Расчёт конечномерной математической модели в задаче квадратичной экспоненциальной интерполяции Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация. В статье рассматриваются аппроксимации сигналов при помощи целочисленных сдвигов квадратичных экспонент — функций Гаусса. Предложен метод нахождения узловой функции для таким образом поставленной задачи интерполяции, основанный на решениях усечённых систем линейных уравнений. Проведено краткое сравнение данного метода с известными ранее и намечены приложения полученных результатов в теории передачи сигналов.

Ключевые слова: квадратичные экспоненты, функции Гаусса, интерполяция, сигналы.

Рассмотрим задачу о приближении достаточно произвольной функции в виде ряда по системе целочисленных сдвигов функции Гаусса (квадратичной экспоненты с параметрами). Для численного анализа и приложений основную роль играют приближения такого типа конечными суммами, которые возникают при усечении соответствующих рядов. В сообщение излагаются результаты исследования таких конечных приближений. Историю вопроса, основные результаты и многочисленные приложения см. в [1-7].

Более точно, будет исследована следующая основная

Задача. Рассмотрим произвольную функцию / (х), заданную на всей оси и некоторый параметр в > 0, который в приложениях играет роль среднеквадратичного отклонения. Будем искать интерполирующую функцию д(х), также определённую на всей оси, которая представляется в виде ряда по целочисленным сдвигам функции Гаусса

Известны два подхода к решению поставленной задачи. При первом подходе решение ищется с помощью специальных функций, а именно тета-функций Якоби [2]. Как показано в [1,3-4], несмотря на теоретическую ценность этого подхода, он не имеет вычислительных перспектив, так как связан с делением на чрезвычайно малые знаменатели. Другой подход разрабатывался в [1,4], он основан на применении дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Такой

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

MSC 41A05

РАСЧЁТ КОНЕЧНОМЕРНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ В ЗАДАЧЕ КВАДРАТИЧНОЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ

С.М. Ситник, А.С. Тимашов

Воронежский институт МВД России, пр. Патриотов 53, Воронеж, 394065, Россия, e-mail: mathsms@yandex.ru

и совпадает с исходной функцией во всех целых точках

g(m) = f (m), m є Z.

подход имеет определённую вычислительную ценность, но она достигается ценой существенного усложнения алгоритма, при этом вычисления возможны в достаточно узких диапазонах параметров и с небольшим числом разрядов в результатах. Поэтому в настоящей работе предлагается наиболее простой прямой метод решения поставленной задачи, основанный на сведении её к решению конечных систем линейных уравнений.

Существенным препятствием для развития этого метода являлось отсутствие результатов по доказательству однозначной разрешимости соответствующих систем линейных уравнений. В настоящей работе сформулированы результаты, устанавливающие требуемую однозначную разрешимость линейных систем. Эти результаты являются теоретическим обоснованием для разработки практических численных алгоритмов, избавленных от необходимости работы со специальными функциями или ДПФ.

Решение задачи интерполяции сводится к нахождению базисной узловой функции С(х,в). удовлетворяющей условиям:

интерполяционная задача решается стандартным образом. Основная проблема сводится к нахождению коэффициентов базисной узловой функции дк.

Коэффициенты дк базисной узловой функции удовлетворяют бесконечной системе линейных уравнений. Предлагается для расчета коэффициентов использовать конечномерные приближения данной системы. Основные результаты содержатся в двух теоремах.

Теорема 1. Рассматриваемые конечномерные приближения для нахождения коэффициентов базисной узловой функции образуют однозначно разрешимые системы линейных уравнений при любых размерностях, их определители не равны нулю.

Теорема 2. При увеличении размерности конечномерных систем их решения стремятся к решению исходной бесконечной системы линейных уравнений для нахождения коэффициентов базисной узловой функции.

Нами также проведено компьютерное исследование решений полученных конечномерных систем линейных уравнений численными методами при помощи математического пакета МАТНЕМАТ1СА при широком наборе управляющих параметров, результаты представлены в графическом и табличном виде [5,7]. Рассмотрено разложение указанным методом по целочисленным сдвигам функции Гаусса основного набора стандартных электрических сигналов: переключательных режимов, кусочно-постоянных, прямоугольных, треугольных, сложной формы, включая различные нерегулярные меандры. Выведен большой объём графиков для аппроксимаций этих сигналов, проанализированы ошибки приближений, вычислены количественные характеристики ошибок, среднеквадратичные и равномерные.

Кроме того, при обосновании и применениях данного подхода большую роль играют неравенства для специальных функций [13-15]. Представляется также перспективным использование данного метода при изучении дифференциальных уравнений Больцмана, а также в теории операторов преобразования [8-12].

С(0,«) = 1, С(т,«) = 0, т = 0, т Є Ъ.

После нахождения базисной узловой функции в виде

Литература

1. Zhuravlev M.V., Kiselev E.A., Minin L.A., Sitnik S.M. Jacobi theta-functions and systems of integral shifts of Gaussian functions // Journal of Mathematical Science, Springer. - 2011. -2(173). - P.131-140.

2. Maz’ya V., Schmidt G. Approximate approximations / Amer. Math. Soc. Mathematical Surveys and Monographs, 2007. - 349 p.

3. Минин Л.А., Ситник С.М. Неравенства для третьей тета-функции Якоби // Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений (АМАДЕ). Тезисы докладов международной конференции / Минск, 2009. - С.111.

4. Журавлев М.В., Минин Л.А. Ситник С.М. О вычислительных особенностях интерполяции с помощью целочисленных сдвигов гауссовых функций // Научные ведомости Белгородского государственного университета. - 2009. - 13(68); 17/2. - P.89-99.

5. Ситник С.М., Тимашов А.С. Приложения экспоненциальной аппроксимации по целочисленным сдвигам функций Гаусса // Вестник Воронежского государственного университета инженерных технологий. - 2013. - 2 (56). - С.90-94.

6. Kiselev E.A., Minin L.A., Novikov I.Ya., Sitnik S.M. On Evaluation of Riesz Constants for Systems of Shifted Gaussians // arXiv:1308.2649. - 2013. - 33 p.

7. Тимашов А.С. Математическое моделирование и численный анализ в задачах квадратичной экспоненциальной интерполяции // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2013. - 9 (4). - С. 112-115.

8. Ситник С.М. Факторизация и оценки норм в весовых лебеговых пространствах операторов Бушмана-Эрдейи // Доклады Академии Наук СССР. - 1991. - 320(6). - С.1326-1330.

9. Ситник С.М. Решение задачи об унитарном обобщении операторов преобразования Сонина-Пуассона // Научные ведомости Белгородского государственного университета. -2010. - 5(76); 18. - С.135-153.

10. Ситник С.М. Унитарность и ограниченность операторов Бушмана-Эрдейи нулевого порядка гладкости // Препринт. Институт автоматики и процессов управления ДВО АН СССР. - 1990. - 44 c.

11. Ситник С.М. Метод факторизации операторов преобразования в теории дифференциальных уравнений // Вестник Самарского Государственного Университета (СамГУ) -Естественнонаучная серия. - 2008. - 8/1 (67). - С.237-248.

12. Ситник С.М. О представлении в интегральном виде решений одного дифференциального уравнения с особенностями в коэффициентах // Владикавказский математический журнал. - 2010. - 12 (4). - С.73-78.

13. Sitnik S.M. Inequalities for Bessel functions // Dokl. Math. - 1995. - 51(1). - P.25-28.

14. Karp D., Savenkova A., Sitnik S.M. Series expansions for the third incomplete elliptic integral via partial fraction decompositions // Journal of Computational and Applied Mathematics. Elsevier, Amsterdam. - 2007. - 207(2). - P.331-337.

15. Sitnik S.M. Generalized Young and Cauchy-Bunyakowsky Inequalities with Applications: a survey // arXiv:1012.3864. - 2010. - 51 p.

NUMERICAL SOLUTION OF FINITE-DIMENSION PROBLEM OF QUADRATIC EXPONENTIAL INTERPOLATION

S.M. Sitnik, A.S. Timashov

Voronezh Institute of the Russian Ministry of Internal Affairs,

Patriotov Av. 53, Voronezh, 394065, Russia, e-mail: mathsms@yandex.ru

Abstract. Approximations of functions using integer shifts of Gaussians — quadratic exponentials are studied. It is proposed the method to find coefficients of node functions by solving linear systems of equations. Results with known ones are compared. They may be applicable to signal transfer theory.

Key words: quadratic exponentials, Gauss functions, interpolation, signals.

MSC 82D40

ПРИБЛИЖЕНИЕ САМОСОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ В ВЕКТОРНОЙ МОДЕЛИ ФЕРРОМАГНЕТИКА Ю.П. Вирченко

Белгородский государственный университет,

ул. Студенческая, 14, Белгород, 308007, Россия, e-mail: virch@bsu.edu.ru

Аннотация. Анализируется фазовый переход из парамагнитного состояния в ферромагнитную магнитную структуру в рамках т.н. векторной модели в статистической механике решетчатых систем при ферромагнитном обменном взаимодействии. Анализ производится с применением т.н. приближения самосогласованного поля.

Ключевые слова: гамильтониан, обменный интеграл, самосогласованное поле, фазовый переход.

1. Введение. Последовательный математический анализ фазовых переходов при постановке задачи в рамках равновесной статистической механики является чрезвычайно сложной задачей математической физики, в решении которой в настоящее время не имеется сколько-нибудь заметного прогресса. Это относится даже к такой такому направлению в этой области исследований, относительно простому с точки зрения сложности привлекаемых математических объектов при постановке задачи, как статистическая механика классических решетчатых систем (см. [1]). При этом не имеется никаких сколько-нибудь общих подходов к анализу систем из какого-нибудь обширного их класса, за исключением, может быть классических решетчатых систем с конечным набором состояний в каждом из узлов кристаллической решетки, где имеется т.н. контурная техника. В связи с этим, в прикладных исследованиях в рамках подходов, принятых в теоретической физике, обычно, преследуя целью получение конкретных формул, описывающих измеряемые характеристики исследуемых физических систем, первоначальная постановка задачи видоизменяется таким образом, чтобы можно было вычислить температурные зависимости наблюдаемых величин используя только традиционные методы математической физики. Речь идет о т.н. приближении среднего поля,

о математической точности которого по отношению к исходной постановки задачи в настоящее время почти ничего не известно. Однако, даже в рамках такого приближения, анализ конкретных моделей статической механики, сколько-нибудь реалистических с точки зрения приложения результатов их анализа к описанию экспериментальных данных относительно физических систем, которые они моделируют, может представлять задачу заметной математической сложности, при последовательном математическом анализе которой приходится преодолевать ряд математических трудностей. В настоящем сообщении с этой точки зрения анализируется так называемая векторная модель статистической механики классических решетчатых систем в приближении среднего поля.

Модели статистической механики решетчатых систем строятся на множестве

Лдг = |х = ^ ^ щег : щ € Ъ\ г = 1,2, 3; щ € {—Ь/2, Ь/‘2\

который моделирует образец идеального кристалла с простой кубической структурой с числом узлов N, N = |Л^|. Здесь Ь - четное число, которое полагается очень большим (так как в последствии по этому параметру осуществляется переход к пределу Ь ^ то). С каждым элементом этого множества - узлом решетки связывается фазовое пространство узла. Для классических систем, обычно, таким фазовым пространством служит компактное многообразие в конечномерном евклидовом пространстве. В нашем случае случае - двумерная сфера £2 радиуса 5 > 0. На множестве ^ ^2(х) - фазовом

xеЛN

пространстве системы определяется функция - гамильтониан системы

^ (Ь,в(х)) + ^ ^ /(х-у)(8(х),8(у)) , хеЛ^ х,у€Лм

где б(х) - произвольное векторное поле на Л^, ограниченное условием б2(х) = 52; функция I(х), х € Л^ называется обменным интегралом.

Определим конечное преобразование Фурье

Г(к) = ^ е-г(х’к) < 0

хеЛ„1 (х)

и будем считать, что

7(0) = шт Г(к) = 10 .

Этот случай соответствует физически т. н. ферромагнитному обменному взаимодействию.

При этом множество всех полей б(х), реализующих этот минимум, описывается обозримым образом. Это константы б(х) = б, х € Л^, б - произвольный вектор, б2 = 52. Описание множества этих полей очень важно, так как с физической точки зрения они реализуются при Т = 0.

На основе гамильтониана Н N [б] определяется распределение вероятностей Гиббса на фазовом пространстве ^ ^2(х) посредством плотности

xеЛN

С[б(х); х € Лм] = Z-1 ехр ( - Нм[б]/Т) так что дифференциал распределения ^Рг{б(х); х € ЛN} равен в нашем случае

^Рг{б(х); х € Лм} = С[б(х); х € Лм] ]^[ ^б(х)

хеЛ N

и нормировочным множитель

Zм = Яр ехр ( —

Нлг_Н

т

(

\

П у ^(х)

УХеЛ^82(х) = «2 У

ехр

Нм [б]

т

который называется статистической суммой. Математическое ожидание (б(х)) = ш(Ь, Т) называется намагниченностью в рамках рассматриваемой модели. Реализация минимума энергии при Т = 0 означает, что при низких температурах ш(Ь,Т) ^ б.

2. Приближение среднего поля. Классический случай. Введем отклонение б(х) — ш(Ь,Т) = А(х) и преобразуем гамильтониан

Нм[б] = Нм[ш] + Нм[Д] + ^ I(х — у)(ш, Д(у)),

х,уеЛ^

где введено обозначение Nш = N (б(х)). Тогда

( \ П / &(х)

8(х)

хел^

1

%М

\ХеЛ^8 2(х)=«2 У

^ Б(х) I ехр ЧхеЛ^ /

Нм [б]

Т

Z

м

ехр

хеЛ^

Т

При этом статистическая сумма преобразуется следующим образом:

Zм = ехр —

Нлг[т]

Т

(

\

П у ^(х)

УхеЛ^82(х) = «2 )

ехр (-Т-1[Нм[Д] + £ /(0)(ш, Д(х}}])

V хел^ )

Приближение среднего поля получается формальным пренебрежением при вычислении математических ожиданий квадратичным по Д(х) слагаемым в выражении для плотности (в частности, в статистической сумме) Введем вектор g = Т-1(Ь — ш1(0)). Тогда в приближении среднего поля

Zм = ехр —

Нлг[т]

Т

(

\

П у ^(х)

УхеЛ^ 82(х)=«2 У

е^ ( ^ Д(х)) )

\хел^ )

ехр I -^ф) • п

хел^

Т

ехр (^, Д (х))) ^з(х)

я2 (х)=82

N - \ Г [ 1 м

ехР ( —/(°)т2 • ехр^Б))^

то есть

Так как

то

2Т

я2=«2

N - Г

= —/(°)т2 + ЛПп ехр(^,8))сйз,

5 д ['

ТдЪ1п2м = ]^д§1п ] ехР((ё’8))^'

«2=с2

^ б(х)) = Nш ; хеЛ^ д [

т=—1п J ехр(^,в))гй. (1)

«2 = с2

При этом

J exp((g,s))ds= J е^СОзв БтвсЮ = уу8Ь(5^|) .

Я2 = 32 0

д С д g

— 1п J ехр ((g, б)) С?Б = (1п вЬ(51g|) 1п |g|) = в-£/(з |g|) , (2)

я2=«2

где 1

Ь(х) = сШ#-----

X

- известная в теории магнетизма функция Ланжевена.

Подстановка вычисленного выражения (2) в (1) приводит к так называемому уравнению согласования теории среднего поля. Его решение позволяет определить зависимость ш(Т, Ь), которая носит название уравнения состояния При Ь = 0 уравнение состояния имеет вид

ш

т = в—ОД/(0)||т|/Т). (3)

|ш|

Проанализируем решения этого уравнения. Из (3) имеем

т —

- = ОД/о||т|/Т).

Положив х = |^|/о||т| и 0 = з2|/о|, представим его в виде

Т

-х = 1{х) .

11

Исследуем свойства функции Ь(х). Ее производная равна Ь'^х) = —---------------------------------. Так

х2 вЬ х

как

3 5

XX X

вЪх = х + — + — + ,

3! 5!

22

то вЬ х > х при х > 0 и поэтому х-1 > вЬ-1х. Следовательно, Ь'(х) > 0 и функция £(х) возрастает. (Точно также вЬх нечетная функция, то при х < 0 выполняется вЬ х < х, но вЬ2х > х2 и поэтому функция Ь(х) возрастает всюду.) С другой стороны, Иш еШх = 1

и поэтому Иш Ь(х) = 1. В окрестности нуля функция с^Ь х имеет вид

_11+ х2/2 + 0(х4) _1 ( х2 4 \ ( х2 4

сШ# = х -------——— = х ( 1 + — + 0(х ) ) (1 —— + 0(х )

1+ x2/6 + O(x4) \ 2 J \ 6

,х2 \ x

= x-1^l + j + 0(x4)j = | + 0(^4).

T 1

Тогда, из уравнения согласования получаем, что при — > — имеется единственное

нулевое решение x = 0, то есть T > 0/3 = s2|/o|/3 = Tc, то есть решение m = 0. Если же T < Tc, то существует три решения. Причем то решение, которое выживает при T ^ 0, то есть стремится к s (x ^ 1), соответствует наибольшему решению.

3. Приближение среднего поля. Квантовый случай. Для квантовых решетчатых систем фазовое пространства в каждом узле кристаллической решетки является гильбертовым пространством и распределение вероятностей задается некоммутативным образом - на основе статистического оператора. Математические ожидания даются следами от произведений статистического оператора с операторами наблюдаемых величин. Статистический оператор G Гиббса определяется гамильтонианом Нn точно таким же образом как плотность распределения Гиббса определяется функционалом

Hn [■].

Рассмотрим решеточную систему с гамильтонианом

Илй = -^(h,s(x)) + ^ J(x-y)(s(x)’s(y))’

хеЛ х,уеЛ

которая является аналогом рассмотренной выше классической векторной модели. Статистическая сумма ^л этой системы определяется в виде следом

z q ( ha[s]\

ZK = Spexp -------— J .

При этом намагниченность дается математическим ожиданием

M = ^Sp(Ss(x))exp(“ = тж1п2а'

где М = N т.

Введем как и в классической векторной модели отклонения спинов от среднего значения т

Д(х) = ё(х) — т

и запишем гамильтониан Нл [£] в виде

Нл[ё] = Нл[Д] + Нл[гп] + ^ I(х — у)(т, Д(У)). (4)

Х,У

В операторе

нл[Д] = - л(х)) + \ 7(х “ у)(л(х)’ л(у))

хеЛ х,уеЛ

пренебрежем квадратичным слагаемым

Н Л [Д] = — Х>, Д(х)) + о(|Д|)

хеЛ

и преобразуем последнее слагаемое в (4)

^ 1 (х — у)(т, Д(у)) = /(0) ^(т, Д(У^ ,

Х,У уел

воспользовавшись периодичностью гамильтониана. Сумму этих двух слагаемых представим в виде

— ^(Ь> Д(х)) + 1 (0) ^(т> /Д(У)) = — ^(Ь> Д(х)) + 1 (0) ^(т> /Д(У)) =

хел Уел хел Уел

= — 5](Ь> ё(х)) + 1 (0) ^^(т, ё(у)) + N(Ь, т) — I(0^т2 ,

хел Уел

где последние два слагаемых представляют собой ^ — Нл[ш] — |/(0)]Ут2^. Подставляя эти выражения в (4), получим формулу для гамильтониана в приближении среднего поля

На И = ~1нО)Мт2 - ^(Ь,в(х)) ,

хе л

где введено обозначение

Ь = Ь — 7(0) т .

Вычислим теперь приближенную статистическую сумму

г'к = Ярехр ( -

и, на ее основе, выражение для намагниченности М:

д м = тжьг;.

Эта статистическая сумма равна

г; = ехр(^)8рехр(^фіМ),

Ехел( Ь ,й(х)) \_^а (( ь, ё(х)) \ Г ( ( Ь ,§)х ^

8рехр = д 8рехр = 8рехр

хеЛ

т

Таким образом,

м - +^ (¥)) - ™1 >”^ (¥) -

где производная по Ь заменена на производную по Ь, так как эти переменные отличаются только сдвигом.

Итак, для решения задачи необходимо вычислить след от (2з + 1) х (2з + 1)-матрицы

(( Ь., б) \

—^^. Выбирая базисные волновые функции так, чтобы они были собственными для оператора ^, где ось г направлена по по вектору Ь, находим

Ярехр = йрехр ,

в = |Ь|/Т. Тогда

2в

-ев е(2+1)в — 1 8Ь(^ + 1/2)в

зРЯФ (,«,)=*-* £.» = ,-* е$_1 Л05/2) .

Подставляя это выражение в формулу для М, имеем

д д дв

т = Т —— [1п вЬ(5 + 1/2)/5 — 1п э1а(/3/2)] = Т— [1п э1а(5 + 1/2)/3 — 1п э1а(/3/2)] —=

дЬ др дЬ

д Ь Ь

= Тч [1п эЬ(5 + 1/2)/? - 1пвЬ(/5/2)] = [(в + 1/2)сШ(з + 1/2)/? - (1/2)сШ(/3/2)]

др |п| |п |

В частности, при = 0 имеем уравнение согласования относительно т:

т

т = [(й + 1/2)сП1(5 + 1/2)/5 - (1/2)сШ(/5/2)] г—г

|т|

с в = |I0|m/N, либо для его ненулевых решений эквивалентное уравнение

т = (в + 1/2)еШ(8 + 1/2)в — (1/2)еШ(в/2), которое представим в форме

ту-т/^ = (в + 1/2)сШ(з + 1/2)/? - (1/2)сШ(/5/2) = Г(/3).

|1о|

Функция Р(в) возрастающая, так как И Р

^ = (1/4)8Ь-2(/?/2) - (^ + 1/2)28Ь"2(5 + 1/2)13 > 0

ввиду убывания функции хвЬ-1х,

И х еЬ х

(шх — х)—5“ <0, шх < х ,

Их вЬ х вЬ2х

и поэтому

/3/2 > 13(з + 1/2)

вЬ(в/2) вЬ(8+ 1/2)в

Производная функции Р(в) в нуле равна в (в + 1)/3, так как

2 3

гу*-1 лу*

сЬх = 1 + — + 0(х4), вЬх = х + — + 0(х5)

2 6

сШх = х 1 + — + 0(х3) 3

и поэтому

= Г1 + (8+31/2)^ - Г1 - ^ + ооз3) = + 0(133).

Следовательно, для существования ненулевого решения уравнения, необходимо и достаточно, чтобы Т/|10| < в(в + 1)/3.

Ненулевое положительное решение уравнения согласования единственно. Это следует из свойства вогнутости функции Р(в), которое доказывается ниже.

Лемма. Для функции Ланжевена Ь(х) = еШ х — х-1 при х > 0 имеет место неравенство

3Ь(х) > Ш х .

□ Так как

/х2 /х4 /х3 /х5

сЬх = 1 + — + — + 0(х6), вЬх = х + — + —— + О(х')

2 24 6 120

“х 7 х^

и, следовательно, сШх = х~1 + — —-----------------\- 0(х5) . Сравнивая теперь первые члены

3 90

разложений

/х 7х3 <х3

Ь(х) = - - —— + 0(х5), Шх = х —— + 0(х5),

3 90 3

х3

находим 3Ь(х) — Шх = — + 0(х5), то есть при достаточно малых значениях х неравенство имеет место.

Допустим теперь, что неравенство нарушается при некоторых значениях х. Тогда существует точка х* - первая из всех положительных точек, где имеет место пересечение, то есть 3Ь(х*) = Ш х* и при этом 3Ь; (х*) < х*. Так как Шх = еЬ-2х =1 — Ш2х

и сШх = —вЬ 2х = —1 + еШ2х, Ь'(х) = х 2 — вЬ 2х =1 — 2Ь(х)/х — Ь2(х), то в точке х* из неравенства Ш;(х*) > 3Ь;(х*) следует

1 — 9-^2(х*) > 3(1 — -^2(х*) — 2_^(х*)/х*) , -^2(х*) — _£/(х*)/х* + — < 0 ,

3 что, в частности, приводит к ограничению (2х*)-1 — \/(2х*)-2 — 1 /3 < Ь(х*) при у/Ъ х* < -у и, как следствие,

3/2х* - а/(2х*)-2 - 1/3 < сШх*, Шх* < 2х* ^3 - а/1 - 4х2/3^)

Покажем, что последнее неравенство при указанных условиях невозможно.

Во-первых, Ш х > х — х3/3 при х > 0, так как при х = 0 это неравенство превращается в равенство, имеет место неравенство для производных Ш;х = еЬ- х > 1 — х2, ввиду

1 (2х)21 1

(1 - х2)-1 = ^ X21 > 1 + - ^ — = -(1 + сЬ2х) = сЬ2х , (2/)! > г2'-1, / е N.

г=о 1=1 ( )!

Во-вторых,

2х 3

------, < х - х /3 ,

3 - у/1 - Ах2 /3

так как при х > 0 это неравенство эквивалентно 2(3 — г/)-1 < (3 + у2)/4 при у = а/1 — 4х2/3, что сводится к очевидному неравенству 8 < (1 — у)3 + 8 с у < 1.

Из указанных двух фактов следует Шх > х — х3/3 > 2х(3 — а/1 — 4х2/3)-1. ■

Следствие. Функция Р(в) вогнута.

□ В самом деле,

Пв) = Г3[С (^ + 1/2)/?) - С(,в/2)], С(х) = ^ .

\ в / вЬ х

Но в силу доказанной леммы функция С(х) убывающая, так как неравенство

И / еЬ х\ И И _1 -/ ч —

< 0 эквивалентно — шспх < 3—ш х впх, шх < Зь(х). Я

Их V (х-1вЬ х)3 У " Их. Их

Литература

1. Рюэль Д. Статистическая механика. Строгие результаты / М.: Мир, 1971. - 368 с.

SELF-CONSISTENT FIELD APPROXIMATION IN VECTOR FERROMAGNETIC MODEL

Yu.P. Virchenko

Belgorod State University,

Studencheskaya St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-mail:virch@bsu.edu.ru

Abstract. The phase transition from paramagnetic state into ferromagnetic structure in frameworks of so-called vector model in statistical mechanics of lattice systems is analized when exchange integral in hamiltonian is ferromagnetic. The analysis is done on the basis of the self-consistent field approximation.

Key words: hamiltonian, exchange integral, selfconsistent field, phase transition.