CC BY
174
УДК 532 + 622.276.1/4(73)
К.А. Сидельников, В.Е. Лялин, И.М. Григорьев
МОДЕЛИРОВАНИЕ НА БАЗЕ МЕТОДОВ ТРУБОК И ЛИНИЙ ТОКА
Описаны методы трубок и линий тока, предназначенные для непосредственного повышения эффективности компьютерного моделирования нефтяных месторождений. Методы трубок и линий тока позволяют осуществить декомпозицию сложной трехмерной задачи моделирования на множество более простых одномерных задач.
Ключевые слова: трубки тока, линии тока, МЛТ, МЛТ-моделирование, течение флюидов.
Помимо традиционного подхода к моделированию движения жидкости (в том числе внутри пласта), основанного на методах конечных разностей (МКР), существует метод линий тока (МЛТ) [1-6].
Традиционное моделирование состоит из двух частей: прогноз изменения давления и решение транспортной задачи (изменение насыщенности). Наиболее полное и разностороннее исследование
математического моделирования пластовых систем на базе МКР можно найти в работах [7-9]. В МКР-симуляторах сначала определяется поле давлений, а затем моделируется течение флюидов, основанное на полученном распределении давления (метод IMPES). При этом флюиды перемещаются от блока к блоку (рис. 1).
Ввиду того что транспортная задача обладает сильной нелинейностью, МКР может быть очень чувствителен к выбору размера сеточного блока и его ориентации в пространстве [10-13]. Как результат этой нелинейности, требования к временному шагу также существенны.
При МЛТ-моделировании давление определяется на основной сетке так же, как и в МКР. Далее, строятся линии/трубки тока в предположении их ортогональности к линиям постоянного давления. Таким образом, создается «естественная» транспортная сеть и флюиды перемещаются вдоль линии тока, описывая продвижение нефти/воды/газа в
, ».ттггт, »„т,-™ пласте. Линии тока имеют присущее только им
флюидов в МЛТ- и МКР-моделях по [13]
преимущество: флюид движется в направлении градиента давления вдоль линий тока, а не между блоками как показано на рис. 1. В связи с этим МЛТ-моделированию могут быть свойственны большие устойчивость и шаг по времени, а также меньшая зависимость от размера и ориентации сеточных блоков [1; 5; 6; 13].
Предпосылками вычислительной эффективности МЛТ являются следующие четыре основные причины [14; 15]:
1) линии тока требуют нечастого обновления;
2) уравнение массопереноса жидкости вдоль линии тока может быть решено аналитически;
3) одномерное численное решение относительно линии тока не ограничивается основными критериями устойчивости конечно-разностной аппроксимации, что позволяет увеличить шаг по времени;
4) для условий вытеснения флюида определяемой средней степенью неоднородности пласта, время центрального процессора изменяется почти линейно с ростом числа блоков сетки, делая моделирование с использованием МЛТ привлекательным для геологического моделирования.
Остальные преимущества данного метода не так очевидны из-за получаемых в результате численного решения различных артефактов, например, численной дисперсии и влияния ориентации сетки, поскольку сеть линий тока, используемая при решении уравнений переноса жидкости, в действительности отделяется от основной расчетной сетки.
скважина
Рис. 1. Сравнение перемещений
1. Метод трубок тока
Модели трубок тока предшествовали современным математическим моделям пластовых систем [6; 10; 16; 17]. Первоначально метод трубок тока использовался для ручного расчета двумерных схем вытеснения. По известному распределению давления или по его оценке пласт делится на трубки тока; при этом предполагается, что перетоков между отдельными трубками нет. Решение задачи распределения пластового давления задает путь течению флюидов в пространстве, а физика вытеснения получается в соответствующем одномерном решении применительно к каждой трубке тока. Процесс вытеснения в каждой трубке рассчитывается отдельно, в результате чего двумерная задача сводится к нескольким одномерным. Расчет является точным только в том случае, если границы трубок совпадают с линиями тока, а сами линии тока во времени не меняются [7].
Модели такого вида были предложены Маскетом (1937), Фейем и Пратцем (1951), Херстом (1953), Хиггинсом и Лейтоном (1962), Хаубером (1964), Паттоном и др. (1971) и Ле Бланком (1971). Из современных исследователей в данной области существенно развивших современное представление метода линий/трубок тока необходимо отметить Glimm (1983), Renard (1990), King, Blunt и др. (1993), Thiele (1994), Batycky (1997).
Если распределение моделей описывается стационарным уравнением (типа уравнения Лапласа), то такой подход является точным. Указанное справедливо для однофазной фильтрации несжимаемого флюида. Данный метод можно использовать как точный для расчета смешивающегося вытеснения при отношении подвижностей, равном единице. В более сложных случаях положение трубок тока определяется решением в потенциалах, а поскольку в этом случае трубки тока уже не соответствуют линиям тока, модель дает лишь приближенное значение [7; 10].
Распределение линий тока можно определить либо аналитически, либо численными методами. Аналитические решения известны для ряда схем расположения скважин. Методы численного решения эллиптических уравнений рассматриваются во многих работах [18-22].
По определению, линия тока - это линия, направление касательной в каждой точке которой совпадает с направлением в этой точке вектора скорости в текущий момент времени. Векторное поле определяется заданием вектора в каждой точке пространства или, другими словами, заданием вектора, являющегося функцией х, y, z : F (x, y, z) . В большинстве интересующих случаев этот вектор является непрерывной функцией х, y, z, за исключением либо изолированных точек, или особенностей, либо изолированных линий - особых линий. Там, где вектор непрерывен, можно определить линии тока поля (векторные линии векторного поля), которые являются линиями касательными в каждой точке к вектору этой точки.
Если линия тока имеет параметрические уравнения
х = х (t), y = y (t), z = z (t) , то проекции направляющего вектора касательной к этой линии пропорциональны производным x'(t), y'(t) , z (t) или, что то же самое, дифференциалам dx, dy , dz (это вытекает из определения
дифференциала df (х) = f'(х)dx [23]). Записывая условия параллельности вектора F(х, y, z) и вектора, направленного по касательной к векторной линии, получим
dx dy dz
— = — = — . (1) F F F
x y z
Рассмотрим теорию векторного поля применительно к движению жидкости. Поведение жидкости удобнее выражать с помощью скоростей, чем с помощью перемещений [17; 24]. Вектор v (х, y, z, t) есть скорость той части жидкости, которая находится в момент t в точке х, y, z . Выражение Vv есть поток жидкости из «области вблизи х, y, z », так что dxdydzVv есть поток жидкости из элемента dxdydz наружу. Если Vv везде равна нулю, то жидкость несжимаема.
Линии тока обычно изображают средние траектории отдельных частиц жидкости. Дифференциальные уравнения этих линий имеют вид dx¡vx = dyjvy = dz¡vz . Если вихрь отсутствует (т.е.
rot v = 0) и существует потенциал скоростей, то линии тока везде ортогональны к эквипотенциальным поверхностям и дают естественную систему координат.
Если р - плотность жидкости в точке х, y, z в момент t, то pv есть вектор, представляю-
щий поток массы через единичный объем, и dxdydzV(pv) дает тогда суммарное истечение массы из элемента объема dxdydz . Так как масса не исчезает и не появляется в большинстве рассматриваемых случаев, это истечение массы равно потере массы pdxdydz жидкости в этом элементе. Другими словами, получаем уравнение неразрывности жидкости:
fp^-v(pv). (2)
Из этого уравнения очевидно, что для жидкости с постоянной плотностью p (несжимаемая жидкость) суммарный поток Vv должен быть равен нулю.
В отдельных задачах удобно предположить, что жидкость возникает (или исчезает) в некоторой точке или точках. Такие точки называются источниками (или стоками) жидкости.
Скорость изменения векторного свойства F (r, t) жидкости в выделенной частице жидкости (положение частицы дается радиус-вектором r в момент времени t) или вблизи нее равна разности между значением F (r, t) в точке x, y, z, где по предположению находилась частица жидкости в
момент t, и значением F (r + vdt, t + dt) в точке x + vxdt, y + vydt, z + vzdt, где находится частица в
момент t + dt. Скорость изменения свойства F жидкости, обозначаемая символом полной производной, дается уравнением
dF aF? -
-=--+ v • VF .
dt dt
Скорость изменения скалярных свойств подсчитывается таким же образом. Скорость изменения
плотности данного элемента жидкости оказывается равной
d p dp ? -*- = -?- + v •Vp . dt dt
Из уравнения неразрывности (2) получим
= -V (pv ) + v • Vp = -p • W .
Если плотность p жидкости везде постоянна, уравнение, определяющее v, принимает вид Vv = 0. Наиболее общее решение этого уравнения может быть выражено с помощью скалярного и векторного потенциала (теорема Гельмгольца [24]):
v = rot A + grad Ф; V20 = divgrad Ф = 0.
A может быть любым достаточно правильным векторным полем, удовлетворяющим граничным условиям. Уравнение для потенциала скоростей Ф называется уравнением Лапласа.
Если вихри отсутствуют, то A = 0 и скорость полностью определятся скалярным потенциалом. Если, кроме того, линии тока лежат в параллельных плоскостях, потенциал скоростей может быть сделан функцией только двух координат и движение называется двумерным (или плоским) потоком. Здесь линии тока и потенциальные кривые образуют двумерную ортогональную систему криволинейных координат.
Уравнения линий тока в двумерном пространстве имеют вид
dx dy
— = — или - v dx + vxdy = 0 .
v v y
x y
Следовательно, если
то
v =--и vx =-
y dx x dy
d^ d^ , n lTf, ч
-dx +--dy = 0 или ^ (x, y) = const
dx dy
вдоль линии тока. Функция ^ называется функцией тока1: она связана с потенциалом скоростей Ф соотношениями
ду дх ' дх ду которые называются уравнениями Коши-Римана [6; 17; 24].
Проблема плоского течения имеет весьма важный практический интерес и представляется в общем случае двумя типами задач [25]. Первый тип ограничен горизонтальным плоским течением, где скорость фильтрации и не зависит от вертикальной координаты г . Такие задачи возникают при рассмотрении песчаников с постоянной мощностью, все поры которого заполнены жидкостью и разбурены скважинами, вскрывшими всю мощность песчаника. При этом можно совершенно точно принять давление Р эквивалентом потенциала скорости [25].
Из указанных предпосылок следует, что основное уравнение в прямоугольной системе координат, которому подчиняется горизонтальное плоское движение в установившемся состоянии, будет:
д2Р д2Р п k дР k дР
—г+—т _ 0; их _---; иу _---,
дх дУ / дх / ду
где k - проницаемость пористой среды; / - вязкость жидкости.
Второй тип задач плоского течения характеризуется большим распространением течения в одном горизонтальном направлении без всяких изменений динамического режима вдоль последнего. Отсюда природа жидкости, за исключением граничного участка всего течения, остается той же самой во всех вертикальных плоскостях, пересекающих эту огромную протяженную систему под прямым углом [17; 25].
Задачи второго типа возникают при рассмотрении фильтрации и противодавлении под плотинами, длина которых сравнительно велика по отношению к их ширине. В этом случае соответственной динамической переменной будет потенциальная функция Ф , так как вследствие того, что течение осуществляется в вертикальной плоскости, линии тока будут нормальны скорее к эквипотенциальным поверхностям, чем к поверхностям равного напора. Однако в процессе математического решения можно применить и Р и Ф, так как они оба удовлетворяют уравнению Лапласа [17; 25]:
д2Ф д2Ф д2Р д2Ф п ^ к, ч
—г + —г _—г + —г _ 0; Ф_—(Р ± pgz), дх2 дг2 дх2 дг2 -л '
откуда
дФ
и _--
дх
к дР •
/и дх
дФ
и
к (дР
и _--
г дг
/и \дг
± Pg
Линия тока
где г принимается за вертикальную координату; ± соответствует положительному или отрицательному направлению г .
Плотность линий тока является мерой полного потока и, следовательно, мерой скорости жидкости [6; 24; 25]. Это легко показать в случае двумерного потока |V • с1Л между двумя линиями тока х,у)_¥2 и
х, у )_^1 может быть приведен к криволинейному интегралу в плоскости ху (рис. 2). Речь идет об интеграле потока между двумя плоскостями, параллельными плоскости ху и удаленными друг от друга на расстояние,
Рис. 2. Интеграл потока в двумерном случае
в плоскости ху.
равное единице; за элемент площади аЛ можно взять узкую полоску, длина которой равна единице, а ширина равна ds , где ds - длина элемента дуги, идущей от к
1 Ее иногда называют функцией тока Лагранжа, так как она была введена Лагранжем, когда он искал решение
дифференциального уравнения линии тока в двумерном потоке.
Направление dA , конечно, перпендикулярно к направлению С? ; а именно: dA = х k , где, само собой разумеется, С? всегда перпендикулярно к k . Интеграл потока равен тогда 2 2 2 2 2 IV ■ СА = | V •(сШ х к ) = |(V х сШ)к = - ууСх) = |d^ = ^2.
11 11 1
Это свойство интеграла потока, например, используется для определения выражения для суммарного расхода Q , поступающего в пласт из источника питания.
Ключевая идея использования трубок тока для моделирования двумерной системы процессов вытеснения состоит в рассмотрении каждой трубки тока как одномерной системы. Хиггинс и Лейтон (1962) показали, что для отображения одномерного решения, полученного для трубок тока, оно должно масштабироваться по объему [6; 10].
Представление каждой трубки тока как одномерной системы автоматически свяжет с ней определенный поровый объем - доли общего порового объема пласта. По определению, трубка тока описывает объемный расход, определяемый по формуле. Таким образом, для каждой трубки тока можно использовать обобщенное представление безразмерного времени:
£
| qdт
г = .о_
г° V у р
(3)
где q - расход через трубку тока, равный разности Д^ = - , где нижние индексы А и В обозначают граничные линии тока; Vр - некоторый произвольный поровый объем, используемый при масштабировании. Если для всех трубок тока значение Д^ одинаковое, то имеем
Q = qNsт,
где Q - общий расход; Мзт - число трубок тока. В этом случае безразмерное время для каждой трубки тока записывается в виде
111
| qdт | qdт | Qdт
г = о_= о_= о
V
V
N V
р ' р
Аналогично к каждой трубке тока может быть привязана безразмерная длина:
\ФА (С) СС
Хп — •
V
(4)
где А - площадь трубки тока как функции координаты С вдоль трубки тока. «Очевидным» выбором для величины Vр является [6; 10]
V. =->р
N
где Vр - общий объем пор системы; NST - число трубок тока. В пределе для однородной системы каждая трубка тока будет иметь безразмерную «длину» хи = 1.
С безразмерными временем (3) и расстоянием (4) можно получить безразмерную скорость
(5)
хи = ¡ФА(С)СС 0 Шр N\фА(С)СС = 0
Vр V г | Qdт V 0 ) г | Qdт 0
Важность уравнения (5) заключается в том, что решения, которые масштабируются через хи1ги , могут легко быть отображены на трубку тока путем разрешения уравнения (5).
Если геометрия трубки тока известна, тогда нахождение как безразмерного расстояния, так и безразмерного времени есть результат вычисления интеграла
^ =
114 К.А. Сидельников, В.Е. Лялин, И.М. Григорьев
2012. Вып. 2 БИОЛОГИЯ. НАУКИ О ЗЕМЛЕ
\фЛ (сК (6)
о
вдоль каждой трубки тока. Первая аппроксимация уравнения (6) может быть найдена, если рассматривать А как разность координаты у двух линий тока (напомним, что ширина сечения вдоль оси г равна единице), определяющих трубку тока при определенном значении х. Поскольку линии тока -это кусочно-линейные функции от х, со значениями, известными для N +1 узлов в направлении оси х, поровый объем как функция от х может быть аппроксимирована следующим образом [6; 10]:
X X Д ф I
\фА, (О^ *\ф(УА - Ув)^ дад2~Е(УА + Уа+! - Ув, - у^ ) , (7)
оо 2 ,=1
где уА и ув - координаты у кусочно-линейных линий тока; I - узел такой, что I < N +1; ф считается постоянной.
Интерпретация уравнения (7) графически показана на рис. 3. В идеале площадь поперечного сечения должна совпадать с изобарой в любой точке, до которой производится интегрирование. С другой стороны, если исходить из того, что ошибка мала, так как течение происходит главным образом вдоль оси х, и результирующие линии равного давления будут «практически» вертикальны. Более того, с увеличением числа трубок тока ошибка уменьшается, поскольку интегрирование, которое бы осуществлялось для одной трубки тока, разделяется между несколькими трубками, которые могут лучше приближать площадь поперечного сечения. Но наиболее важным является то, что ошибка не накапливается. Вместо этого она зависит только от аппроксимации А для интеграла в уравнении (7).
Рис. 3. Простой способ интегрирования Рис. 4. Схематическое представление
вдоль трубки тока для определения суммарного способов интегрирования А и В по [6]
порового объема в точке X по [6]
Хотя ошибки в нахождении порового объема конкретной трубки тока при использовании метода, описанного выше, достаточно малы, тем не менее, при достаточном количестве трубок тока недостатком метода является явное представление фронтов вытеснения вдоль трубки тока в виде вертикальных линий. Это может привести к «рваному» виду фронтов, особенно при строго вертикальном течении.
Метод, который позволяет избежать этого, показан на рис. 4 [6; 10]. Хотя метод В не уменьшает ошибку при интегрировании, он приводит к более гладким очертаниям фронтов вытеснения. Вместо использования одной вертикальной линии для аппроксимации площади поперечного сечения А , опускаются две перпендикулярные линии от центральной линии тока к граничным линиям. Когда перпендикулярная линия не может быть опущена к одной из линий тока, используется вертикальный сегмент, как и в методе А. Хотя это и не уменьшает ошибку, вносимую методом А, фронты выглядят более сглажено. Необходимо отметить, что оба метода не учитывают возможные течения «назад».
Заключительный шаг получения двумерного решения для интересующей области состоит в отображении одномерного решения на каждую трубку тока. Фактически, решение должно быть также отображено обратно на основную обыкновенную прямоугольную сетку для пересчета подвижно-стей в случае нелинейных задач, а также для целей вычерчивания.
Алгоритм, используемый в работе [6], непосредственно базируется на подходе, предложенном Ренардом (1990), и схематично показан на рис. 5. Идея состоит в том, что каждый прямоугольный сеточный блок содержит N х N равномерно распределенных точек внутри него. Каждая точка будет, та-
ким образом, находиться внутри определенной трубки тока и ей можно назначить безразмерную величину порового объема хи. В определенный момент времени ги в этой точке будет величина концентрации/насыщенности, определяемая одномерным решением. Затем можно просто вычислить среднее значение для сеточного блока, зная значения для всех точек внутри него. Ясно, что при «достаточном» количестве трубок тока и точек внутри каждого сеточного блока ошибка будет незначительна [6].
Преимущество от использования трубки тока вместо линии тока как фундаментального объекта, на который отображается одномерное решение, состоит в том, что трубки тока предоставляют визуальную интерпретацию локальной скорости потока, тогда как линии тока - нет. Трассировка линии тока от точки входа до точки выхода не дает информации о том, как быстро частица перемещается вдоль линии тока. С другой стороны, трубка тока позволяет идентифицировать области с быстрым и медленным течением: толстый отрезок трубки тока соответствует медленному течению, тонкий отрезок - быстрому течению. Геометрия трубок тока, таким образом, фиксирует распределение скорости потока, определяемое основным полем проницаемости.
Дополнительное преимущество трубки тока по отношению к линии тока связано с отображением одномерного решения на двумерную декартову систему координат, что важно для обновления общей подвижности при нелинейной фильтрации и построения кривых распределений концентрации/насыщенности.
Результаты моделирования профильных пластовых систем методом трубок тока можно найти в [6; 10; 16].
Узлы, используемые при отображении
Рис. 5. Отображение одномерного решения для трубок тока на обычную основную прямоугольную сетку по [6]
2. Метод линий тока
Геологическая модель
Решение уравнения для давления
Моделирование течения флюидов в пластовых системах на базе МЛТ сегодня принимается как эффективная технология, дополняющая более традиционные подходы к моделированию, например, на базе МКР [3; 13; 14]. Современную популярность МЛТ-моделирования более точно следует трактовать как «возвращение к корням», так как МЛТ по отношению к моделированию подземных течений и переноса флюидов был описан в литературе, начиная со статьи Маскета и Викоффа (1934), и с того времени к методу снова возник интерес. Из многих различных идей и применений за последние 70 лет отчетливо выделились несколько основных ключевых идей (концепций) как основа для сегодняшней внедренной технологии МЛТ-моделирования.
Современное МЛТ-моделирование основы-Рис. 6. Гидродинамическое моделирование вается на 6 ключевых принципах (см. также рис. 6) на базе МЛТ по [26] [1; 3; 14]:
- трассировка трехмерных линий тока и вычисление времени пролета или TOF) для каждой из них;
- преобразование уравнений массопереноса вдоль линий тока в уравнения, содержащие TOF;
- периодическая корректировка линий тока в пространстве;
- аналитическое или численное решение задачи массопереноса вдоль линий тока;
- учет действия силы тяжести за счет оператора расщепления;
- решение с учетом сжимаемости жидкости.
Точка нагнетания
Точка добычи
Время полета определяется как время, требуемое для частицы, чтобы преодолеть расстояние от нагнетающей скважины до добывающей (рис. 7).
Крупным научным достижением в проблеме эффективной трассировки линий тока в трехмерном пространстве была работа Поллока (1988) [1; 3]. Метод Поллока является достаточно простым, аналитическим и формулируется с использованием времени пролета. Для применения метода Полло-ка для любого блока, суммарный расход втекающей и вытекающей жидкости через каждую границу блока вычисляется с использованием уравнения Дарси. С известным значением расхода алгоритм определяет точки выхода линии тока и времени пролета для данной точки входа при условии, что применяется кусочно-линейная аппроксимация поля скоростей в каждом направлении координат.
Уравнения Поллока выводятся при условии ортогональности блоков сетки, но очень мало моделей пластов используют такой полностью прямоугольный каркас. Применяя изопараметрическое преобразование, можно преобразовать сетки с геометрией угловой точки2 (CPG, corner-point geometry grid) в элементарные кубы, использовать метод Поллока и затем обратно преобразовать координаты точки выхода в физическую область (рис. 8). Детали преобразования даются в [27; 28]. Благодаря применению метода Поллока и координатных преобразований, появляется возможность прокладывать линии тока в любой реалистичной сетке, используемой при моделировании пласта.
Наряду с алгоритмом трассировки Пол-лока можно естественным образом преобразовать двумерный метод трубок тока 70- и 80-х гг. в его трехмерное представление. Но отслеживание траектории геометрических объектов в трехмерном пространстве - это сложная и дорогая с точки зрения вычислительных затрат проблема. Более простой и эффективный способ состоит в представлении каждой линии тока в качестве центра трубки, объем которого известен, а границы нет. Таким образом, линии тока с малыми значениями TOF эквивалентны трубкам с малыми объемами, то есть областям быстрого течения. И наоборот, линии тока с большим значением TOF эквивалентны трубкам с большими объемами, то есть областям медленного течения (рис. 9). Новая формулировка задачи массопереноса теперь уже вдоль линии тока, используя параметр TOF, а не вдоль трубки с известным объемом, является одним из ключевых нововведений, которое позволило МЛТ-моделированию достигнуть успехов в решении сложных трехмерных проблем [1-3; 14; 29].
Предположение о неподвижных трубках тока было, вероятно, единственным самым существенным недостатком, препятствующим более широкому распространению технологии в течение 70-х и 80-х гг. Martin и Wegner (1979) и Renard (1990) учитывали изменяющиеся линии тока, но только в середине 90-х ограничение, связанное с неподвижными линиями тока, было существенно ослаблено [1; 6]. Хотя первоначально положения линий тока корректировались в пространстве из-за быстро меняющегося поля подвижности, например в задачах нагнетания смешивающегося газа, позже появилось реальное приложение для задач с изменяющимися режимами работы скважин и влиянием гравитации.
Рис. 7. Линия тока флюида по [15]
h
fj JФ
4
fj J Ф
Рис. 8. Непрямоугольный блок может быть преобразован, с помощью изопараметрического преобразования по [28]. Метод Поллока может затем быть применен к результирующему блоку
2 Сетка, где координаты каждой ячейки задаются посредством задания координат ее восьми угловых точек.
Идея состояла в том, чтобы рассматривать задачу как последовательность устойчивых состояний, считая каждое скорректированное поле линий тока действительным только в фиксированном временном интервале перед его обновлением. Оказалось, что метод неплохо работает для изменяющейся подвижности вследствие нелинейности задачи, но аналитические, автомодельные, гиперболические решения не позволяли моделировать систему с переменными режимами работы скважин и гравитацией, так как это не удовлетворяло бы условию постоянства начальных условий для каждой линии тока, продиктованных аналитическими решениями [6]. Для преодоления этой проблемы требовалось иметь возможность решать транспортную задачу с обобщенными начальными условиями для каждой линии тока [1]. Геометрия линий тока могла бы затем как угодно меняться, при условии, что флюиды будут перемещаться в правильном направлении. Это можно обеспечить за счет того, что начальное положение линии тока получено на основе ее положения в конце предыдущего временного шага(рис. 10).
Численное одномерное решение для линии тока было впервые предложено Воттег и Schechter (1979) для решения задачи выщелачивания урана. Интересно то, что в их случае линии тока считались неподвижными, и численное решение было получено в связи с отсутствием аналитического решения интересующей их задачи. Batycky (1997) [1] объединил изменяющиеся трехмерные линии тока с общим, одномерным, численным решением в пространстве TOF. Это слияние идей способствовало использованию МЛТ-моделирования в случае реального месторождения, где линии тока могли бы изменяться не только из-за различий в подвижностях, но вследствие меняющихся режимов работы скважин. С каждым новым набором линий тока правильные начальные условия могли бы быть отражены на линии (т.е. существующие условия в конце предыдущего временного шага) и численно продвинуты во времени. Это позволило правильно перемещать флюиды в трехмерном пространстве, несмотря на значительные изменения в геометрии линий тока в связи с непостоянными граничными условиями как в случае с полным остановом скважин, так и с появлением новых. Использование одномерных численных решений также сделало возможным учитывать любое одномерное решение для линий тока, включая сложную многокомпонентную фильтрацию или вытеснение с учетом движения примесей [4].
Труоил 1ФКЛ
Линия тока
Рис. 9. Заполнение трубки тока заданного объема эквивалентно движению вдоль центральной линии трубки с заданным временем пролета по [3]
Рис. 10. Изменение форм линий тока из-за смены режимов работы скважин по [3]: Рп - добывающая скважина с номером п; 1п - нагнетающая скважина с номером п
Полезность и уникальность МЛТ-моделирования обычно рассматривается в контексте следующих основных вопросов, возникающих при моделировании пласта [3; 14; 15]:
- усреднение сетки;
- определение коэффициента вытеснения при заводнении;
- скорость вычислений;
- адаптация модели по истории разработки месторождения;
- оптимизация промысловых работ.
МЛТ-моделирование особенно эффективно при расчете больших геологически сложных и неоднородных систем, где поток жидкости определяется ориентацией скважины и темпом добычи, пет-рофизическими свойствами пласта (проницаемость, пористость и распределение трещин), подвижностью жидкости (коэффициент фазовой проницаемости и вязкости) и ее плотностью. С другой стороны, влияние капиллярного давления, упругие режимы плохо моделируются МЛТ [3].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Batycky R.P. A three-dimensional two-phase field scale streamline simulator. Ph.D. Thesis, Stanford University, 1997.
2. Batycky R.P., Thiele, M.R. Blunt M.J. A streamline simulator to model field scale three-dimensional flow // 5th European Conference on the Mathematics of Oil Recovery, 3-6 September 1996. - Leoben, Austria.
3. Thiele M.R. Streamline simulation // 6th International Forum on Reservoir Simulation, 3-7 September 2001. Schloss Fuschl, Austria.
4. Thiele M.R., Batycky R.P. and Thomas L.K. Miscible WAG simulations using streamlines // 8th European Conference on the Mathematics of Oil Recovery, 3-6 September 2002. Freiberg, Germany.
5. Thiele M.R., Batycky R.P., Blunt M.J. A streamline-based 3D filed scale compositional reservoir simulator // SPE Reservoir Engineering, Oct. 5-8 1997. San Antonio, Texas, U.S.A.
6. Thiele M.R. Modeling multiphase flow in heterogeneous media using streamtubes. Ph.D. Thesis. Stanford University, 1994.
7. Азиз Х., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем: пер. с англ. / под ред. М.М. Максимова. Москва; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. 416 с. Репринтное издание. Оригинальное издание: М.: Недра, 1982 г.
8. Каневская Р.Д. Математическое моделирование гидродинамических процессов разработки месторождений углеводородов. Москва; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 128 с.
9. Abou-Kassem, J.H., Farouq Ali, S.M. and M.R. Islam, Petroleum reservoir simulation: a basic approach, Gulf, Houston, 2006.
10. Лялин В.Е., Сидельников К.А. Современные модели линий и трубок тока для описания многофазной фильтрации в неоднородном пласте // Изв. ТулГУ. Сер.: Математика. Механика. Информатика. Т. 11, вып. 4. Информатика. Тула: Изд-во ТулГУ, 2005. С. 126-146.
11. Сидельников К.А., Денисов С.В. Гидродинамическое моделирование неоднородных площадных пластов-коллекторов с множеством скважин на основе метода линий тока // Актуальные проблемы современной науки: тр. 4-го междунар. форума (9-й международной конференции молодых ученых и студентов). Естественные науки. Ч. 1-3. Математика. Математическое моделирование. Механика. Самара: Изд-во СамГТУ, 2008. С. 134-145.
12. Сидельников К.А. Применение метода линий тока для гидродинамического моделирования площадных пластовых систем // Информационные технологии в науке, социологии, экономике и бизнесе: материалы 33-й междунар. конф. Украина, Крым, Ялта-Гурзуф: Приложение к журналу «Открытое образование», 2006. С. 190-192.
13. Baker R., Streamline Technology: Reservoir History Matching and Forecasting = Its Success, Limitations, and Future // Journal of Canadian Petroleum Technology, 2001. Vol. 40, №4. P. 23-27.
14. Сидельников К.А., Васильев В.В. Анализ современных способов увеличения эффективности моделирования нефтяных месторождений Надежность и качество. Труды международного симпозиума / под ред. Н.К. Юркова. Пенза: Изд-во Пензен. гос. ун-та, 2005. C. 227-230.
15. Ates H. Use of streamline simulations for integrated reservoir modeling. Ph.D. Thesis. The University of Tulsa, 2005.
16. Сидельников К.А., Лялин В.Е. Моделирование двумерной двухфазной фильтрации методом трубок тока // Надежность и качество: тр. междунар. симпозиума: в 2 т. / под ред. Н.К. Юркова. Пенза: Изд-во Пензен. гос. ун-та, 2006. Т. 1. C. 267-271.
17. Лялин В.Е., Сидельников К.А. Концепции математического моделирования пластовых систем на базе метода линий тока // Электронный научный журнал «Нефтегазовое дело», 2005. URL: http://www.ogbus.ru/ /authors/ Sidelnikov/Sidelnikov_1.pdf. 16 с.
18. Chung T.J. Computational fluid dynamics. CUP. Cambridge, 2002.
19. Ferziger J.H., and Peric M. Computational Methods for fluid dynamics, 3rd, rev ed. Springer, Berlin, 2002.
20. Роуч П. Вычислительная гидродинамика: пер. с англ. / под ред. П.И.Чушкина. М.: Мир, 1980. 616 с.
21. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1971. 553 с.
22. Wesseling P. Principles of computational fluid dynamics. Springer, Berlin, 2001.
23. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для втузов: учебник для вузов.
4-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1966. 736 с.
24. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики: пер с англ. / под ред. С.П. Аллилуева и др. М.: Изд-во иностр. лит., 1958. Т. 1. 933 с.
25. Маскет М. Течение однородных жидкостей в пористой среде: пер. с англ. М.А. Геймана. Москва; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004. 628 с. Репринтное издание. Оригинальное издание: М.; Л.: Гостоптехиздат, 1949.
26. Stuben K., Delaney P., Chmakov S. Algebraic Multigrid (AMG) for Ground Water Flow and Oil Reservoir Simulation. URL: www.scai.fraun-hofer.de/fileadmin/download/samg/Paper_Modflow.pdf.
27. Castellini A. Flow based grids for reservoir simulation: M.S. Thesis/ Stanford university, 2001.
28. Prevost M. The streamline method for unstructured grid: M.S. Thesis, Stanford University, 2000.
29. Batycky R.P., Thiele M.R., Blunt M.J. A streamline-based reservoir simulation of the House Mountain waterflood // SCRF. 1997. Stanford University-SUPRIC Research Group.
Поступила в редакцию 02.05.12
K.A. Sidelnikov, V.E. Lyalin, I.M. Grygoryev
Simulation based on methods of tubelines and streamlines
Methods of tubelines and streamlines described in the article are intended to directly improve the efficiency of the computer modeling of oil fields. Methods of tubelines and streamlines allow to decomposite the complex three-dimensional
simulation into simpler one-dimensional problems.
Keywords: tubelines, streamlines, MLT, MLT-simulation for fluids.
Сидельников Константин Анатольевич, кандидат технических наук E-mail: sidelkin@yandex.ru
Лялин Вадим Евгеньевич, доктор технических наук, доктор экономических наук, профессор E-mail: velyalin@mail.ru
Григорьев Иван Михайлович, аспирант E-mail: grigivan@gmail.com
ФГБОУ ВПО «Ижевский государственный технический
университет им. М.Т. Калашникова»
426069, Россия, г. Ижевск, ул. Студенческая, 7
Sidelnikov K.A. Ph.D. E-mail: sidelkin@yandex.ru
Lyalin V.E., doctor of technical sciences, doctor of economics, professor E-mail: velyalin@mail.ru
Grigoriev I.M., postgraduate student E-mail: grigivan@gmail.com
Izhevsk State Technical University 426069, Russia, Izhevsk, Studencheskaya st., 7
