах положено Ц.Б, Шой-нжуровым в [8], вде вес вводился в норму, заданную с помощью преобразования Фурье ядра Бесселя - Макдональда. Функционалы погрешности в фактор-пространстве 4т) со степенным весом |ж|я изучались Г.Л. Францевым [11].

1. Нормы, операторы, фундаментальные решения

Рассматривается функционал погрешности кубатурной формулы (далее — функционал)

N

l(x) = Хп(x) ckS(x — x(k)), (1)

k=i

где Хп(х) — характеристическая функция ограниченной кусочно-гладкой поверхностью области О С М„; ск — коэффициенты кубатурной формулы, х(к) = (х1к),..., ж!к)) — узлы. Норма в весовом пространстве Соболева определяется как

i/p

\\Ф)^Ш\\= lj\x\SY, ^flDMx)\Pdx\ , 1 <p< ОС, (2)

Vn ' J

|а|!

где Ы5 — степенная функция, называемая весом. Константы —-, lai < m, указыва-

а !

ют на наличие всех обобщенных частных производных функции основного пространства. При s = 0 получается норма, которую с учетом естественного количества существующих частных производных назовем "естественной", подразумевая обобщение нормы из фактор-пространства Lpm) на само пространство Wp(m), Здесь и далее W^ = Wp(m), Оператор частного дифференцирования функции n переменных вида

m k!

£ (-1)Нат_нДН = )kam.k (3)

|a|<m k=0 |a|=k

где am-|a| > 0 |а| < ш, называется ш-метагармоническим. Его фундаментальное решение в пространстве W2(m) изучалось Ц.Б, Шойнжуровым [6], Оператор порождается нормой функции из основного пространства. Если am-|a| — биномиальные коэффициенты, |а| < ш, то он имеет вид

m ! k!

В-1)^ m' ш Е ~D2a = - д)га • №

k!(m — k)! а!

k=0 ' |а|=k

Этот оператор порожден нормой, введенной в [8]:

i/p

\Ф)\^т) (Ж„)|| = I / (1 - A)f ф) " dx I , Кр<оо. (5)

Естественная норма порождает m-метагармонический оператор с единичными коэффициентами am-|a| = 1, |а| < m:

£ (_1)НдН = £ (-1 (6)

|a|<m |a|<m

Во всех этих формулах А — оператор Лапласа,

Фундаментальное решение G(|x|) оператора (4) носит название ядра Бесселя — Мак-дональда [9] и выражается через известную функцию Kv (|x|) Макдональда:

1 Кп-2т (|ж|)

= 2™-!Г(ш) ' (7)

где r(z) — гамма-функция; n и m — как и прежде, размерность пространства аргумента x и гладкость пространства функций соответственно. Производные этой функции имеют асимптотические оценки при |x| —^ 0 и |x| — то:

, , n-2,n+i , N > 1 ,п,т,а — любые;

\Х\ 2

1п — + 1, \х\ < 1, n — 2т + |а| = 0, |а| — четное;

|DaG(|x|)| < c

|x|x

|x| < 1, n - 2m + |a| > 0, n - 2m + |a| =0,

|a| — нечетное;

(8)

|x |n-2m+|a| '

1, |x| < 1, n - 2m + |a| < 0,

2. Фундаментальное решение ш-метагармонического оператора с биномиальными коэффициентами в весовом пространстве

Оценки (8) производных ДаС(|ж|) фундаментального решения С(|ж|) оператора (4) по множествам |х| < 1 и |х| > 1 послужат основой доказательства всех наших утверждений, В теоремах фигурируют функции, заданные на всем М„,

Теорема 1. Фундаментальное решение С(|ж|) оператора, (4) принадлежит пространству ЧУ^ в Шп), где 1 /р + 1 /р' = 1, 1 < р < оо, рт > п + е.

^ ' р — 1

Доказательство. Здесь потребуется рассмотрение — норм производных БаС(|ж|)

при 1 < р < то:

1 /р'

\ОаС(\х\)\Ьр!_ф-1| = | / \х\~ЩОаС(\х\)\^х ] . (9)

Для использования оценок интеграл из (9) удобнее разбить на сумму

\х\~\ОаС{\х\)\р йх

\х\~^\ВаС{\х\)\р'<1х + / \х\-^\ВаС{\х\)\р'йх = 11 + 12, (Ю)

И<1 |ж|>1

после чего оценить каждое из слагаемых:

1г= ! \х\~~^\ОаС(\х\)\рйх<С1 !

|х | < 1 |х | < 1

|х |п— 2т+|а|

¿X

С1 I |х|

И<1

- V

1

|х |п— 2т+|а|

¿х = С1

И<1

|х|"

|х|п-2т+|а|

¿X

1

= С1

|х | < 1

|х|

1 С 1 п 1

(п-2т+|а| + ±)р' ^ = ] г(п-2т+\а\Ц)р'Г ^ =

0

С2 Г

п-1-(п-2т+\а\Ц)р' ^

0

(П)

/2= у \х\~—^\ОаС(\х\)\р ¿х = J \х\-ёр \ОаС(\х\)\р ¿х <

|х | > 1 |х| >1

р>

<сз I <*х = Сз / ¿х.

е

, , п — 2т-\-1

\Х\ 2

п—2т-\-1 |

}х\ 2 + ?

(12)

|ж|>1 7 |х| >1

В предпоследнем равенстве (11) совершен переход к сферическим координатам. Максимально возможный порядок производной равен т, а потому

11 < С2 Г

п-1-(п-т+рр' ^

(13)

Несобственный интеграл второго рода в правой части неравенства (13) существует, если

— [ п — 1 — ( п — т Н— ] р' ] <1,

т, е.

mp > п + 5. (14)

Сходимость несобственного интеграла первого рода в правой части (12) очевидна. Из (12)—(14) следует, что при тр > п+в ОаС(\х\) € Ьр/у__\а\ < т, т. е, С(\х\) € УУ^ * Ш„.),

' р 1 Р ■> р — 1

1 < р < то, Теорема доказана, □

р

1

р

р

р

1

1

3. Фундаментальное решение ш-метагармонического оператора с единичными коэффициентами в весовом пространстве

Фундаментальное решение Е(|х|) оператора (6) как обобщенной функции, действующей на основные функции из (Кга), 1 < Р < можно получить в виде несобственного интеграла, если применить к уравнению

|а| <m

(15)

преобразование Фурье

E (|x|) = F

-i

Е |2пС|2|а|

|а|=0

e

-2ni£x

Е |2пС|2|а|

|а|=0

(16)

Здесь

£ |2пС|2Н

|а|=0

|а|<т

2а

Теорема 2. Функция

2\m

A(jxj) =

(1 + N2)

m

Е |х|2|а|

|а|=0

x е

является множителем Марцинкевича при 1 < p < то.

Доказательство. Как функция n действительных переменных A(|x|), где jxj = W E x2

j=i

j'

является отношением многочленов равных степеней. Знаменатель ее не имеет действительных корней, и потому A(|x|) непрерывна на К„, Так как вдобавок lim A(|x|) = 1, то

A(|x|) ограниченна. Производные DkA(|x|), где k = (kl,...,kn) (kj = 0,1; j = 1,...,n), также непрерывны, и lim xkDkA(|x|) = 1, откуда следует ограниченность произведения,

стоящего под знаком предела.

Таким образом, выполнены условия теоремы 1,5,4 [8], что доказывает наше утверждение, □ Теорема 3. Оценки для, DaG(|x|) справедливы, и для, DaE(|x|); |а| < m, 1 < p < то, pm > n + s.

A

при 1 < p < то выполняется неравенство

|F-l[AF[G]]|Lp(K„)|| < <y||G|Lp(R„)

(17)

1

m

где р' = (р — 1 )/р-, Ср> — константа, зависящая от р'. Поскольку \х\ р-1 > 0, неравенство (17) выполняется и для Ьр/г__а_-норм:

(18)

Функции Е(|х|^ и ^(|ж|) связаны выражением

Е (|х|) = И

-1

1

£ |2п£|2Н

|а|=0

-1

2\т

(1 + |2<|2)

т

£ |2<|2|а| |а|=0

(1+ |2<|2У

^-1[Л(|2п£|)^[С]] = ^ [А] * ОД).

(19)

Последнее равенство на основании теоремы 2 вытекает из свойств множителя Марцинке-вича [9], Поскольку по правилу дифференцирования свертки ДаЕ = ^-1[А] |а| < т,

\\ваЕ\ьр/,II = ^[ЩЕГО^Ь?,^ < ср/\\ВаС\Ьр/^\\, М < т. (20)

V-1

р-1

Интеграл справа, определяющий норму, существует при рт > п + 5, Отсюда непосредственно следует утверждение теоремы для 1 < р < го. □ Следствие. Фундаментальное решение Е(|ж|) оператора, (6) принадлежит пространству И7!"7"1 в (К».), где 1 /р+ 1 /р' = 1, 1 < р < го, рт > п + е.

р-1

4. Существование представления функционала в пространстве Соболева с весом

Теорема 4. Представление функционала (1) в пространстве ^Й0^), где 1/р +1/р' = 1, 1 < р < го, рт > п + в, имеет вид

(I, у?) = I ^ (£ * 0

(21)

|а|<т

Доказательство. Представление выводится из уравнения (15) с правой частью, равной /, путем замены ее левой частью с последующим интегрированием по частям.

В следующей цепочке преобразований применение неравенств Гёльдера для сумм и интегралов приводит к оценке, позволяющей судить о существовании интеграла, реализующего данное представление:

[ У (Е * I) = [ у- Щ\х\-Ц0а(£*1)\\х\р\0а^\<1х<

I —/ а! ' —' а!

|а|<т

|а|<т

а!

х_ р'

|а|<т

Е ^ м*

|а|<т

=

п

1

Р

Р

<

V

, , а!

|а|<т

И!.

-—!-\<г\ р-1

\x\--i \Ба (£*1)I1

|а|<т

^'хГ* Юа (£*1)\р' Ах а! '

х. Р>

а!

|а|<т

¿X <

/ Е

(22)

|а|<т

Один из множителей правой части последнего неравенства из (22) является нормой функции ^ в пространстве Другой множитель - норма свертки фундаментального

решения £(|ж|) оператора (6) с функционалом I в пространстве ЧУ^1 в . Ее существование

^ ' р— 1

следует из принадлежности функции £ пространству 11'__¡_ и того факта, что I содер-

' ' р — 1

жит линейную комбинацию ^-функций, свертка с которыми существует и принадлежит тому же пространству, что и указанное фундаментальное решение. Таким образом, из существования оценивающих интегралов (22) следует существование представления (21), что и требовалось доказать, □

Список литературы

[1] Соболев С.Л., Васкевич В.Л. Кубатурные формулы. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996. 484 с.

[2] Половинкин В.И. Кубатурные формулы в Ь^ (П) // Докл. АН СССР. 1970. Т. 190, № 1. С. 42-44.

[3] Половинкин В.И. Последовательности функционалов с пограничным слоем // Сиб. мат. жури. 1974. Т. XV, № 2. С. 413-429.

[4] Половинкин В.И. Асимптотическая оптимальность последовательностей формул с регулярным пограничным слоем при нечетных т // Сиб. мат. журн. 1975. Т. XVI, № 2. С. 328-335.

[5] Половинкин В.И. Последовательности кубатурных формул и функционалов с пограничным слоем: Автореф. дис. ... докт. физ.-мат. наук. Л., 1979. 18 с.

[6] Шойнжуров Ц.Б. Оценка функционалов погрешности кубатурной формулы в пространствах с нормой, зависящей от младших производных: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Новосибирск, 1967. 83 с.

[7] Рамазанов М.Д. Построение асимптотически оптимальной кубатурной формулы над пространством Ж^ф) // Докл. АН СССР. 1972. Т. 202, № 2. С. 290-293.

[8] Шойнжуров Ц.Б. Теория кубатурных формул в функциональных пространствах с нормой, зависящей от функции и ее производных: Дис. ... докт. физ.-мат. наук. Улан-Удэ, 1977. 235 с.

[9] Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977. 456 с.

[10] Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования. Уфа: Башкир, гос. ун-т, 1973. 174 с.

[11] Францев Г.Л. Оценка погрешности кубатурных формул с пограничным слоем и узлами на решетке в весовых пространствах Соболева: Дне. ... канд. физ.-мат. наук. Новосибирск, 2001. 99 с.

[12] Корытов И.В. Элементарный периодический функционал погрешности в пространстве Соболева при р = ж // Кубатурные формулы и их приложения: Матер. V Междунар. семинара-совещания. Красноярск: КГТУ, 2000. С. 90-98.

Поступила в редакцию 2006 г.