Оптимальные по сложности алгоритмы вычисления сингулярных интегралов с фиксированной особенностью на бесконечной области Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.644.3

Ю. Ф. Захарова

ОПТИМАЛЬНЫЕ ПО СЛОЖНОСТИ АЛГОРИТМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ С ФИКСИРОВАННОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ НА БЕСКОНЕЧНОЙ ОБЛАСТИ

Построены оптимальные по порядку по сложности и по точности кубатурные формулы вычисления сингулярных, гиперсингулярных и слабосингулярных интегралов с весом на классе На а (1) на бесконечной области интегрирования.

Введение

Воспользуемся определением £ -сложности задачи S при использовании информации п, приведенном в работе [1]. Пусть п - информационный оператор, допустимый по отношению к простейшему набору операций

P = {арифметические операции, вычисление значения функций},

А - некоторый алгоритм, использующий допустимую информацию п . Через comp(n( f )) обозначается информационная сложность вычисления п( f ), т.е. если п( f ) требует выполнения простейших операций Pi, Р2,..., Pk , то

k

comp(n( f )) = ^ comp( p ).

i=1

Пусть Ei и £2 - линейные пространства; E0 - множество в линейном пространстве Ej ; S : £о ^ £2 - линейный или нелинейный оператор; £> 0 -вещественное число. Обозначим через Д( f ) = {f : п( f ) = п( f ), f е Eo} прообраз в £о элемента y = п( f ). Тогда радиусом информации п для задачи S называется величина

r(п,S) = sup inf sup lia-S(f)||,

f e£o ae£2 /еД ( f ) а погрешностью алгоритма A будет называться величина

e(A) = sup f А(п( f )) - S( f )||. f e£o

Пусть r(п, S) < £ для некоторого допустимого п . Обозначим через Ф(£) класс всех допустимых алгоритмов, для которых е(А) < £, считая при этом, что данный класс не пустой. Поскольку набор простейших операций фиксирован, зависимость сложности от P не рассматривается и сложность алгоритма феФ определяется равенством

comp(9) = sup (comp^f )) + comp^Mf )))).

f е£о

Определение 1 [1]. Величинаеошр(п, Я,є), определяемая формулой еошр(п, Я, є) = •

і^ сошр(ф), если г(п, Я)< є и Ф(є) = 0,

фЄФ (є)

+^, в противном случае,

где г(п, Я) - радиус информации п для задачи Я ; ф - некоторый алгоритм из класса всех допустимых алгоритмов Ф(є), называется є -сложностью задачи Я при использовании информации п .

Определение 2 [1]. Алгоритм фєФ(є) называется оптимальным по порядку по сложности алгоритмом для задачи Я при использовании

и

информации п , если еошр(ф) еошр(п, Я, є).

п

Определение 3 [2]. Интегралом

Г ф(т)

,(т-еУ

йт, а < е < Ь,

в смысле главного значения Коши-Адамара будем называть следующий предел:

Г ф(т)

'(т-е) р

-й т = Ііш

п^о

е-п

ф(т) (т-е)р

й т +

е+п

ф(т) (т-е)р

-й т + -

£(п)

- п)р 1

(е -п)

Здесь £(п) - любая функция, которая удовлетворяет двум условиям:

а) рассматриваемый предел существует;

б) £(п) имеет непрерывные производные до р -1 порядка.

Определение гиперсингулярных интегралов приводит в своей работе

С. Г. Самко [3]. Следуя данной работе, гиперсингулярными будем называть интегралы, у которых порядок особенности ядра больше размерности пространства.

Определение 4. Конечной частью интеграла

ГГ

ф(т)й т

«и £

г (г, т)

называется предел

Ііш

є^0

Я

ф(т)й т + В(г, є)

Лр \к (г,є) г (г, т)

-2

где функция Б(г, е) удовлетворяет двум условиям:

1) она имеет производные по второй переменной до (5 -1) порядка включительно;

2) указанный предел существует.

к

При данных условиях предел не зависит от вида функции B(t, е). Рассмотрим сингулярный интеграл следующего вида:

„ -^(kil+----+\tp l) g (0)ф(г )e p

i - ]■

(t? + - +1 P)s/2

-dti — dtp,

(1)

где г = {г1,...,гр }є (-^,^)р, р > 2, X >0, я = 1,2,..., ф(г) є яаа (1), 0<а<1, g(0) - характеристика. Необходимо отметить, что формула (1) охватывает слабосингулярные (я < р), сингулярные (я = р) и гиперсингу-лярные (я > р) интегралы, причем при я Ф р можно положить g (0) = 1. Напомним, что для существования сингулярного интеграла необходимым является следующее условие [4]:

Ґ Л

jg (0)dt = 0, где 0 =

фі + ••• +1? фі + ••• +t

2

P J

В данной работе подробно рассмотрен случай 5 = р. Полученные результаты аналогичными рассуждениями переносятся и на случаи (5 < р) и

( 5 > р ).

Кубатурные формулы

Рассмотрим случай, когда р = 2. Тогда интеграл (1) примет следующий вид:

И

g(0)ф(^,t?)e A(|tll+|t2,)

(t? +1?2)

dtidt?.

(2)

п а + 2 а + 2 Л7 Л7

Введем следующие обозначения: V =-----------, у =------, N = N1 + N2 -

X 2а

число узлов кубатурной формулы по каждой переменной; тогда 2 2 2

П = N1 + N2 = PN - общее чило узлов по обеим переменным. При этом

N1 = N

(а+2)/2

N? = N

v(a+2)/2 + £ (а+2)/2

^(а+2)/2 ^(а+2)/2 + (а+2)/2

Всю область й = (—^; ^) разобъем на три:

й1 = |л tit* Н СІ , й2 = |л £ 11* |Н A1 \ йі и йз = й \ (й? ^ йі),

S

при этом

О =

2я |1п Х|

,0<Х<2,

X

,2<Х< 2я,

, Х> 2я,

Область ^1 покроем подобластями

д <» =

г, О

►, где к := 0, N1 -1.

В каждой области Д^ разместим кубы Д^ , ребра которых равны

1,г2

(1) ( к +1) У_ к У и к у-1

Нк = О----------^----- О——. Область ^2 покроем подобластями

N1 п N1

N ±

дк2) = ] г, О + V 1п ^2 < ^ і гк |< О + V 1пI, где к := N2 -1,1

I к +1 к=1 к I

В каждой области Д® разместим кубы Д^2 , ребра которых равны

к(2) = V 1п——2 _ V1п——= V 1п 1 + ■

к к к +1 ^

В дальнейшем при получении оценок будем использовать факт, непосредственно вытекающий из формулы Тейлора:

N

N9

2к -1

2к

2

< 1п

1+-1 < -1.

к) к

Общее число Ш1 кубов Д^ оценим по формуле

N^-1

т1 = 4 I к=0

гк

г,(1)

кі і г1г2

N^-1

= 4 I

к=0

N^-1

= 4 I к < 4 к2 . к=0

и

Аналогично доказывается, что т^ > N , следовательно т1 N .

п

Общее число т2 кубов Д(к2) оценим по формуле

1,г2

N2 -1

т

к=1

(2)

N2 -1 ' 4 I к=1

2Ок

2 2к 21п

v(2k -1) 2к -1

Можно показать, что функция g (х) = х21п () принимает свое

максимальное значение g (х) = — при х = -^2 . Тогда

N2 -1

т2 < 4 X к=1

А Л

О 1

N 2 + і

V Vе у1

= PN |.

и

Аналогично доказывается, что т2 > N2 , следовательно т2 N2 .

п

Утверждение 1. Оптимальной по порядку по точности и оптимальной по порядку по сложности кубатурной формулой вычисления интеграла (2) на классе V = Наа (1) является следующая:

И

г (0)Ф(гь г2И(|г1|+|г2|)

(г2 + г22)

N^1^-1

= Е Е Ф(гг(1), г( ) г

і=1 У=1

(1)

г(1)

^г'1»)2 + и (1')^,/(;<1')2 + (г <1»)2

X

-Х(|гг(1)|+|г^|)

г(1) г(1) (г1 + г2 )

г }

N2 -1N2 -1

+ Е Е Ф(г( ,г?)г

і=1 У=1

(2)

г(2)

X

(2) г(2)

хе

-Х(|г(2)|+|г(2)|) і++1 7 +1 Жф

І I

, , 2 2 ' N

(2) (2) (г1 + г2) г 7

+ RN (^),

(3)

— 2

сложность которой оценивается как сошр(^, I,е) = К • N = Кп , где К -константа, зависящая от параметров класса, информационный оператор

^ = {ф( «Г <,(1)).ф Г «<11', <N1; 1. ф(<,(2). «¡2)).ф Г <<?2, N

г(1) г(1) г1 , г1

г (2) , (2) г1 , г1

е

причем точность этой формулы на классе V = Наа (1)

% (Н аа ) и ^ • п ма

Доказательство. В работе [5] было показано, что для

информационного оператора Пм = {ф(?г,г і),8Оі,г і)}, і,і = 0,N

,1п N

С N (Наа ) = С- а

N а

Из определения функционала £ N (Н аа) следует, что нижняя грань размерности опреатора ^, необходимая для достижения точности е, определяется из неравенства е > £ N (Н аа) • Отсюда следует, что размерность оператора ^ должна быть не меньше

\1/а

,где с=

N =

1

1п

ее

Г ІП1

е /

Для оценки снизу сотр(^, I, е) заметим, что

N N

сошр(^, I, е) г ц<с„- + ац) + к.

г=1 ] =1

сложность вычисления функционала ф(гг-, г;); аг-,- - сложность

где с1]

вычисления коэффициентов кубатурной формулы рц; к - число арифметических действий над ф(гг-, гц) и рц . Поскольку Сц > 2, ац > 0,

к > N , то сотр(^, I, е) > 2N2 + N .

Оценим сложность кубатурной формулы (3). При этом будем использовать результаты, полученные в работе [6], в которой получены оценки сложности вычислений логарифмических и степенных функций. Рассмотрим

{і+11І+1

йцйи

и і. (г1 + ^ і і

Представим подынтегральную функцию в виде

(Я + ¿22)

-----1—=—У (-1)*

г1 1 + (Ь )2 г1 *=0

V г1 у

2*

, если г і < ¿г-,

------------1— = — У (-1)*

г22 1 + (1 )2 г22 ¿0

( \2* -V г2 У

, если гі > гі •

1

Тогда

Ії+ЇІ+1 і і

йцйь

1Ш2

Е

/ і\к (і2к+1 і2к+1)(/2к+1 >2к+1)

(-1)к (р+1 - )(іі+1 - Ч )

к=0(2к+1)2 ал-+1)2й+1

— / і\к (і2к+1 і 2к+1)(і2к+1 і2к+1)

(-1)к (і;+1 -1] )(іі+1 - )

Е

к=о(2к +1)2

(¥;+1)

2к+1

, если tj < гг- ,

, если tj > гг-

Оценим число слагаемых данной суммы, необходимых для получения

точности не менее є = С

1п N

N

а+1

. Рассмотрим первый из случаев, когда г; < гг-,

второй оценивается аналогично.

Очевидно, что

V І1 /

2к

= є при к =

. В области ^1 отношение

12

1 -

N

. Тогда

к <-

С

ґ

2у1о§ С 1п N

а+1

1 -— V N

(а + 1)1п N 1п1п N 2у(1п N - 1п(N -1))

Следовательно для получения нужной точности достаточно взять 2N

слагаемых. В области отношение — < 1 - 1п2 . Тогда

2 г1 1п N

к <-

1

21о8 с 1п N

а+1

1 -

= (а + 1)1п N - 1п1п ^

1п2 "I = 2(1п1п N - 1п(1п N - 1п 2)). 1п N )

Следовательно для получения нужной точности достаточно взять N слагаемых.

Тогда на основании результатов работы [6] в области ^ для 2

вычисления (2к +1) понадобится (2N + 2) элементарных операций, (4N +11) элементарных операций - для вычисления числителя дроби и (2N + 3) элементарных операций - для вычисления знаменателя дроби.

Рассуждая аналогично, в области ^2 для вычисления (2к +1) понадобится (N + 2) элементарных операций, (2N +11) элементарных операций - для вычисления числителя дроби и (N + 3) элементарных операций - для вычисления знаменателя дроби.

При = гг- (диагональные квадраты) интеграл будем вычислять по

кубатурной формуле Гаусса по N узлам и сложность вычислений в этом случае составляет (3N +1) элементарных операций.

1

1

Таким образом, сложность вычисления интегралов

г(Ш г+М

1 + } Г д.ХхйХ'2 1 +• } г йХуйг^

Л Л (2 + 2) И Л Л ( 2 + 2ч

. (1). (1)(г1 + г2) (2) . (2) (г1 + г2 )

г ] - ]

равна соответственно (1Ш +17) и (7 N +17).

-Я(|?. |+|г -1)

Оценим сложность вычисления функции е } . В области ^1

воспользуемся разложением в ряд Тейлора:

-Щ?.-|г|г-|) _ (-Х)к (-Х)Гг[ _

е _ ¿0 к! ' ¿0 г! _

/ • \ку

/ • лгу

к_0 ^ ' г_0 ' ^

Нетрудно видеть, что для получения небходимой точности достаточно взять [>/# ] слагаемых в каждой сумме, поэтому беря для удобства вычислений N слагаемых каждой суммы, тем более обеспечиваем

(-А)к

необходимую точность. Тогда для вычисления -------------- достаточно (2N -1)

к!

элементарных операций, для вычисления ак достаточно (N -1) элементарных операций. На основании результатов работы [6] сложность вычисления ^) составляет в этом случае (2N +1).

-А (К- |+Ь |)

Таким образом, общая сложность вычислений функции е ■'в

области ^1 равна 2(2N -1 + N -1 + 2N +1 + 2) +1 _ 10N + 3.

В области ^2

е-^ +г-1) _ е-*(2^1п-) _ е_2^а е-ь1п - _ 2^а (И)Ху

N 2Ау

Сложность вычисления функции е_2Аа можно оценить как 3(N -1) + 2_3N -1, если считать данную функцию в виде отрезка ряда Тейлора, содержащего N слагаемых. Сложность вычисления выражения

Ш)^

—на основании результатов работы [6] составляет (N + 6).

N 2Аг

-АЛ- |+Ь |)

Таким образом, общая сложность вычислений функции е в

области ^2 равна 3N -1 + N + 6 +1_ 4N + 6.

Наконец, для вычисления узлов г(1) необходимо (2 N + 2) элементарных операций, для вычисления узлов г(1) необходимо (2N + 3) 58

элементарных операции, для вычисления выражении

(1)

<0) ] 1] А л ,р 1 и <(2) 1 1]

^ (ї™)2+«У’)2 1 ? ^ «Р)2+«(І))21 ^ »Р)2+«(1))2 ]

Л/о<1))2 + (/ (1)>:

требуется по

7 N элементарных операций.

Объединяя полученные результаты, нетрудно сделать вывод, что сложность кубатурной формулы (3) равна

6 N2 + 4 • 7 N + ^ +16 + 8 N +16 +10 N + 3 + 4 N + 6 = 6N 2 + 63N + 40.

Таким образом, кубатурная формула (3) является оптимальной по порядку по сложности. Утверждение доказано.

Из проделанных оценок очевидно, что результаты справедливы и при р > 2, и в этом случае может быть сформулировано следующее утверждение.

Утверждение 2. Оптимальной по порядку по точности и оптимальной по порядку по сложности кубатурной формулой вычисления интеграла (1) на классе На а (1) в случае, когда 5 = р , является следующая:

„ —А(|ї1+----+о

г г 2(0Ж'1>->гр)е р , , _

] ••• і--------1----------2Грр)-------^1...аїр _

о?+...+1 р >р/2

^1—1 л?1—1

г1_1 ір _1

(1)

(ї(1)>2 + - + (.Р)?

(ї^)2 + - + (ї^)2

X

—А

хе

і(!)

г1

(1)11 $ 'у+1

‘р і) г г аї1 •• • аї р

^ ^ (.2 + + .2)р/2

((1) ((1) (ї1 + •" + Ір)

і1 ір

л2 —1 Л2—1

+ Е - Е < О2

і1_1 ір _1 р

г1

(2)

(ї(2))2 + - + (ї(2))2

(ї(2))2 + - + (ї(2))2

X

—А

хе

/ ¿2) +...+ ¿2)

V г1 ір

&1... р

г(2) ї(2)

г\+1 ір +1

I I (,2 + + ,2)р/2

,(2) ?(2) (ї1 + - + їр )

і1 ір

+ % ((а...а(1)), (4)

сложность которой оценивается как еошр(Пй, I, е) = К-Ир = Кп, где К константа, зависящая от параметров класса, информационный оператор

ПN = {ф(?1(1), • • •, Ч(1)), —, Ф^, ■", ^ Ф(?1(2), • -, г1(2)), • -, Ф(?^2, - ■, ),

Д1)

Д1)

Д1)

(1)^

Д2)

Д2),

£(^,..., г^),..., g,..., N), £(гг', ..., ГО,..., g(г і 1

Д2)

м,,

г (2))}

Доказательство данного утверждения аналогично доказательству предыдущего и здесь не приводится.

В случае, когда интеграл (1) является гиперсингулярным или слабосингулярным, как уже отмечалось ранее, характеристика g (0) = 1. Тогда может быть сформулировано следующее утверждение.

Утверждение 3. Оптимальной по порядку по точности и оптимальной по порядку по сложности кубатурной формулой вычисления интеграла (1) на классе На а (1) в случае, когда (5 < р) и (5 > р), является следующая:

І - і

—А(Іг1І+—+1гр1)

Ф(гь..., гр )е р

--------т-------------т—тт--------агі. аг„ —

(г2 + ... + гр )/2 1 р

М1—1 М1—1

— Е - Е Ф0((1).....................>,(1))-

¡1

¡1—1 ¡р—1

, (1)| I '/1+1 '™1

І - і

&1 — йг р

«} •} (г2 + + г2 )5/2

г(1) г(1)(г1 +—+гр)

¡1 і„

М2—1 М2—1

¡1—1 ¡р—1

Е ЕФ<г®........г?»

(2)

№

¡1

(2)| Іг(2) г(2)і

‘( I ¡1+1 ір +1

I ■■• і

«} •} (г2 + + г2 )5/2

г(2) г(2) (г1 + + гр)

¡1 ¡р

+( #а...а (1) ) , (5)

сложность которой оценивается как еошр(Пм, I,е) — К-Ир — Кп, где К -константа, зависящая от параметров класса, информационный оператор

Пм — {ф('1(1) , • • •, г{1)), • • •, Ф(гй1), • -, 'м)), Ф(г12), —’ г12)), —’ Ф^М) , —’ 'м) »

£ (г}1»,..., г}1»), ..., £ (гМ»,..., г М>), £ (г<2), ..., г<2)), ..., £ (г£>,..., гМ^)}-

При доказательстве данного утверждения воспользуемся результатами, приведенными в работе [5] и доказательством утверждения 1 данной работы. При переходе от сингулярных интегралов к гиперсингулярным и интегралам со слабой особенностью, изменение претерпевает лишь константа О, которая в данном случае будет выражаться следующим образом:

О =

—|іп(Х + 1)|, V—, 0<Х<е, X

ЩЄ, — > 1, е <Х< 2—, , — > 1, X > 2—,

, — = 1, X > е.

Список литературы

1. Трауб, Дж. Общая теория оптимальных алгоритмов / Дж. Трауб, Х. Вожьня-ковский. - М. : Мир, 1983. - 382 с.

2. Бойков, И. В. Приближенные вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Часть 1. Сингулярные интералы : монография / И. В. Бойков. - Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2005. - 360 с.

3. Самко, С. Г. Гиперсингулярные интегралы и их приложения / С. Г. Самко. -Ростов : Изд-во Ростовского университета, 1984.

4. Михлин, С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения / С. Г. Михлин. - М. : ГИФМЛ, 1962.

5. Захарова, Ю. Ф. Приближенные методы вычисления многомерных сингулярных интегралов с фиксированной особенностью на бесконечной области / Ю. Ф. Захарова // Труды международной конференции по вычислительной математике. - Новосибирск : СОРАН, 2002. - 1 т. - С. 182-188.

6. Бойков, И. В. Пассивные и адаптивные алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов / И. В. Бойков. - Пенза : ПГТУ, 1995. - 2 ч.