CC BY
38
Вычислительные аспекты метода квадратичной экспоненциальной интерполяции _в задачах теории сигналов
Вычислительные аспекты метода квадратичной экспоненциальной интерполяции в задачах
теории сигналов
Ситник С.М., Тимашов А.С.
Воронежский институт МВД mathsms @ yandex, ru. loaderrus @ gmail. сот
Аннотация. В статье рассматриваются аппроксимации функций при помощи целочисленных сдвигов функций Гаусса - квадратичных экспонент. Предложен метод нахождения узловой функции для данной задачи интерполяции, основанный на решениях усечённых систем линейных уравнений. Найдена явная формула для определителя рассматриваемой системы, доказана однозначная разрешимость системы. Проведено сравнение данного метода с известными ранее, кратко намечены приложения полученных результатов в теории сигналов.
Ключевые слова: интерполяция, функции Гаусса, узловые функции, тета-функции Якоби, сигналы.
В различных разделах математики и прикладных областях имеется весьма широкий круг задач, приводящих к разложению функций по неортогональным системам, в том числе по системе квадратичных экспонент или функций Гаусса. Такие задачи возникают при изучении электрических или оптических сигналов, теории фильтрации, голографии, при моделировании различных автоматических систем или оптимизации их отдельных частей.
Рассмотрим задачу о приближении достаточно произвольной функции в виде ряда по системе целочисленных сдвигов функции Гаусса (квадратичной экспоненты с параметрами). Для численного анализа и приложений основную роль играют приближения данного типа конечными суммами, которые возникают при усечении соответствующих рядов. Исследованию таких конечных приближений и посвящена данная работа. Историю вопроса, основные результаты и многочисленные приложения см. в [Журавлёв и др., 2010; Kiselev et al, 2013; Lanzara et al, 2007; Maz'ya et al, 2007; Zhuravlev et al, 2011].
Более точно, будет исследована следующая основная Задача: рассмотрим произвольную функцию f (х), заданную на всей оси х е Ш и некоторый параметр а > 0, который в приложениях играет роль среднеквадратичного отклонения. Будем искать интерполирующую функцию f(x), так же определённую на всей оси ж £ Ж, которая представляется в виде ряда по целочисленным сдвигам функции Гаусса
^ _(х-к)2
/со- 2, fk-e~2(72 (1)
к=—т
и совпадает с исходной функцией во всех целых точках
f (т) = f(m), т е Ж. (2)
Известны два подхода к решению поставленной задачи. При первом подходе решение ищется с помощью специальных функций, а именно тета-функций Якоби [Lanzara et al, 2007; Maz'ya et al, 2007]. Как показано в [Минин и др., 2009b; 2009с], несмотря на теоретическую ценность этого подхода, он не имеет вычислительных перспектив, так как связан с делением на чрезвычайно малые знаменатели. Другой подход разрабатывался в [Минин и др., 2009а], он основан на применении дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Такой подход имеет определённую вычислительную ценность, но она достигается ценой существенного усложнения алгоритма, при этом вычисления возможны в достаточно узких диапазонах параметров и с небольшим числом разрядов в результатах. Поэтому в настоящей работе предлагается наиболее простой прямой метод решения поставленной задачи, основанный на сведении её к решению конечных систем линейных уравнений, см также [Ситник и др., 2013а; 2013b; Тимашов, 2011; Тимашов, 2013].
Существенным препятствием для развития этого метода являлось отсутствие результатов по доказательству однозначной разрешимости соответствующих систем линейных уравнений. В настоящей работе получены результаты, устанавливающие требуемую однозначную разрешимость линейных систем. Эти результаты являются теоретическим обоснованием для разработки практических численных алгоритмов, избавленных от необходимости работы со специальными функциями или ДПФ.
Для дальнейшего изложения введём удобное обозначение для квадратичной экспоненты
_(х—к)"
е(а, х, fc) = е „ Решение поставленной задачи сводится к нахождению последовательности неизвестных коэффициентов fk из (1). Для этого, следуя стандартной схеме решения задач интерполяции, необходимо построить узловые функции для каждого узла интерполяции х = mf т el В нашем случае достаточно построить одну базисную узловую функцию для узла при х = 0, которую мы будем искать в виде
".*) = ^ gke(a,x,fc) . (4)
к=—со
Из (2) следует, что эта базисная узловая функция должна удовлетворять основному условию при всех т ЕЖ:
Вычислительные аспекты метода квадратичной экспоненциальной интерполяции _в задачах теории сигналов
со
G(a,m) = ^ gke(a, mt k) = <rm0 , (5)
fc=—CO:
где ат0 есть символ Кронекера
_ [%т = О «шо - i q 7f{ Ф о.
Предположим, что такая функция G (а, х), удовлетворяющая условию (5), уже найдена. Тогда нетрудно вычислить формальное решение поставленной задачи. Действительно, функция
G ¿(а, х) = G (а, х - i) является узловой функцией для узла при х = I, так как при всех значениях m
GL(a,m) = G (a, m - 1) = aml Тогда решением задачи будет, очевидно, функция
га
/о) = y, (6)
i=—оо
так как при х= m от суммы (6) остаётся только одно слагаемое:
f (vi)Gm(a,vi) = f(m) • 1 = /Cm). Чтобы перейти от представления решения в виде (6) к искомому представлению в виде (1), выполним необходимую подстановку. В результате получим с учётом (4):
га га
/(*)= £ тс№,*)= f(!)G(<T,x-l)
ï=— ОО l— :— СО
га га га га 1 к
= Л /СО £ gke(a!x-l1k) = ^Г /СО ^Г дке
L—.—ca ï=—со i=—I со L——IXJ
Введём новый индекс суммирования / = Z + fc вместо I = j — к и формально поменяем порядок суммирования. Тогда получим
га от (,-iT А А (r-i?
V1 v-i yc-JJ V V
/со = 2, z /с/ Ю9к6 2сг: = 2- ( Z- /0 2(7
j=—m к——со 1=—со i=—I со
со
= ^ fj:e(a,x,i)
j=-ra
где искомые коэффициенты разложения представляются в виде (после подстановки индексов / ^ к, чтобы согласовать результат с (1))
га
/fe= Y, f(M - j)9j (8)
(7)
J=-CO
где /(т) - значения заданной функции в целых точках, а -коэффициенты разложения базисной узловой функции (4). Упростим систему уравнений:
™ _(т-к)2
дке = ат0 ,т ЕЖ.
I
к=—оо
_ 1
Для этого введём новую переменную ц = е 2<т2. Получим
I
к=—оо
9кФ
т-к\г —
= ат0 , т ё 1.
Для численного решения необходимо рассмотреть конечномерные усечения полученной бесконечной системы уравнений. Рассмотрим такую систему уравнений при —п<к<пи—п<т<п. Она имеет вид:
п
-п < т ь тс.
/ч4 я2 1 ч~2
9 ч2 ч 1 ч-1 ч~2
1 1 1 1 1
■Г1 1 ч Ч2
V4 ч'2 1 ч2 чА
ЗкЧ[т к'' - ®т0 ' -= |ГС
к=—и
Это система из 2тс + 1 линейного уравнения с квадратной матрицей специального "крестообразного" вида.
Например, при п=2: в матричном виде она будет выглядеть следующим образом,
Л(82\ ' 01
во = <%г0 9-1
\9-zJ
Полнилась система пяти линейных уравнений с матрицей специального вида.
В работе полнены теоретические результаты, касающиеся корректной разрешимости основной системы линейных уравнений для конечномерного приближения бесконечной системы, а также проведён достаточно существенный объём компьютерных вычислений.
Приведём список основных полученных результатов (см. также [Ситник и др., 2013а; 2013Ь; Тимашов, 2011; Тимашов, 2013]).
1. Доказана следующая
Теорема. Для главного определителя системы (9) справедлива формула
О, = йеЦМО = О?1 - «"с?2 - ......- I)1.
Ч 3
Следствие.
Система линейных уравнений (9) однозначно разрешима при любых а > 0
Вычислительные аспекты метода квадратичной экспоненциальной интерполяции
_в задачах теории сигналов
Действительно, при допустимых рассматриваемых а > 0 очевидно, что О < q <1, поэтому главный определитель системы, как следует из приведённой выше формулы, отличен от нуля.
Таким образом, доказано, что при всех допустимых значениях параметров д, а исследуемые конечномерные системы линейных уравнений имеют единственное решение.
2. Проведено компьютерное исследование решений полученных конечномерных систем линейных уравнений численными методами при помощи математического пакета МАТНЕМАТ1СА при широком наборе управляющих параметров а.
Приведем некоторые результаты компьютерных расчетов. При значениях параметров 5 = 1,71 = 100 получим ц = 2.7182818285 и следующую таблицу 1 коэффициентов разложения дк базисной узловой функции, в которой приводятся первые двадцать коэффициентов с положительными номерами к (коэффициенты с отрицательными номерами, как показывают вычисления, имеют те же значения):
к ё(к)
0 5.29387370326
1 -4.11728848698
2 2.72609498428
3 -1.70681071002
4 1.04732851545
5 -0.63795153450
6 0.38754419274
7 -0.23519298794
8 0.14268201289
9 -0.08654776687
10 0.05249538065
11 -0.03184039401
12 0.01931225019
13 -0.01171348859
14 0.00710459369
15 -0.00430915473
16 0.00261363465
17 -0.00158524959
18 0.00096150249
19 -0.00058318074
20 0.00035371700
Приведём графики построенной по этим коэффициентам базисной узловой функции при значениях аргумента вблизи начала координат
и тот же график при больших значениях аргумента
Из графиков видно хорошее совпадение полученных значений с ожидаемыми. В частности, построенные аппроксимации чётко проходят в целочисленных узлах через нулевые значения. Качество приближений также оценено количественно как величина ошибки в различных нормах.
3. Численно показано, что при увеличении размерности приближающих систем их решения стремятся к предельным значениям, которые следует принять за решение исходной бесконечной системы уравнений.
Вычислительные аспекты метода квадратичной экспоненциальной интерполяции
_в задачах теории сигналов
4. Рассмотрено разложение указанным методом по целочисленным сдвигам функции Гаусса основного набора стандартных электрических сигналов: переключательных режимов, кусочно-постоянных, прямоугольных, треугольных, сложной формы, включая различные нерегулярные меандры. Выведен большой объём графиков для аппроксимаций этих сигналов, проанализированы ошибки приближений, вычислены количественные характеристики ошибок, среднеквадратичные и равномерные.
Для примера приведём исходный и построенный рассмотренным методом экспоненциальной квадратичной интерполяции графики для сигнала прямоугольной формы
Рис. 3. Интерполяция прямоугольного сигнала и для сигнала пилообразной формы
На приведённых графиках видно точное совпадение исходного и приближённого сигналов в целочисленных узлах.
Качество приближений также оценено путём вычисления ошибки в различных нормах.
5. Рассмотрены приложения полученных теоретических и численных результатов к теории фильтрации электрических сигналов. Произведён численный расчёт и анализ погрешности для реализации фильтров, близких к идеальным. Для этого реализации фильтров как свёрток с исследованными ранее стандартными сигналами смоделированы с использованием приближений сигналов целочисленными сдвигами функций Гаусса.
6. Также отметим, что непрерывная интегральная версия конечномерного квадратичного экспоненциального разложения также широко используется под названием преобразование Габора в теории всплесков, она также находит применения в теории операторов преобразования [Ситник, 1990; 1991; 2008а; 2008Ь; 2010; Бкшк 2012; 2013].
Список литературы
[Журавлёв и др., 2010] Журавлёв М.В., Киселёв Е.А., Минин Л.А., Ситник С.М. Тета-функции Якоби и системы целочисленных сдвигов функций Гаусса // Современная математика и её приложения. Т. 67. Уравнения в частных производных.- 2010. - С. 107-116.
[Минин и др., 2009а] Минин JI.A., Ситник С.М., Журавлев М.В. О вычислительных особенностях интерполяции с помощью целочисленных сдвигов гауссовых функций // Научные ведомости Белгородского государственного университета.- 2009.- № 13 (68), Выпуск 17/2. -С. 89-99.
[Минин и др., 2009b] Минин JI.A., Ситник С.М. О неравенствах для тета-функций Якоби // Чернозёмный альманах научных исследований. Серия "Фундаментальная математика",- 2009.- № 1 (8).- С. 234-311.
[Минин и др., 2009с] Минин JI.A., Ситник С.М. Неравенства для третьей тета -функции Якоби // Тезисы докладов международной конференции "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений (АМАДЕ)". Минск, Беларусь, 2009. С. 111.
[Ситник, 1990] Ситник С.М., Унитарность и ограниченность операторов Бушмана— Эрдейи нулевого порядка гладкости // Препринт. Институт автоматики и процессов управления ДВО АН СССР.-1990,- 44 С.
[Ситник, 1991] Ситник С. М. Факторизация и оценки норм в весовых лебеговых пространствах операторов Бушмана-Эрдейи // ДАН СССР.-1991.-т. 320, №6.- С. 1326-1330.
[Ситник, 2008а] Ситник С.М. Операторы преобразования и их приложения // В сб.: Исследования по современному анализу и математическому моделированию / Ред. Коробейник Ю.Ф., Кусраев А.Г. Владикавказ: Владикавказский научный центр РАН и PCO-А., 2008. С. 226-293.
Вычислительные аспекты метода квадратичной экспоненциальной интерполяции
_в задачах теории сигналов
[Ситник, 2008b] Ситник С.М. Метод факторизации операторов преобразования в теории дифференциальных уравнений // Вестник Самарского Государственного Университета (СамГУ). Естественнонаучная серия.-2008.-№ 8/1.- С. 237—248.
[Ситник, 2010] Ситник С.М., Решение задачи об унитарном обобщении операторов преобразования Сонина—Пуассона // Научные ведомости Белгородского государственного университета.- 2010.- Вып. 18, № 5 (76).-С. 135—153.
[Ситник и др., 2013а] Ситник С.М., Тимашов А.С. Расчёт конечномерной математической модели в задаче квадратичной экспоненциальной интерполяции // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика, Физика.-2013.- №19 (162), Вып. 32.- С. 184-186.
[Ситник и др., 2013b] Ситник С.М., Тимашов А.С. Приложения экспоненциальной аппроксимации по целочисленным сдвигам функций Гаусса // Вестник Воронежского государственного университета инженерных технологий.- 2013.- № 2 (56).- С. 90-94.
[Тимашов, 2011] Тимашов А.С. О решении систем уравнений, определяющих коэффициенты разложения по целочисленным сдвигам функций Гаусса// Труды восьмой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи», посвященной 75-летию Ю. П. Самарина (ММиКЗ). Самара, 2011. С. 234-236.
[Тимашов, 2013] Тимашов А.С. Задача квадратичной экспоненциальной интерполяции // Мждународна науково-практична конференщя «Фундаментальна освгга XXI столитя: наука, практика методика» . Харюв, 2013. С. 172-175.
[Kiselev et al, 2013] Kiselev E.A., Minin L.A., Novikov I.Ya., Sitnik S.M. On Evaluation of Riesz Constants for Systems of Shifted Gaussians. 2013,-arXiv: 1308.2649.-62 P.
[Lanzara et al, 2007] Lanzara F., Maz'ya V., Schmidt G. Approximate Approximations from Scattered Data // J. Approx. Th. - 2007.- № 145,- pp. 141-170.
[Maz'ya et al, 2007] Maz'ya V., Schmidt G Approximate approximations. University of Linkoping, 2007.
[Zhuravlev et al, 2011] Zhuravlev M.V., Kiselev E. A., Minin L. A., S. M. Sitnik. Jacobi theta-functions and systems of integral shifts of Gaussian functions // Journal of Mathematical Sciences, Springer.- 2011, Vol. 173, № 2. - pp. 231-241.
[Sitnik, 2012] Sitnik S.M. Transmutations and Applications: a survey. 2012.-arXiv: 1012.3741,- 141 P.
[Sitnik, 2013] Sitnik S.M. Buschman-Erdelyi transmutations, classification and applications // In the book: Analytic Methods Of Analysis And Differential Equations: Amade 2012. / Dubatovskaya M.V., Rogosin S.V. (Eds.). Cambridge: Cambridge Scientific Publishers, 2013. pp. 171-201.
