Общий вид финитных функционалов погрешности эрмитовых кубатурных формул в пространстве соболева LM p(Еп) Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.64, 517.51

скл: 10.18101/2304-5728-2017-4-33-41

ОБЩИЙ ВИД ФИНИТНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ ПОГРЕШНОСТИ ЭРМИТОВЫХ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ В ПРОСТРАНСТВЕ СОБОЛЕВА Ц(Еп)

© Цыренжапов Нима Булатович

кандидат физико-математических наук, доцент, Бурятский государственный университет Россия, 670000, г. Улан-Удэ, ул. Смолина, 24а E-mail: [email protected]

© Урбаханов Александр Валерьевич

кандидат физико-математических наук, доцент,

Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления Россия, 670013, г. Улан-Удэ, ул. Ключевская, 40В E-mail: [email protected]

В данной работе рассматриваются кубатурные формулы общего вида, в которые входят значения функции и ее производных, приводится общее представление финитных функционалов этих формул.

Ключевые слова: кубатурные формулы; функционал погрешности; пространство Соболева; приближенное интегрирование; обобщенная функция; формула Тейлора; гармонический оператор; численное интегрирование.

Введение

В работах С.Л. Соболева был установлен общий вид функционала погрешности в гильбертовом пространстве. В дальнейшем обобщены его учениками Ц.Б. Шойнжуровым, В.И. Половинкиным, М.Д. Рамазановым, В.Л. Васкевичем и др., на другие функциональные пространства.

В.И. Половинкин в своих работах исследовал общий вид как произвольных, так и финитных функционалов погрешности в пространстве

Ц{Еп) [3].

В данной работе рассматривается общий вид финитного функционала

погрешности в пространстве С.Л. Соболева Г? (Еп) с естественной нормой

±

Р

г

т =

I

у. т\ а\

Е \а\ = т п 1 1

Da(p(x)

dx

(1)

В отличие от работ В.И. Половинкина [2], [3], используется другой подход.

1. Постановка задачи

Введем обозначения. Пусть х{х^,х2,---,хп) — точка «-мерного про-

странства Е„, у = (у,. У2-----У п) — «-мерный целочисленный вектор,

п

а = (а^,а2,- -,ссп) —мультииндекс, |а|= ф(х) = (Р(Х\,Х2>-Хп) —

7 = 1

\а\

д cp(x-,,xj,...,x )

функция, определенная на Е„, D (р(х) =--—--—

СС1 СС ее __

дхл 1dxnz ...дх

12 П

ее частные

производные порядка а , р — наивысшии порядок старших производных 1)а <р(х). О, — ограниченная область в !•'.„ с кусочно-гладкой грани-

цей Г Г(Я). Вт =

ньютонов-

7 = 1

екая система узлов, — множество индексов а значений функций и ее производных порядка не выше р. Ва ср(у) — совокупность значений функций и ее производных в одной точке.

Кубатурная формула общего вида с ньютоновской системой узлов для области задается приближенным равенством [4]

\<р(х)йх = 2 ЦСуОа(р(у) (2)

О ГеВтаеВ1

и функционал погрешности формулы (1) определяется равенством

1С1>(Р)= J

еп(х)~ Z ZC^(-l),a,DaS(x-y) уеВтаеВ1

cp(x)dx .(3)

Известно, [1] что при рт>п и 0<|<Sj</w--частная производная

vS,

-1, пространство L™ (Еп) вложено

D ср(х) непрерывна при р = тв пространство непрерывных дифференцируемых функций С Р (Еп).

Условие вложения 1^(Еп) в СР(Еп) имеет вид р(т - (.Si) > п u\S\< р .

(4)

2. Основные результаты

Отметим, что доказательства лемм проводятся по схеме работы

Шойнжурова Ц.Б. [6]. Однако свертка 1)а(г(х) * /о(х) в функционале общего вида имеет более высокую особенность в узлах у [5].

Лемма. Пусть 1 < < со, ^- + -^- = 1, р(т -> п, < р, рт >п и

е/)0 (х) е Ь11^,. Тогда полигармонический оператор Ат переводит функцию

(х) в обобщенную функцию Атф()(х) = (-\)т 1^(х) е Ь™ и выражение

(1а(х),ф))= | (Р{)Ш)а (Р(х)с/х (5)

Е \а\ = т п 1 1

представляет собой ограниченный линейный функционал над простран-

тт

ством Ьр .

Доказательство.

гП

"Р

Пусть V д>(х) е I™ и ср^ (х) —средняя функция для нее. Рассмотрим

выражение [5]

(/0(Х),^(Х)}= | ^Оа(р0 (х)Оасрь(х)с1х. (6)

Е \а\ = т п 1 1

Интегрируя по частям выражение в правой части, получим

(/ (Х),(р (х)\= I 2 (-1)тп^02аср (х)ср (х)сЬ =

^ / „ .. а! 0/2

=т

Е

п

(7)

= I {~1)тАт(р (х)ср (х)б/х= | / (х)<р (х)йх V(р(х)еЬт. Е о И Е п к р

п п

Левая часть имеет предел, при /г —> 0 равный (¡^ (х), ср(х)^ , следовательно, правая часть также имеет предел и | (х) <р(х)с!х существует для

Еп

(р{х) е 1Пр . Из равенств (6), (7) при И —> 0 следует представление функционала

т\ п<2

[1а(х),ф))= \ Е^р"<р0(х)Ва<р(х)сЬ: . (8)

Равенство (5) доказано.

а\

Е \а\ = т п 1 1

Применяя неравенство Гельдера, имеем

1(х),ср(х)

2 —Оа<р (х)Оа<р(х)сЬс а! 0

а =т

<Р0(х)

гт

ср(х)

гт

. (9)

Из (9) следует его ограниченность. Линейность функционала

очевидна. Следовательно, (х) — ограниченный линейный функционал.

Лемма доказана. Из равенства (7) имеем

|(-1 )т ^ <р^{х)(р{х)с1х = \1^{х)(р{х)с1х V (р(х)еЬ™.

Е Е

п п

то есть Атсрд(х) = (-\)т1^(х), решение которого записывается в виде

свертки правой части с фундаментальным решением (¡(х)

полигармонического уравнения АтС(х) = (~\)т5(х) [6].

Теорема. Пусть рт>п, р(т -> п, ^^р и /^(х) —произволь-

ный финитный функционал общего вида из Ь™ и ) = 0 при

а

\а\<т, и

тогда

существует г т

единственная

функция

(х) = (г(х) * ¡£2 (х) + 1'т _ | (х) е 1\ определенная с точностью до произвольного многочлена 1'т _ | (х) степени (т-\) и удовлетворяющая уравнению

Ати(х) = (-\)т1п(х) (10)

и функционал общего вида имеет следующее представление

(/п(х),<7>(х)}= / I (Кх) * /п (х)1)а <р(х)с/х У<р(х)е1™(П)

Е \а\ = т п 1 1

и Ц^МЦ^/и* ^

г уЛА J а\

Е \а\ = т п 1 1

,а

П 0{х)*1^{х)

ёх

Доказательство. Производная порядка т + |Л'| от (¡(х) удовлетворяет следующим оценкам [1, стр. 678].

т+

В

£

ад

<с

2 т-п-(т+ 8)

если

<И. п-нечетное

или п-четное и 2т-п-(т+

5)< О,

2 т-п-(т+

5)

1п

, если

п-четное и 2т-п-(т+

(12)

1п

если

<И. п-четное

и 2т-п-(т+

£)=0.

Покажем, что и(х)еЬ^,. Для этого следующий интеграл разобьем на

два интеграла

1 2

а

=т

т! а!

^а,

П"в(х)*1п(х)

сЬс= \ 2

а

=»7

»7 !

а!

ск +

(13)

+ 1 2

а

=»7

»7 !

а!

сЬс = 1 +1 . 1 2

Рассмотрим интеграл Р

I < 1

/ (х) СГ '

1 2

а

= »7

от! а!

а +

И

5

ск<

(14)

< С вир |

а

=т,

5

а +

5

1

»7 +

5

ад

йбс.

При и - нечетном или и - четном и 2?и — и — (/и +15"|) < 0, из оценок (12) получим

(т-п-$)р

I <С | 1 1

(2 т-п-(т+8)) р'

<Я

ёх = С | 1

р-1

сЬс. (15)

<Я

Переходя к полярным координатам в (15) и учитывая условия вложения р(т — 8)>п, имеем

Я

(,т-п-8)р

Я

I <С \ \ г Р 1 гП 1ёгёв<С \г

р(т-8)-п р-1

-1

ёг =

1 1,

=1

р(т-8)-п

п Р~ 1 = С г ^

1

Я

(16)

< 00.

О

Пусть п - четное и 2т -п - (т +15"|) > 0 . Тогда при \ос\ = Ш, в силу

т + \Б\

оценок (12), имеем

ад

тываячто тах

хГ-"-И1п|х|

О <х<Я

<С1|х|2'и-и-('и + Р|)|1п|х||. Далее, учи-1

(т-п-\8\)е

получим

I

Ы < Л

1

(т - п - \8\)е

я п_х

ёх < С^ \г ёг = С^г

О

Я

О

<00. (17)

Если 2т -п-(т +151) = 0 и п - четное, то

I <С | 1 1

1п

Я

= С \

1

<я

п-1 г Р \пг

Я

ёх<С |

ёг< со.

1п г

Р п-1, г ёг =

(18)

Из оценок (16)—(18) следует, что /| <х .

Теперь рассмотрим второй интеграл /2. Поведение функции

т + 1X1 т + N

Вт + \^0{х)Ч^{х) = \В 1 1С(х-у)1п(у)ёу

удобно исследовать, используя разложение производных от

в ряд Тейлора в окрестности нуля по степеням у с остаточным членом при хФ у и |х| > Я

Тогда имеем

т+

5

в(х-у) = Е В

т+

Б

а

Б

т+

5

<т

т+

+аС(х)и^_ + К(у,х1 (19)

а\

5

ад*/ (х) = | £> 0(х-у)1 (у)^ =

а о

= | 2 £>

7И +

5

ча

(20)

а

<т

а! " "

В первом слагаемом, стоящем справа в (20), все интегралы обращают-

ся

ся в нуль в силу ^/^(х),х ^ = 0 при \а| < я?. Оценим остаточный член. Остаточный член разложения удовлетворяет оценке [1, стр. 528]

|^,х)|<- С

(21)

I <С | 2

>Я

п+

Б

\Х~У\

00

ёх = С | Я

( \ п-1

р{п

р-1

5

)

с/г =

00 = с\

Я

5

/>-1

-+1

с/г = С 1

Р Б +п

Кг Р~ -1 /

00

(22)

< 00.

Таким образом, интеграл

Г у пА

Е \а\=т п 1 1

,а

П 0(х)*1п(х)

Я

ск<х>.

Следовательно, и(х) = С(х) * /^ (х) + Рт _ ^ (х) е Ь^,.

Легко проверить, что С(х)* 1^(х) является решением уравнения (10) В силу теоремы о плотности множества финитных функций в пространст-

ве Х^дЕ^], все решения однородного уравнения Ати = 0 являются многочленами и з 1'т _ | [1].

Общее решение уравнения (10) в пространстве ¿^(ё^) имеет вид и(х) = С(х) * /^ (х) + Рт _

Доказательство теоремы следует из общего решения уравнения (10) и неравенств (16), (17), (18) и (22) и доказательства леммы.

Таким образом, общий вид функционала погрешности /^ (х) имеет вид

(1а(х),ф))= \ ^ОаО{х)Ч^{х)Оа(р{х)ёх V (р(х)еЬ™.

Е \а\ = т п 1 1

Дважды применив неравенство Гельдера, получим

г ^Щ0аС(х)*1п(х)0а(р(х)с1х

Е \а\ = т п 1 1

<

* I

у т\ а\

\а\ = т

.а

И С(х)*1а(х)

1

у т\ а\

\а\ = т

Ва ср{х)

ёх<

I 2 ^ОаС(х)Ч^(х)

Еп\а\=т

а\

ёх

I , 2 ^Оа(р(х)

г ТпА. J а\

Е \а\ = т п 1 1

а,

-В С(х)*1п(х) Следовательно,

ёх

Еп\а\=т

\(р{х)\\ьт .

ёх

г уЛА J а\

Е \а\ = т п 1 1

ча

П 0{х)*1^{х)

ёх

.(23)

Теорема доказана.

Заключение

Используя функционально-аналитический поход, получили общий вид финитных функционалов погрешности кубатурных формул общего вида в пространстве Соболева Ьтр (£я) . Полученное неравенство (23) используется при оценке сверху нормы функционала погрешности.

Литература

1. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974. 808 с.

2. Половинкин В. И. Асимптотическая оптимальность последовательностей формул с регулярным пограничным слоем при нечетном m // Сиб. мат. журн. 1975. Т. 16, № 2. С. 328-335.

3. Половинкин В. П., Дидур Л. И. Асимптотически оптимальные последовательности эрмитовых кубатурных формул // Сиб. мат. журн. 1978. Т. 19, № 3. С. 663-669.

4. Цыренжапов Н. Б., Урбаханов А. В. Построение кубатурных формул общего вида с узлами на решетке для фундаментального куба на плоскости // Кубатурные формулы и их приложения: Докл. VII семинара-совещ. / отв. ред. М. В. Носков. Красноярск, 2003. С. 184-187.

5. Цыренжапов Н. Б. Оценка погрешности кубатурных формул общего вида с пограничным слоем и узлами на решетке в пространстве Соболева /"' (Еп): дис... канд. физ.-мат. наук (01.01.07) / Вост.-Сиб. технологич.

ун-т. Улан-Удэ, 2004. 102 с.

6. Шойнжуров Ц. Б. Кубатурные формулы в пространстве С. Л. Соболева W™ . Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2002. 222 с.

GENERAL FORM OF ERROR FINITE FUNCTIONALS OF HERMITIAN CUBATURE FORMULAS IN SOBOLEV SPACE Lmp(En)

Nima B. Tsyrenzhapov

Cand. Sci. (Phys. and Math.), A/Prof.,

Buryat State University, 24a Smolina St., Ulan-Ude 670000, Russia E-mail: [email protected]

Aleksandr V. Urbakhanov

Cand. Sci. (Phys. and Math.), A/Prof.,

East-Siberian State University of Technologies and Management 40v Kluchevskaya St., Ulan-Ude 670033, Russia E-mail: [email protected]

The article deals with cubature formulas of general type which include values of function and its derivatives, and gives a general representation of the finite functionals of these formulas.

Keywords: cubature formulas; error functional; Sobolev space; approximate integration; generalized function: Taylor formula; harmonic operator; numerical integration.