CC BY
115
Обобщённые дискретные преобразования Фурье и их спектральные свойства
Ситник С.М.
Воронежский институт МВД mathsms @ yandex, ги
Аннотация. В работе рассматривается набор преобразований, которые обобщают известное дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Эти обобщения определяются при помощи группы перестановок комплексных корней из единицы. Различным перестановкам соответствуют различные новые ДПФ. На этом пути удаётся построить преобразования с лучшими по сравнению со стандартным ДПФ спектральными свойствами. Например, для размерности равной четырём, стандартное ДПФ имеет неполный кратный спектр, а большинство новых преобразований имеют простой спектр. Приводятся результаты расчётов параметров преобразований на компьютере, а также некоторые гипотезы об их спектральных свойствах. Кратко рассматриваются возможности применения введённых обобщённых преобразований Фурье, в том числе в криптографии.
Ключевые слова: дискретное преобразование Фурье, корни из единицы, спектр, собственные векторы, перестановочные матрицы, криптография.
Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) является одним из самых известных и полезных на практике математических инструментов. Это преобразование широко применяется, например, при проектировании и оптимизации различных автоматизированных систем, в электродинамике и оптике, теории кодирования и криптографии, при анализе систем связи и фильтрации сигналов, в алгоритмах сжатия информации и вычислительной томографии.
Важность ДПФ для приложений определяется в том числе и тем, что задачи о вычислении ДПФ, циклической свертки последовательностей, произведения больших чисел или многочленов по существу эквивалентны. Фундаментальное значение также имеют быстрые алгоритмы ДПФ, в которых число необходимых операций уменьшено по сравнению с обычным бесхитростным вычислением за счёт изощрённой оптимизации порядка выполнения действий. Наиболее известны быстрые алгоритмы Гуда, Кули и Тьюки, Винограда, Рейдера [Блэйхут, 1989; Ноден и др, 1999; Нуссбаумер, 1985]. Фундаментальную роль ДПФ играет в современной криптографии [Черемушкин, 2002].
ДПФ определяется матрицей Fn размером пхп с элементами
4=^=ехр(-*^), 0<k<n-l, 0 < у < я -1.
Таким образом, матрица ДПФ без учёта нормирующего множителя устроена так: первые строка и столбец состоят из единиц, во второй строке стоят корни из единицы порядка п в естественном порядке, следующие
строки являются последовательными степенями второй строки. С точностью до множителя это степенная матрица, или матрица Вандермонда. Так, например, при п = 3 и п = 4 матрицы ДПФ имеют вид
1
1
2
\/3.
2
1 л/3 --Н--1
2 2
1--+ —г---—
1
1 л/3 .
---1-—г
2 2
./3
— I 2 2 у
1
ч
а 1 1 1
1
- г -1
1 -1 1 -1
л
1
г
-1 -г
Несмотря на общеизвестность преобразования ДПФ, некоторые стандартные задачи для него имеют незнакомые широкому кругу специалистов свойства. Рассмотрим в качестве примера естественную задачу о нахождении спектра ДПФ при любом и. Решение этой задачи отсутствует в основной литературе по преобразованиям Фурье и нетривиально. Известно, что четвертая степень ДПФ есть тождественное преобразование, поэтому собственными значениями могут быть лишь числа ± 1, ± г. Основная сложность состоит в вычислении кратностей этих собственных значений. Аналогия с непрерывным преобразованием Фурье, для которого четыре этих значения совершенно равноправны, приводит к весьма правдоподобному предположению, что хотя бы в случае размерности п = Лт собственные значения ДПФ также равноправны, и, следовательно, все имеют кратность т.
Таблица 1. Кратности собственных значений матриц ДПФ
п 1 I -1 4
2 1 0 1 0
3 1 1+ 1 0
4 2 0 1 1+
5 2 1+ 1 1
6 2 1 2+ 1
7 2 1 2 2+
8 3+ 1 2 2
9 3 2+ 2 2
10 3 2 3+ 2
11 3 2 3 3+
12 4+ 2 3 3
13 4 3+ 3 3
14 4 3 4+ 3
15 4 3 4 4+
16 5+ 3 4 4
17 5 4+ 4 4
18 5 4 5+ 4
19 5 4 5 5+
20 6+ 4 5 5
Однако вычисления уже при п = 4 опровергают это предположение. В этом случае значения -1, -г являются простыми, значение 1 имеет кратность 2, а значение { вообще отсутствует в спектре! Всё это нарушает симметрию спектра, присущую непрерывному случаю.
Приведем таблицу кратностей собственных значений матрицы ДПФ для начальных значений размерности п (см. Табл. 1).
Из таблицы видно, что если отбросить начальные размерности п=2 и п=3, то несимметричность спектра проявляется при п=4, а затем при переходе к следующей размерности кратность одного из четырёх собственных значений увеличивается на единицу. Мы отметили в таблице соответствующие приращения размерностей знаками "+" и выделили жирным шрифтом, закономерность появления этих приращений простая: они добавляются циклически обходом четырёх корней против часовой стрелки.
Окончательные значения кратностей точек спектра приведены в следующей таблице.
п 1 i -1 - i
4N N+1 (+) N-1 N N
4N+1 N+1 N(+) N N
4N+2 N+1 N N+1 (+) N
4N+3 N+1 N N+1 N+1 (+)
Данный результат был для произвольного значения п доказан знаменитым математиком Исаем Шуром (I. Schur) в 1921 году [Schur, 1921], результат несколько раз переоткрывался и стал фольклорным. (Отметим, что в одной замечательной книге, знаменитой множеством нестандартных фактов и заключений, Исайа Шур назван белорусским математиком, он действительно родился в Бобруйске). Основным моментом при доказательстве неожиданно является тот факт, что для нахождения указанных кратностей необходимо вычисление знаменитых квадратичных тригонометрических сумм Гаусса [Berndt et al, 1998], которые являются следами матриц ДПФ. Нахождение точной формулы для квадратичных тригонометрических сумм заняло у Гаусса около 10 (!) лет с 1801 по 1811, сам он написал об этой задаче, "что решение многих трудных вопросов теории чисел не отняло столько дней, сколько взяло лет работы решение вопроса об этом" [Гаусс, 1959]. Для сравнения, теория гипергеометрических функций была создана Гауссом за несколько месяцев, что прослеживается по его подробным дневникам.
Данная работа возникла из наблюдения, что матрица ДПФ составляется нами по очевидному простейшему геометрическому способу: при формировании строк и столбцов корни из единицы обходятся по часовой стрелке. Например, при п=4 порядок такой: 1, -i, -1, i. Очевидно, что данный способ упорядочивания корней достаточно случаен и может
1 1 .. 1
г2 ., .. гп
2 2 2
п 2 • .. гп
п—1 71-1
1 г2 .. гп
быть изменён. Поэтому логически равновозможны и все другие способы упорядочивания множества корней, при этом возникает целый набор различных новых модифицированных дискретных преобразований Фурье, см. [Ситник 2006а; 2006Ь; 2007].
Определение. Рассмотрим множество корней степени п из единицы, упорядоченное произвольным способом г = (г1,г2,...гп). Назовём модифицированным дискретным преобразованием Фурье (МДПФ), построенным по данной перестановке г множества корней из единицы, оператор с матрицей размеров пхп следующего вида
'••г
Ып
Ясно, что в результате получается с точностью до множителя некоторая степенная матрица (Вандермонда). Всего при данном п получится п\ различных модифицированных преобразований. Обычное классическое ДПФ и его обратное также входят в этот набор, остальные являются новыми. Так при п=4 получаются 24 различных МДПФ, при п=5 получаются 120 преобразований.
Целью работы является изучение спектральных свойств указанных новых модифицированных преобразований Фурье. В частности, представляют особый интерес преобразования при п=4т с симметричным спектром (а при п=4 ещё и с простым), в котором все собственные значения имеют одинаковые кратности. Это не выполняется для обычных ДПФ ни при каких размерностях, как следует из приведённой выше таблицы 2. Такие преобразования с симметричным спектром являются в определённом смысле более естественными, чем обычное ДПФ, так как они ближе к своему непрерывному аналогу в плане равноправности точек спектра. Не исключено, что такие МДПФ за счёт более простых спектральных свойств могут оказаться полезнее в различных вычислительных приложениях.
Далее приводятся результаты расчётов на компьютере для случая п=4. Получившиеся 24 МДПФ разбиты нами на группы из похожих по своим свойствам преобразований. Мы указываем номер соответствующего преобразования, образующую его перестановку корней и для каждой группы кратко перечисляем основные особенности на примере первого преобразования из данной группы.
1. г = {1,-г,-1,г} - это обычное ДПФ!
2. г = {1,1,-1,—/} - это его обратное.
Квадрат преобразования с номером 1 является действительной матрицей перестановок
1 0 0 Ол 0 0 0 1 0 0 10
ч0 1 О о,
спектр кратный {-1,-1,1,1}, характеристический полином получен в явном виде: х4 - (1 - ¿)х3 - (1 + ¿)х2 + (1 - Г)х + г.
Найден также в явном виде набор действительных собственных векторов:
{-1,1,1,1},{0,-1,0,1},{2,1,0,1},{1,0,1,0}. 3. г = {—1,г,1,—г}, 4. г = {—1,—г,1,г}. Квадрат преобразования с номером 3 имеет вид
'О 0 1 ОЛ 0-100 10 0 0 ч0 0 0 -1у
спектр кратный {1, -{, 1}, характеристический полином получен в явном виде:
х4 - (1 + г')*3 + (1 + О*2 - (1 + 0* +г' • Найден также в явном виде набор комплексных собственных векторов: {0,-1,0,1}, {-1,-21,1,0}, {1,1,-1,1},{1,0,1,0}. В случаях 1-4 перестановки состоят из корней, занумерованных по кругу, причём нумерация начинается не с первообразных корней -1,1. Четвёртая степень преобразования есть единичная матрица. Построено явно диагонализирующее преобразование.
5. г = {г,1,-г,-1}, 6. г = {-1,\,1 -Ц, V. г = {1,-1,-1,1}, 8. г = {4,-1,1,1}. В случаях 5-8 перестановки состоят из корней, занумерованных по кругу, причём нумерация начинается с первообразных корней -Ц. Степени преобразования с номером 5 имеют вид:
F2 =
Го 1 0 п 0 0
{ 0 0 0 0 i 0 0
. рг =
0 0 0 -1 7 г 0 0 2 0
,0 0 - / 0, ,0 0 0 ь
р16 = Е.
Отметим, что напоминает матрицы спинорных представлений, а её ненулевые блоки - матрицы Паули [Дубровин и др, 1986].
Это МДПФ имеет простой спектр, состоящий из значений лЛ !!! Характеристический полином получен в явном виде: х4 - /. С этого момента начинаются вычислительные затруднения у пакета МАТНЕМАТ1СА, он не смог посчитать по одной компоненте каждого из собственных векторов по своему алгоритму. Например, первому собственному значению соответствует такой собственный вектор
F2 =
О I-i I
v 2 2 2
К (1 - л/2 + л/4-2л/2)/, ^ - ^ i,1},
2 2
где s является первым по нумерации пакета MATHEMATICA корнем возвратного уравнения восьмой степени
s8 -8s7 + 32/ -24/ + 2/ + 7As-3 + 32/ +8^ + 1 = 0. 9. г = {1,-1,/,-/}, Ю. г = {1,-1,-/,/}, 11. г = {1,/,-/,-1}, 12. г = {1,-/,/,-1}. Это оставпшеся перестановки, начинающиеся с 1.
Квадрат преобразования с номером 9 является комплексной матрицей следующего вида
'1 0 0 0 Л
о i+! -I i 2 2 2 2
о о 1Д
2 2 2 2 i
2 J
Аналогично устроены другие чётные степени данной матрицы. Это МДПФ имеет простой спектр.
Vt+^VT-I .VT^VT+I
4 4 4 4 Характеристический полином получен в явном виде:
х4 + (— - -)х3 - (1 + i)x2 -(-- -)х + i. 2 2 2 2
Найден в явном виде набор комплексных собственных векторов:
{-1,1,1,1},{3,1,1,1}. Осталось рассмотреть оставпшеся преобразования. 13. г = {/,1,-1,-/}, 14. г = {-/,1,-1,/}, 15. г = {-1,1,/,-/}, 16. г = {-1,1,-/,/},
17. г = {/,-1,1,-/}, 18. г = {-/,/,1,-1}, 19. г = {-/,-1,1,/}, 20. г = {/,-/,1,-1},
21. г = {/,-/,-1,1}, 22. г = {-/,/,-1,1}, 23. Y = {—1, /,—/,1}, 24. г = {-1,-/,/,1}.
Для первого их них с номером 13 квадрат преобразования является комплексной матрицей следующего вида
г 0 1 о о Л
F =
г
1
2 1 i
- о -i+A 2 2 2
i+i 0 0 ----
2 2 2 2
1 о -I-A -i
2 2 2 2 .
Остальные степени состоят из заполненных матриц со всё более громоздкими элементами.
Эти МДПФ имеют простой спектр !!! Для преобразования с номером 13 спектр состоит из значения 1 и трёх занумерованных в определённом порядке корней уравнения
2/-2/+ 3/-2^+3/-2.5 + 2 = 0, которые МАТНЕМАТ1СА не сумела вычислить в явном виде (хотя это возможно, так как данное возвратное уравнение сводится к кубическому). Характеристический полином получен в явном виде:
хА - (- + -)х3 + (1 + 1)Х2 - (- +—¡)х + i.
2 2 2 2
Собственный вектор один найден в явном виде {1,1,-1,1}, в трёх остальных по одной компоненте равны 1, остальные найдены в неявном виде как занумерованные в определённом порядке корни уравнений вида
/+2£5 + 6/ + 1453 +25^+125 + 4 = 0, 53-52-45 + 2 = 0.
Таким образом, получается довольно неожиданный результат, что подавляющее большинство МДПФ при п=4 устроены проще стандартного, так как все они имеют простой спектр. Из приведённых результатов вычислений следует, что лишь четыре преобразования имеют кратный спектр, как и классическое. Они отвечают случаям, когда в перестановке корни обходятся на единичной окружности по часовой стрелке или против неё, причём начиная не с первообразных корней. При этом, МДПФ, отвечающие обходу по окружности при старте с первообразных корней, по-видимому, обладают наиболее простыми спектральными свойствами.
При произвольных п доказана унитарность всех МДПФ. Следовательно, все их спектры лежат на единичной окружности, и получен явный вид обратных преобразований. Это несложно установить пользуясь тем, что все МДПФ являются произведениями обычного ДПФ и соответствующих матриц перестановок. Отметим, что некоторые частные случаи рассмотренных здесь матриц МДПФ известны и используются в современных быстрых алгоритмах Гуда и Рейдера [Блэйхут, 1989; Ноден и др, 1999; Нуссбаумер, 1985].
К сожалению, установить строго другие содержательные результаты о спектральных свойствах при произвольных п не удаётся ввиду сложности доказательств. При помощи компьютера для небольших п вычислены начальные степени преобразований, проекторы на собственные подпространства и резольвенты, различные стандартные алгебраические факторизации матриц. На основании анализа компьютерных вычислений представляется верной следующая гипотеза.
Гипотеза 1. При п = Ат все размерности собственных подпространств не совпадают только для МДПФ, отвечающим
циклическим круговым перестановкам, которые начинаются не с первообразных корней.
Если эта гипотеза верна, то за стандартный ДПФ выбран самый неудачный вариант с точки зрения вопроса о простоте устройства спектра.
Гипотеза 2. Все МДПФ имеют базис из вещественных собственных векторов.
Заметим, что автору не известен общий критерий наличия вещественного базиса из собственных векторов у произвольной комплексной матрицы. Для обычного ДПФ способ построения такого базиса предложен в [Ма^ееу, 2001], идея построения следующая. Пусть уже вычислены кратности всех собственных чисел и соответствующие проекторы на собственные подпространства, тогда собственные вектора можно получить по следующему элементарному алгоритму: выбрать стандартный базис (а в принципе - и любой другой), и подействовать на орты последовательно всеми проекторами нужное число раз с учётом кратности значений спектра. К сожалению, полного набора собственных векторов при произвольном выборе начального базиса может и не получится. Для обычного ДПФ аккуратная реализация этого метода с подробными вычислениями и обсуждением трудностей содержится в [Абрамочкин, 2006]. Несколько другой подход предложен в [Минин и др, 2005].
Мы рассмотрели в работе варианты с перестановками корней, то есть столбцов матрицы обычного ДПФ. Можно рассмотреть дальнейшее обобщение, когда одновременно переставляются и строки, то есть мы отказываемся от того, чтобы МДПФ определялось степенной матрицей. Такие преобразования также являются унитарными и частично исследованы на компьютере. Их удобно использовать для анализа сигналов, в которых редкие ненулевые элементы разбросаны среди нулевых. Для таких сигналов ДПФ неустойчиво при вычислениях и обладает другими нежелательными свойствами. Тогда можно при помощи первой матрицы перестановки собрать все ненулевые элементы вместе, выполнить преобразование, а затем при помощи второй матрицы обратной перестановки восстановить первоначальный порядок следования элементов в массиве данных. Применение ДПФ к преобразованному сгруппированному сигналу является более предпочтительным и даёи ряд вычислительных преимуществ.
Введённые МДПФ позволяют также обобщить тригонометрические суммы Гаусса.
Определение. Обобщённой квадратичной суммой Гаусса называется след соответствующего МДПФ, то есть
0{Р,й,п) = §ехрГ/ — р(к)д(к)\р = (р(0),р(1),..., р(п-1)),
к=0
п
где P,Q- две произвольные перестановки множества чисел (ОД,..., п-1).
ОТКРЫТАЯ ПРОБЛЕМА. Вычислить в явном виде обобщённые квадратичные суммы Гаусса в терминах заданных перестановок Р и Q, порождающих соответствующее МДПФ.
Автору представляется, что это чрезвычайно сложная задача, никаких даже приблизительных путей её решения в настоящее время не видно (с такой оценкой согласился в частной переписке и один из авторов монографии [Berndt et al, 1998] Bruce Berndt). Тем не менее, решение сформулированной открытой проблемы позволило бы находить размерности собственных подпространств МДПФ при любых размерностях теоретически, без компьютера.
Представляет очевидный интерес изучение быстрых алгоритмов вычисления МДПФ по аналогии с обычным случаем.
Отметим, что ДПФ широко применяются в криптографии. На основе результатов настоящей работы можно в принципе предложить следующий алгоритм шифрования информации. Отправитель и получатель заранее знают, какой из вариантов МДПФ данного порядка используется при обмене, а противнику это не известно. Ввиду огромности числа п\ подобный алгоритм может быть не менее стойким, чем стандартные алгоритмы с большой длиной ключа. Кроме того, при данном методе требуется минимальная модификация существующих алгоритмов и программ, сводящаяся к простой замене одной матрицы на другую.
Кроме того, модифицированное преобразование Фурье и суммы Гаусса связаны с квадратичным или дробным преобразованием Фурье, которое находит применения в теории операторов преобразования [Катрахов и др, 1984; Ситник, 1990; 1991; Sitnik, 2012; 2013; ] и методе квадратичной экспоненциальной аппроксимации сигналов [Журавлёв и др., 2009; 2010; Минин и др., 2009; Kiselev et al, 2013; Zhuravlev et al, 2011].
На модифицированные преобразования Фурье можно также обобщить матричное соотношение неопределённостей, связывающее количество нулевых компонент в исходном и преобразованном сигналах [Ситник, 2009; Sitnik, 2010].
Список литературы
[Абрамочкин, 2006] Абрамочкин Е.Г. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами // Интернет-ресурс: www.ega-math.narod.ru.
[Блэйхут, 1989] Блэйхуг Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1989.
[Гаусс, 1959]Гаусс К.Ф. Труды по теории чисел. М., Изд. АН СССР, 1959.
[Дубровин и др, 1986] Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1986.
[Журавлёв и др., 2009 ] Минин JLA., Журавлев М.В., Ситник С.М. О вычислительных особенностях интерполяции с помощью целочисленных сдвигов гауссовых функций // Научные ведомости Белгородского государственного университета. 2009.- № 13 (68), Вып. 17/2.- С. 89-99.
[Журавлёв и др., 2010] Журавлёв М.В., Киселёв Е.А., Минин JI.A., Ситник С.М. Тета-функции Якоби и системы целочисленных сдвигов функций Гаусса // Современная математика и её приложения. Т. 67. Уравнения в частных производных.- 2010. - С. 107-116.
[Катрахов и др, 1984] Катрахов В.В., Ситник С.М. Краевая задача для стационарного уравнения Шрёдингера с сингулярным потенциалом // Доклады Академии наук СССР.-1984.- Т. 278, N4.- С. 797-799.
[Минин и др., 2005] Акиндинова Е.В., Барсукова А.И., Минин JI.A. Дискретное преобразование Фурье и ортогональные системы циклических сдвигов // Вестник Воронежского государственного университета. Серия "Физика, Математика".- 2005.- № 1. С. 145-148.
[Минин и др., 2009] Минин JI.A., Ситник С.М., Журавлев М.В. О вычислительных особенностях интерполяции с помощью целочисленных сдвигов гауссовых функций // Научные ведомости Белгородского государственного университета.- 2009.- № 13 (68), Выпуск 17/2. -С. 89-99.
[Ноден и др, 1999] Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика. М.: Мир, 1999.
[Нуссбаумер, 1985] Нуссбаумер Г. Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисления свёрток. М.: Радио и связь, 1985.
[Ситник, 1990] Ситник С.М., Унитарность и ограниченность операторов Бушмана— Эрдейи нулевого порядка гладкости // Препринт. Институт автоматики и процессов управления ДВО АН СССР.-1990,- 44 С.
[Ситник, 1991] Ситник С. М. Факторизация и оценки норм в весовых лебеговых пространствах операторов Бушмана-Эрдейи // ДАН СССР-1991.-т. 320, №6.- С. 1326-1330.
[Ситник, 2006а] Ситник С.М. Перестановочные аналоги дискретного преобразования Фурье // Труды Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, Лиманчик.- 2006.- С. 156 - 158.
[Ситник, 2006b] Ситник С.М. Модифицированное дискретное преобразование Фурье // Вестник Воронежского института МВД России.- 2006.- № 7.- С. 196 - 201.
[Ситник, 2007] Ситник С.М. Компьютерный анализ спектральных свойств
модифицировашшх дискретных преобразований Фурье. // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук.- 2007.- Т. 9, №1.- С. 98—103.
[Ситник, 2009] Ситник С.М. Уточнения и обобщения классических неравенств // Итоги науки. Южный федеральный округ. Серия "Математический форум". Том 3. Исследования по математическому анализу. Ред. Ю. Ф. Коробейник, А. Г. Кусраев. Владикавказ: Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО Алания.- 2009.-С. 221-266.
[Черемушкин, 2002] Черемушкин А.В. Лекции по арифметическим алгоритмам в криптографии. М.: МЦНМО, 2002.
[Berndt et al, 1998] Berndt B.C., Evans R.J., Williams K.S. Gauss and Jacobi sums. John Wiley& Sons, 1998.
[Kiselev et al, 2013] Kiselev E.A., Minin L.A., Novikov I.Ya., Sitnik S.M. On Evaluation of Riesz Constants for Systems of Shifted Gaussians // arXiv: 1308.2649.-2013.-62 P.
[Matveev, 2001] Matveev V.B. Intertwining relations between the Fourier transform and discrete Fourier transform // Inverse Problems.- 2001.- No. 17.- pp. 633 - 657.
[Schur, 1921] Schur I. Uber die Gaussschen Summen // Nach. Gessel. Gottingen, Math-Phys Klasse.-1921,- pp. 147 - 153.
[Sitnik, 2010] Sitnik S.M. Generalized Young and Cauchy—Bunyakowsky Inequalities with Applications: a survey // arXiv: 1012.3864.-2010.-51 P.
[Sitnik, 2012] Sitnik S.M. Transmutations and Applications: a survey // arXiv: 1012.37412012.-2012,- 141 P.
[Sitnik, 2013] Sitnik S.M. Buschman-Erdelyi transmutations, classification and applications // In the book: Analytic Methods Of Analysis And Differential Equations: Amade 2012. / Dubatovskaya M.V., Rogosin S.V. (Eds.). Cambridge: Cambridge Scientific Publishers, 2013. pp. 171-201.
[Zhuravlev et al, 2011] Zhuravlev M.V., Kiselev E. A., Minin L. A., S. M. Sitnik. Jacobi theta-functions and systems of integral shifts of Gaussian functions // Journal of Mathematical Sciences, Springer.- 2011, Vol. 173, № 2. - pp. 231-241.
