О возмущениях погрешности при малых шевелениях весов кубатурной формулы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии

Том 11, Специальный выпуск, 2006

О ВОЗМУЩЕНИЯХ ПОГРЕШНОСТИ ПРИ МАЛЫХ ШЕВЕЛЕНИЯХ ВЕСОВ КУБАТУРНОЙ ФОРМУЛЫ*

B.JI. Васкевич Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,

Новосибирск, Россия e-mail: vask@math.nsc.ru

In the paper we examine how the error of a given cubature formula varies under small perturbations of its weights. Considering this problem in Sobolev spaces of periodic functions of finite smoothness we establish that the norm of a perturbed error functional does not exceed one and a half of the norm of the initial error functional provided that the number of nodes of a cubature formula under study is not greater then some upper boundary. This upper boundary depends on the smoothness of integrands, the dimension of the space of independent variables, and the constants of the machine arithmetic.

Пусть для приближения многомерного интеграла

по ограниченной области интегрирования О С М" с кусочно-гладкой границей и единичным объемом используется кубатурная сумма

где 5(x) — известная дельта-функция Дирака; числа ck — это веса формулы, а множество

состоит из узлов формулы. Приближенное равенство /п(^) = принято называть ку-

батурной формулой. Отметим, что правила, указывающие узлы х(к) и вес а ск кубатурной формулы, от выбора конкретной интегрируемой функции ^(х) не зависят.

Подынтегральная функция ^ принадлежит некоторому банахову пространству x = x (О), вложенному ограниченным образом в пространство С (О) непрерывных в замыкании

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 05-01-00250).

© Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2006.

A = {x{1\X{2\...,X{n) | х^ G О}

области О функций, В частности, существует конечная константа вложения Л, т. е. такое конечное положительное число, что

эир \ср(х)\ < А\\ч> I Х\\ Усрех,

жбП

(1)

Л

дественно единичная функция принадлежит X = X (О) и при этом ее норма в X равна единице, В этом случае заведомо имеет место неравенство Л > 1,

Теоретически погрешность кубатурной формулы удобно определять с помощью функционала погрешности ¡м [1], задаваемого равенством

(¡М, = /п(^) - Ем =

N

Хп(ж) - ^ Ск£(ж - ж(к))

к= 1

Функционал погрешности ¡м линеен и ограничен на своей естественной области определения — банаховом пространстве непрерывных функций С (О), При этом для произвольной функции ^(ж) из X имеет место оценка

|(1м ,^)1<1|1м | X *||.||^ | XII V ^ е X.

(2)

Предположив, что для вычисления кубатурной суммы Ем использован компьютер (ЭВМ), что естественно, особенно для больших значений N мы получим вместо Ем некоторое число Ем которое с исходной суммой Ем вообще говоря, не совпадает. Тем самым на практике реализуется погрешность, характеризуемая уже не функционалом ¡м, а некоторым иным "машинным" функционалом (¡м)р, задаваемым равенством

((¡м)р, = 1п(^) - ЕмМ V^ е X.

Функционалы (¡м)р и ¡м друг с другом не совпадают, ибо существуют функции ^ из X, для которых ((¡м)р, = (¡м, Более того, функционал (¡м)р нелинеен, а следовательно, оценка (2) к нему уже неприменима. Тем самым возникает потребность в формулировке некоторого пригодного для функционала (¡м)р аналога оценки (2),

Чтобы записать искомую оценку для функционала (¡м)р в явном виде, необходимо учесть, что конкретно приводит к различию величин Ем и ЕмВ основе этого различия лежит тот фундаментальный факт, что множество М всех вещественных чисел не совпадает с множеством ^ машинных чисел, с которыми, собственно, компьютер и оперирует,

В частности, в отличие от М множество ^ машинных чисел конечно, и в нем существуют порог машинного нуля и порог переполнения — положительные элементы £0 = £0(^) и = ) соответственно (см., например, [2, с, 19]), Кроме того, существует положительное число £1 = £1(^), определяемое тем условием, что 1 + £1 припадлежит а па интервале (1,1 + £1) нет ни одного числа из Число £0, как правило, значительно £1

превосходит единицу весьма существенно.

Параметры £0, £1 и относятся к фундаментальным компьютерным стандартам и должны быть заданы заранее, до проведения каких бы то ни было машинных вычислений.

Поэтому оценить результат этих машинных вычислений мы вправе с помощью следующей числовой функции:

RF = RF(X,EN)= sup |Jny:yi (3)

V2elr2<AMX\\<e^ № I A II

Здесь A — это константа вложения из (1). В силу самого определения параметра Яр имеет место оценка

9/2

\((1м)Р,ср)\<ЯРУ\Х\\ при УсреХ: л/2е9/2 <АЦср\ХЦ<£^3. (4)

Константа Яр минимальна со свойств ом (4) и Яр = ||/м | X *||, В пределе же при стремлении е1 к нулю, а порога переполнения — к бесконечности параметр Яр стремится

к ||/м | X*||. Поскольку па практике вместо теоретической оценки (2) приходится иметь

Яр

ствующую асимптотическую формулу и получить с ее помощью условия, при которых величины Яр и ||/м | X*|| мало отличаются друг от друга.

Прежде чем такие условия записать явно, необходимо вспомнить стандарты представления вещественных чисел в виде машинных (имеется в виду широко известная модель арифметики с конечной точностью, или представление вещественных чисел с плавающей точкой [2-5]), Общепринят 1ЕЕЕ-стандарт двоичной арифметики [2, с, 19], в котором под запись машинного числа отводится 32 бита (1 бит — под двоичную запись знака 5 числа, 8 бит — под двоичную запись показателя е числа и 23 бита — под двоичные цифры его мантиссы /), Заданным 5, е и / соответствует машинное число (—1}в2е—127(1 + /), Представлению чисел в такой форме соответствует набор из трех машинных констант, включающий в себя упомянутые ранее положительные параметры е0, е1 и В выбранном варианте 32-битового представления двоичного числа имеют место соотношения [2]

ео = 2-126 « 10-38, = 2127(2 — 2-23) « 2128 « 4 ■ 1038, £1 = 2-23 « 12 ■ 10-8. (5)

Отметим, что 1ЕЕЕ-стандарт двоичной арифметики реализован всеми персональными компьютерами.

Далее, необходимо остановиться на определенном алгоритме вычисления скалярного произведения (на компьютере с принятым форматом машинных чисел), ибо сумма Ем по определению представляет собой скалярное произведение вектора с = (е15 е2,..., ем) весов кубатурной формулы па вектор ф = (^(х(1)),..., ))) значений подынтегральной функции ^(х) в узлах Д формулы Ем= (с, ф), Тем самым величину Емдействительно можно рассматривать как результат работы некоторого алгоритма по вычислению скалярного произведения.

Пусть в следующей теореме скалярное произведение вычисляется посредством алгоритма, приведенного в [4, формула (5,6)], а также [5] — условимся обозначать его через Т, Теорема. Пусть машинные константы е0, е1 и езаданы, соотношениями (5), константа вложения А, определяемая из (1), и веса, (е1,..., ем) кубатурной формулы подчиняются условиям

(ЛГ \ V2 -

Тогда справедлива следующая оценка:

Rf - ||/N | X*|| < 2NAp ^kC lCfcI + 1^ nPu N < 1/ei- (6)

Доказательство. Пусть функция ^ принадлежит шаровому слою

{<р С X \ yfie9/2 < АУ \ х\\ < е^3} .

С помощью оценки (1), а также в соответствии с неравенством N < 1/е1; справедливым по условию, и неравенством 2еЦ3 < вытекающим из (5), получаем

4 , А /ТТм I . ^ I I , £-оо . Л/ ¿-ОО

Mb^EW^)!1) < | AI <| AI < ^ < 2

k=1

Эта оценка и условие 11 с 112 < yfe^/2 достаточны для выполнимости вычислений в выбранном алгоритме Y [4, с, 246], в частности, для справедливости соотношения

|(c, ф)| < ||c|2N^Hs < ете/4.

Тем самым к скалярному произведению (c, ф) = Е N применимо округление в избранном двоичном формате и в условиях теоремы величина ЕN заведомо определена. Пусть RfЕ N) = |1п(^) — Еn(^)|- Пользуясь неравенством треугольника, имеем

Rf Е N) < | W) — (c, ф)| + I (с, ф) — Е N MI =

= |(In, + I(c, ф) — ЕN(^)| < ||lN | X*|| ■ I X|| + |(с, ф) — ЕNМ|. (7) Как доказано в [4], при Ne1 < 2 имеет место неравенство

^ Np Np

- S T^NeTß g + T^ß' <8»

По условию p1N < 1, а следовательно, 1 — Np1/2 > 1/2, Подставляя эту оценку в (8) и в очередной раз пользуясь (1), приходим к соотношению

I(c, ф) — ЕNMI < 2N I X|| ^ |cfcI + е^ . (9)

Учитывая, что в условиях (5) справедливо равенство £о = v'2 1 а также условие, что v'2 У 2 < A\\tp | Х||, выводим из (9) следующую оценку:

I(c, ф) — ЕN(^)|< 2NAe1 |ckI + ^ I X||. (10)

Подставляя (10) в (7), имеем

Д|И xf - lllN 1X1 + 2NÄ£l Ы + при АЬ 1 Х|1 " (11)

Отсюда и из (3) вытекает оценка

N

Rf - ||/n | X*|| < 2NA£l ^ jcfcj + 1 . (12)

4fe=i

Пусть теперь </? — произвольный элемент единичной сферы пространства X. Пользуясь неравенством треугольника и (10), что возможно, ибо А > 1, а л/^е^2 < 1, имеем

N

ЯрXN) > |(1м- |(с, ф) — ЕNМ| > |(1м- ^ |с*| + ^ . (13)

Заметим теперь, что в силу условий па константу вложения 1 < А < еЦ3 единичная сфера пространства X является внутренним подмножеством шарового слоя

^ е X \V2e9/2 < АУ \ Х\\ < е^}

Учитывая это и переходя в (13) к точной верхней грани, взятой по всем ^ из единичной сферы пространства X, получаем

Rf > sup RfЕ n) > ||1n | X*|| - 2NAei |V |cfc| + 1 ) . (14)

ii^im \fc=i J

Объединяя оценки (12) и (14), приходим к искомому неравенству (6), □

Оценку (6) можно переписать в эквивалентном виде

Rf - ||1n | X*|| < 2NA||1n | C*|| ■ eb

В этой связи произведение 2NA||1N | C*|| естественно рассматривать как оценку сверху числа обусловленности кубатурной формулы 1п(ф) = ENпа прострапстве X,

Рассмотрим пример приложения теоремы к кубатурным формулам на периодических пространствах Соболева конечной гладкости, В качестве области интегрирования возьмем единичный куб:

Q = {x е Rn | x = (x1, x2,..., xn), 0 < Xj < 1, j = 1, 2,..., n} .

В качестве функционального пространства X = X (Q) выберем Wm(Q) — пространство Соболева, образованное периодическими с единичной матрицей периодов функциями из L2(Q), обобщенные производные которых вплоть до порядка m также принадлежат пространству L2(Q). Норму в W2m(Q) зададим посредством следующего равенства:

k I wm(Q)\\ =

j ip(x)dx|2 + j ^Da^2dx

Q Q H=m

1/2

<.

Хорошо известно, что пространство Соболева ^т^) при условии т > п/2 вложено ограниченным образом в пространство С непрерывных в замыкан ии куба ^ функций. Тождественно единичная функция принадлежит и ее норм а в Ш^^) равна единице. Произвольная функция ^(ж) из Wm'(Q) разлагается в сходящийся по норме ряд Фурье

где

п

= ^ & ж,-.

¿=1

Через коэффициенты Фурье ] этого разложения норма функции ^(х) в Жт(ф) выражается посредством равенства

№ I И>Т(д)||2 = Ы0]|2 + £ |2пвГЫв]|2,

в=о

где

|2пв|2т = (2п)2т в

¿=1

Следовательно, для произвольной функции ^(х) из Жт(ф) имеет место оценка

I I 1/2

хед [

В силу условия т > п/2 ряд в данном представлении константы вложения А заведомо сходится, а знак равенства в приведенной оценке достигается на функции

в=о 1 и 1

Далее, для заданного числа узлов N условимся рассматривать па функциях из Жт(ф) кубатурпую формулу, получающуюся как прямое произведение п квадратурных формул трапеций, построенных для отрезков 0 < < 1, ] = 1,2,..., п. Предполагается, что каждая из квадратурных формул в этом прямом произведении имеет на своем отрезке равномерное распределение узлов с шагом К, где 1/К — натуральное число. Ясно, что при этом Nhn = 1, а веса соответствующей кубатурной формулы положительны и дают

N N

в сумме единицу: ^ |ск | = | ^ ск | = 1, Квадрат нормы соответствующего многомерной к=1 к=1

формуле трапеций функционала погрешности ^ выражается через шаг К решетки узлов формулы с помощью равенства

11^ I иг (д)||2 = Е = -1).

А

Таким образом, в рассматриваемом случае периодических пространств Соболева оценка (6) принимает вид

Яр - | №ГШ\ < 2ИАе1 Ы + = 4А^4£1 при N < X (15)

Из полученных выше явных выражений для нормы | Жт*(ф)|| и константы вло-А

т

эквивалентно неравенству

8NÄ£i < hm(Ä2 - 1)1/2 = N-m/n(A2 - 1)1/2

или, что то же самое,

^ т+п I А2 1

Преобразуем оценку (17) к более удобному виду. Заметим, что

1=у 1 ч 2И у 1 = П\В2ш\ , ,

^ |2тг/3|2т - (2тг)2т к2т (2т)! '

к—1

где В2т — число Бернулли, При п = 1 в (18) имеет место точное равенство. Как известно (см., например, [6, формула (23,1,15)]), справедлива оценка снизу

|Е>2т| 2

(2m)! (2n)2m'

Учитывая ее, а также пользуясь соотношениями (18), получаем

Ä2 1 (2m)! (2n)2m (2n)2m

= 1 + -^-< 1+ , < 1 + -—-—<

А2 - 1 А2 - 1 - п|В2т| - 2п - п '

Последнее неравенство имеет место в силу справедливого при т > п/2 соотношения 2п < (2п)2т, Таким образом, неравенство (17) будет заведомо выполнено, если

т+п (2тг)т 1 ЛГ ( у/п

N~ v L. <— ^^ N <

n

m+n

п ~ Sei ~ V8£i(27r);

Учитывая эквивалентность неравенств (16) и (17), а также пользуясь оценкой (15), заключаем, что при

п \ п

Л ( л/гг \ т+п | / \/п \ т+п N < mm < —,

справедлива следующая двусторонняя оценка:

1 ~ з __

-2\\iN\wrm\<RF<-2\\iN\wrm\-

Список литературы

[1] Соболев С.Л., Васкевич В.Л. Кубатурные формулы. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1996. 484 с.

[2] Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. М.: Мир, 2001. 430 с.

[3] голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999. 549 с.

m

[4] Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах / С.К. Годунов, А.Г. Антонов, О.П. Кирилюк, В.И. Костин. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1988. 456 с.

[5] Васкевич В.Л. Критерий гарантированной точности вычисления многомерных интегралов // Вычисл. технологии. 2004. Т. 9. Спецвыпуск: Избр. докл. VII Междунар. семинара-совещания "Кубатурные формулы и их приложения". Красноярск, август 2003. Новосибирск: ИВТ СО РАН. С. 44-49.

[6] Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. М.: Наука. 1979. 832 с.

Поступила в редакцию 15 сентября 2006 г.