CC BY
41
УДК 517.392
И. В. Бойков, Б. М. Стасюк, Д. В. Тарасов
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ С ФИКСИРОВАННЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ
Построены асимптотически оптимальные и оптимальные по порядку алгоритмы вычисления гиперсингулярных интегралов с фиксированными особенностями в предположении, что особые точки лежат на границе области интегрирования.
Несмотря на многочисленные приложения гиперсингулярных интегралов в аэродинамике [1-4], электродинамике [4], квантовой теории [5] и других областях физики и техники, их исследование и развитие приближенных методов их вычисления началось только в последнее двадцатилетие.
Изложение приближенных методов вычисления гиперсингулярных интегралов и достаточно подробная библиография содержатся в [6-8].
При этом гиперсингулярные интегралы с интегралами в смысле главного значения Коши-Адамара рассматривались, как правило, в предположении, что особая точка лежит внутри области интегрирования.
Однако многочисленные приложения в механике (см., например [9] и литературу, приведенную в ней), электродинамике, геофизике [10], требуют разработки приближенных методов вычисления гиперсингулярных интегралов с особенностью на границе области.
В данной работе построены оптимальные по порядку квадратурные формулы в предположении, что особые точки лежат на границе области интегрирования.
В этом разделе описываются классы функций, которые используются в работе.
отрезке [а, Ь], непрерывных и имеющих непрерывные производные до (г -1 )-го порядка включительно и кусочно-непрерывную производную г -го
Обозначим через WГl,..., г (1, Q) класс функций / (,..., х/), опреде-
Введение
1 Классы функции
Класс Wг (1) (г - натуральное число) состоит из функций, заданных на
порядка, удовлетворяющую на этом отрезке неравенству /(г) (х) < 1
ленных в области й = [а1,Ь^;...;а1,Ь1 ], I = 2, 3, ..., имеющих частные производные
дху1 ...ЭхУ1
удовлетворяющих следующим условиям:
1) частные производные у((’-’ У1X; ), 1 < VI < ц -1,
7 = 1, 2, ..., ; непрерывны,
2)
/ (,..., П ^ь..^ х;)
с (а)
< 1,
/(( П )хь..., щ)
с(а)
< 1, 1 < V: < ц - 1, 7 = 2, 3, ..., ;,
с(а)
< 1, 1 < V: < Г - 1, 7 = 1, 2, ..., ; - 1,
здесь V = (, ..., ^;), VI = v1 + ... + VI .
Пусть а = [^1,¿1;...;а;,Ъ], 1 = 2, 3, ... Через С;г (1,а) обозначим класс функций 1 независимых переменных, у которых существуют и ограничены по модулю единицей все частные производные до г -го порядка включительно. Если известна область а определения функций из класса СЦ (1, а), то для простоты обозначений будем писать СЦ (1).
2 Определение гиперсингулярных интегралов
Несмотря на то, что понятие гиперсингулярных интегралов определено для широкого класса функций (см., например, [11]), в данной работе рассматриваются гиперсингулярные интегралы, возникающие в теории и практике граничных интегральных уравнений. Их определение является некоторым обобщением классического определения конечной части интеграла, данного Ж. Адамаром [12] и его обобщение на интегралы в смысле главного значения Коши-Адамара, предложенного Л. А. Чикиным [13].
В определении Л. А. Чикина существенным является то, что особая точка лежит внутри интервала интегрирования. Так как при решении многих прикладных задач возникает необходимость определить гиперсингулярный интеграл в случае, когда особая точка лежит на границе области интегрирования, в работах [14], [15] введен гиперсингулярный интеграл более общего вида. Следуя [14], дадим следующее определение гиперсингулярных интегралов.
Определение 1. Конечной частью гиперсингулярного интеграла называется предел
/ (т)Л т (т-а )р
= Иш
1 /
(р-2)
(а + п)
(р -1)!
ь £(т^ + _1 /(р-1) (а )
а+л(т-а)р (Р-1)!" 1 1
_____________1 / '(а + п)_______1_ / (а + п)
.. (р - 1)(р - 2) лр-2 р -1 лр-1
г(Р-2)
(Ь)
/ \ь)
. 1 . /(р 1)(ь )1п (Ь - а)- 1 ^ -2
(р -1)! (р -1)! ь - а (р - 1)(р - 2)( - а)р
- р-Г -(р1!)! Ь/(р)(т)1п (т-а Ит
Далее с целью упрощения последующих выкладок при выделении конечной части гиперсингулярных интегралов дадим следующее обобщение интеграла в смысле главного значения Коши.
Рассмотрим интеграл
Л/ = т, / еЖ1 (М).
Определение 2. Конечной частью интеграла А/ называется предел
1 / (т)
Л/ = d т = ііш
0 X
\:/^~^d т +/ (п)1п |п|
-{ / '(х)1п |т| d т.
Введем определения полигиперсингулярных интегралов с особыми точками, лежащими на границе области интегрирования. Для простоты обозначений в этом и следующих разделах будем рассматривать бигиперсингу-лярные интегралы. Из приведенных ниже определений и формул следует, что они легко распространяются на полигиперсингулярные интегралы любой конечной размерности.
Рассмотрим интеграл
1 1
в/={Г
/(ТЪ т2 )т2
ОО
т Р1 т Р2 Ч 12
Пусть функция /(¿1,^2 ) ЖГ1, г2 (1), где Г1 > р1, Г2 > р2 , р > 2 , р2 > 2.
^Г|
2 2
Введем обозначения: а = [0, 1] , а_ = [п, 1] , где п (п>0) - доста-
точно малое вещественное число.
Определение 3. Конечной частью интеграла В/ называется предел
= 1 1/(ТЪ т2 ))т2 = ііш
П^О
в/={{
ОО
т Р1 т Р2 П 12
Я
йп
/( Т2 ))тldТ2 £(п)
т Р1 т Р2 Ч 12
Р1+ Р2 -2
п
, (1)
где £ (п) - функция, удовлетворяющая следующим условиям:
1) предел (1) существует;
2) функция £ (п) имеет по крайней мере р1 + р2 -1 производную в окрестности нуля.
Укажем один из способов вычисления интеграла В/. Вычислив по час-
тям интеграл
ГГ / (тъ т2 )) т1d т2 = і Т2 ) Т2
йп
т Р1 т Р2 Ч 12
X Р1 п 1 п
гР2
и воспользовавшись определением (1), имеем
В{ = Р'У (р2 2 к2) ! рЬ (р1 2 к1) ! /(*1,*2) ( 1)
¿0 (р2 -1) ! ¿0 (-1) ! 1 ^ ’
-^ {р2 - 2 - к2) ! 1 1 /(-1, к2)(т1, 1)^Т1 -
¿0 (р2 -1) ! (р -1) ! ' т1
-Р"2 (р - 2 - к1) ! 1 1 /(к1, р2-1)(1, Т2 )Т2 +
к“0 ( -1) ! ^2 -1) !о Т2
, 1 1 11 /(-1, ч-15 -2, ^ ^ =
+------------------------------------------------------- —-- — I I-^^Тт =
(Л - 1) ! (р2 - 1) !00 Т1Т2
/(-1, р2_^)(X1, Т2 )
1й 12
= Р^ (р2 2 к2 ) ’ ^ (р1 2 к1) ! /(к1,к2 ) 1) +
"й, ((2 -1)! ¿1=0 (Р1 -1)! 1 ]
+11 ^к!)(Т1' *1-
-Р!2X^XР2L)1/ІX■• Р2)С. Т2)Ч,К
+
1
11
1
+
11/(Р, Р2) (Т1, Т2 )1п IТ1Nт21dт1dт2.
) 00
Рассмотрим теперь гиперсингулярный интеграл
с/ = ||/(ь Т2 Н1^ , 0 < ,2 < 1,
00 тР1 (2 -'2 )
в предположении, что /('1,'2 )е Ж*1, Г2 (1), где ц > (1, Г2 > (2 , Р1 > 2 , (2 > 2 .
Пусть п (п>0) - достаточно малое вещественное число. Введем обозначение:
= _[([0, п]х[0, 1])и([0, 1]х['2-п, '2 +п]) при '2 Ф 1,
п [([0, п]х[0, 1])и([0, 1]х[-п, 1]) при '2 = 1.
Обозначим через йп = а \ dn .
Определение 4. Конечной частью интеграла С/ называется предел
с/ = = 1,ш
00 тГ(Т2 - '2 ) п^0
/(Т1, Т2 ))ТldТ2 £(п)
Тг
а 1
т(1 (Т2 - '2 ) пР1 +Р-2
где £ (п) - функция, удовлетворяющая следующим условиям:
24
1) предел (2) существует;
2) функция £ (п) имеет по крайней мере (1 + (2 -1 производную в окрестности нуля.
Укажем один из способов вычисления интеграла с/. Вычислим по час-ГГ /(Ть т2 ))т1dт2
тям интеграл 11 —-------------------, предварительно представив его в виде
ап Тр1 (2 - '2 )Р2
суммы
гг /(т1, т2 ))т1dт2 = гг /(т1, т2 ))т1dт2 + гг /(т1, т2 )т^т2
ТР1 (т - ' )2 гг ТР1 (Т - ' )2 -Ц ТР1 I т - ' )2 ’
Т1 (т2 '2) Т1 (т2 '2) Т1 (т2 '2)
п п п
где ап=[п, 1]х[0, '2-п], ап=[п, 1]х['2 +п, 1].
В результате этих вычислений из определения 4 следует формула
с/ = -Ру2—(-2~к2) !— Ру( -2-к1) !/(к1 ,к2)(1, 0)+ к“0 (-2 )Р2-1-к2 (Р2 -1) ! к“=0 (р1 - 1) !
+р2-2 (Р2 -2-к2)! 1 1 /(Р1-1, к2)Т1, 0)dТl -
Л т
к“0 (^2 )Р2-1-к2 (Р2 - 1)! (Р1 -1)!
_Р-2 ( - 2-к1)! 1 { /(1, Р2-1)(1, т2)dт2
к1 =О (Р1 -1)! ( -1)! { Т2 -(2
- -у Щ - 2-к1)! 1 Г
к1=О (Р1 - 1)! ( - 1)! {
1_________1 г { /^
( - 1)! ( -1)! { т1 { т2 - (2
1 1 1 dТ1 (2 /(4 Р2-1)(Х1, т2)
п О
+Руг (2 - 2 - к2 )! Р^ (1 - 2 - к1 )! (к1 ,к2)( 1 )-
к“0 (1 - (2)-1-к2 (Р2 - 1)!к2=О (Р1 -1)! 1 ^ ]
-Р^ (2 - 2 -к2)! 1 1 /(1-1, к2)(Т1, l)dTl -
к“=О (1 - (2 )-1-к2 (Р2 -1)! ( -1)!{ т1
-^ ( - 2-к1)! 1 Г /( Р2-1)(1, Т2)dT2 +
к“0 (Р1 -1)! ( -1)!{ т2 -(2
+ _!_ { іП{ /(1~1, » -1>(Т1. Т2 ) „ т2 =
( -1)! (Р2 -1)!п т1 ; т2 -(2
РХ^2 (Р2 2 к2)! Ру^2 (1 2 к1)! /-(кьк2) ( о)
к^О (-(2 )Р2 -1-к2 (Р2 -1)! к=0 (Р1 -1)! ^ (. )
_р1£ ( -2 -к2)!
к“0 (-'2 )Р2-1-к2 (Р2 -1)! (р1 -1)!
■ г /(р1, к2 )(T1, 0)1^|т^| d Т1
-^ (1 2 к1)! 1
к1=0
х
(Р1 -1)! (Р2 -1)!
-/(к1, р2-1)(1, 0)1п|0 - '2-]/((1, Р2 )(1, т2 )1п |т2 - '2|dт:
0
+ (р1- 1)!(р2-1)!\1п|Т^(+/(Р1, Р!-1)(Ть 0)1п|0-'2| +
'2
+г /(к■, р2)( т2)1п|т2 -Г2|dТ2
0
(р2 - 2 -к2 )! у2 (р1 - 2 - к1 )! /(к1,к2) ( 1) +
¿0 (1 - '2 ) -1-к2 ((2 -1)! Ь=0 (Р1 -1)! ; ]
к2 )(Tl, 1)1п|Т1| d тг
+Р^2 (Р2 - 2 -к2)!
к“0 (1 - '2 )Р2 -1-к2 (Р2 - 1)! (р1 -1)!; Р^2 ^Р(- 2-Р1 )!( 1 ) / (к1, р2 -1)(1, 1 )1п1-'2|
£0 (Р1 -1)! (Р2 -^ 1 ; 1 21
- г /(1, р2 )(15 т2 )1п| Т2 - Г2| d Т2
'2
(р/-1)! (р2-1)! ^ (_/<,’■, Р2 _1((Т■• 1)1п|1 - +
1 Л + г /( р2 )( т2 )п |т2 - Г2| d Т2
Введем определение многомерных гиперсингулярных интегралов в предположении, что особая точка лежит на границе области интегрирования. Как и выше, для простоты обозначений ограничимся двумерным случаем. Рассмотрим интеграл
/ = Ц / (т1, т2 )Р т1d т2
00 (т2+т2)р2
Пусть п (п>0) - достаточно малое вещественное число. Введем обозначение ап = [п, 1]х К г] .
г
2
Определение 5. Конечной частью интеграла В/ называется предел
1 1
В/={{
/(т1. т2 ))т1dт2 ( +т2 )
= 1іш
п——О
/(Т1. Т2 )dTldТ2 £(п)
{{
йп (2+т2)
п
Р -2
(3)
где £ (п) - функция, удовлетворяющая следующим условиям:
1) предел (3) существует;
2) функция £(п) имеет производные по крайней мере до (р -1) -го порядка в окрестности нуля.
Представим интеграл В/ в виде выражения, пригодного для непосредственных вычислений, по крайней мере, для наиболее употребительных значений р (например, для р = 3). Для этого вычислим по частям интеграл
Ц /(ть т2 )Рт^т2 = г^т г /(тЪ т2 )Рт2
йп
п п
и затем воспользуемся определением 5. В результате получаем формулу
11/
ГГ/(т1, Т2>*У2 = -/2/(1. 1) + Н й (2 + т2 )з
.(( +1)/2 / (1,0 )(т1. 1)d т
1 (1 + т2 ) /(0,1)(1, т2 ) т2 11 ( + т2 ) /(1,1)(т1. т2 ) т^ т2 ■Р—■—т2----------------------------------------------+Я-—-
ОО
т1т2
Аналогичные вычисления можно провести и для других значений параметра р .
В ряде случаев более удобным является следующее определение. Введем область = й \ Я (О, п), где Я (О, п) - круг радиуса п с центром в начале координат.
Определение 6. Конечной частью интеграла В/ называется предел
= 1 1/(т1. т2 ))т2 = ііш
п—О
В/={{
ОО
/( Т2 ))Т^Т2 £(п)
Я
йп (2 + т2)
п
Р -2
(4)
Здесь на функцию £ (п) налагаются следующие условия:
1) предел (4) существует;
2) функция £(п) имеет производные по крайней мере до (р -1) -го порядка в окрестности нуля.
Можно показать, что последние два определения эквивалентны. Рассмотрим гиперсингулярный интеграл
где А - треугольник АВС с вершинами в точках А (О, О), В (Ь, О), С (с, d),
О < с < Ь , О < d . Для определенности будем рассматривать прямоугольный треугольник с прямым углом в точке В . Это обстоятельство, в связи со свойством аддитивности по области интегрирования гиперсингулярных интегралов, не налагает никаких ограничений на рассматриваемые интегралы.
Пусть О < Ь1 < Ь . Обозначим через ААВС треугольник, подобный треугольнику ААВС, с координатами в точках А1 (О, О), В1 (¿>1, О),
Определение 7. Пусть /((, '2)е (1), г >р . Конечной частью ин-
теграла Е/ называется предел
рядка в окрестности нуля.
Замечание. Интегралы вида Е/ выделены отдельно, т.к. они находят широкое применение в механике разрушений.
3 Определение оптимальных алгоритмов вычисления гиперсингулярных интегралов
Рассмотрим гиперсингулярный интеграл
С1 (сЬ ^ ).
где Дт = д \ давс .
На функцию £ (п) налагаются следующие условия:
1) в выражении (5) предел существует;
2) функция £ (п) имеет производные по крайней мере до (р -1) -го по-
(6)
к=1
с узлами и весами Sk и весами Рк, к = 1, 2, ..., N.
Если V - некоторый класс заданных на сегменте [0, 1] функций, то положим
(к,Рк,^) = тах|(к,Рк,ф)| •
феЧ'
Через С N [V] обозначим величину
^[Т]= М RN(к,Рк,V), (8)
(к, Рк)
в которой нижняя грань берется по всевозможным N узлам Sk и весами Рк
*
(к = 1, 2, ..., N). Квадратурную формулу (7), построенную по узлам 5к и *
весам Рк (к = 1, 2, ..., N), будем, согласно работам [16, 17], называть оптимальной, асимптотически оптимальной, оптимальной по порядку, если
^(ьРьТ) ^(ьРьТ) / * * г п
--- —;—- = 1, Нт ----------—;—- = 1, RN (5*, Р*, V) ) N [V]
^ [V] ’ N^~ ^ [V] ^ к П J
и
соответственно. Знак (слабая эквивалентность) означает, что имеются две
п
константы А и В, не зависящие от N, и такие, что
АС N № RN (5*, Рк, V) ВС N [V].
Аналогичным образом определяются оптимальные кубатурные формулы для многомерных гиперсингулярных интегралов.
4 Приближенные методы вычисления одномерных гиперсингулярных интегралов с фиксированной особенностью
Рассмотрим гиперсингулярный интеграл
Г ф(т)
Jф=\I^-Ld х, (9)
0 ^
где V = 2,3,..., ф(т)е Жг (1), г > V.
Сегмент [0,1] покроем более мелкими сегментами Дк = [^к,к-1 ],
( к У* г + 1
к = 0,1,..., N -1, где ^ | , к = 0,1,..., N, * =---.
^ N ) г + 1 - V
Сегмент Д0 покроем еще более мелкими сегментами Д0у = ], ^0 ]+1 ] ,
] = 0,1,...,М -1, где М = [1пN](+1"V), г0] =--------] . +1 ) , ] = 0,1,...,М .
,] т [1п N ](+1"V)
В каждом сегменте Дк , к = 0,1,..., N -1, функцию ф(т) аппроксимируем интерполяционным полиномом Ьг (т, Дк ), который строим по г + 1 узлу
'к , к = 0,1,..., N -1, ] = 0,1,..., г . В качестве узлов интерполяции можно взять равноотстоящие узлы или узлы ортогональных полиномов, отображенных с [-1,1] на Дк . Аналогично, в каждом сегменте Дду , ] = 0,1,..., М -1, функцию ф(т) будем приближать интерполяционным полиномом Ьг (т, Дд ]),
] = 0,1,..., М -1.
Интеграл Jф будем вычислять по квадратурной формуле
М-‘ ^ Д0,)) + -' ! ьг (т,Дк)
•ф=2 /
]=0 Д,
«.V 2 -У
Т к =1 Дк 1
dт + RN (ф). (10)
Л0, ] ^к
Оценим погрешность квадратурной формулы (10). Нетрудно видеть, что
М -1 % (ф)< 2 г Уo¡,iMíт 2 „V N -1 + 2 Г т 2 „V
]=0 Д0,] к=1 Дк 1
М -1 N -1
= 2 г0,] + 2гк , (11) ] =0 к=1
где ¥ к (т) = ф(т)- 1Т ( Д к), при теДк, ¥0, ] (т) = ф(т)- ьг (т, Д 0, ] )
при
те Д
0,].
Отдельно оценим слагаемые при к = 0 и при 1 < к < N -1.
При к = 0 на сегменте Д0 0, пользуясь определением интеграла Адама-ра, имеем
I
Л0,0
¥0 (т)ат= °Г ¥0,0 (тЬ,=
I
= Пт
п——0
'I1 ¥0,0 (т) й + 1 ¥(-У-1) /_) 1пI_|__^¥(,02)(п)
П тУ (V -1)!¥00 ™ |п| (V -1)! п
(у - 3)! ¥0,0 (п) (V - 2)! ¥ 0,0 (п)
(V-1)! nV 2
(V -1)! -^-1
п
1 (V-1) ( )1 и | 1 ¥(02)('0,1)
1)¥ V ('ол )1п| ^ -(7-Т)Т---------'01------■
(V - 3)! ¥0,0 ('0,1) (V - 2)! ¥0,0 ('0,1)
(-1)! '0,12 (-1)! '0- (-1)! 0
Тогда
I ¥°у,В (т)1п
тй т.
г0,0 =
I т
1 (V—1) / \1 I I 1
Гл ¥0,0 ('0,1 )1п '01—TУ—
¥o,o2)('o,l)
(V -1)!
(V -1)!
0,1
(v - 3)!¥0,0 (0,1 ) (v - 2)! ¥0,0 (0,1 ) 1
(v -1)! ^,-2
< B
(v -1)! tV-1
0,1
¥0^01)(t0,1 )ln t1
(v-1)! 0 ¥o1,o2)(t0,1)
j ¥00(T)lnTdT
+... +
0,1
¥û,0 (t0,1 ) ¥0,0 (0,1)
tv-2
t0,1
tv-1
t0,1
Ю,1
j ¥0v’c) (т)1п Td t
0
Оценим каждое слагаемое в отдельности. Используя неравенство А. А. Маркова, обратные теоремы конструктивной теории функций [18], можно показать, что
П?0 =
¥0,0 (0,1)
tv-1
t0,1
< Atr0-v+1 < A- 1 1
Nr+1 ln N
r0,0 =
v0J)M
< At(0“1v+1 < A _ \t, J = 1,2,..., v - 2;
'0,1
Nr+1 ln N :
Г0”,-1 =
¥(м>1)(0,1 )ln t0.1
< A^lln t0,| < A 1
N
r+1
r0v,0 =
0,1
1
< At°-V+1ln ^д| < ANr+1
I ¥o1,(í(т)ln тйт
0
Собирая полученные оценки, приходим к неравенству
1
r0,0 =
J Щ^-dT
0,0
< A-
N
r+1
При k = 0 для сегментов Aq j , j = 1, 2,..., M -1 имеем M-1 M-1 —r+1 M-lurva/1.. ht\v/(r+1-v)
ZX j sZ^-O^ s AZ
-x
J=1
(
x
J=1 t0,J
J+1
J=1
J
r+1
M -1
=1 Jv Nr+1 ln N Nr+1 ln N N‘
r+1
(12)
(13)
Приступая к оценке слагаемых % =
¥ к (т)
при 1 < к < N -1, за-
метим, что
¥к (т)
ё т
< Т I К(т)ёт< ~А • Ик+1 <
*к
*к
Следовательно,
к +1 у - Г к_ ^
N J [ N N -1
г+1
*к
N Г < А
N
г+1
2Гк <
к=1
N
(14)
Собирая оценки (12)-(14) и подставляя в выражение (11), окончательно
И А г
<--- и, следовательно, RN (1)
<---. Оценка сверху
N
получена.
В следующем разделе при исследовании многомерных гиперсингуляр-ных интегралов на классе функций СГ (1) будет получена оценка снизу величины функционала £ N С (1)
Повторяя рассуждения, проведенные в разделе 6, применительно к одномерному случаю можно показать, что £ N ^г (1) > AN ~г .
Из сопоставления последних двух неравенств вытекает следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть ¥ = Жг (1). Среди всевозможных квадратурных
N
формул вида /ф = ^ Ркф(*к ) + RN (*к,Рк,ф) оптимальной по порядку явля-
к=1
ется формула (10). Ее погрешность равна RN [*Р] N~г .
п
5 Приближенное решение многомерных гиперсингулярных интегралов с фиксированной особенностью на границе области
В этом разделе строятся оптимальные по порядку кубатурные формулы для вычисления гиперсингулярных интегралов вида
'/(, Т2, ..., Т)т^Т2...ёт7
а (т2+т2 +".+т2)
где й = [0,1]1, Р > I, / е С, г > Р .
.Р/ 2 \/2
(15)
к
Интеграл (15) будем вычислять по кубатурным формулам
N Рі Рі )
р/=ЕЕ-ЕРк,к,...,ilf{l1,"',ц}(мк)+%(,ц, м—, /),(1б) к=111 =0 іі =0
Л(,-, іі)( ) д Ц/(T1, ..., Т1) ■ ( ■ ) 1-І ■ , , ■
где .г1 "( ..., Ті) =---—і—1, 1 = ( ..., іі), 1 =і1 + ...+ 11,
Эх11...Эх11
Рк 1 і - коэффициенты кубатурной формулы (16), к = 1, 2, ..., N,
і у = 0, 1, ..., ру, у = 1, 2, ..., і, Р = (, ..., Рі), |р| = р1 + ...+ Рі, |р|< г , Мк (к = 1, 2, ..., N) - узлы кубатурной формулы (16), Мк єй .
Теорема 2. Пусть /єТєСГ (1). Для кубатурных формул вида (16) справедливо неравенство дN [^] - ^~г!1.
Доказательство. Обозначим через Дк множество точек ґ = (, ..., ^), расстояние от которых до точки 0 = (, ..., 0) удовлетворяет неравенству
—Т <р(ґ, 0)<Г—
М)К ' I М
к = 0, 1, ..., М -1.
Здесь р(, 0)= тій тіп (|, 1 - ґк |), V = (г + і ))(г + і - р). Величина
М будет определена ниже. Введем обозначения: Н
Нк =
к +1 ~М~
к
М
, к = 1,2,..., М -1.
Каждую из областей Дк покроем кубами с ребрами длиной Нк параллельными осям координат. То обстоятельство, что в каждой из областей Д— может оказаться несколько параллелепипедов, у которых, наряду с ребрами длиной Нк , имеются ребра с меньшей длиной, не влияет на дальнейшие рассуждения. Для краткости в дальнейшем кубы и параллелепипеды, покрывающие область Дк , будем называть кубами. Обозначим кубы, покрывающие область Дк , через Дк і , к = 1,2,..., М -1.
11, ■■■, Іі
Оценим число т кубов Дк . , покрывающих область й . Очевидно,
І1,..., Іі
и і
т М .
п
В самом деле
(
и М-1 т Ё
,і-1
п
к=1
к +1 М
к +1 ~М~
к
М
и
п
М-1( (к +1) Ё (к + е)
к=1
V-1
и М -1 и
и Ё кі-1 и мі , п к=1 п
где 0 <Є< 1.
При этом нетрудно видеть, что число параллелепипедов Ak . , у ко-
l\, ■■■, li
торых по крайней мере одно из ребер будет меньше hk , k = 1, 2, ..., M -1,
не превосходит величину порядка Mi-1 .
Теперь можно определить величину M . Так как кубатурная формула (16) использует N узлов, то для получения оценки снизу погрешности кубатурной формулы (16) нужно покрыть область Q не менее чем 3N кубами
Ak . , k = 1, 2, ..., M -1.
l\,..., li
Выберем M таким образом, чтобы число m элементов покрытия
Ak . , k = О, 1, ..., M -1, удовлетворяло неравенству m > 3N . Очевидно,
l\, ■■■, li
1
u i
для этого достаточно положить M [3N]1 +1.
п
Так как в результате описанного построения область Q оказалась покрытой более чем 3N кубами и параллелепипедами Ak . и т.к. число па-
l\,..., li
раллелепипедов Ak , у которых длина по крайней мере одного ребра
l\,..., li
меньше hk , k = 1, 2, ..., M -1, есть величина порядка M1 ', то имеется по
крайней мере N кубов Ak . с ребрами, равными hk , k = О, 1, ..., M -1, в
l\, •••, ll
которых нет узлов кубатурной формулы (16). Назовем эти кубы отмеченными. Пусть Ak . = [ak, ak + ; ...; ak, ak + ] - отмеченный куб. В этом кубе
l\, ..., li l\ l\+\ li li +\
построим функцию
Í
фк . (t) =
HV••, iiv >
'k+1-1' )•••( tl- ak )( ak+1- tl
t, -ak )(ak+
1 i M i +i \ i \ l ь í \ i + i l il k
при te A.
hk
r (2l -1)
О при t íAk F l\, ..., li
Здесь константа А подбирается из условия, чтобы функция
А|(Ґ1 - а()(ацк+1 - Ґ1 )...(ґі - )(ацк+1 - ґі )| Нк.г^2і 1) принадлежала классу
Сі (1). Очевидно, такая константа существует и не зависит от индексов к и
І1, ..., іі. В неотмеченных кубах положим фк . (ґ) = 0.
Сплайн, являющийся объединением функций фк . (ґ), обозначим
через фг(ґ).
Нетрудно видеть, что
д N [Сіг (1)] - -
Й((Т1 -ґ1 )2 +... + (ті - ґ, )2 ^2
М -1 фГ ■ (, ..., X,) х1...й X,
-ЁЁ'Ц і|,,іі( • і} Р/-
к=0 1 і Ді:.Ч ((Т1 - ґ1 )2 + ... + (Ті - ґ, )2 ^
М-1
Г+і 1
-------------------------
-Е Е 'а1
к=0 і1,..., Ц ' ((к + 1)/М)
М-1
{' к +1 у г к^л
г+і
А1
V
М ) {М
М
к +1
"Р
-
-
к=0 ¿1,..., іі
г у1 Ё 'А (к + е)("-1)(г+і 1 1 г AlN г АЦ. = _А_
к=0 ц 1 (к+1)"Р М"(г-р+і) М"(г-р) Мг+і
где суммирование ведется по отмеченным кубам.
Напомним, что здесь " = (г +1 )(г +1 - р), М = О (1і) ,0 <Є < 1. Таким образом, получена оценка снизу погрешности кубатурной формулы вида (16) на классе Сі : дN С (1) - АЫ~г!1.
Построим кубатурную формулу, с таким порядком погрешности. Пусть N - целое число. Обозначим через Дк области, состоящие из точек
ґ = (,..., ґі), для которых расстояние до начала координат удовлетворяет неравенствам
^) <р( 0)<(к^т) , к = 0 1,..., N-1, " = (г +і)(г +і-Р).
Впишем в каждую из областей Дк максимальное число кубов с ребрами, параллельными осям координат, с длинами ребер, равными
к + 1У г кл"
%к = ^ N J - ^N J , к = 1, 2,. ., N -1. Незаполненную кубами часть области
Дк покрываем параллелепипедами с ребрами, параллельными координатным осям, причем часть ребер имеет длину Нк, а остальные меньше Нк . Как и
раньше, такое покрытие обозначим через Дк . , к = 0, 1, ..., N -1.
і1,..., іі
Обозначим через Ьг (, [а, Ь ]) полином порядка г , интерполирующий функцию ф(ґ), ґє [а,Ь], по г + 1 узлу. Отметим, что в качестве узлов интерполяции можно взять отображение с сегмента [-1, 1] на сегмент [а, Ь] корней ортогональных полиномов, определенных на сегменте [-1, 1] или, при небольших значениях г , равноотстоящие узлы.
Пусть ф(, ..., ґі) - функция і независимых переменных, определенных в параллелепипеде [а1,...; аі, Ьі].
Введем полином фг г (, ..., ґі; [а1,¿1; ...; аі, Ьі]), определенный
оператором интерполяции
1г,..., г (ф, [а1,Ь;...; аі, Ьі]) = ) ( (...( (ф,[аі,Ьі]), ...), [а2,Ь2]), [а1,Ь1]),
т.е. функцию ф(ґ1, ..., ґі) в начале интерполируем по г узлам по переменной ґі на сегменте [аі, Ьі ], затем полученное выражение интерполируем по переменной ґі-1 на сегменте [аі-1,Ь^] и т.д., пока не проведем интерполяцию по переменной ґ1 на сегменте [а1, Ь^]. Верхний индекс в обозначении
оператора ¿г , і = 1, 2, ..., і, обозначает переменную, по которой проводится интерполяция; сам оператор Ьг описан выше. В каждом кубе Дк і ,
к = 0, 1, ..., N -1 функцию ф(, ..., ґі) аппроксимируем интерполяцион-
ным полиномом фг r (t,, ..., 11 ; A
l\,..., li
Для вычисления интеграла (15) введем кубатурную формулу
N-1
Z
k=01 ..., li Ak
iV —1
Gf= Z Z J... J
Фг ,} (t¡ ..., Ti ; A *,..., . )d T'..d Ti
. ,p/
{¿.Л. ,Л\/2
(l +т2 + ... + Ti
+ Rn (ф).(17)
Оценим погрешность кубатурной формулы (17). Нетрудно видеть, что
N-1
Rn hhz Z
k=0i\, ..., ii
J... J
■■■, ll
¥ r
...,r (тъ ..., Ti; Ak,...,h )dTi.-dTi (2 + т2 +...+т/2 )
= I1 +12
где I. =
J..J
¥ r
,(ть ..., Ti; A0))'...dTi
(2 +* 2 +...+т2 )
N -1
I2 = Z Z
k=1 i\, ..., il
J ••• J
■ •••,r (т1, ..., т1 ; Ak,...,h )dT'...dTi
/22 2 V/2
p2 + т2 +...+т2
Здесь ¥ r
ti,...,ti; A?
l\,..., ii
)=ф(t1,..., tl )-ф. ,..., r ( t1,-,tl ; Ak,..., ¡i
(1, ..., ґі )є д—1,.., іі, к = 0, 1, ..., N -1.
Оценим в отдельности каждое из выражений І1 и І2 .
A
При оценке интеграла 1\ воспользуемся определением гиперсингуляр-ного интеграла. Для удобства представим интеграл 1\ в виде суммы двух интегралов:
Іі =
Г |"¥ г,..., г (т1, ..., ті; Д0 )йт1..-йті
• .. • / \Р/
Д0,0 ( + т2 +... + т2 )2
¥ г,..., г ( ..., ті; Д0) т1-й ті
■и
, гг2\/2 (1 +т2 + ... + ті )
¥г,..., г ( ..., ті; Д0)т1.-йті
/2 2 2\ рі 2
( + т2 + ...+т2)
•... •
*0,1
/.../
¥ г,..., г (, ..., ті; Д0) т1-..^ ті
(т2 +т2 + ... + т2)
Р/ 2 \/2
= І1,0 +11,1,
где Д0 0 - пересечение куба Д0 с шаром радиуса %0 с центром в начале координат, д0, 1 = д0 \ д0, 0.
Очевидно,
І1,0 = 1іт
п——0
¥(1, ..., Ті )^...йТі
<
АНТ+і-1 1іт • Р— йР
0 п—0І ^Р
/.../■ .
Д0,0 (2 +Т2 + ... + Т2 )
І11 = ,...,|¥(1, .., тіт1...йті < %+і_Р <_а
Н0 і-1
г+і ’
■< АК™-р <-
Л0,1
0 ' ^+і '
Следовательно, І1 < І1 0 +11 1 <
’
Приступим к оценке суммы І2 . Очевидно,
N -1
і2<Е Е /... |
к=111,..., іі Дк,..., іі
І¥г,..., г (т1, ..., ті; Дк,..., н)
й Т1...й Ті
<
/22 2 \~/2
( + т2 +... + т/'/2
Д
0,1
Д
0,0
+
N -1
<А2 Е I к
к=111,..., іі
N
"Р
Г/к + 1У Гкл"
\г +і
<
N
(г+і)
N
г+і
где п - число элементов покрытия области й кубами и параллелепипедами
Дк . , к = 1, 2, ..., N -1; 0 <Є<1.
і1,..., іі
Повто ционала дN
зим рассуждения, приведенные выше при оценке снизу функ-
для кубатурных формул вида (16), получаем соотноше-
и і
ние п N . Отсюда следует, что
п
І1 <■
<
г+і пгІі+1 ’
N
(18)
(19)
" ^ пгІі '
НА
<—7Т.
пг
В кубатурной формуле (17) используется п гі узлов. Поэтому преды-
дущую оценку можно представить в виде
К (ф)|
<
гіі
п*'
где п* - число уз-
лов кубатурной формулы (15).
Так как предыдущая оценка справедлива для произвольной функции
фе С (1), то
Я
N
с\ (1)
г/1 ' п*
(20)
Из сопоставления оценки С,N С (1) дует, что
- Ап Г!1 и неравенства (20) сле-
Я
N
сг (1)
и -г/і
п* 1 .
п
Таким образом, доказано следующее утверждение.
Теорема 3. Пусть V = С (1). Среди всевозможных кубатурных формул вида (16) оптимальной по порядку является формула (17). Ее погрешность рав-
на Ям [V]
и
п
г/і
где п* - число узлов кубатурной формулы (17).
Замечание. Величины N и п* связаны между собой выражением
и / п* N.
п
6 Модельные примеры
Приведем ряд примеров, иллюстрирующих эффективность предложенного метода.
Рассмотрим модельный пример [8]
І1 = Г__£________= --лЯ- —V2 .
1 • ґ^,/((-2"=T— 25 11 '] 25 5
Как видно, плотность интеграла ф($) = , 1 еЖг (1), где
>/( - 2)2 +1
г = 1,2,... Вычисления проводились по квадратурной формуле (10) при различных значения N, где N - число элементов покрытия отрезка [0,1]. Абсолютная погрешность для N = 3...10 при г = 2 имеет порядок 10-4...10 6 и
при г = 5, соответственно, 10 6...10 7.
Рассмотрим следующий модельный пример:
1 I,-
, ГГ • I "• 15
I? = -------------І--------=----------П .
ґ 16
0
/ 2\5/2 2
Плотность интеграла ф($) = (1 - $ ) е ^ (1). Значения абсолютной погрешности вычисления /2, согласно квадратурной формуле (10), для N = 2...12 при г = 2 имеет порядок 10 2...10-4 и при г = 3 соответственно 10-3...10-5 .
Далее рассмотрим модельный пример для двумерного случая ,=}}-'1 1 2 =-п+.
= 11 /(Т1, Т2 )Т^Т2 = 15 + 3
т2 т2 16 П 2:
0 0 Т1Т2
5/9 о 1
где решение /(Т1, Т2 ) = (1 -Т2 ) — Т1 — Т2 . Вычислительная схема
11 тг
I = ^ т2 Т2
0 0 Т1Т2
где 1% (/(1, Т2)) - интерполяционный полином степени п по переменной Ту, 7 = 1,2; Тг [фр1, ^2 )] - ряд Тейлора порядка г = п по каждой переменной
для функции 9(1, Т2) в окрестности точки (0,0). Значение абсолютной по-
_2 _ з
грешности при n = 6... 10 имеет порядок 10 ...10 .
Список литературы
1. Некрасов, А. И. Теория крыла в нестационарном потоке / А. И. Некрасов. -М. : Изд-во АН СССР, 1947. - С. 3-65.
2. Эшли, Х. Аэродинамика крыльев и корпусов летательных аппаратов / Х. Эшли, М. Лэндал. - М. : Машиностроение, 1969. - 130 с.
3. Бисплингхофф, Р. Аэроупругость / Р. Бисплингхофф, Х. Эшли, Р. Халфмен. -М. : Изд-во иностранной литературы, 1958. - 284 с.
4. Лифанов, И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент / И. К. Лифанов. - М. : ТОО «Янус», 1995. - 520 с.
5. Боголюбов, Н. Н. Применение методов Н. И. Мусхелишвили в теории элементарных частиц / Н. Н. Боголюбов, В. А. Мещеряков, А. Н. Тавхелидзе // Труды симпозиума по механике сплошной среды и родственным проблемам анализа. -Тбилиси : Мецниереба, 1971. - 1 т. - С. 5-11.
6. Бойков, И. В. Приближенные методы вычисления интегралов Адамара и решения гиперсингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков, Н. Ф. Добрынина, Л. Н. Домнин. - Пенза : Изд-во Пенз. ГТУ, 1996. - 188 с.
7. Boikov, I. V. Numerical methods of computation of singular and hypersingular integrals / I. V. Boikov // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 2001. - V. 28. - № 3. - P. 127-179.
8. Monegato, G. The Numerical Evaluation of One-Dimensional Cauchy Principal Value Integrals / G. Monegato // Computing. - 1982. - V. 20. - P. 337-354.
9. Михаськив, В. В. О численном решении трехмерных статических задач теории упругости для тела с включением неканонической формы / В. В. Михаськив, Б. М. Стасюк // Прикладная механика. - 2007. - Т. 43. - № 4. - С. 27-35.
10. Гравиразведка / под ред. Е. А. Мудрецовой. - М. : Наука, 1981. - 398 с.
11. Гельфанд, И. М. Обобщенные функции и действия над ними / И. М. Гель-фанд, Г. Е. Шилов. - Вып. 1. - М. : Физматгиз, 1959. - 470 с.
12. Адамар, Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа / Ж. Адамар. - М. : Наука, 1978. - 352 с.
13. Чикин, Л. А. Особые случаи краевой задачи Римана и сингулярные интегральные уравнения / Л. А. Чикин // Уч. зап. Казанского гос. ун-та. - 1953. -Т. 113. - № 10. - C. 53-105.
14. Линьков, А. М. Гиперсингулярные интегралы в плоских задачах теории упругости / А. М. Линьков, С. Г. Могилевская // ПММ. - 1980. - Т. 54. - № 1. - С. 116-122.
15. Линьков, А . М . Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости / А. М. Линьков. - СПб. : Наука, 1999. - 382 с.
16. Бахвалов, Н. С. О свойствах оптимальных методов решения задач математической физики / Н. С. Бахвалов // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. - 1970. -Т. 10. - № 3. - С. 555-568.
17. Иванов, В. В. Об оптимальных алгоритмах численного решения сингулярных интегральных уравнений / В. В. Иванов // Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа. - М. : Наука, 1972. - С. 209-219.
18. Натансон, И. П. Конструктивная теория функций / И. П. Натансон. - М. ; Л. : ГИФМЛ, 1949. - 688 с.
