CC BY
25
УДК 517.518.87
Ц. Ж. Юмова, И. Б. Юмов
ПОСТРОЕНИЕ СЕРИЙ РЕШЁТЧАТЫХ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ С РЕГУЛЯРНЫМ ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ В АНИЗОТРОПНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
На основании функционально-аналитического метода теории кубатурных формул [3] построены элементарные функционалы погрешности на плоскости с узлами, лежащими внутри или же на границе произвольной гладкой области. Построены серии решётчатых кубатурных формул с регулярным пограничным слоем, оптимальные по коэффициентам. Выполнены требования согласованности порядка сходимости с шагом решётки и гладкостью функции вдоль выбранных координатных направлений. Это позволило свести к минимуму норму функционала и тем самым улучшить качество формул. В узлах решёток этих формул были определены коэффициенты, учитывающие дифференциальную природу подынтегральной функции. Рассчитанные коэффициенты улучшают качества оптимальных кубатурных формул в анизотропных пространствах Соболева. Результаты полученных методов проверены на контрольных задачах с известными решениями.
Ключевые слова: оптимальные кубатурные формулы, функциональные пространства Соболева, регулярный пограничный слой.
Предварительные сведения и обозначения. Пусть к = 1,.., п, к^ > 0 — шаги решётки, Хк — узлы формулы, Ск — коэффициенты формулы, тк — гладкость функции по координатным направлениям,
т = (тьт2,..., тп), т* = п/(^П^т"1), к = ё1ад(к15к2,.., кп) — матрица периодов, Д^ = {х е Еп, 0 < Хк < кк} — фундаментальный параллелепипед с длинами рёбер кк, Д^= кп = det к Ф 0, Д = {х е Еп, 0 < хк < 1} — фундаментальный единичный куб, Ы — количество узлов формулы
п (
вдоль выбранного направления, N =ПЫк , В = \у|уеЕп,0<Ук <Ык,
к=1
Хп=1У к = Ык } — ньютоновская система узлов.
Юмова Цыренханда Жэмбэевна — кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики (Бурятский государственный университет, Улан-Удэ); e-mail: e-mail: syum@mail.ru.
Юмов Игорь Бимбаевич — кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений (Бурятский государственный университет, Улан-Удэ); e-mail: igyumov@mail.ru.
© Юмова Ц. Ж., Юмов И. Б., 2016
92
Известно [1], что анизотропное пространство Жр (Еп) при 1 < р <
ж
является полным, сепарабельным при 1 < р <ж и при 1 < р <ж рефлексивно и равномерно выпуклым.
В работе исследуются кубатурные формулы на классах периодических функций анизотропного пространства с матрицей периодов к . Построенные формулы будут использованы для целого семейства подынтегральных элементов пространства (Еп) с естественной нормой
И wpm (En)
E Иx)|Р +Z"k=i Dmk?(x)
\dx
1/p
< ж.
В рамках функционально-аналитического метода погрешность рассматривается как линейный ограниченный функционал над анизотропным пространством основных функций. Функционал представляет собой разность
(¡п= х)Сх- ЪКк=1СкФ(х(к))
между интегралом и приближающей его линейной комбинацией значений подынтегральной функции. В качестве основной выступает подынтегральная функция, а обобщенной — разность характеристической функции области интегрирования и линейной комбинации дельта-функций 8(х) Дирака, которые имеют смысл при воздействии на непрерывные пробные функции. Отсюда требование, чтобы основное пространство было вложено в пространство непрерывных функций
Жрт (Еп) с С(Еп), обеспечиваемое условием вложения р -£п=1тк-1 > 0 [2].
Это вложение непрерывно, т. е. функционал погрешности кубатур-ной формулы не только линеен, но и ограничен на (Еп). Знание численной мажоранты для его нормы в сопряжённом пространстве Жрт (Еп) позволяет получать для произвольной функции гарантированные оценки близости истинного значения интеграла по и-мерной ограниченной области П с кусочно-гладкой границей Г
I (I) =\ I (х)сХ
п
к рассматриваемой на ней кубатурной сумме
Кк (I) = Тк=СМ х(к)).
Общее представление норм функционала погрешности и экстремальной функции. Для отыскания функционала погрешности ку-
93
батурной формулы в соответствующем пространстве требуется доказать, что он является регулярной обобщенной функцией. В дальнейшем такое представление используется для нахождения нормы функционала, которая уже непосредственно определяет границы погрешности приближения. В свою очередь, для отыскания нормы функционала погрешности используется экстремальная функция, которая является обобщённым решением некоторых дифференциальных уравнений в частных
производных. Дифференциальный оператор ¿(Б) = ^£=0 (_1)™к Б2тк ,
входящий в такое уравнение, порождается видом нормы функции в основном пространстве.
Доказано в [4], что при <р е , и е Ш™ любой финитный линейный _*
функционал / е Шрт удовлетворяет уравнению Ь(П)и = / (х) и представим в виде:
(l, 9 = \En zn=c(-1)mk Dmku * Dmkpdx.
При выполнении условия рт— > 0 в (Д^), где 1 <р <<»,
— + — = 1, периодический функционал погрешности /о (Н_1х) = 1 - Фо (Н_1х) Р Р' имеет вид:
~0(Н-1х)щ(х)) = | £ (в^ЫЬ-'х) + иткск>) )вткр(х)йх, (1)
' АЬ Д- к=0
Н
его норма определяется равенством
~0(h-1x)
wm (Ah)
J z
A-hk=0
z
ß*0
(2mh~— ßk Tke-2mh^ + h™kc(0)
Kß)
\V p'
dx
а норма экстремальной функции щ (Н 'х) имеет представление
9o(h 1x)
wm (ч)
J z
4k=0
z
ß*0
(Imh— ßk)mke~2mhh-ßkXk m^ (0)
Mß) k k
n1/p
dx
Построение элементарных функционалов погрешностей на плоскости. Построение серии решётчатых кубатурных формул, асимптотически оптимальных относительно интегрируемых функций всецело зависит от нормы функционала погрешности в соответствующем
\
у
V
У
94
пространстве. Особенность анизотропного пространства в том, что в узлах решётки кубатурной формулы коэффициенты определены с учётом дифференциальной природы подынтегральной функции по выбранным координатным направлениям. При оценке качества той иной кубатурной формулы предпочтение отдаётся той, функционал погрешности которой имеет меньшую норму.
Для построения наилучшей кубатурной формулы при заданной ньютоновской системе В узлы возьмём лежащими строго внутри или же в границе гладкой области П, при фиксированных шагах к1,к2,.., кп вдоль выбранных координатных направлений. Минимизируем куба-турную формулу по коэффициентам Су с учётом согласованности порядка сходимости с шагом решётки и гладкостью функции по координатным направлениям, определяемым с помощью системы соотноше-
*
ний кт1 = кт2 =... = кпт" = кт . Распределение узлов Хк внутри произвольной гладкой области П, учитывающей свойства анизотропного пространства, возьмем в вершинах параллелепипедальной решётки. В
этом случае узлы Хк можно найти по формуле Хк = ккУк, нумеруя их с помощью мультииндекса у = (У1,У2,...,Уп) с целочисленными координатами. Коэффициенты кубатурной формулы
1-&А 1-^2к2 1-апкп
(1,ф}= | | ••• |^(Х1,Х2,.., Хп)йХ1 Сх2 — Схп -0 0 0
- Е Е — Е СУ1СУ2—Суп р(п,Г2,..,Гп) = \^(х)Сх - Е С7?(у) > (2)
71=0 72 =0 Уп =0 * УеВ
выбираются так, чтобы выполнялись равенства
Е!Сук Уакк = ^^, = 0,1,...,тк (3)
Гк =0
ak +1
при любом значении гладкости функции тк, к=1,2, ..., и. Выбор коэффициентов из системы (3) обеспечивает наиболее быстрое при N ^ да приближение интеграла I(I) кубатурной формулой Кк (I).
Пример. Используя построенную формулу, вычислить инте-11
грал 11 (х3 + у5) ёхёу с проверкой качества с известным решением. 00
Беря декартово произведение коэффициентов, вычисленных с помощью равенства (3), для решётчатой кубатурной формулы, точно интегрирующей многочлен третьей степени по переменной х\, и много-
95
член пятой степени по переменной х2, имеем
г _^(1V42)_ 3 95 _ 285 _ „(1^(2^3 1427 _ 4281
С00 — С С —---—-, Сп1 — С С —---—-,
0 0 8 288 2304 01 0 1 8 1440 11520
^ -г(1)г(2)-3 ( 133 1_( 399 1 _^(1W2)_ 3 241 _ 723
ст — сп с — — I--1 — 1--I, ст — сА с —---—-
0 2 8i 240 М 1920 / 03 0 3 8 7 2 0 5 7 60'
СП4 — с(1)С(2) — 3(-J^l — f-J^I С„, — С(1)С(2) — 3.-L —
9
-04 — с° с4 — 81 1440 I — I 11520 ) С05 — С0 С4 8 160 1280'
с10 = q(1)q(2) = 19._95 = 1805 Q! = q(1^(2^ 19. 1427 1805
24 288 6912 11 1 1 24 1440 34560 19 ( 133 1 2527 „ „m^m 19 241 4579
С12 — С(1)Сf —19 (-1331 — - 2523 С13 — C,(1)d2) — 12 1 2 241 240) 5760 13 1 3 24 720 17280
С — с(1)С(2) — ^ (-—(-328L1 С — С(1)С(2) 19 3 57
14 1 4 241 1440! I 34560)' 15 1 5
С20 — i-4-95 — (-Л1!' С21 — с«с<2) — f^-5! 1427 —
20 | 24) 288 | 6912) 21 2 1 | 24)1440 | 34560,
241 1440) I 34560) 15 1 5 24 160 3840
с22 — I-AY-1331 — с23 — с(1)с(2) — (-А 1.241 —
1 24 А 240) 5760 23 23 I 24) 720 17280
,4 — | -А 1(-U1.1 —' с25 — с(1)с(2) ( 5 1 3 ( 15
24 I 24 А 1440) 34560 25 25 I 24) 160 I 3840
^ -rVriZ)- 1 95 _ 95 _r(1)r(2)_ 1 1427 1427 С30 — С С —--—-, С31 — с с — -
30 3 0 1Л 1QQ ЛОП 31 3 1
24 288 6912 31 3 1 24 1440 34560
с, — с(1)с(2) — ± (-1331 — (- Ü31' с33 — с<1)с<2> — -1.241 — J4L
241 240) | 5760) 33 3 3 24 720 17280
С34 = сШ2) = -1 Г-= , С35 = СМ2) = -1 = .
34 3 4 24 ^ 1440) \ 34560) 35 3 5 24 160 3840
Найденные коэффициенты подставим в формулу (2), оптимальную относительно интегрируемых функции, зависящих от гладкости по направлениям:
96
1 1
JJp{Xi, X2)dXidX2 ~
00
« С00<р(0,0) + С01<р(0,1) + Cq2<P(0,2) + С03<р(0,3) + С04<р(0,4) + С05<р(0,3) +
+Сюр(1,0) + Спср(\;1) + С12<р(1,2) + Q3<p(1,3) + Сыр(1,4) + Qp(1,5) + +С20<Р(2,0) + С21<р(2,1) + С22<р(2,2) + С2зр(2,3) + С24Р(24) + С25Р(2,5) + +Сзо<р(3,0) + Сз1<р(3,1) + Сз2<р(3,2) + Сззф(ЗЗ) + Сз4<р(3,4) + Сз5р(3,5).
11 285 4281
J J (x1 + x2 )dX1dX2 ъ^285 р(0,0) + Y281 Р(0,1) +
, 399 \ 723 ( 519 \ 9
+ 1--р(0,2) +-р(0,3) + 1--\р(0,4) +-р(0,5) +
1 1920 ) 5760 { 11520 ) 1280
1805 27113 ( 2527 \ 4579
+-Р(1,0) +-р(1,1) +1--\р(1,2) +-р(1,3) +
6912 34560 I 5760 ) 17280
( 3287 \ п .. 57 ( 475 Л АЧ ( 7135 \
+ ,--\Р(1,4) +-р(1,5) + 1--\р(2,0) + 1--\р(2,1) +
I 34560) 3840 I 6912) I 34560]
665 ( 1205 \ 865 „ ( 15 .
+-Р(2,2) + ,--\р(2,3) +-р(2,4) + 1--\р(2,5) +
5760 \ 17280) 34560 I 3840)
95 1427 ^ ( 133 \ 241
+-Р(3,0) +-р(3,\) + 1--\р(3,2) +-р(3,3) +
6912 34560 I 5760) 6912
173 \ 3 5
+ 1--№3,4) +-ф(3,5) = — ~ 0,4166666667.
1 34560) 3840 12
Полученный результат подтверждает тот факт, что построенная элементарная кубатурная формула точно интегрирует многочлен третьей степени по хг, и многочлен пятой степени по х2, и совпадает с
5
аналитическим значением интеграла, который также равен — .
Построение кубатурной формулы с пограничным слоем. Функционалы с регулярным пограничным слоем на плоскости строятся путём суммирования элементарных, как в обычном анализе формулы получаются суммированием элементарных формул прямоугольников при различных шагах решётки кг, Н2. Для этого преобразуем функционал
97
v 11 1
1д- ,Р( х1, х2/ = JJp( х1, X2)dxidx2 =J h '00 n
m!
+ I h1Cn
Y1=0
1 m1
J P(x1, x2 )dx1 - Ц h1CY P(h1 Yb x2 )
0 Y1
m1
dx^ +
Jp(hYbx2)dx2 - X h2C^^(h1Y1,h2Y2)
0 Y2 =0
Формула с регулярным пограничным слоем для прямоугольника с длинами рёбер кг, к2 вдоль координатных осей ОХг и ОХ2 соответственно будет иметь виц:
11 Шу
Н*х1, Х2^Х^Х2 « Ь к2 2 2 СпСпф(к1У1,Н2У2).
00 У1=0 У2 =0
1
11
JJp(x1, x2)dx1dx2 :
h1 h2 00
« c0 D0 p(0,0) + D0 <p(h1,0) + D0 p(2hb0) + ...
+ £>0^(( N - 1)h1,0) + C0 ^0^(1,0) + + Q D1 p(0, h2 ) + D p(h, h2 ) + D1 p(2hx, h2 ) +. ... +Dxq>((N1 - 1)h1, h2) + C0D1p(1, h2) + ...
1
.... -1)Ь1,(^2 -1)Ь2) + С0^1*(1,(^2 -1)Й2) +
+ С0 £>00*0,1) + Б0*(А1,1) + А*(2Й1,1) +....
.... + - 1)Й1,1) + С^(1,1).
Таким образом, построенные в работе кубатурные формулы с различными запасами гладкости подынтегральных функций из-за принадлежности анизотропному пространству, порождают и различные потенциальные возможности развития и применения квадратурного или ку-батурного процесса в прикладных исследованиях. Их качество проверено на контрольных задачах с известными решениями. Результаты исследования были доложены на международной конференции «Дифференциальные уравнения и математическое моделирование», посвящённой 70-летию со дня рождения профессора В. Н. Врагова (г. Улан-Удэ — оз. Байкал, 20-27 июня 2015 г.).
Ниже для сравнения приведены приближённые значения некоторых тестовых интегралов и значения, полученные с помощью серии построенных формул (табл.).
98
Таблица 1
Тестируемый интеграл Приближённое значение интеграла (аналитическое) Значение интеграла, полученное с помощью куба-турной формулы
11 JJ cos x y 2dxdy 00 0,28049 03282 6 0,28049 23845
11 JJxexp (y2)dxdy 00 0,7313258729 3590 0,73132 62502 90227
11 с с 3 2 J J x y dxdy 00 0,8(3) 0,83333 33337 5(0)
11 J J x3 cos10yA dxdy 00 0,11474 47866 46529 0,11476 01982 23153
11 J J x sin 10л y2dxdy 00 0,47970 94404 30739 0,47949 94711 67358
11 JJ cos 10 x2exp( y3) dxdy 00 0,23239 51887 37434 0,23241 51838 02369
11 JJ (cos 10 x2 + exp( y3))dxa 00 1,51508 75341 69638 1,51510 24848 69615
11 J J x2 cos(y3) dxdy 00 1,26503 77739 24878 1,26503 79371 20838
Список литературы
1. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975. 480 с.
2. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1977. 456 с.
3. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974. 808 с.
4. Юмова Ц. Ж. Вычисление параметров функционалов погрешностей кубатурных формул с пограничным слоем в неизотропном пространстве: дисс. ...
канд. физ.-мат. наук: 01.01.07. Улан-Удэ, 2006. 127 с.
* * *
Yumova Tsyrenkhanda Zh., Yumov Igor B.
INSTRUCTION OF SERIES OF LATTICE CUBATURE FORMULAS WITH REGULAR BOUNDARY LAYER IN ANISOTROPIC SPACE
(East Siberian State University of Technology and Management, Ulan-Ude)
Based on the functional-analytical method of the theory of cubature formulas [3] it were constructed the elementary functional errors on the plane with the nodes that lie within or on the boundary of an arbitrary smooth area. There were built a series of lattice cubature formulas with
99
regular boundary layer, optimal from the coefficients. They had fulfilled the requirements of the harmonization of the convergence with the lattice spacing and the smoothness of the function along the selected coordinate directions. This allowed on the elementary errors functional replace some nodes of lattice on the other ones, to minimize the norm of the functional and thereby improve the quality of the formulas. On the nodes of the lattices of these formulas were determined coefficients that account the differential nature of the integrand. The calculated coefficients improve the quality of optimal cubature formulas in anisotropic Sobolev spaces. The results obtained by the methods tested for control problems with known solutions.
Keywords: optimal cubature formulas, functional Sobolev spaces, regular boundary layer.
References
1. Besov O. V., Il'in V. P., Nikol'skiy S. M. Integral'nye predstavleniya funktsiy i teoremy vlozheniya (Integral representations of functions and embedding theorems), Moscow, Nauka Publ., 1975. 480 p.
2. Nikol'skiy S. M. Priblizhenie funktsiy mnogikh peremennykh i teoremy vlozheniya (Approximation of functions of several variables and embedding theorems), 2nd ed., Moscow, Nauka Publ., 1977, 456 p.
3. Sobolev S. L. Vvedenie v teoriyu kubaturnykh formul (Introduction to the theory of cubature formulas), Moscow, Nauka Publ., 1974. 808 p.
4. Yumova Ts.Zh. // Dis...Cand.phis.- Math. Sciences (01.01.07) / East- Sib. State Techn. University, Ulan-Ude, 2006. 127 p., (Russian).
5. 4. Yumova Ts. Zh. Vychislenie parametrov funktsionalov pogreshnostey kubaturnykh formul s pogranichnym sloem v neizotropnom prostranstve (The calculation of the parameters of functional errors of cubature formules with boundary layer in the anisotropic space): dissertation for the degree of physical and mathematical sciences: 01.01.07. Ulan-Ude, 2006. 127 p.
•Jc -Jc -Jc
100
