CC BY
30ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1: Математика. Механика. Информатика. Выпуск 4 (25). 2017
УДК 512.643
МОДИФИЦИРОВАННОЕ ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И ЕГО СПЕКТРАЛЬНЫЕ
СВОЙСТВА
А. Б. Певный, С. М. Ситник
Предлагается модифицированное дискретное преобразование Фурье порядка п. При п = 4т матрица этого преобразования имеет 4 собственных числа, все кратности т. Ключевые слова: дискретное преобразование Фурье, собственные числа.
1. Введение
Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) является одним из самых известных и полезных математических инструментов.
ДПФ определяется матрицей Р размера п х п с элементами
Р(Кэ) = ш-^', к,Э е 0 : п — 1,
п
где ш = ехр—. Здесь 0 : п — 1 обозначает множество целых чисел от 0 до п - 1 .
Рассмотрим задачу о нахождении спектра ДПФ при любом п. Известно, что Р4 = Е, где Е — единичная матрица, поэтому собственными значениями могут быть лишь числа ±1, ±г. Основная сложность состоит в вычислении кратностей этих значений. Кратности были найдены для любого п знаменитым математиком Исайей Шуром [1] в 1921 году.
В таблице обращает на себя внимание факт, что при п = 4т кратности собственных чисел не равны.
Данная работа возникла из желания исправить этот недостаток. Хотелось бы модифицировать ДПФ так, чтобы при п = 4т кратности собственных чисел были равны.
© Певный А. Б., Ситник С. М., 2017.
Таблица
Общие формулы И. Шура для кратностей собственных
значений
п 1 г — 1 —г
4т т + 1 т — 1 т т
4т + 1 т + 1 т т т
4т + 2 т + 1 т т + 1 т
4т + 3 т + 1 т т + 1 т + 1
2. Новый вид ДПФ и его свойства
Обобщённые ДПФ были предложены в работе [2]. Мы подробно исследуем одно новое преобразование и докажем, что при п = 4т кратности чисел спектра будут равны.
Рассмотрим матрицу Г с элементами
г (к,з ) = -=ш п
к(1-з)
к,3 Е 0 : п — 1.
(1)
Приведем вид Г при п = 6:
Г =
1 л/6
п= 6:
1 1 1 1 1 1
ш 1 ш- 1 ш-2 ш |-3 ш -4 ш 4
ш2 1 ш- 2 ш-4 ш -6 ш ш 8 ш
£ со 1 ш- 3 ш-6 ш — 9 ш 9 ш ,-12 Ш
ш4 1 ш- 4 ш-8 ш ш ,-12 ш . ,-16 ш
ш5 1 ш- 5 . ,-10 ш . ,-15 Ш . ,-20
В нулевой строке Г стоят единицы, в первой — все корни п-й степени из 1, начиная с ш и далее привлекаем корни, двигаясь по окружности по часовой стрелке.
Как и в обычном ДПФ, матрица Г является унитарной. Для исследования её спектральных свойств нам потребуется следующая лемма.
ЛЕММА 1. Матрица Р = Г2 обладает свойствами: (г) Р2 = шЕ при всех п;
(гг) При чётном п след 1г(Р) равен нулю и матрица Р имеет два собственных числа у/ш и —у/ш, каждое кратности п/2.
Доказательство. Матрица Р
Г2
имеет характерный вид с двумя
ненулевыми диагоналями. Например, при п = 6
Р
0 1 0 0 0 0
ш 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 ш2
0 0 0 0 ш3 ш 0
0 0 0 ш4 0 0
0 0 ш5 0 0 0
При п чётном на главной диагонали Р стоят одни нули, и поэтому ^(Р) = 0.
Используя двухдиагональный вид, можно показать, что Р2 = шЕ. Отсюда собственными числами матрицы Р могут быть только числа у/ш = ехри —\/ш с кратностями к1 и к2.
Сумма всех собственных чисел равна следу матрицы. Поэтому при п чётном — к2^/ш = 1г(Р) = 0, откуда к1 = к2 = п/2. Лемма
доказана. □
Ещё потребуется вычислить сумму
Я
4т
4т-1
Е
к=0
Ш'
к(к-1)
где ш
(2пг
ехр -— \ 4т
ЛЕММА 2. Справедливо равенство
Я4т = 0. (2)
Доказательство. Введём обозначение Ук = шк(к-1) и найдём сумму у к + ^к+2т. Имеем
(к + 2т) (к + 2т — 1) = к(к — 1) + 2т(2к + 2т — 1) ,
^к+2т = Укш2тз, где 5 = 2к + 2т — 1.
Поскольку ш2т = ет = —1, 5 — нечётное, то Ук+2т = — Ук. Итак, в сумме Я4т слагаемые разбиваются на пары, и в каждой паре сумма равна нулю. Лемма доказана. □
ЗАМЕЧАНИЕ. Сумма Я4т аналогична гауссовым суммам Сп = ^П=0 шк2, где ш = ехр (2р). Гаусс вычислил эти суммы для всех п. При п = 4т+2 слагаемые к и к+2т+1 уничтожаются и С4т+2 = 0. Мы не видели в литературе такого способа вычисления гауссовой суммы (правда в простейшем случае п = 4т + 2).
3. Собственные числа матрицы F
ТЕОРЕМА 1. При n = 4m матрица F вида (1) имеет собственные числа — корни 4-й степени из ш, все одинаковой кратности т.
Доказательство. По лемме 1 F4 = P2 = шЕ, поэтому собственными числами могут быть только корни 4-й степени из ш:
£i = exp 2n, £2 = £з = Q =
Кратности этих собственных чисел обозначим а, b, c, d, а + b + c + d = n. Имеем = e3 = V^• При чётном n число имеет кратность n/2 для матрицы P (см. лемму 1). Поэтому а + c = n/2, b + d = n/2 при чётном n.
Далее пользуемся тем, что сумма всех собственных чисел равна следу матрицы:
ае1 + be2 + ce3 + de4 = tr(F).
Имеем tr(F) = ^ Et™-1 шк(1-к) = ^Но в силу (2) R4m = 0, поэтому tr(F) = 0.
Значит, сумма всех собственных чисел равна нулю:
ае1 + b(ie1) + c(-е1) + d(-ге1) = 0.
После сокращения на е1 получаем а — c+i(b — d) = 0, откуда а = c, b = d. Ранее было установлено, что а + c = n/2, b + d = n/2. Окончательно получаем
а = c = b = d = n/4. Теорема доказана. □
Список литературы
1. Schur I. Uber die Gaussschen Summen // Nach. Gessel. Göttingen. Math.-Phys. Klasse. 1921. Pp. 147-153.
2. Ситник С. М. Обобщённые дискретные преобразования Фурье и их спектральные свойства // Новые информационные технологии в автоматизированных системах. М.: МИЭТ, 2014.
Summary
Pevnyi A. B., Sitnik S. M. Modified discrete Fourier transform and its spectral properties
Modified discrete Fourier transform of the order n is suggested. For n = 4m the matrix of this transform has 4 eigenvalues with multiplicities m.
Keywords: discrete Fourier transform, eigenvalues. References
1. Schur I. Uber die Gaussschen Summen, Nach. Gessel. Gottingen. Math.-Phys. Klasse, 1921, pp. 147-153.
2. Sitnik S. M. Obobshhjonnye diskretnye preobrazovanija Fur'e i ih spektral'nye svojstva (Generalized discrete Fourier transform and its spectral properties), New information technologies in automized systems, M., MIET, 2014.
Для цитирования: Певный А. Б., Ситник С. М. Модифицированное дискретное преобразование Фурье и его спектральные свойства // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2017. Вып. 4 (25). C. 15-19.
For citation: Pevnyi A. B., Sitnik S. M. Modified discrete Fourier transform and its spectral properties, Bulletin of Syktyvkar University. Series 1: Mathematics. Mechanics. Informatics, 2017, №4 (25), pp. 15-19.
СГУ им. Питирима Сорокина, Белгородский госуниверситет
Поступила 06.11.2017
