CC BY
11
УДК 532.546+532.55
ТРАЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМА ФОРМИРОВАНИЯ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ КОЛЛЕКТОРНЫХ
СИСТЕМ С ЗАСЫПКАМИ
Л.Э. МЕЛАМЕД*, Г.А. ФИЛИППОВ**, А.И. ТРОПКИНА*
*Всероссийский научно-исследовательский и проектно-конструкторский институт атомного энергетического машиностроения (ВНИИАМ)
**Российская Академия Наук (РАН)
Предложена человеко-машинная процедура для исследования механизма формирования гидродинамического сопротивления коллекторных систем, содержащих перфорацию и засыпку. Она представляет собой комбинацию стандартного компьютерного расчета с последующим так называемым траекторным анализом. Траекторный анализ включает два метода — метод трубок тока и метод линий тока. Метод трубок тока состоит в формировании трубки тока произвольного фиксированного элементарного объема среды и прослеживании ее по всему пути следования. Используя метод трубок, можно проводить инженерный анализ сопротивления на основе имеющихся экспериментальных данных и формул для одномерных потоков. Метод линий тока состоит в анализе течения вдоль произвольной линии тока в естественных координатах течения. Метод позволяет выявить «узкие места» конструкции (зоны повышенного местного сопротивления) и использовать зависимость инерционного сопротивления от кривизны характерных линий течения для возможного уменьшения этого сопротивления. Приведены примеры, иллюстрирующие использование траекторного анализа. Показано, что траекторный анализ позволяет эффективно анализировать гидравлические сопротивления конструкций коллекторных систем и оптимизировать их по результатам этого анализа.
Введение
Анализ механизма возникновения гидродинамического сопротивления в загруженных течениях является сложной и чрезвычайно важной задачей. Загруженным можно назвать течение, преодолевающее распределенные сопротивления и меняющее скорость и направление движения. Практическим примером загруженного течения является течение в коллекторных системах с перфорацией и засыпкой. Это - тепловыделяющие сборки с шаровыми микротвэлами (ТВС), которые могут найти применение в атомных реакторах следующих поколений [1]. Основными примерами распределенных сопротивлений являются перфорированные стенки и шаровые засыпки. Поскольку эти реальные объекты, содержащие множество частиц засыпки и отверстий перфорации, не могут быть рассмотрены детально в силу их многочисленности и одновременно малости, то их моделирование сводится к расчету объемной силы сопротивления, входящей в уравнения движения и действующей в соответствующей подобласти расчетной области.
Ранние исследования коллекторных систем были основаны на одномерном подходе. Это было связано с крайней трудностью численных неодномерных расчетов. Вынужденная одномерность расчетов обосновывалась геометрической формой отдельных частей конструкции, их «тонкостью» в одном направлении и © Л.Э. Меламед, Г.А. Филиппов, А.И. Тропкина Проблемы энергетики, 2008, № 11-12
протяженностью в другом. Однако, в работах [2-5] было показано, что в приложении к рассматриваемым системам этот подход мало применим.
В данной работе изучается механизм формирования сопротивления с помощью траекторного анализа. Ему предшествует стандартный компьютерный расчет поля скоростей и давлений. В данной работе компьютерные расчеты производились с использованием некоторых версий систем ANSYS и Comsol [2]. Результаты этого расчета содержат полную фактическую информацию о течении среды в изучаемом агрегате. В то же время эта информация недостаточна для выявления причин возникновения гидродинамических сопротивлений в проблемных узлах конструкции. Общие сведения о поле скоростей и давлений не дают возможности выделить узкие места конструкции и, тем более, наметить пути их модернизации. Эту задачу и решает предлагаемый траекторный анализ.
Траекторный анализ
Траекторный анализ состоит в том, что течение анализируется не по основным деталям конструкции или последовательным участкам тракта потока (например, в случае тепловыделяющей сборки это раздающий коллектор, засыпка, собирающий коллектор), а по рассчитанным (или экспериментально найденным) траекториям. Поле течения представляется системой трубок тока, осью каждой из которых является некоторая фиксированная линия тока. Рассмотрение трубок тока, их формы и переменного сечения можно назвать методом трубок тока; рассмотрение линий тока, их кривизны и кривизны перпендикулярных к ним линий - методом линий тока. Каждый из этих методов имеет свои специфические достоинства и может использоваться как совместно друг с другом, так и по отдельности.
Метод трубок тока. Метод состоит в формировании одной или нескольких характерных трубок тока и последующем их анализе. Рассмотрим процедуру формирования характерной трубки тока. Будем считать, что некоторый небольшой объем, вошедший в конструкцию через выбранную площадку S о и движущийся по выходящей из этой площадки средней траектории, образует трубку тока. Расход по данной трубке тока постоянен, поскольку отсутствует поперечное перетекание через линии тока, составляющие ее стенки. Скорость и плотность переменны. Соответственно переменным является и сечение трубки тока. В целом, трубка тока может считаться одномерным криволинейным потоком. Для последующего анализа сформированной трубки тока можно использовать известные и хорошо разработанные гидродинамические подходы, например, на основе комплекса экспериментальных данных, собранных в работе [6]. Этот анализ позволяет найти узкие места течения и наметить пути уменьшения сопротивления.
В качестве примера рассмотрим коллекторную систему, которая была экспериментальным и расчетным образом исследована в работе [7]. Эта коллекторная система представлена на рис. 1. Она представляет собой параллелепипед длиной ¿=1,2 м, шириной 0,2 м и высотой 0,12 м. В средней части конструкции имеется засыпка из свинцовой дроби диаметром 2,22 мм, находящаяся в шести контейнерах длиной 0,2 м каждый, высотой 36 мм, с перфорированными стенками толщиной 3 мм и степенью перфорации 0,25. Пористость засыпки равняется 0,37. Воздух поступает слева в верхний канал (раздающий коллектор) и выходит справа из нижнего канала (собирающего коллектора). Давление воздуха на входе составляет 16 кг/см2 .
Рис. 1. Схема коллекторной системы
Первым этапом работы является стандартный компьютерный расчет исследуемой системы. Для расчета использована система А^У8. Результаты расчета системы представлены на рис. 2-4. На рис. 2 показаны полученные линии тока. Здесь же значками отмечена линия тока, выбранная для дальнейшего анализа. Для выбранной линии тока находим распределение скорости (рис. 3) и давления (рис. 4) вдоль нее. На рис. 3 введены буквенные обозначения, которые позволяют установить соответствие между участками графика и конструкции. Линия АВ соответствует раздающему коллектору. Линия ВС соответствует повороту потока и растеканию его по поверхности перфорированной стенки. Линия СБ соответствует течению в пакете (этим термином обозначены совокупность засыпки и окружающих ее перфорированных стенок). Линия БЕ соответствует сжиманию потока и повороту в собирающий коллектор. Наконец, линия ЕР соответствует течению в собирающим коллекторе. Эти же обозначения дублированы на рис. 4.
Рис. 2. Линии тока (значками отмечена средняя трубка тока)
/=■
16,52
13,29
-У
■а 10,05
и о
с 6,81
и
3,57
0,33
А
в е/
0,24 0,48 С В0,72 0,96
Длина дуги лнннн тока, м
1,2 1,22
Рис. 3. Полная скорость вдоль выбранной трубки тока © Проблемы энергетики, 2008, № 11-12
7020
5850
4680
3 3510
-
г
Я
^ 2340
1170
“—Iй
А——
Е \
\ ч % ч
\
0 0,24 0,48 0,72 0,96 1,2 1,22
Длина дуги линии тока, м
Рис. 4. Статическое (сплошная линия) и полное (пунктирная линия) давление вдоль выбранной трубки тока
Второй этап исследования состоит в воспроизведении формы и сечения трубки тока, соответствующей выбранной линии тока, и анализе гидродинамического сопротивления вдоль этой трубки тока. Формирование трубки тока происходит следующим образом. В начале трубки тока выделим некоторую небольшую площадку £ о (в нашем случае это отрезок) и проследим, как меняется длина этого отрезка вдоль выбранной линии тока. Эта длина обратно пропорциональна плотности и скорости потока. В нашем случае плотность принимается постоянной. В результате этого расчета получаем трубку тока в виде, представленном на рис. 5. С помощью данного рассмотрения можно проследить за движением и размерами элементарного объема, входящего в трубку тока и затем выходящего из нее. Показанные на рис. 5 буквы А, В и т.д. соответствуют вышеописанным. Видно, что поток вдоль этой траектории сначала проходит кривоосный, слабо расширяющийся диффузор, затем внезапный поворот на 90 градусов, внезапное расширение и затем, в обратном порядке, внезапное сужение, поворот в другую сторону и, наконец, течение по слабо сужающемуся конфузору. Понятно, что течение по такому тракту сопряжено с существенными потерями давления.
Рис. 5. Форма трубки тока
Следующим этапом исследования является определение абсолютной и относительной величины потерь давления в отдельных участках этого тракта, сопоставление их между собой и выбор рекомендаций для их уменьшения. Расчет
проводится по инженерным соотношениям [6]. Потери давления (в Па) в различных частях тракта составляют:
в раздающем коллекторе (АВ) - 10, при повороте потока (В) - 280,
от внезапного расширения потока (ВС) - 310,
потери в пакете (СБ) - 640,
от внезапного сужения (БЕ) - 220,
при повороте потока (Е) - 360.
Инженерный расчет потерь в «прямой» части собирающего коллектора вызывает трудности, т.к. на этом участке (это показано в [5]) имеется сильнейшая турбулентность.
Результаты расчетов показывают, что потери давления при входе в пакет (280+310=590) и при выходе из пакета (220+360=580), т.е. в сумме 590+580=1170, существенно больше, чем потери в пакете (640). Таким образом, потери в пакете не могут служить даже предварительной оценкой общих потерь в конструкции. Необходимо отметить, что инженерный расчет позволяет детализировать потери давления в тракте. Так, на рис.4 участок ВЕ, являющийся прямой линией с крутым наклоном, не позволяет выявить величину потерь в отдельных участках ВЕ, содержащих основные конструктивные элементы агрегата и их окрестности, а именно, первый поворот потока, его расширение, прохождение через пакет, сужение и повторный поворот. Эту детализацию, как показано выше, позволяет сделать траекторный анализ. Кроме того, этот анализ показывает, что при необходимости уменьшения потерь основное внимание надо уделить увеличению радиусов поворота потока и уменьшению степени расширения (или сужения) потока.
Метод линий тока. Метод состоит в анализе характеристик гидродинамического сопротивления потока вязкой несжимаемой жидкости вдоль некоторой средней его траектории, которая в стационарном случае является линией тока. Предварительно осуществляется переход к естественной системе координат течения, состоящей из линий тока и перпендикулярных к ним линий. Это ортогональная криволинейная система координат, а составляющие её линии можно назвать характерными линиями течения. Аналогичная система, названная «натуральной» системой координат, использована в [8] для решения задач динамической метеорологии. Ниже система уравнений движения переводится в естественную систему координат и на ее основе производится дальнейший траекторный анализ.
Для описания плоского стационарного движения вязкой несжимаемой жидкости имеем: уравнения движения:
~ 2
ии X + Уи 'у - VУ и,
(1)
иу X + УУ у - VУ у ,
и уравнение неразрывности (при отсутствии источника массы)
и X + у 'у = 0. (2)
Здесь и и V - компоненты скорости по осям х и у, м/с; р - давление; Па, V -кинематическая вязкость жидкости, м2/с.
1 др
р дх 1 др
р ду
Для получения уравнений движения в координатах (я, п) используем тождества:
др др dx др dy др др dx др dy ^
ds дх ds дУ ds дп дх dn дУ dn
Здесь s - длина дуги по линии тока, п - по перпендикулярной линии.
Найдем значения полных производных. Используя представление элемента длины дуги в виде ds = dx + idy , а полной скорости в виде c = u + iv , легко получим, что
dx u dy v
- = -; — —. (4)
ds c ds c
Пусть n - нормаль к линии тока, повернутая на 900 против часовой стрелки от нее (от её положительного направления). Тогда dn = ids = — dy + idx ; и, используя то же выражение для скорости, получим
dx v dy u
— —; — = --. (5)
dn c dn c
Для дальнейшего нам понадобятся выражения для кривизны линии тока и кривизны перпендикулярной к ней линии. Используя формулу для кривизны кривой, заданной в прямоугольных координатах,
*=—y'
(1+y ■2)
3 ’ 2
и учитывая, что на линии тока по определению
, _ dy = V
dх и
dy и
а на перпендикулярной линии у' = — =-------, получим кривизну линии тока в виде
dх V
к =— (и2VX -иуиX + иуу'у -V2и'у ) (6)
с
и кривизну перпендикулярной линии в виде
~ =—г (uvv X + ии у - и 2 V 'у - V 2 и'х ). (7)
с
г, 2 2,2
Здесь с = и + V .
Подставляя в (3) соответствующие производные из уравнений движения (1) и соотношений (4) и (5), с учетом уравнения неразрывности (2) и выражений для кривизны (6) и (7) получим следующие уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости в естественных координатах:
-= кс 2 - ^ (иУ 2 и + vV 2 V ); р дs с
1 я (8)
------Р = -кс 2 + ^ (иУ 2 V - vV 2 и).
р дп с
Из уравнений системы видна определяющая роль кривизны перпендикулярных линий в формировании инерционной части гидродинамического сопротивления. Стоит отметить, что лапласианы здесь - уже в координатах (я, п), поскольку коэффициенты Ламэ при соответствующем преобразовании равны единице.
С помощью преобразованной системы (8) можно заменить исходную систему (1) следующей:
1 др / ~ \ к 2
---------= с[ик - vk )- уУ и;
р дх
1 др р дх
1 др (к \ к 2
------= с[к - ик )-уУ V .
р ду
На основе этого представления можно получить выражение для градиента давления
1------------- 1 Г др др
--grad р = —
рр
+ I'
дх ду
= с2 (~ +/к)-у(у2и + /V2V).
Вектор (к + /к) можно назвать вектором полной кривизны течения. Если выписать величину модуля градиента, то станет понятно, что удвоенный модуль вектора полной кривизны
1м = 2л/ к2 + к 2
- это полный местный (точечный) коэффициент инерционного сопротивления, относящийся к динамическому напору рс2/2.
Первое из уравнений (8) является основой для расчета давления вдоль линии тока. Выбрав некоторую интересующую нас линию тока (например, исходящую из средней точки входного сечения), и проинтегрировав это уравнение по длине дуги я (подставляя в правую часть координаты данной линии и кривизну
к вдоль неё), получим статическое давление вдоль данной линии. Поскольку при постановке задач статическое давление на выходе (при я = як) обычно задается равным нулю (р(*к)=0), то выражение
р(ж)= Гр кс2 -^(иУ2и + vV2V)¿я' я V с )
(9)
является одновременно и давлением, и перепадом статического давления вдоль линии тока от точки Я до конечной точки як . По этой формуле можно получить значения давления для любой выбранной линии тока и любой точки
на ней, интегрируя (аналитически либо численно) подинтегральное выражение в правой части (9). Видно, что инерционное сопротивление (первое слагаемое правой части) определяется скоростью вдоль линии и кривизной перпендикулярных линий.
Рассмотрим применение полученных соотношений на конкретном примере. Необходимо выяснить степень влияния искривления потока на его гидродинамическое сопротивление. Результатами данного исследования являются рекомендации по модернизации конструкции с целью уменьшения ее гидродинамического сопротивления.
Рассмотренный далее пример является некоторым обобщением задач, возникающих при проектировании упомянутых выше ТВС. Это и задача выбора наклона и формы отверстий в перфорированных перегородках ТВС, обеспечивающих существенное уменьшение потерь давления в них, и общая задача о перетекании теплоносителя из одного коллектора в другой. Сравниваются между собой три схематизированных варианта, представленные на рис. 6. Первый из них является исходным, представляющим собой две камеры, соединенные между собой каналом, перпендикулярным к ним. Второй вариант отличается от первого наклоном оси канала, составляющим 45° к плоскости стенок. Наконец, третий вариант отличается от второго небольшими скруглениями тупых углов на входе в канал и на выходе из него. Размеры рассматриваемых узлов: высота 1,2 м, ширина всех каналов °,2 м. Во всех случаях жидкость (со свойствами: плотностью р=1°°° кг/м3 и
динамической вязкостью д=°,°°2 Па*с) входит слева снизу и выходит справа сверху. Были проведены как компьютерные расчеты скоростей и давления, так и расчеты по формуле (9) давления вдоль средней траектории потока. Были рассмотрены как ламинарное, так и турбулентное течение (скорости входа воды равны °,°1 м/с и 1 м/с соответственно). Во всех расчетах, выполненных в системе Comsol, использована плоская расчетная схема.
Рис. 6. Расчетные области и характерные линии течения при ламинарном режиме (а - исходная
область, Ь и с - ее модификации)
Результаты расчетов представлены в таблице. Здесь представлены как результаты компьютерного расчета, так и результаты последующего расчета по методу линий тока. На рис. 6 показаны рассчитанные линии тока и линии, перпендикулярные к ним. Рассмотрим вначале результаты компьютерных расчетов. Из таблицы видно, что потери давления от варианта к варианту существенно
меняются. При ламинарном течении при переходе от первого варианта ко второму они уменьшились в 2,73 раза, от второго к третьему - ещё в 1,54 раза, т.е. в общей сложности - в 4,22 раза. При турбулентном течении соответствующие цифры более скромны и равны 1,34, 1,75 и 2,35. Но в обоих случаях они довольно значительны. Для анализа причин данного явления используется представленный выше метод линий тока. Из него следует, что особую роль в создании гидродинамического сопротивления играет кривизна характерных линий течения. Выберем на расчетном поле среднюю траекторию потока, т.е. линию тока, выходящую из точки - середины входного участка. Вычислим вдоль этой линии тока как кривизну самой линии (по формуле (6)), так и кривизну пересекающих её перпендикулярных к ней линий (по формуле (7)). На рис. 7 показана кривизна данной линии тока при ламинарном режиме для всех вариантов. На рис. 8 - то же при турбулентном режиме. Первое общее наблюдение по этим графикам состоит в том, что пики кривизны линий тока снижаются от варианта к варианту как при ламинарном, так и при турбулентном режимах. Тот же характер изменений имеют величины инерционных потерь давления, представленные в таблице. Эти величины вычислены по формуле (9) (первый член подынтегрального выражения). Видно, что при ламинарном режиме потери давления состоят почти полностью из инерционной составляющей. При турбулентном режиме инерционные потери составляют приблизительно 20-30% от общих потерь.
О 0,5 1 1,5
$, т
Рис. 7. Кривизна линий тока в вариантах а, Ь, с при ламинарном режиме
*, т
Рис. 8. Кривизна линий тока в вариантах а, Ь, с при турбулентном режиме © Проблемы энергетики, 2008, № 11-12
Таблица
Результаты расчетов (результаты компьютерного расчета отмечены значком *, результаты расчета по методу линий тока - значком **)
Варианты а b с а b с
Режимы Ламинарный, Re=1°3 Турбулентный, Re=1°5
Динамический напор на входе, Па °,°5 5°°
Потери давления, Па Полные* °,399 °,146 °,°94 1939 1446 826
Инерци- онные** °,39° °,14° °,°92 367 4°8 13°
Коэффициент сопротивления * 7,98 2,92 1,89 3,88 2,89 1,65
Вернемся к рассмотрению рис. 7 и 8. По ним видно, что поворот канала на 45° и небольшое скругление на входе и выходе из него (переход от первого к третьему варианту) дают при ламинарном режиме уменьшение максимальной положительной кривизны средней линии тока с 6 до 1,5 м-1 , т.е. в 4 раза, а максимальной отрицательной кривизны с -5 до -2 м-1 , т.е. в 2,5 раза. При турбулентном режиме эти соотношения таковы: от 7,3 до 2,° для положительной кривизны и от -8 до -5 для отрицательной кривизны. Эти цифры в целом соответствуют цифрам уменьшения потерь давления. Таким образом, численные эксперименты выявляют достаточно четкую корреляцию между кривизной линии тока и величиной гидродинамических потерь. При этом пики кривизны траектории указывают на места «концентрации» местных сопротивлений, а их величины при сравнении различных вариантов между собой дают способ оценки различных конструктивных решений. В данном случае варьировались как направление канала, так гладкость переходных форм стенок канала. Показано, что модификации В и С конструкции А дают, в общей сложности, более чем четырехкратное уменьшение потерь давления при любом режиме, т.е. перфорационные отверстия под углом в 45° и со скруглениями могут существенно уменьшить гидродинамические потери в перфорации ТВС.
Итак, с помощью метода линий тока показано, что уменьшение кривизны траектории является действенным методом снижения потерь давления в аппаратах с загруженными потоками.
Рекомендации по использованию методов траекторного анализа
Предлагаемые методы траекторного анализа позволяют решить одну задачу
- локализовать места формирования основной части гидродинамического сопротивления потока в конструкции и выработать конструктивные рекомендации по уменьшению этого сопротивления. Метод трубок тока более прост в использовании и позволяет применить для анализа известные
инженерные соотношения для расчета потерь давления в одномерных трактах. Метод линий тока позволяет более детально выявить влияние изменения кривизны тракта на гидродинамические потери, что дает возможность выбирать оптимальную форму криволинейных каналов.
Выводы
1. Предложена человеко-машинная процедура, позволяющая исследовать механизм формирования гидродинамического сопротивления коллекторных систем, содержащих перфорацию и шаровую засыпку, а также любых систем с загруженными потоками. Процедура состоит из двух этапов. Первый этап - это стандартный компьютерный гидродинамический расчет с применением любой вычислительной системы, позволяющей рассчитать, по крайней мере, двумерные поля скоростей и давлений. В данной работе использовались системы ANSYS-Flotran и Comsol Multiphysics. Второй этап состоит из собственно траекторного анализа. Траекторный анализ утверждает, что знание некоторой средней траектории потока и скорости (или её компонент) вдоль нее предоставляет большие возможности для анализа поля давления течения. Траекторный анализ включает два метода - метод трубок тока и метод линий тока.
2. Метод трубок тока состоит в нахождении формы трубки тока, охватывающей выбранную траекторию (т.е. в нахождении изменения площади поперечного сечения этой трубки), расчете (по известным инженерным соотношениям) потерь давления вдоль трубки, нахождении полной потери давления и анализе узких мест конструкции. Метод является достаточно простым и может использоваться при любом режиме течения. Он позволяет использовать одномерные инженерные расчеты, выявить с их помощью «узкие места» конструкции, оценить потери давления в этих местах и возможности их снижения.
3. Метод линий тока состоит в нахождении кривизны выбранной траектории, кривизны перпендикулярных к ней линий и лапласианов от компонент скорости, после чего могут быть вычислены как полные потери давления, так и их инерционная и вязкостная части. В случае турбулентного режима в расчете должна учитываться турбулентная вязкость. Возможность получения как полной потери давления, так и её составляющих позволяет оценить эффективность конструктивных изменений тракта потока в части влияния их на эти составляющие. Переход к естественным координатам придает наиболее простой вид уравнениям движения, а выражение для градиента давления содержит простую и наглядную информацию о поле местных (точечных) сопротивлений.
4. Общим преимуществом траекторного анализа являются не только аналитические возможности, но и его визуальная информативность, так необходимая в работе инженера-проектировщика.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ), проекты 08-08-00284-а и 08-08-00448-а.
Summary
It is proposed man-machine procedure intended for investigation of forming mechanism of hydrodynamic resistance of header devices with perforation and pebblle
beds. It represents a combination of standart computing calculation with following so-called trajectory analys. Trajectory analys includes two methods - the flow tubes method and the flow lines mehtod.
The flow tubes method consists in the forming of flow tube with arbitrary fixed elementary medium volume and its tracking along all full paths. Using the flow tubes method it is possible to make engineering analys of resistance on the base of available experimental data andformulations for one-dimension flows.
The flow lines method consists in analysis of the flow along an arbitrary flow line presented in natural flow coordinates. The method enables to disclose “week spots” of device and to use the relation of inertial resistance caused by the curvature of flow characteristic lines for the purpose of the resistance reduction.
The examples illustrating trajectory analys use are demonstrated. It is shown that trajectory analys enable to analyze efficiently hydrodynamic resistance of header devices and its optimization according to results of the analysis.
Литература
1. Перспективы применения микротвэлов в ВВЭР / Н.Н.Пономарев-Степной, Н.Е. Кухаркин, А.А. Хрулев и др. // Атомная энергия. - 1999. - Т. 86. -Вып. 6. - С. 443-449.
2. Л.Э. Меламед. Femlab и ANSYS в расчетах гидродинамики атомных реакторов. Exponenta // Pro. Математика в приложениях. - 2004. - №2. - С.18-21.
3. Г.А.Филиппов, Л.Э.Меламед, А.И.Тропкина. Методика математического моделирования и анализ гидродинамики систем, содержащих засыпки и перфорированные перегородки, на основе вычислительного комплекса ANSYS // Изв. вузов «Проблемы энергетики». - 2005. - № 11-12. - С. 64-79.
4. Г.А. Филиппов, Л.Э. Меламед, А.И. Тропкина. Анализ коллекторных
систем, содержащих засыпки и перфорированные перегородки, на основе экспериментальных данных: Труды Национальной конференции по
теплоэнергетике НКТЭ-2006, Казань, 5-8 сентября 2006 г. - Казань:
Исследовательский центр проблем энергетики КазНЦ РАН, 2006. - Т.1. - С.104-107.
5. Г.А. Филиппов, Л.Э. Меламед, А.И.Тропкина. Влияние формы и размеров коллекторов на гидравлическое сопротивление коллекторных систем с засыпками // Изв. вузов Проблемы энергетики. - 2007. - № 1-2. - С. 8-12.
6. Идельчик И.Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям. - М.: Машиностроение, 1975. - 560 с.
7. Гидродинамика и теплообмен в кассетах с шаровой засыпкой для реактора БГР-1200 / Андреев Н.А., Пучков П.И., Виноградов О.С. и др. // ЦКТИ им. И.И. Ползунова. Работа № 101406/0-9023. - Ленинград, 1976. - 167 с.
8. Гандин Л.С., Лайхтман Д.Л., Матвеев Л.Т., Юдин М.И. Основы динамической метеорологии. - Л.: Гидрометеоиздат, 1955. - 647 с.
Поступила 01.07.2008
