Оптимальные методы вычисления многомерных гиперсингулярных интегралов Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.392

И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова

ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Аннотация. Предложен общий метод оценки снизу погрешности вычисления многомерных гиперсингулярных интегралов кубатурными формулами, использующими N узлов подынтегральной функции. Оценки получены для произвольного класса функций ¥, интегрируемых в смысле Адамара. Для ряда классов функций построены оптимальные по порядку по точности кубатур-ные формулы.

Ключевые слова: многомерные гиперсингулярные интегралы, кубатурные формулы, оптимальные по точности алгоритмы.

Abstract. The authors suggest a method of lower estimate of calculation error of multidimensional hypersingular integrals by cubature formulas, applying N nodes of a subintegral function. The estimations has been obtained for arbitrary class of the function ¥, integrated in the sense of Hadamard. For the range of function classes the authors have built cubatury formulas, optimal in order and accuracy.

Key words: multidimensional hypersingular integrals, cubatury formulas, accuracy-optimal algorithms.

Введение

Приближенные методы вычисления гиперсингулярных интегралов в настоящее время являются активно развивающимся направлением вычислительной математики. Активное развитие этого направления обусловлено двумя обстоятельствами. Во-первых, начиная с 50-х гг. прошлого века методы гиперсингулярных интегральных уравнений находят все больше применение в задачах аэродинамики [1-4] и становятся инструментом математического моделирования в электродинамике [5], ядерной физике [6], геофизике [7]. Во-вторых, непосредственное вычисление гиперсингулярных интегралов возможно лишь для нескольких очень узких классов функций.

Необходимо отметить, что большинство опубликованных к настоящему времени работ посвящено одномерным гиперсингулярным интегралам, для приближенного вычисления которых предложено большое число различных методов [8-14], их подробный анализ приведен в работах [12-14]. Оптимальные методы вычисления одномерных гиперсингулярных интегралов изложены в работах [12-14].

Значительно слабее разработаны приближенные методы вычисления полигиперсингулярных и многомерных гиперсингулярных интегралов. Насколько авторам известно, приближенным методам вычисления полиги-персингулярных интегралов посвящены только работы [12, 13], в которых построены асимптотически оптимальные и оптимальные по порядку куба-турные формулы вычисления полигиперсингулярных интегралов.

Возможно несколько подходов к приближенному вычислению многомерных гиперсингулярных интегралов. Изложим их на примере интеграла

11 <р(х,, , р = 3,4>^, _, < (|, <,. (1)

_,_,((Т1 _»1)2 + (Т2 _<2>2)р

Можно считать точку (^, ^) фиксированной и рассматривать (1) как интеграл с фиксированной особенностью. Приближенному вычислению ги-персингуляных интегралов вида (1) с фиксированной особенностью посвящены работы [11-13, 15].

Другой подход заключается в том, что параметр (^, ^) считается переменным и интеграл (1) вычисляется в предположении, что _1 < ^, ^2 < 1.

В работах [4, 12, 13] предложено несколько алгоритмов вычисления интеграла (1).

Основным недостатком этих алгоритмов является необходимость значительной предварительной обработки кубатурных формул, предшествующей их программной реализации.

В разд. 5 настоящей статьи предложены оптимальные по порядку методы вычисления интегралов вида (1), лишенные указанного выше недостатка.

Статья построена следующим образом. В разд. 1 даны определения гиперсингулярных интегралов. В разд. 2 приведены определения классов функций, используемых в работе. В разд. 3 приведены определения оптимальных алгоритмов. В разд. 4 исследованы оптимальные по порядку кубатурные формулы вычисления многомерных гиперсингулярных интегралов.

1. Определение гиперсингулярных интегралов

В работе [16] Ж. Адамар ввел новый тип особых интегралов.

Определение 2.1 [16, 17]. Интеграл вида Г—А(хМх— при целом р и

а а _ х)р+“

0< а <1 определяет величину («конечную часть») рассматриваемого интеграла как предел при х ^ Ь суммы

X Л{г)сИ В(х)

-1

а (ь _ ор+а (ь _ х)р+а

если предположить, что А(х) имеет р производных в окрестности точки Ь . Здесь В( х) _ любая функция, на которую налагаются два условия:

а) рассматриваемый предел существует;

б) В(х) имеет по крайней мере р производных в окрестности точки

х = Ь .

Произвольный выбор В(х) никак не влияет на значение получаемого предела: условие (а) определяет значения (р _ 1) первых производных от

В(х) в точке Ь, так что произвольный добавочный член в числителе есть

бесконечно малая величина по меньшей мере порядка (Ь _ х)р .

Первое определение многомерных интегралов в смысле Адамара дано в монографиях [16, 17], где были определены интегралы вида

Ф(тЬ ^ т3)

!!!

(С((ТЬ Т2, Тз)) р+а

Т2ёТ3, р = 3,4,..., 0<а<1,

при условии, что Т является цилиндрической областью с нижним основанием S, расположенным на координатной плоскости ОХУ и верхним основанием, являющимся поверхностью Ляпунова О = 0. Предполагается, что поверхность О не содержит особых точек, т.е. ни в одной из ее точек первые частные производные О не обращаются в нуль одновременно.

Приведем определение гиперсингулярных интегралов вида

іф=!!

ф(% %2)ІЇ Т2

О ((т1 _Ч)1 + (т2 _{2)2)р/2

где t = (1,2) - внутренняя точка области О; р (р >2) - целое число.

В зависимости от того, является ли р целым или нецелым числом, вводятся две регуляризации интеграла Ьф .

Обозначим через , е) круг с центром в точке t и с радиусом е, где £ < р^, дО), дО - граница области О; р(^ дО) - расстояние от точки t до дО. Пусть р - целое число, тогда имеет место следующее определение. Определение 2.2. Пусть функция ф(^, ^) имеет частные производные дМф(^, ^)

Э^д22 Эр-1ф('ь '2)

| V |= V + ^, 0 < V < р _ 1, / = 1,2, причем производные

удовлетворяют условию Дини - Липшица.

д^22

Регуляризацией интеграла Ьф при р > 3 называется предел

Ьф = ііш

£^0

'г ' ------ф<Т2-- р-2 - С( ^

0'і«,£)((Ті - 'і)2 + (Т2 - '2)2)Р/2 к=1 £к

V

где В(х), С(х) - любые функции, на которые налагаются следующие условия:

а) рассматриваемый предел существует;

б) В£ (х) имеет непрерывные производные до к порядка в окрестности

нуля;

в) функция С(х) удовлетворяет условию Дини - Липшица в окрестности нуля.

Замечание. В ряде случаев более удобно использовать следующее определение гиперсингулярного интеграла:

т

Ьф = Нш

А—0

II

о\о

ф(Т1, Т2 )ё %1$ %2

((Т _ь) + (Т2 _^) У

-I В(?)-США

к=1

где ^1 =[tl - А, ^ + А; ^ - А, ^ + А].

Замечание. Можно показать, что эти определения эквивалентны.

При р нецелом имеет место следующее определение.

Определение 2.3. Регуляризацией интеграла Ьф при р = к + а, к = 2,3,..., 0<а<1, называется предел

(

Ьф = Нш

£—>0

I I

ф(Т1, Т2 )ё %1$ %2

О \ ,£)

((Т - Ч) + (Т2 _ tl) )р

В(£)

2)р/2 ер-2

где В(е) - некоторая функция, на которую налагаются следующие условия:

а) рассматриваемый предел существует;

б) В(е) имеет непрерывные производные до (р -1) порядка в окрестности нуля.

3. Классы функций

Ниже описываются используемые в работе классы функций.

Для простоты обозначений даны определения классов функций двух переменных. Распространение этих определений на функции многих переменных очевидно.

Через Наа (В,М) обозначен гельдеровский класс функций /(х, у),

1 2

определенных в области В(В = [а,Ь;с, ё] = [а,Ь] X [с,ё] и удовлетворяющих

условию | /(х1, У1) - /(х2, У2) |< М(| х1 - х2 |а1 +1 у - у2 |а2).

Через (В,М), В = [а,Ь;с,ё], 0<М < ^ , обозначен класс опреде-

ленных на В функций /(х, у), имеющих частные производные

/(а,р)(х,у) = да+в/(х,у)/дхадув (0<а<г, 0<р<5),

причем ||)(x,у) |С(в)<М, ||/(г,])(х,0)I С(В)<М, ] = 0,1,..>,5-1,

I 1/0>)(0,у) | 1с(В)<М, I = 0,1,.., г -1.

Через С[(О,1), О = [а1,Ь^;...;а[,Ь1 ] обозначен класс функций [ независимых переменных, у которых существуют и ограничены по модулю единицей все частные производные до г -го порядка включительно.

Пусть О = [-1,1][, [ = 1,2. Функция ф(х1,...,х[) принадлежит классу

Qгy(О,М), если выполнены условия: шах| д^ф(х)/ дх-^"1... дх^[ |< М при

хеО

0 <| V |< г и | д|v|ф(x)/дхр... дх[^[ |< М / (ё (х, Г))^-г-^, х еО \ Г, при г <| V |< 5,

где 5 = r + [у] +1, у = [у] + м, 0< м <1, Z = 1 -М при у нецелом; 5 = r + у при у целом.

Здесь x = (xi,„.,x/), v = (vi,...,v/), | v |= vi +-+ vi, d (x, Г) - расстояние

от точки x до границы Г области О, вычисляемое по формуле

d(x,Г) = mini<y<i min(| 1 + xt |, |1 - xt |).

Пусть О = [-1,1]1, l = 1,2,., r = 1,2,., 0<y< 1. Функция f(x1,...,Xi) принадлежит классу Br у (О,M), если выполнены условия:

max | d|v|9(x1,..., xl) / dx^ — dx,1 |< M|v| | v ||v| при 0 <| v |< r,

xeQ

| 3|v|9(x^...,xi)/ dx^1 — dxVjl |<M|v| | v ||v|/(d(x,r))|v|-r-1+Y при r <| v |<«>.

4. Постановка задачи построения оптимальных алгоритмов вычисления гиперсингулярных интегралов

Постановка задачи построения оптимальных квадратурных формул принадлежит А. Н. Колмогорову. В дальнейшем Н. С. Бахвалов [18] сформулировал задачу построения оптимальных, асимптотически оптимальных и оптимальных по порядку алгоритмов решения задач математической физики, из которой следует постановка задачи построения оптимальных, асимптотически оптимальных и оптимальных по порядку кубатурных формул.

Приведем определения оптимальных, асимптотически оптимальных и оптимальных по порядку кубатурных формул вычисления двумерных интегралов. Их распространение на интегралы конечной размерности очевидно.

Для вычисления интегралов в смысле Римана эта постановка заключается в следующем. Рассмотрим кубатурную формулу

11 m n p1 р2

J J<p(t1 , T2)d ^d T2 = ZZZ Z Pkiij ф0, ])(xk, У1)+ Rmn (xk, yi; Pkiij; Ф), (2)

-1-1 k=1i=1 i=0 j=0

где -1 < x1 < x2 < — < xm < 1, -1 < У1 < У2 < — < yn < 1 - узлы кубатурной

формулы; Pkiij - ее коэффициенты.

Абсолютной погрешностью формулы (2) является величина

| Rmn (xk, yi; Pki]; ф)|.

2

Пусть ¥ - некоторый класс заданных в квадрате О = [-1,1] функций.

Положим

Rmn (xk, yi; Pkiij; ^)= sup|

Rmn (xk, yi; Pkiij; фН

фЕ^

Z mn [^ ]= inf | Rmn (xk, yi; Pkiij; ^)|.

(xkyi; Pkiij)

Здесь нижняя грань берется по всевозможным узлам (xk, yi) е О,

1 < k < m, 1 < i < n, и коэффициентам

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Pkiij(1 < k < m,1 < i < n,0 < i < p1,0 < j < P2).

* * *

Кубатурная формула (2), построенная на векторах (х*, у*; рщ)

(0 < к < т,0 < I < п,0 < / < р1, 0 < ] < р2), называется оптимальной, асимптотически оптимальной, оптимальной по порядку, если

* * *

| Rmn (Xk, y* ; Pkiij; ¥) | /Zmn[¥] = 1, ~ 1, х 1.

Замечание. Говорят, что an Pn, если lim ^n / Pn = 1. Аналогично,

^n ' rn

n——^

ап х вп, если 0< А <ап / вп < 5 < ^, А, В - константы.

Распространим эту постановку на многомерные гиперсингулярные интегралы.

Рассмотрим многомерный гиперсингулярный интеграл 1 1

Ьф = JJ—ф(тьT2)dT1dТ2 P/2, ft,t2)еО=[-1,1]2, P>2. -1-1 (Т - t( + (Т2 - t2)2 )

Интеграл Ьф будем вычислять по кубатурной формуле m n p1 p2

ьф=ZZZ Z Pkiij (t1, t2 ^ ])(xk, yi)+Rmn (t1, t2; xk, yi; Pkiij; ф). (3)

k=1i=1i=0 j=0

Обозначим через ¥ класс функций, на которых определены кубатур-ные формулы вида (3). Погрешность кубатурной формулы (3) определяется формулой

Rmn (xk, yi; Pkiij; ф)= sup |

Rmn

(th t2; xk, yi; Pkiij; Ф)|.

(М2еО )

Введем функционалы:

Rmn

[¥] supRmn ((xk, yi; Pkiij;ф);

Фе¥

Z mn

[¥ ]= inf

Rmn (xk, yi; Pkiij;¥),

xk, yi, Pkij

где нижняя грань берется по всем узлам (xk, yi) е О и всем коэффициентам

Pkiij.

k

Кубатурная формула вида (3) с коэффициентами Pkiij и узлами k k

(xk, yi) называется оптимальной, асимптотически оптимальной, оптимальной по порядку, если Rmn(x*, y*; Pkiij;¥) / С mn[¥ ] = 1, ~ 1, х 1.

Наряду с кубатурной формулой (3) интеграл Ьф будем вычислять по кубатурной формуле

N P1 P2 ,

Ьф = ZZ Z Pkij(tbt2)ф(г,])(Mk) + RN(tbt2;Mk;Pkij;ф), (4)

k=1 i1=0 j2 =0

где М^о - узлы кубатурной формулы; pkj - ее коэффициенты.

Обозначим через ¥ класс функций, на котором определены кубатур-ные формулы вида (4). Введем числовые характеристики:

RN (Mk, Pkij, ф) = suP RN (t1, t2;Mk; Pkij; ф) |;

(t1 ,t2 )еО

rn (Mk, Pkij, ¥) = sup rn (Mk; Pkij; ф);

Фе¥

Z N [¥ ]= inf |Rn (Mk, Piij, ¥)|.

Mk EPkij

k * ,

Кубатурная формула вида (4) с коэффициентами Pkij и узлами (Mk) называется оптимальной по порядку, если

Rn (M *, p*] , ¥)/ Z N [¥ ] = 1, - 1,X 1.

При оценке погрешности оптимальных кубатурных формул понадобится следующее утверждение, принадлежащее С. А. Смоляку и цитируемое по работе [18].

Лемма Смоляка. Пусть функционалы L(f),L^/),...,Ln(/) линейные и О - выпуклое центрально-симметричное множество с центром симметрии Q в линейном метрическом пространстве. Пусть sup/ео,^L(/) < ^, где

О0 ={/; /е О, Lk(/) = 0, k = 1,2,...,N}. Тогда существуют числа Г\,...,Dn

N

такие, что sup/ео | L(/) - Z^-DkLk (/)|= R(T), т.е. среди наилучших методов есть линейный.

Следствие. R(T) = sup /ео( L/.

5. Оптимальные методы вычисления многомерных гиперсингулярных интегралов с переменной сингулярностью

В данном разделе строятся оптимальные по порядку кубатурные формулы вычисления гиперсингулярных интегралов вида

Яф = }... } Ф(т.г.■Ti)dT. -dT2 , (5)

-1 -1((T1 -11) + ••• + (Ti -ti) )P

где p - вещественное число, P > i.

На функцию ф(^,...,ti) налагаются условия, достаточные для того, чтобы существовал гиперсингулярный интеграл (5) и были осуществимы вычисления по предлагаемым ниже кубатурным формулам.

Для вычисления интеграла (5) будем использовать кубатурные формулы следующих видов:

N N Р1 Р/ )

нф = 22 2 2Ркук^-ч(^1,..-5ч)Фг1,.,г/ (^к^...х/,к*)+

к1=1 к* =1^=0 у =0

+^ (x1,k1,..., х/,к*; рк1 ■■■к11 -ц ; ф) (6)

и

N

н ф = 2рк (t1,•••, Ч )ф(цк ) + (цк, рк, ф). (7)

к=1

Здесь Рку.ЩуЦ ^Ь---Ч) и {x1,k1,•••, }, (-1 < х,,к, < 1),

к, =1, 2, •, N1, ,' = 1,2,-,/ - коэффициенты и узлы кубатурной формулы (6),

а Рк (?[,..., tl) и Цк (Цк £О = [-1,1] ), к = 1,2,..^ - коэффициенты и узлы

кубатурной формулы (7).

Через ф^1 ,.,г/ )(tl,..., tl) обозначены частные производные:

Ф(,1,...,;1 )(^,...,ц) = Э,1+"'+,/ф(tl,•,ц)/Э^1,..,Эtll, 0< <Ру, у = 1,.,/.

Ниже для простоты обозначений в кубатурной формуле (6) будем полагать: N1 = N2= ••• N1 = N и р1 = р2 = ••• = Р/ = р, l = 2. Распространение полученных результатов на общий случай не вызывает затруднений.

Теорема 5.1. Пусть ¥ - класс функций, заданный на области

2

О, О = [-1,1] и такой, что существует гиперсингулярный интеграл (5) от каждой функции фе¥. Пусть интеграл (5) вычисляется по кубатурной

формуле (6), использующей п = (^ + 1)(р +1)) значений подынтегральной функции и ее производных. Тогда

Сп (¥) > Ап(р-2)/2 ^ 8ир ГГф(01,02)^01^02.

^к ,к/ Ф^¥Йк к) О

Здесь нижняя грань берется по всевозможным сеткам узлов {^к, к/ }, к, l = 0,1,...,2N +1, таким, что (^, К/ )е О, к, l = 0,1,..., 2N +1; ¥(^к, К/), к, / = 0,1,..., 2N +1, означает множество функций ф(01,02), входящих в класс функций ¥ и удовлетворяющих условиям:

1) функции ф(01,02) - неотрицательные;

2) функции ф(01,02) обращаются в нуль вместе с производными

Ф(,,у^1,t2) (0 <, < Р1, 0 < у < Р2) в узлах {^к, К/}, к,/ = 0,1,...,2N +1.

Доказательство. Покроем область О квадратами: Ак/ = У,^к+1';

V ,у/+1], к,/ = 0,1, -1, где ук = -1 + 2к / N, к = 0,1,..,Ж

Обозначим через {£к,П/}, к,/ = 0,1,..., 2N + 2, сетку, являющуюся объединением сетки {V,,Уу}, ,',у = 0,1,...,N, и узлов {ха,хр}, а,в = 0,1,...,N кубатурной формулы (6).

Замечание. Для простоты обозначений полагаем, что узлы кубатурной формулы {ха, хр}, а, в = 0,1,..., N, не совпадают с узлами сетки {V,, Vj},

,, у = 0,1,..., N.

*

Обозначим через ф (^, t2) неотрицательную функцию, принадлежащую классу функций ¥ и обращающуюся в нуль вместе с производными

ф(,1,,2)(^,t2), 0<<Ру,у = 1,2, в узлах {£к,П/}, к,/ = 0,1,...,2N + 2.

Каждому узлу У, V/) поставим в соответствие функцию фк/ (01,02), определенную формулой

0, (ol, °2) еАк/;

Ф*(01,02), (01,02) = [-1,1^ \ Ак/,

фк,/ (o1, °2) = | * _ _ 2, *

где Ак/ = Оп [vk-l, ук+1; у/-ь у/+1].

Тогда

^ (ук, V; хк1, хк2; Рк1к2,1,2; Фк,/):

г 1 Фк,/ (тЬ т2^т2 = ЁЁ! . Фк,/ (тЪ Т2^ т2

-1-1 ((Т1 -Ук)2 + (Т2 -V/)2)Р/2 2 2д„ ((Т1 -Ук)2 + (Т2 -V/)2)р/2

ч

к -2 /-2 * / \ 1 1

> 2 2 ГГ ф (тЪ х2)^ т1^ т2_____________+

~221 ((Т1 -VI,)2 + (Т2 -V/)2)р/2

у

к-2 N-1 *

+ 2 2 ГГ ф (тЪ т2)^ т1^ т2_____________,

2Я+2д ((Т1 -Vk)2 + (Т2 -V/)2)р/2

у

N -1 /-2

,- =2+ 22«Т1 -Vk)2 + (Т2 -V/)2)р/2

ч

+ 2 2 || Ф (ТЬТ2Мт1^т2 +

+ 2 ■2'1 гг Ф (тЬ т2)^ т1^ т2

4+22 А,. «Х1 - VI- )2 + (Т2 - V/)2)р/2

к-2/-2

У

> 22 ((к , |)2 + 1 . ,)2)р/2 I 7 1 |/Ф*(т1,т2)^т1^т2 +

,=0у=0((к-,-1) +(/-у-1) У V 2 1 •’А

у

1 г N

к 2 1 1 г^^р

+2 2 ((к ■ 1)2 + ( ■ +1 ,)2)р/2 I 7 I ЯФ'(ТЬ^1^2 +

,=0 у=1+2 ((к -,-1) + О + 1-/) ) 1 2 1 А у

N-1 /-2 1 г лгЛр

+ 2 2--------------2-2лт т! ||ф*(т1,т2)^т1^т2 +

,- 4+2((,■+1 - к)2+(/ - у -1)2)р/2121J А

, 2 2 у 2+2 ((, +1 - к )2 + О +1 - / )2) р'2 V т)

Ау

Осредняя предыдущее неравенство по к и /, 0 < к, / < N -1, имеем

вир шах^у (t1, t2; хк, , хк2 ; рк1к2,1,2; ф) >

Фе¥ г„г2 1 2

1 N-N-1 *

> —2 22^(vк, V; хк, , хк2; рк1к2,1,2; Фк,/) >

N2 к=0 /=0

к 2/ 2 1 Г^^р

22((к , 1)2 , „ . 1)2)р/2 I 7 I /!Ф'(Т1.^1^2 +

,=0j=0((k-,-1) + (/-у-1) Г V 2 1

у

к-2 ^-1 1 г ^ Лр г с *

+2 2 -------------2-Г"7ГI V I I |ф (Т1,*2)^X2 + ;=0у=/+2 ((к-I-1)2+(у+1 -/)2)р/2 V2) !А 1212

у

N-1 /-2 1 Г лг Л р

+ 2 2 ((, +1 _к)2 +1_ .-1)2)р/2 |~) II Ф (т,,%2)^х1^Т2 +

,'=к+2у=0 ((I + 1 - к) + (/ - у - !) ) 1 2 1 А ,

Ч

N-1 N-1 1 г N Л р

^■^(О' +1 - к)2 + (у +1 -/)2)р/2 I 2 1 ^

У

N-Ш -1

=N2 2 2

^ к=0/=0

Б(к - 2 -,-, / - 2 - у) г N г гг *. . , ,

20 у20((к-,-1)2+ (,-у-1)2) р/2 [Т1 ГА|Ф <Т1'Т2)<'Т|^Т2 +

Nг1Nг1 ,(к - 2 -,-,у - / - 2) г NЛргг *( ), ,

+ 22((к , |)2 + ( у +, .)2)р/2 I 7 1 1|ф (т1,т2)^т!^т2 +

,=0у=0((к-,-!) + О+1 -/) г 12; ■’Ау

ч

М-Ш-1 Р(,- - к - 2, / - 2 - у) г N "

,= у=0 ((,■ +1 - к)2 + (/ - у -1)2)р/2 I 2 / А,

N-1N-1 - к - 2, у - / - 2) Г N Лр

+22 ((,+,-: 2+„ -~)2) р/2 [ 11 J/Ф*(тl, +

/ - 2) Г N

=0у=0((| +1 -кУ +О’ +1 -/)2)р/2 V 2 1 ■'А

+22б 2.р/2т иф,^.д2)Л1^т2

12

л

I I ф* (Ті,Т2МТldТ2

I A,j

N—1N—і

УУ

k=0 І=0

P(k — 2 — i,/-2-у)

((k—, — і)2 + (І — j — 1)2)p/

+

+ p(k — 2 — i, j — І — 2) + p(, — k — 2, І — 2 — j) +

((k —, — l)2 + (j +1 — - )2)p/2 ((, +1 — k )2 + (l — j — l)2)p/2

+

D(i — k — 2, j — l — 2)

((, +1 — k )2 + (j +1 — l )2)p/2

N Л p , N—1N—1

=In )f уу

J N ,-0j=0

I I ф*(Ті, Т2)dТldТ2

v A,j

x

N—1 N—1

У У

1

2ч p/2

x

+

N—1 j —2

k-i^2l=}+2 ((k — i — l)2 + (l — j — l)2)P

i—2 N—1

1

+

УУ

k-;:^2l'-0 ((k — i — l)2 + (j +1 — -)2)p/2 k=0l=}2 ((i +1 — k)2 + (l — j — l)2)p/2

1

+

i—2 j—2

+ZZ-

k=0l=0

2ч p/2

((, +1 — k )2 + (j +1 — l )2)p

I N )p l N—2 N—2 l *

>Vt) & УУ^^k^;--7-|Оф(al■a2)rfalrfa2 >

>

NP 2 Цф*(аі, a2)da,da2,

О

N—2 N—2

■■да ^ = Z Z (, 2+12)p/2.

k=1 i=1 (k +i )

Здесь D(i, j) = 1, если i > 0 и j > 0, и D(i, j) = 0 в противоположном случае.

k k Из построения функции Ф (О1,02) (напомним, что функция Ф (01,02)

обращается в нуль на сетке {Z k, ni}, k, i = 0,1,..., 2N + 2, в состав которой

входит фиксированная сетка узлов {v,Vj}, i,j = 0,1,...,N, и сетка узлов ку-

батурной формулы (6)) следует, что

Г|У(оьo2)do1dо2 > inf sup Г[ф(о1,o2)do1do2,

О ^k,kk фЕ¥,ki) О

где нижняя грань берется по всевозможным сеткам узлов {^k, К}, k, i = 0,1,..., 2N +1, таким, что (4k, К) е О, k, i = 0,1,..., 2N +1.

Общее число функционалов, используемых в кубатурной формуле (6), равно n = ((p +1)(2N + 2)) . Поэтому оценка снизу погрешности кубатурных формул вида (6) оценивается неравенством

Zn(¥) >cn{p-2)/2 inf sup ||ф(01,02)d01d02.

^k,ki фе¥(%k,ki) О

Функционалы inf sup | |ф(01,02)d01d02 известны для многих

^k ,ki ФЕ¥(%k,ki) О

классов функций ¥.

Известна также связь между функционалами

inf sup ||ф(о1,02)do1do2

4k,k ФЕ¥(4k ,ki) О

и наилучшими кубатурными формулами вычисления интегралов вида ||ф(01 ,02)d01d02 , основанная на лемме Смоляка.

О

Воспользовавшись этими результатами, получаем следующие оценки. Теорема 5.2. Пусть ¥е Wr,r (1). Для всевозможных кубатурных

формул вида (6) справедлива оценка ZN [¥] > AN-(r+2-P) = An-(r+2-P)/2, где n - число узлов кубатурной формулы (6).

Теорема 5.3. Пусть ¥ = С2 (1). Для всевозможных кубатурных формул

вида (6) справедлива оценка ZN [¥] > AN-(r+2-р) = An-(r+2-р)/2, где n -число узлов кубатурной формулы (6).

Анализируя доказательство теоремы 5.1, нетрудно заметить, что в нем не использовался тот факт, что сетка узлов в кубатурной формуле (6) прямоугольная. Дословно повторяя доказательство теоремы 5.1, приходим к следующему утверждению.

Теорема 5.4. Пусть ¥ - класс функций, заданных на области

О, О = [-1,1] , и такой, что существует гиперсингулярный интеграл (5) от каждой функции фе¥. Пусть интеграл (5) вычисляется по кубатурной формуле (7). Тогда

Z N (¥) > cN(p-2)/2inf sup ||ф(01, 02)d 01d 02,

Yk фе¥(Yk) О

где нижняя грань берется по всевозможным сеткам узлов {уk}, k = 0,1, ...,2 N + 2, таким, что (уk) еО, k = 0,1,..., 2 N + 2; ¥(уk) означает множество функций ф(01,0 2), входящих в класс функций ¥ и удовлетворяющих условиям:

1) функции ф(01,02) - неотрицательные;

2) функции ф(©1, ©2) обращаются в нуль вместе с производными

ф(і,/)(а1,©2), 0 < і, / <р, в узлах ук .

Приведем, пользуясь результатами [19, 20], оценки снизу функционалов £, N [¥] на ряде других классов функций ¥.

В приводимых ниже неравенствах оценки зависят от размерности I рассматриваемых интегралов. Поэтому будем рассматривать интегралы (5) и кубатурные формулы (6) при I > 2.

Теорема 5.5. Пусть ¥ = Ягу(О,М), О = [-1,і/, I = 2,3,.. Пусть интеграл (5) вычисляется по кубатурной формуле (6). Тогда

С п (Я ,т (О, м)) > Ап( р-2)/І

п-(г+1)/(/-1), V > І /(I -1);

п—11, V < І /(І -1);

іи1+і/Іп І . (І 1)

■, V = І /(І -1),

п*11

где V = 5 / (5 -у), п - число узлов кубатурной формулы.

Теорема 5.6. Пусть ¥ = Вг у(П,М). Пусть интеграл (5) вычисляется по кубатурной формуле (6). Тогда

сп(Вг,у(П,М)) > Ап(р-2)//п-(г+2-Т)/(/-1),

где п - число узлов кубатурной формулы.

Построим оптимальные по порядку кубатурные формулы вычисления

интегралов вида (5) на классах функций Жг ,г (1) и С^ (1).

Покроем область П = [-1,1] квадратами Дк/ = [Ук ^+1^/, V/+1],

к, I = 0,1,..., N -1, Vk = -1 + 2к / N к = 0,1,..,Ж Обозначим через

Ргг (ф, Дк /) интерполяционный полином степени г по каждой переменной, построенный в области Дк/ по г +1 равноотстоящему узлу по переменной ©1 и по г +1 равноотстоящему узлу по переменной ©2. Отметим, что вершины квадрата Дк / входят в число узлов интерполяции.

Пусть (^, t2) ^Ду, г', 7 = 1,.,N - 2. Интеграл (5) будем вычислять по кубатурной формуле

N-Ш-1- - Ргг (ф, Дк/ )^Т2

иф = ^ Г ргг (фДкІ)аТ1аТ2 ,

Яф = > ((Т ( )2 + (т , )2) Р/2 +

к=01=0 дкІ 11т1 - '1) + (т2 - '2) )

ргг (ф, Д*/ )а ^а Т2

4Ы12 П / ч /оч

((т , )2 + (т--. )2)Р/2 + ^ (Ф), (8)

д* ((т1 - ^1) + (т2 - ^2) )

У

где д*/ = [^-1, ^+2;V/-1, V/+2]; УУ’ означает суммирование по к и І таким,

*

что мера пересечения квадратов ДкІ с квадратом Д/ равна нулю.

Теорема 5.7. Пусть ¥ = Жг,г(1). Среди всевозможных кубатурных формул вида (6) оптимальной по порядку является формула (8), имеющая

где n - число узлов

погрешность Rn [¥] х N (r+2 p) х n (r+2 p)/2, кубатурной формулы.

Доказательство. Оценим погрешность кубатурной формулы (8). Очевидно,

N—1N—1

IRn(ф)|<

k=0 І=0

¥rr (ф, A kl )d T,d Т2

Akl ((T1 —11) + (т2 —12) )

,2) P/2

+

+

II

¥ rr (Ф, A,* )d T,d Т2

((т1 —11) + (т2 —12) )

2) p/2

= I1 +12,

(9)

где ^гг (ф, Дк/ ) = Ф(Т1, Т2) - Ргг (ф, Дк/), (Т1, Т2) еДк/, к, / = 0,1,., N -1. Оценим каждое из выражений /1, в отдельности.

Нетрудно видеть, что

1-2 7-2 1

71 - УУ ~(----------нгт:--аР/гП ^г- (ф, Дк/

к=0/=0((^ -^) + V -V) Г

i—2 N —1

+У У

k=0i=/+2 ((vi— vk)2 + (vi— vj+i)2)p/2 J A‘

I I 1 ¥rr (Ф, Akl)! dT1dT2 +

kl

N—1 j—2

+ У У

k=i+21=0 ((vk — vi+1) + (vJ — vl) )P

I I 1 ¥rr (Ф, Akl)! d T1d T2 +

kl

N—1 N—1

+ У У

i+2l=j+2 ((vk — vi+1Y + (vl — vj+1)2)p/2 J A

I I 1 ¥rr ^ A kl)! d T1dT2 <

<

C

N

r+2

. 2j 2 Np

УУ- N

kl

І—2 N—1

-+У У

Np

k=0l=0 (u1 + u2)p/2 k=0l=j+2 (u1 + u3)P/2

+

NP

+ "У1 'У2 NP

k=i+21=0 (u4 + u2)P/2 k=i+2l=j+2 (u4 + u2)P/2

N—1 N—1

■+ У У

C

N

r+2—p ’

где u, = (i — k — l)2, u2=(j — l — l)2, u3=(i — j — l)2, u4=(k — i — l)2.

1б

A

1

1

1

Интеграл І2 представим следующим образом:

І2 <

/ /

¥ гг (Ф, А* Т\й Т2

л*\ка 5 )((Ті -^ + (т2 -^ )

Ау \ К(Г12,50)

2) р/2

+

+

¥ гг (Ф, А* № Т^ Т2

іК(Г1і,80)((Т1 -12 + (Т2 - ^2)2)Р/2

“ 121 +122 ■

(11)

где ^12 = (М2Х 50 = тш(| ^ _хг_1 |,| х+2 _^ |,| ^ -х/_1 |,| ху+2 -*2 I), ^(^12,8о) - круг с центром в точке ^12 радиуса 5о-

Учитывая, что 5о ^ 2/ N, интеграл /21 оценивается неравенством

І21 ^ сЫР ЯІ ¥ гг (Ф, А*- )| d т^ Т2

<-

А*

N+2-Р '

(12)

При оценке интеграла /22 нужно отдельно рассмотреть случаи, когда р - целое число и когда р - нецелое число.

Вначале рассмотрим случай, когда р - целое число.

Для оценки интеграла /22 воспользуемся определением 2.3:

( * Л

¥ гг (Ф, Аг* ^ Т1<1 Т2 5(П)

ііш

П^0

/ /

■К(І12,50) \К(Г12,п)

((Т1 -Ь)1 + (Т2 -^2)2)р/2 Пр-2

+ —— + С(г|)1пг|

Отметим, что приведенное выше выражение эквивалентно тому, что интеграл

/ /

¥гг (Ф, А- )d т^ Т2

2чр/2

((Т1 -^1) + (Т2 -12) )Р

■К(І12,50) \К(гЦ,п)

берется по частям и слагаемые, стремящиеся при п ^ 0 к ^, «отбрасываются».

Из этого замечания нетрудно видеть, что, переходя к полярным координатам, имеем

122 < с

¥*г(к°) + (¥*г) (§0) + ... + (¥*г)Р 3(§0) + (¥*г)р-2(б0)1п50

5 Р-2 °0

5 Р-3 50

2п

¥гг (50) = / ¥гг (Ф, А* )(50, 0^ 0,

0

** где через ¥гг (Ф,А-)(р, 0) обозначена функция ¥гг (Ф,А-), записанная в полярной системе координат с центром в точке Іц.

Отсюда следует, что

1¥гг (йоЖ—-,-: Ыг

¥*г (8о)

й р-2 °о

<-

нг-р+2 •

Для оценки | у 'гг (5о) | воспользуемся неравенством Маркова [21] и методом С. Н. Бернштейна доказательства обратных теорем конструктивной теории функций [21]. В результате имеем

|¥гг '(8о)|<-

1¥гг ,(йо)|

<

Ыг-Г 5р-3 Ыг-р+2 '

Продолжая этот процесс, окончательно получаем оценку

с

122

<-

г-р+2

N

справедливую при целых значениях р.

Рассмотрим теперь случай, когда р - нецелое число, р = к + а>2. В этом случае для оценки /22 следует воспользоваться определением 2.3. Повторяя приведенные выше рассуждения, имеем

122 < с

¥*г(йо) + ¥*г(йо) +... + (у*(к 2)

ск+а-2

йо

ск+а-3

йо

йо

(йо) + >(к -1)

(5о)бо-а

<■

N

г-к-а+2

N

Таким образом, как при р целом, так и при р нецелом

с

22

<

^-р+2 ■

Из оценок (9)-(13) следует неравенство

| ^ (Ф)|< N+2-7 = п(г+2-р)/2 . Из произвольности функции фе¥ имеем

А

(13)

RN т <-

(г+2-р)/2 •

(14)

Сопоставляя неравенство (14) с утверждением теоремы 5.3, завершаем доказательство теоремы.

Теорема 5.8. Пусть ¥ = С (1). Для всевозможных кубатурных формул вида (6) оптимальной по порядку является формула (6). Ее погрешность

равна RN[¥] х (г_^ р)/2 , где п - число узлов кубатурной формулы.

Доказательство подобно доказательству предыдущей теоремы и поэтому опускается.

Непосредственное применение кубатурной формулы (8) затруднительно. Построим оптимальную по порядку кубатурную формулу непосредственно применимую для программной реализации.

Обозначим через Тгг (ф, ,(^, ^)) отрезок ряда Тейлора функции

фе С(Дм) по степеням (т - ^) и (Т2 - (2) до г -го порядка по каждой переменной. Отметим, что точка ((^, (2) не обязательно принадлежит области

означает суммирование по к и I таким, что мера пересечения квадратов Дк/ * * и Ду равна нулю. Опишем построение областей Д^, V = 1,2,3,4. Соединим

*

точку (^, ^) с вершинами квадрата Дгу отрезками прямых. В результате ** область Ду окажется покрытой четырьмя областями Дук, к = 1,2,3,4.

Для вычисления интегралов

V = 1,2,3,4, перейдем к полярной системе координат с центром в точке (^1, і2). В результате вычисление интегралов (16) сводится к последовательному интегрированию в полярных координатах элементарных функций.

Вычисление интегралов в первом слагаемом в правой части формулы (15) сводится также к табличным интегралам.

Нетрудно видеть, что погрешность кубатурной формулы (15) совпадает с погрешностью кубатурной формулы (8) и является оптимальной по порядку.

1. Некрасов, А. И. Теория крыла в нестационарном потоке / А. И. Некрасов. -М. : Изд-во АН СССР, 1947. - С. 3-65.

2. Бисн.ини хофф, Р. Аэроупругость / Р. Бисплингхофф, Х. Эшли, Р. Халфмен. -М. : Иностр. лит., 1958. - 283 с.

3. Эшли, Х. Аэродинамика крыльев и корпусов летательных аппаратов / Х. Эшли, М. Лэндал. - М. : Машиностроение, 1969. - 318 с.

Интеграл (5) будем вычислять по кубатурной формуле

к=01=0 Дк/

(15)

(16)

Список литературы

4. Вайникко, Г. М. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения / Г. М. Вайникко, И. К. Лифанов, Л. Н. Полтавский. - М. : Янус-К, 2001. - 508 с.

5. Назарчук, З. Т. Численное исследование дифракций на цилиндрических структурах / З. Т. Назарчук. - Киев : Наукова думка, 1989. - 256 с.

6. Марчук, Г. И. Численные методы в теории переноса нейтронов / Г. И. Марчук, В. И. Лебедев. - М. : Атомиздат, 1971. - 496 с.

7. Бойкова, А. И. Об одном приближенном методе вычисления трансформаций потенциальных полей / А. И. Бойкова // Известия РАН. Физика Земли. - 2004. -№ 1. - С. 58-69.

8. Crisculo, G. A new algorithm for Cauchy principal value and Hadamard-type finite integrals / G. Crisculo // Journal of Comput. Appl. Math. - 1997. - V. 78. -Р. 255-275.

9. Hildenbrand, J. Numerical computation of hypersingular integrals and application to the boundary integral equation for the stress tensor / J. Hildenbrand, G. Kuhn // Eng. Anal. Boundary Elements. - 1992. - V. 10. - Р. 209-217.

10. Kolm, P. Numerical quadratures for singular and hypersingular integrals / P. Kolm and V. Rokhlin // Computers and Mathematics with Applications. - 2001. - V. 41. -Р. 327-352.

11. Monegato, G. Numerical evaluation of hypersigular integrals / G. Monegato // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 1994. - V. 50. - Р. 9-31.

12. Boikov, I. V. Numerical methods of computation of singular and hypersingular integrals / I. V. Boikov // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. - 2001. - V. 28 (3). - Р. 127-179.

13. Бойков, И . В . Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингу-лярных интегралов. Часть вторая. Гиперсингулярные интегралы / И. В. Бойков. -Пенза : Изд-во ПензГУ, 2009. - 252 с.

14. Boykov, I. V. Accuracy optimal methods for evaluating hypersingular integrals /

I. V. Boykov, E. S. Ventsel, A. I. Boykova // Applied Numerical Mathematics. -2009. - V. 59, № 6. - Р. 1366-1385.

15. Захарова, Ю. Ф. Оптимальные методы вычисления многомерных сингулярных интегралов и решения сингулярных интегральных уравнений : дис. ... канд. физ.-мат. наук / Захарова Ю. Ф. - Саранск : Изд-во Морд. гос. ун-та им. Н. П. Огарева, 2004. - 197 с.

16. Hadamard, J. Lecons sur la Propagation des Ondes et les Equations de l'Hydrody-namique. Herman / J. Hadamard. - Paris, 1903. - 320 p. (reprinted by Chelsea. - New York, 1949).

17. Адамар, Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа / Ж. Адамар. - М. : Наука, 1978. - 351 с.

18. Бахвалов, Н. С. О свойствах оптимальных методов решения задач математической физики / Н. С. Бахвалов // Вычислительная математика и математическая физика. - 1970. - Т. II, № 3. - С. 555-568.

19. Бойков, И. В. Аппроксимация некоторых классов функций локальными сплайнами / И. В. Бойков // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1998. - Т. 38, № 1. - С. 25-33.

20. Бойков, И. В. Оптимальные методы приближения функций и вычисления интегралов / И. В. Бойков. - Пенза : Изд-во ПензГУ, 2007. - 236 с.

21. Натансон, И. П. Конструктивная теория функций / И. П. Натансон. - М. ; Л. : ГИФМЛ, 1949. - 688 с.

Бойков Илья Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет

E-mail: [email protected]

Захарова Юлия Фридриховна

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет

E-mail: [email protected]

Boykov Ilya Vladimirovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of higher and applied mathematics,

Penza State University

Zakharova Yuliya Fridrikhovna Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of higher and applied mathematics, Penza State University

УДК 517.392 Бойков, И. В.

Оптимальные методы вычисления многомерных гиперсингуляр-ных интегралов / И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2012. -№ 1 (21). - С. 3-21.