CC BY
36
Качество приближений также оценено количественно как величина ошибки в различных нормах.
Кроме того, численно показано, что при увеличении размерности приближающих систем их решения стремятся к предельным значениям, которые следует принять за решение исходной бесконечной системы уравнений.
Рассмотрено разложение указанным методом по целочисленным сдвигам функции Гаусса основного набора стандартных электрических сигналов: переключательных режимов, кусочно-постоянных, прямоугольных, треугольных, сложной формы, включая различные нерегулярные меандры. Выведен большой объём графиков для аппроксимаций этих сигналов, проанализированы ошибки приближений, вычислены количественные характеристики ошибок, среднеквадратичные и равномерные.
Для примера приведём исходный и построенный рассмотренным методом экспоненциальной квадратичной интерполяции графики для сигнала прямоугольной формы и для сигнала пилообразной формы.
На приведённых графиках видно точное совпадение исходного и приближённого сигналов в целочисленных узлах. Кроме того, следует отметить достаточно высокую точность приближения и между узлами, что наглядно видно на представленных графиках.
Рис. 3. Интерполяция прямоугольного сигнала
Рис. 4. Интерполяция пилообразного сигнала
2058
4. Некоторые дополнения и приложения
Качество приближений также оценено путём вычисления ошибки в различных нормах.
Рассмотрены приложения полученных теоретических и численных результатов к теории фильтрации электрических сигналов. Произведён численный расчёт и анализ погрешности для реализации фильтров, близких к идеальным. Для этого реализации фильтров как свёрток с исследованными ранее стандартными сигналами смоделированы с использованием приближений сигналов целочисленными сдвигами функций Гаусса.
Также отметим, что непрерывная интегральная версия конечномерного квадратичного экспоненциального разложения также широко используется под названием преобразование Габо-ра в теории всплесков, она также находит применения в теории операторов преобразования, см. [11]—[15].
Отметим также, что возможен альтернативный подход для данного круга задач, при котором базисные функции не используются, а применяется теория положительно определённых функций, см. [16]-[18].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Maz'ya V., Schmidt G. Approximate approximations // AMS Mathematical Surveys and Monographs. 2007.
2. Журавлёв М.В., Киселёв Е.А., Минин Л.А., Ситник С.М. Тета-функции Якоби и системы целочисленных сдвигов функций Гаусса // Современная математика и её приложения. Т. 67. Уравнения в частных производных. Тбилиси, 2010. С. 107-116.
3. Zhuravlev M.V., Kiselev E.A., Minin L.A., Sitnik S.M. Jacobi theta-functions and systems of intégral shifts of Gaussian functions // Journal of Mathematical Sciences. Springer. 2011. V. 173. № 2. P. 231-241.
4. Минин Л.А., Журавлев М.В., Ситник С.М. О вычислительных особенностях интерполяции с помощью целочисленных сдвигов гауссовых функций // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Математика. Физика. 2009. № 13(68). Вып. 17/2. С. 89-99.
5. Ситник С.М., Тимашов А.С., Ушаков С.Н. Метод конечномерных приближений в задачах квадратичной экспоненциальной интерполяции // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Математика. Физика. 2015. № 17(214). Вып. 40. С. 130-142.
6. Киселев Е.А., Минин Л.А., Новиков И.Я., Ситник С.М. О константах Рисса для некоторых систем целочисленных сдвигов // Математические заметки. 2014. Т. 96. Вып. 2. С. 239-250.
7. Kiselev E.A., Minin L.A., Novikov I.Ya., Sitnik S.M. On the Riesz Constants for Systems of Integer Translates // Mathematical Notes. Springer. 2014. V. 96. Iss. 1-2. P. 228-238.
8. Ситник С.М., Тимашов А.С. Расчёт конечномерной математической модели в задаче квадратичной экспоненциальной интерполяции // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. 2013. № 19(162). Вып. 32. С. 184-186.
9 . Ситник С.М., Тимашов А.С. Метод конечномерных приближений в задачах квадратичной экспоненциальной интерполяции сигналов // Вестник Воронежского института МВД России. 2014. № 2. С. 163-171.
10 . Ситник С.М., Тимашов А.С. Вычислительные аспекты метода квадратичной экспоненциальной интерполяции в задачах теории сигналов // Материалы семнадцатого научно-практического семинара "Новые информационные технологии в автоматизированных системах". М.: Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. 2014. С. 292-300.
11 . Sitnik S.M. Buschman-Erdelyi transmutations, classification and applications //In the book: Analytic Methods Of Analysis And Differential Equations: Amade 2012. Cambridge Scientific Publishers, Cottenham, Cambridge. 2013. P. 171-201.
12 . Ситник С.М. Операторы преобразования и их приложения // Исследования по современному анализу и математическому моделированию. Владикавказ: Владикавказский научный центр РАН и РСО-А. 2008. C. 226—293.
13 . Sitnik S.M. Transmutations and Applications: a survey // arXiv: 1012.37412012. 2012. 141 p.
14 . Катрахов В.В., Ситник С.М. Композиционный метод построения B— эллиптических, B— — гиперболических и B— параболических операторов преобразования // Доклады РАН. 1994. Т. 337. № 3. С. 307—311.
15 . Ситник С.М. Факторизация и оценки норм в весовых лебеговых пространствах операторов Бушмана-Эрдейи // ДАН СССР. 1991. Т. 320. № 6. С. 1326-1330.
16 . Ситник С.М., Певный А.Б. Строго положительно определённые функции, неравенства М.Г. Крейна и Е.А. Горина // Материалы восемнадцатого научно-практического семинара "Новые информационные техно-
2059
логии в автоматизированных системах". М., Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. 2015. С. 247-254.
17 . Ситник С.М., Певный А.Б. Неравенства для строго положительно определённых функций // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Математика. Физика. 2015. Т. 40. Вып. 17. С. 106-114.
18 .Pevnyi A.B., Sitnik S.M. Inequalities of M.G. Krein, Yu.V. Linnik and E.A. Gorin for positive definite functions // 2016. arXiv:1609.01218 . 9 p.
Поступила в редакцию 20 октября 2016 г.
Тимашов Александр Сергеевич, Воронежский институт МВД России, г. Воронеж, Российская Федерация, адъюнкт, кафедра математики и моделирования систем, e-mail: [email protected]
UDC 519.72; 519.65
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2054-2061
COMPUTER ANALYSIS OF A MATHEMATICAL MODEL BASED ON EXPANSION OF DIGITAL SIGNALS IN SERIES OF INTEGER SHIFTS OF THE
GAUSS FUNCTION
© A. S. Timashov
Voronezh institute of the Ministry of Internal Affairs of Russia 53 Patriotov Avenue, Voronezh, Russian Federation, 394065 E-mail: [email protected]
This paper contain results of numerical calculations which prove the effectiveness of the method of approximation for digital signals by integer shifts of the Gauss function. The method is based on usage of nodal functions and approximations of infinite systems of linear equations by finite ones. It is demonstrated that by this method an effective approximation of signals of different nature is attained: normal distributions, Cauchy distributions, triangular and trapezoid signals, meanders of complex forms. We specially recall that this method is effective for mixtures of different distributions, their identification and expansions, including so-called "heavy-tailed"signals, such as Cauchy distribution. At the end of the paper author's results are briefly outlined together with some generalizations and applications. Key words: digital signals; Gauss function; normal distribution; Cauchy distribution
REFERENCES
1. Maz'ya V., Schmidt G. Approximate approximations // AMS Mathematical Surveys and Monographs. 2007.
2. ZHuravlyov M.V., Kiselyov E.A., Minin L.A., Sitnik S.M. Teta-funktsii YAkobi i sistemy tselochislennyh sdvigov funktsij Gaussa // Sovremennaya matematika i eyo prilozheniya. T. 67. Uravneniya v chastnyh proizvodnyh. Tbilisi, 2010. S. 107-116.
3. Zhuravlev M.V., Kiselev E.A., Minin L.A., Sitnik S.M. Jacobi theta-functions and systems of integral shifts of Gaussian functions // Journal of Mathematical Sciences. Springer. 2011. V. 173. № 2. P. 231-241.
4. Minin L.A., ZHuravlev M.V., Sitnik S.M. O vychislitel'nyh osobennostyah interpolyatsii s pomoshch'yu tselochislennyh sdvigov gaussovyh funktsij // Nauchnye vedomosti Belgorodskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika. Fizika. 2009. № 13(68). Vyp. 17/2. S. 89-99.
5. Sitnik S.M., Timashov A.S., Ushakov S.N. Metod konechnomernyh priblizhenij v zadachah kvadratichnoj eksponentsial'noj interpolyatsii // Nauchnye vedomosti Belgorodskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika. Fizika. 2015. № 17(214). Vyp. 40. S. 130-142.
2060
6. Kiselev E.A., Minin L.A., Novikov I.YA., Sitnik S.M. O konstantah Rissa dlya nekotoryh sistem tselochislennyh sdvigov // Matematicheskie zametki. 2014. T. 96. Vyp. 2. S. 239-250.
7. Kiselev E.A., Minin L.A., Novikov I.Ya., Sitnik S.M. On the Riesz Constants for Systems of Integer Translates // Mathematical Notes. Springer. 2014. V. 96. Iss. 1-2. P. 228-238.
8. Sitnik S.M., Timashov A.S. Raschyot konechnomernoj matematicheskoj modeli v zadache kvadratichnoj eksponentsial'noj interpolyatsii // Nauchnye vedomosti Belgorodskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Matematika. Fizika. 2013. № 19(162). Vyp. 32. S. 184-186.
9. Sitnik S.M., Timashov A.S. Metod konechnomernyh priblizhenij v zadachah kvadratichnoj eksponentsial'noj interpolyatsii signalov // Vestnik Voronezhskogo instituta MVD Rossii. 2014. № 2. S. 163-171.
10 . Sitnik S.M., Timashov A.S. Vychislitel'nye aspekty metoda kvadratichnoj eksponentsial'noj interpolyatsii v zadachah teorii signalov // Materialy semnadtsatogo nauchno-prakticheskogo seminara "Novye informatsionnye tekhnologii v avtomatizirovannyh sistemah". M.: Institut prikladnoj matematiki im. M.V. Keldysha RAN. 2014. S. 292-300.
11 . Sitnik S.M. Buschman-Erdelyi transmutations, classification and applications //In the book: Analytic Methods Of Analysis And Differential Equations: Amade 2012. Cambridge Scientific Publishers, Cottenham, Cambridge. 2013. P. 171-201.
12 . Sitnik S.M. Operatory preobrazovaniya i ih prilozheniya // Issledovaniya po sovremennomu analizu i matematicheskomu modelirovaniyu. Vladikavkaz: Vladikavkazskij nauchnyj tsentr RAN i RSO-A. 2008. C. 226— 293.
13 . S'itnik S.M. Transmutations and Applications: a survey // arXiv: 1012.37412012. 2012. 141 p.
14. Katrahov V.V., Sitnik S.M. Kompozitsionnyj metod postroeniya B— ellipticheskih, B— giperbolicheskih i B- parabolicheskih operatorov preobrazovaniya // Doklady RAN. 1994. T. 337. № 3. S. 307—311.
15 . Sitnik S.M. Faktorizatsiya i otsenki norm v vesovyh lebegovyh prostranstvah operatorov Bushmana-Erdeji // DAN SSSR. 1991. T. 320. № 6. S. 1326-1330.
16 . Sitnik S.M., Pevnyj A.B. Strogo polozhitel'no opredelyonnye funktsii, neravenstva M.G. Krejna i E.A. Gorina // Materialy vosemnadtsatogo nauchno-prakticheskogo seminara "Novye informatsionnye tekhnologii v avtomatizirovannyh sistemah". M., Institut prikladnoj matematiki im. M.V. Keldysha RAN. 2015. S. 247-254.
17 .Sitnik S.M., Pevnyj A.B. Neravenstva dlya strogo polozhitel'no opredelyonnyh funktsij // Nauchnye vedomosti Belgorodskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika. Fizika. 2015. T. 40. Vyp. 17. S. 106-114.
18 .Pevnyi A.B., Sitnik S.M. Inequalities of M.G. Krein, Yu.V. Linnik and E.A. Gorin for positive definite functions // arXiv:1609.01218. 2016. 9 p.
Received 20 October 2016
Timashov Alexander Sergeevich, Voronezh Institute of the Russian Ministry of Internal Affairs, Voronezh, the Russian Federation, Post graduate of the Mathematics and system modelling Department, e-mail: [email protected]
Информация для цитирования:
Тимашов А.С. Компьютерный анализ математической модели разложения цифровых сигналов по целочисленным сдвигам функции Гаусса // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2016. Т. 21. Вып. 6. С. 2054-2061. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2054-2061
Timashov A.S. Komp'yuternyj analiz matematicheskoj modeli razlozheniya tsifrovyh signalov po tselochislennym sdvigam funktsii Gaussa [Computer analysis of a mathematical model based on expansion of digital signals in series of integer shifts of the Gauss function]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Review. Series: Natural and Technical Sciences, 2016, vol. 21, no. 6, pp. 2054-2061. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2054-2061 (In Russian)
2061
УДК 517.911, 517.968
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2062-2067
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ С ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ, ЗАВИСЯЩИМИ ОТ СОСТОЯНИЯ ФАЗОВОЙ ТРАЕКТОРИИ
© О. В. Филиппова
Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33 Российский университет дружбы народов 117198, Российская Федерация, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6 E-mail: [email protected]
Исследована краевая задача для функционально-дифференциального включения включения, порожденного многозначным отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений в пространстве суммируемых функций, с импульсными воздействиями, зависящими от состояния фазовой траектории в момент воздействия. Введено понятие обобщенного решения такой задачи. Найдены условия существования обобщенного решения краевой задачи. Предложен способ нахождения приближенного решения и дана оценка погрешности приближенного решения. Ключевые слова: импульсное функционально-дифференциальное включение; краевая задача; выпуклость по переключению
Обозначим через Rn n -мерное пространство вектор-столбцов с евклидовой нормой | • | ; px[x; U] - расстояние от точки x € X до множества U С X в метрическом пространстве X ; hX[U1; U] = sup px[x, U] - полуотклонение по Хаусдорфу множества Ui С X от множества U
xeUi
в пространстве X ; hX[U1; U] = max{hX[U1; U]; hX[U; U\]} - расстояние по Хаусдорфу между
множествами Ui и U в пространстве X; Ln[a,b] - пространство суммируемых по Лебегу
b
функций x : [a, b] ^ Rn с нормой ||x||Ln[a,b] = f lx(s)lds ; Q(Ln[a, b\) - множество всех непустых
a
замкнутых ограниченных суммируемыми функциями подмножеств пространства Ln[a,b] .
Пусть tk € [a,b] , k = 1, 2,... ,m, (a<t1 < .. .<tm <b) - конечный набор точек. Обозначим через C [a,b] (D [a, b]) множество всех непрерывных (абсолютно-непрерывных) на каждом из промежутков [a, t1], (t1, t2], ..., (tm, b] функций x : [a, b] ^ Rn, имеющих пределы справа в точках tk, k = 1, 2,...,m, с нормой ||x||g"[ab] = sup{|x(t) | : t € [a,b]} (||x||gn[a b] = lx(a)l +
m
+ ||x HL"{a,b] +E l^(x(tk ))|, где A(x(tk))= x(tk + 0) - x(tk), k = 1, 2,..., m). k=1
Пусть y € Ln[a,b] , вk,a € Rn. Рассмотрим вначале линейную краевую задачу для функционально-дифференциального уравнения следующего вида:
Lx = y, A(x(tk)) = fik, k = 1, 2,... ,m; (1)
Ix = a, (2)
где L : Dn[a, b] ^ Ln[a, b] - линейное непрерывное отображение, l: Dn[a, b] ^ Rn - линейный непрерывный вектор-функционал.
2062
Пусть задача (1), (2) однозначно разрешима. Тогда ее решение представимо в виде
т
х = Ха + Су + ^ Ск(Зк, (3)
к=1
где X - фундаментальная матрица решений однородного уравнения
Сх = 0, А(х(Ьк )) = 0, к = 1,2,... ,т
ь
при условии, что 1(Х) = Е, Е - единичная п х п матрица; (Су)(1) = / С(1,8)у(в)д,8 - опе-
а
ратор Грина С : Ъп[а,Ь] ^ ^п[а,Ь] с ядром С^,в) , называемым матрицей Грина; Ск(I) = ь
= Х(гк,ь](^) / С(Ьк, в)ёв, к = 1, 2,... ,т, хи(•) - характеристическая функция множества и .
а
Применим представление (3) решения задачи (1), (2) к исследованию краевой задачи для импульсного функционально-дифференциального включения
Сх е Ф(х), А(х$к)) = 1к(х(Ьк)), к = 1, 2,... ,т; (4)
1х е ф(х), (5)
где Ф: С [а,Ь] ^ Я(^п[а,Ь]); ф : С [а,Ь] ^ еошр[Кп]; 1к : Кп п
Согласно представлению (3), задача (4),(5) эквивалентна включению
т
х е Хф(х) + СФ(х) + ^ Ск 1к(х(Ьк))■
к=1
Приведем необходимые определения и обозначения.
Пусть Ф - непустое подмножество пространства Ъп[а,Ь]. Выпуклой по переключению
I
оболочкой з-шФ множества Ф , называется совокупность всех элементов вида у = ^ хu^хг, где
г=1
хг е Ф, I - любое натуральное число, а произвольные измеримые множества и%, г = 1, 2, ...,1, осуществляют разбиение отрезка [а,Ь], т.е. иг П и) = 0 при г = ] и и иг = [а,Ь] . Пусть далее,
г=1
ЗШФ замыкание множества вшФ в пространстве Ьп[а,Ь].
Под обобщенным решением задачи (4),(5) понимается функция х е 13 [а,Ь], удовлетворяющая соотношениям
Сх е ШФ(х), А(х(Ьк)) = 1к (х(гк)), к = 1,2,...,т,
1х е ф(х).
Отметим, что если х - обобщенное решение задачи (4),(5), то существуют такие г е ф(х) и V е вшФ(х) , что
Хг + ^ + ^2 С к 1к (х(Ьк)).
х
к=1
п
Будем называть данную функцию х : [а,Ь] ^ Кп фазовой траекторией задачи (4),(5). Пусть до е Сп[а, Ь] , го е ф(до) , vo е Ъп[а, Ь] . Представим функцию до в виде
т
до = Хго + ^о + ^ С к 1к (до^к)) + е, (6)
к=1
2063
где e = qo - Xzo - Gvo - E GkIk(qo(tk)).
k=1
Будем говорить, что "импульсные воздействия" Ik :Rn ^Rn обладают свойством A, если найдутся такие непрерывные неубывающие функции Ik :R + ^R+, удовлетворяющие равенству Ik(0) = 0, что для любых x,y € Rn выполняется оценка
lIk (x) - Ik (y)l < Ik (lx - yl), k = 1,2,..., m.
Пусть далее для функции v0 € Ln[a,b] существует функция к € L1[a,b] такая, что для любого измеримого U € [a, b] выполняется
pLn(u)[vo,sw<^(qo)] </K(s)ds. (7)
и
Определим функцию ш € C+[a,b] равенством
b m
u(t)= lG(t,s)lK(s)ds + le(t)l +J2 GklkHtk)), (8)
a k=1
где |G(t,s)| , le(t)l - норма в пространстве Rn матриц G(t,s) и e(t).
Будем считать, что для любого измеримого U€ [a,b] и любых x,y € Cn[a,b] существует такая функция кф € Ll[a, b] и такое кф ^ 0, что
hLn(и)[ф(x), ф(У)] < ||x - УуСnU) J кФ(s)ds; (9)
и
^n[^(x),^(y)\ < Kv^x -yУсn[atb]; (10)
b
max / lG(t, s)l^(s)ds + кф max lX(t)| < 1. (11)
te[a,b] J te[a,b]
a
Пусть для функции ш € C+[a, b] , определенной соотношением (8), равномерно сходится ряд
те
EA4 (12)
где Л°ш = ш, Лгш = Л (Аг 1ш) , г = 1,2,..., а непрерывный оператор А : С+[а, Ь] ^ С+[а, Ь] определен равенством
(лш)(г) = ^I\с(г,8)\кф(8)ав + к^ ушу.
Пусть £(ш) - сумма ряда (12), то есть
те
аш) = ^2 лгш. (13)
Для любой функции ш € С+[а,Ь] из некоторой окрестности 0 ряд (12) сходится в пространстве С1 [а,Ь].
2064
Теорема. Пусть до е Сп[а,Ь], го е ф(до), v0 е Ьп[а,Ь] и пусть функция до представима 'равенством (6). Далее, пусть отображения Ф:С^[а,Ь] ^ Q(Ln[a,Ь]), ф : С? [а,Ь] ^ еошр[Кп] удовлетворяют соотношениям (9) — (11) и "импульсные воздействия" 1к :Кп^Кп обладают свойством А, к = 1,2,...,т. Тогда найдется обобщенное решение х задачи (4), (5), для которого выполняются следующие оценки:
\х(Ь) — до(Ь)\ ^ £(ш)(Ь), при любом Ь е [а, Ь]; (14)
\г — го\ ^ кф шах \Х(£)\ ||£(ш)||С1[аЬ], при любом £ е [а,Ь]; (15)
г&[а,ь] 1 ' J
— < к(£) + ||кФ(£)||Ь1[а,Ь] ^М^КЬ^ при п.в. £ е [а,Ь\. (16)
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы о существовании и оценках обобщенных решений импульсных функционально-дифференциальных включений из работы [1].
Данная теорема позволяет найти приближенное обобщенное решение краевой задачи (4), (5) путем подбора функции до е Сп[а, Ь]. При этом функция £(ш), зависящая от функций до,го еКп и v0 е Ьп[а,Ь], дает оценку погрешности приближенного обобщенного решения.
Полученные оценки обобщенных решений краевой задачи (4), (5) для функционально-дифференциальных включений с правой частью, не обладающей свойством выпуклости по переключению значений, и с импульсными воздействиями, зависящими от состояния фазовой траектории, аналогичны оценкам, приведенным в работах [2]-[4].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Филиппова О.В. Краевая задача для одного вида импульсных функционально-дифференциальных включений // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2016. Т. 21. Вып. 2. С. 435-443.
2. Булгаков А.И., Корчагина Е.В., Филиппова О.В. Функционально-дифференциальные включения с импульсными воздействиями. Части 1-6 // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2009. Т. 14. Вып. 6. С. 1275-1313.
3. Чугунов П.И. Свойства решений дифференциальных включений и управляемые системы // Прикл. математика и пакеты прикл. программ. Иркутск: Изд-во СЭИСО АН СССР, 1980. С. 155-179.
4. Булгаков А.И., Полянский А.И. Обобщенные решения квазилинейных краевых задач для функционально-диффренциальных включений // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2007. Т. 12. Вып. 1. С. 52-54.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты №№ 14-01-00877, 16-31-50040) и гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ № НШ-8215.2016.1.
Поступила в редакцию 11 октября 2016 г.
2065
