Метод линии тока и связанные с ним математические модели Текст научной статьи по специальности «Математика»

опорных точек, чтобы избежать пологости при построении таблиц относительной проницаемости.

проницаемости, модуль, отвечающий за интерполяцию, может привести к ошибкам в определении режима потока. После увеличения числа этих точек, данные ошибки были минимизированы.

* M_Zone1_Nc=2E-7 □ UM_Zone1_Nc=2&7

- M_Zonel_Nc=2&7 □ UM Zonal NC-2E-7

Г: Г: - Г: а .'I 1-. |'! Я I и

Рисунок 9 - Сравнение результатов двумерного тестирования исходной и модифицированной версий при низком расходе

Заключение. Сделанные модификации некоторых основных модулей МЛТ-симулятора непосредственно влияют на процесс изменения насыщенности и отбора. Чтобы убедиться в том, что результаты, полученные исходным кодом, могут быть воспроизведены, была проведена тщательная верификация. Результаты как одномерных, так и двумерных испытаний, сравнивались с теми, которые давал исходный симулятор, и обнаружилось, что эти результаты совпали. В данной работе также выявлен недочет в исходном симуляторе.

При малом количестве опорных точек, которые необходимы для построения таблицы относительной

Рисунок 10 - Улучшения в результатах при увеличении количества опорных точек для кривых функции движения отдельных фаз

При обычном способе моделирования для каждого типа породы используется один набор функций от насыщенности. Однако с помощью предлагаемых модификаций МЛТ-симулятор может оперировать множеством функций от насыщенности применительно к одному типу породы. В рамках методики модель пласта делится на различные зоны, и каждой из них назначаются соответствующие кривые относительной проницаемости в зависимости от локального значения капиллярного числа.

ЛИТЕРАТУРА

1. Аттетков А.В., Галкин С.В., Зарубин В.С. Методы оптимизации. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2003. - 440с. (8)

2. Бард Й. Нелинейное оценивание параметров. - М.: Статистика, 1979. - 349 с.

3. Аверкин А.Н. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта. - М.: Наука, 1986. - 312с.

4. Васильев А.В., Лялин В.Е. Анализ применения трехмерных геолого-гидродинамических моделей нефтяных месторождений // Надежность и качество. Труды международного симпозиума / Под ред. Н.К. Юркова. - Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2005. - C. 201-204.

5. Сидельников К.А., Лялин В.Е. Моделирование двумерной двухфазной фильтрации методом трубок тока // Надежность и качество. Труды международного симпозиума: В 2-х томах / Под ред. Н.К. Юркова. - Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2006. - Т. 1. - C. 267-271.

УДК 532 + 622.276.1/4(73) Денисов1 С.В., Лялин2 В.Е.

1ФГБОУ ВО «Уфимский государственный нефтяной технический университет», Уфа, Россия

2ФГБОУ ВО Ижевский Государственный Технический Университет им. М.Т. Калашникова, Ижевск, Россия МЕТОД ЛИНИИ ТОКА И СВЯЗАННЫЕ С НИМ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Математическое моделирование многофазной многокомпонентной фильтрации является, по существу, все еще открытым вопросом. Фактически, движение смеси флюидов, состоящих из различного числа компонент, представляет собой сложную с точки зрения физики задачу, поскольку необходимо учитывать различные процессы на разных масштабах одновременно. В микроскопическом масштабе преобладают капиллярные силы, тогда как силы трения (вязкость) и тяжести обычно учитываются при крупномасштабном описании. Однако помимо этого необходимо учитывать массообмен между фазами, существенно проявляющий себя при явлениях, характерных в технологиях добычи нефти путем закачки газа при высоком давлении или поверхностно-активных веществ. Ценность аналитического решения уравнений многофазной многокомпонентной фильтрации заключается в следующем: быстрая интерпретация лабораторных экспериментов; выявление структуры решения, способной определить более эффективные методы добычи флюидов в подповерхностном слое; строительный блок для определенных численных методов; моделирование на базе метода линий/трубок тока; совершенствование моделей относительных проницаемостей; сравнительный анализ численных методов, когда аналитическое решение выступает в роли эталонного.

Ключевые слова:

МЕТОД ЛИНИЙ ТОКА, ПАРАМЕТР ВРЕМЕНИ ПРОЛЕТА, ЗАКОН ДАРСИ

Введение. Помимо традиционного подхода к моделированию движения жидкости (в том числе внутри пласта), основанного на методах конечных разностях (МКР), существует метод линий тока (МЛТ) [1; 2].

Традиционное моделирование состоит из двух частей: прогноз изменения давления и решение транспортной задачи (изменение насыщенности). Наиболее полное и разностороннее исследование математического моделирования пластовых систем на базе МКР можно найти в работах [1; 3; 4]. В

МКР-симуляторах сначала определяется поле давлений, а затем моделируется течение флюидов, основанное на полученном распределении давления (метод 1МРЕБ). При этом флюиды перемещаются от блока к блоку.

Ввиду того, что транспортная задача обладает сильной нелинейностью, МКР может быть очень чувствителен к выбору размера сеточного блока и его ориентации в пространстве. Как результат этой нелинейности, требования к временному шагу также существенны.

При МЛТ-моделировании давление определяется на основной сетке так же, как и в МКР. Далее, описываются линии/трубки тока в предположении их ортогональности к линиям постоянного давления. Таким образом, создается «естественная» транспортная сеть и флюиды перемещаются вдоль линии тока, описывая продвижение нефти/воды/газа в пласте. Линии тока имеют присущее только им преимущество: флюид движется в направлении градиента давления вдоль линий тока, а не между блоками. В связи с этим МЛТ-моделированию могут быть свойственны большая устойчивость и временной шаг, а также меньшая зависимость от размера и ориентации сеточного блока.

Вычислительные преимущества метода линий тока может быть приписано следующим четырем основным причинам.

1. Линии тока требуют нечастого обновления.

2. Уравнение массопереноса жидкости вдоль линии потока может быть решено аналитически.

3. Одномерное численное решение относительно линии тока не ограничивается основными критериями устойчивости конечно-разностной аппроксимации, что позволяет увеличить шаг времени.

4. Для условий вытеснения флюида определяемой средней степенью неоднородности пласта, время центрального процессора изменяется почти линейно с ростом числа блоков сетки, делая моделирование с использованием МЛТ привлекательным методом для геологического моделирования.

Остальные преимущества данного метода не так очевидны из-за получаемых в результате численных

Л

¡+1/2, 3, к

хг+1/2,3, к

(р+1,3, к Рг,3, к

^ хг+1/2,3, к

методов различных артефактов, например, численная дисперсия и эффект ориентации сетки, поскольку сеть линий тока, используемая при решении уравнений переноса жидкости, в действительности отделяется от основной статической сетки.

1. Метод линий тока и связанные с ним модели

Последовательность основных действий при моделировании на базе МЛТ в данном случае сводится к следующему [1-5]:

1) решение ДУЧП для давления в новый момент

.п+1

времени I с учетом заданных на основной сетке граничных условий и поля подвижности, рассчитанного на предыдущем шаге по времени 1п (1МРЕБ-метод);

2) определение поля общих скоростей на основе закона Дарси;

3) трассировка линий тока;

4) решение одномерной транспортной задачи вдоль каждой линии тока;

5) отображение одномерных решений обратно на основную сетку.

Решение одномерной транспортной задачи вдоль каждой линии тока возможно аналитическим или численным способами. Описание основных ключевых идей, положенных в основу МЛТ, приводятся ниже.

1.1. Определение поля общих скоростей

Как только распределение давления было найдено, для трассировки линий тока определяется поле общих скоростей. Закон Дарси позволяет определить общую скорость фильтрации на границе блока в случае двухфазной фильтрации как

Л

где Т , , Ог ,

хг+1/2,3, к х+1/2,3, к

направлении оси х ,

х1,3, к

Л

(А+1,3, к - А,3, к)

ТЖГ,

х1+12,3, к

"1,3, к

проводимости в

Лх

Р

С1+1,3, к

-Р

С1+1,3, к )

"1,3, к

х+1/2,3, к

обусловленные перепадом да

ги \

(1)

(5)

(р+1,3, к р,3, к )

(конвективный массопере-

нос), разностью глубин

(А+1,3, к - А,3, к)

(влияние

силы тяжести) и разностью капиллярных давлений (влияние сил поверхностного натя-

(Р

-Р.

,к)

с7+1,3, к С7+1,3

жения) между блоками основной сетки с индексами (г +1,3, к) и (г, 3, к) соответственно.

Для определения вектора скорости на грани сеточного блока, окончательный шаг требует преобразования скорости фильтрации в поровую скорость =й%!ф . Поровая скорость определяется на грани

сеточного блока в направлении нормальном к ней. 1.2. Трассировка линий тока

Трассировка линий тока может происходить с использованием простейшего метода Эйлера или более точного метода Рунге-Кутта. Однако в данной работе используется алгоритм Поллока, который является достаточно простым и консервативным методом трассировки [1].

Предполагая, что скорости изменяются линейно

В случае если внутри сеточного блока существует разделения потока (рис. 1б), необходимо

знаком vv , т.е. линия тока не должна пересечь

хои

линию раздела внутри блока, которая определяется как

-Ах .

вдоль осей х пребывания А (см. рис. 1а):

V, = V,

АЛ

1 У

частицы

по можно

внутри ^),

. - V,,

вычислить сеточного

Ах

г ах 1 , \ — = — 1п

Аналогично вычисляется время Окончательно, время

АЛ,

время блока

(2)

(3)

(4)

пребывания

ха ■

Линий, разделяющих потоки, в двумерном случае может быть две в одном блоке (см. рис. 1в). Граничные блоки с одной или двумя непроницаемыми для потока поверхностями (рис. 1г) можно считать частными случаями блоков, содержащих линию раздела потоков, т.к. для нее характерна нулевая скорость вдоль оси х или у . Подобные линии раздела представляют определенные вычислительные трудности. Может возникнуть ситуация, когда точка входа линии тока совпадет с точкой пересечения разделительной линии и грани блока. В этом случае трассировка будет продолжаться вдоль этой линии раздела, которая в некоторых сеточных блоках может пересекаться с другими линиями раздела или границей области. В результате этого может возникнуть ситуация, когда А =и

Му = +со .

Хотя это не является «ошибкой» алго-

ритма, однако требуются специальные меры учета подобных явлений.

1.3. Параметр времени пролета (ТОЕ) Время пролета (ТОЕ) определяется как время, требуемое для частицы преодолеть расстояние от точки нагнетания до точки отбора. Время пролета частицы через сеточный блок может быть вычислено как

Ат = тт (А^, Му ) ,

^ & ¿х ¿у ¿2

(6)

используя которое можно опре-

делить координаты точки выхода частицы. мер,

Напри-

направлении х

это компоненты скорости и 2 соответственно.

и

ш, Ат

е х - V

х

х

ления

специально проверять, чтобы знак V совпадал со

V

w

Шх =

V

V

V

х

У

2

V

где

V

и

V

в

У

х

2

Ä

а)

б)

out

в)

P ■ •

ut

и r

inf Г

v

s

v

n rr

1

P

V = 0

in!

г)

Г in

Рисунок 1 - Трассировка линии тока

Математически, время пролета определяется как 1; 4]

(7)

где £ - координата вдоль линии тока. Вышеприведенный интеграл можно вычислить как сумму nblk

г = ^Аг,. , (8)

i =1

где Аг. - вычисленное приращение времени пролета через каждый i -й сеточный блок; нш - общее количество блоков, через которые проходит линия тока.

1.4. Преобразование координат для линий тока

Blunt и др. вывели следующее координатное преобразование путем видоизменения уравнения (6) [1]:

дт ф ds 1г7,1

(9)

которое может быть переписано в виде

н(— = игЧ = ф—. (10)

дs дт

Рассмотрим скалярное уравнение конвективного массопереноса без членов отбора:

а?,.

= 0.

(11)

Тогда объединяя уравнения (9) и (10), получим

as,. df,

= о.

j

(12)

всех граней или меняться от грани к грани. Число проводимых линий тока пропорционально расходу вытекающей из блока жидкости, так что больше линий тока для нагнетающих скважин с высоким во-донапором и меньше - для скважин с малым напором. Таким образом, больше линий тока проводятся в областях с высокой скоростью течения и меньше -для областей с низкой скоростью течения.

Расход через каждую грань нагнетающего блока распределен по всей площади грани равномерно, в соответствии с основным полем скоростей. Поскольку расход равномерен, линии тока распределяются по каждой грани также равномерным образом.

Число линий тока, которые начинаются на грани нагнетающего блока, может быть постоянным для всех скважин, может меняться от скважины к скважине в зависимости от расхода О закачиваемого

флюида, а также может варьироваться в соответствии с расходом ^асе через каждую грань нагнетающего блока. В настоящей работе использовался последний способ. Сначала определялось число испускаемых линий тока для каждой скважины

= N ,

где ^. - суммарный расход от всех нагнетающих

(13)

скважин; N.

sl

общее число линий тока, задавае-

мое пользователем. Линии тока распределялись равномерно по всем граням нагнетающего блока, однако их число для разных граней определялось как

fce = П

well

qface/öw

(14)

ГДе fce х°Д°м öwlnj линии тока

расход через грань блока с общим рас. Затем определялся расход для каждой

= %аое/ пйасе • (15)

Данный подход, с одной стороны, наглядно показывает области с высокой скоростью фильтрации за счет большего числа линий тока проходящих через эту область, с другой стороны позволяет более точно определить долю индикатора для таких областей, которые, как правило, представляют больший интерес для инженеров-нефтяников.

1.6. Отображения одномерных решений на основную сетку

При аналитическом отображении решение транспортной задачи может быть получено как функция

от ^ = т// . Поэтому среднее значение S■ ном блоке можно представить как [1]

в сеточ-

dt дт

Уравнение (11) - это основное одномерное транспортное уравнение, решаемое аналитически или численно вдоль каждой линии тока. Оно не учитывает влияния массовых и капиллярных сил, поэтому для их учета применяются дополнительные техники (например, оператор расщепления [4; 68]). Кроме того, это уравнение применимо для линий тока, вдоль которых отсутствуют источники или стоки. Это справедливо при условии, что такие члены отбора есть скважины, причем все линии тока начинаются в нагнетательных скважинах и заканчиваются в добывающих скважинах. Однако в случае фильтрации сжимаемой жидкости подобного утверждать нельзя, т.к. любой блок может выступать в роли источника или стока.

1.5. Система с множеством скважин

Линии тока проводятся из определенного числа нагнетающих блоков в добывающие блоки. Траектории линий тока начинаются не в центре нагнетающего блока, т.к. вектор скорости не может быть аппроксимирован кусочно-линейным способом внутри блока содержащего точечный источник [1]. Поэтому линии тока начинаются на границе каждого сеточного блока, содержащего нагнетающую скважину.

Число линий тока, которые начинаются на грани нагнетающего блока, может быть постоянным для

1=1 / 1=1

(16)

где среднее время пролета _ т + т

данный сеточный блок; Дт. -

(17)

, проходящих через приращение времени

пролета для I-й линии тока.

Аналогично вычисляется средняя общая подвижность для сеточного блока

81 / 81 _ ПЬ _ I Пф

\ъ =ЕАт< А (т)|,/ ЕАт (18)

1=1 / 1=1

и среднее время пролета для сеточного блока 81 / 81 _ _ ГФ

твь=ЕАтт7 ЕАт- • (19)

1=1 / 1=1

В случае численного отображения определение ^ для сеточного блока может происходить по той же методике средневзвешенного усреднения (15),

v

n

n

P

vv

e w

v

e

v

n

v

vv

ew

w

2

3l

n - количество линий тока

где в качестве веса выступает время пролета. Однако, поскольку мы не можем определить S. (7) ,

вместо формулы (17) средняя по блоку общая подвижность флюида вычисляется как

А ), (20)

j=i

где S,- - средняя насыщенность j -й фазой в Jgb

блоке.

Расход, связанный с каждой линией тока, используется для определения функции доли фаз в общем потоке добывающей скважины, вычисляемой как

^arrive / ^arrive

/ = 2 ^i/w 2 ч , (21)

i=i / i=i

где / представляет собой долю фазы в общем потоке i-й линии тока входящей в добывающую скважину; - число линий тока входящих в

добывающий блок. Знаменатель в уравнении (20) есть общий расход флюида, определяемого по числу входящих линий тока. Для каждой добывающей скважины, значение этого общего расхода может быть сравнено с истинным значением, полученного из решения уравнения для давления. Заключение

МЛТ дает прямое и точное решение проблемы качественной оценки эффективности схемы размещения скважин. Линии тока естественным образом позволяют определять распределение потоков между скважинами за счет суммирования объемных расходов через все линии тока, связанные с конкретной

скважиной, парой скважин или группой скважин, что позволяет лучше сбалансировать существующую систему разбуренных скважин. Моделирование течений жидкостей в пластовых системах на базе МЛТ является одним из современных подходов непосредственного улучшения эффективности компьютерного моделирования месторождений. При таком решении остается возможность использования стандартных компьютерных средств, но с получением достаточно точных прогнозов. Преимущество МЛТ состоит в том, что ограничения на устойчивость основной сетки эффективно устраняются из решений полученных для каждой линии. Таким образом, может быть взят достаточно большой временной шаг при использовании этого метода. Кроме того, для неоднородных систем поле распределения давления слабо зависит от свойств жидкости. Это значит, что величина давления требует нечастой корректировки на протяжении процесса вытеснения для точного учета нели-нейностей в распределении давления. Возможность брать достаточно большой временной шаг и только периодической корректировки линий тока основная причина, почему метод линий тока на порядок быстрее более традиционных методов. Из-за сеточных ограничений, в обычных методах берется малое приращение времени, что приводит к множественному пересчету распределений давления и насыщенности -процесс с большими вычислительными затратами. Достоинством применения линий тока вместо трубок тока состоит в том, что линии удобнее представлять в трехмерном пространстве и значение ТОЕ вычисляется гораздо проще, чем объем трубки тока. При этом нет необходимости в отслеживание траектории сложных геометрических объектов в трехмерном пространстве.

ЛИТЕРАТУРА

1. Итенберг С.С. Интерпретация результатов геофизических исследований разрезов скважин. - М.: «Недра», 1972. - 312 с.

2. Денисов С.В., Ларюхин А.И. Нечеткие системы и генетические алгоритмы для математического моделирования техпроцессов подготовки природного газа // Вестник Московской академии рынка труда и информационных технологий. Серия «Прикладная информатика». - Москва: Изд-во МАРТИТ, 2006. - № 22 (44). - С. 36-43.

3. Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления: Пер. с нем. и англ. - Т. 1-2. -М.: «Наука», Гл. ред. физ.-мат. лит., 1970.

4. Ларюхин А.И., Денисов С.В. Предобработка исходных данных для многослойной нейронной сети при интерпретации геофизических исследований скважин // Многопроцессорные вычислительные и управляющие системы. Материалы междунар. науч.-техн. конф. - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2007. - Т. 2. - С. 8084.

5. Гильфанов М.А., Ершов С.Е., Кучергов Г.Г., Назаров А.В., Щукин А.Н. Математическое моделирование процесса исследования скважин на стационарных и нестационарных режимах. - М.: ИРЦ Газпром, 2003 - 60 с.

6. Карнаухов М.Л., Пьянкова Е.М. Современные методы гидродинамических исследований скважин. Справочник инженера по исследованию скважин. - Вологда: Инфра-Инженерия, 2010. - 432 с.

7. Васильев А.В., Лялин В.Е. Анализ применения трехмерных геолого-гидродинамических моделей нефтяных месторождений // Надежность и качество. Труды международного симпозиума / Под ред. Н.К. Юркова. - Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2005. - С. 201-204.

8. Сидельников К.А., Лялин В.Е. Моделирование двумерной двухфазной фильтрации методом трубок тока // Надежность и качество. Труды международного симпозиума: В 2-х томах / Под ред. Н.К. Юркова. - Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2006. - Т. 1. - С. 267-271.

УДК 532 + 622.276.1/4(73) Денисов1 С.В., Лялин2 В.Е. ,

1ФГБОУ ВО «Уфимский государственный нефтяной технический университет», Уфа, Россия

2ФГБОУ ВО Ижевский Государственный Технический Университет им. М.Т. Калашникова, Ижевск, Россия

ЧИСЛЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ВЛИЯНИЯ КАПИЛЛЯРНОГО ЧИСЛА

Традиционно полагается, что зоны с большим капиллярным числом имеют тенденцию существовать вблизи скважин и что их воздействие на добычу минимально. Для однородной среды, эта гипотеза имеет право на существование, но по-настоящему однородные коллекторы встречаются очень редко. Однако в определенной части коллектора могут наблюдаться высокие скорости флюидов вследствие возникновения каналов, обусловливаемых неоднородностью пласта. Этим высокоскоростным каналам соответствуют достаточно большие капиллярные числа, чтобы они могли оказывать влияние на значения в конечных точках и кривизну функций от насыщенности. Таким образом, очень важно, с практической точки зрения, назначить соответствующие функции от насыщенности этим областям с высокими скоростями флюидов. Более того, когда эти области являются динамическими, традиционные симуляторы обычно требуют прерывания процесса моделирования для того, чтобы перезапустить файлы для обновления областей пород. Однако этот процесс становится существенно затратным, когда происходит очень большое число изменений в структуре модели и/или расходах флюидов.

Ключевые слова:

КАПИЛЛЯРНОЕ ЧИСЛО, НАСЫЩЕННОСТЬ, КРИВЫЕ ОТБОРА И ОБВОДНЕННОСТИ

Введение. Явления, связанные с капиллярным дения [1-8]. Результаты представлены для чет-числом, исследовались моделированием месторож- верти пятиточечного шаблона заводнения однород-