Тождества типа Титчмарша для обобщенных операторов Харди и Харди-Литтлвуда Текст научной статьи по специальности «Математика»

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2013. Т. 13. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1, ч. 2

Ф0(z) = Ф0 (z)} соответственно, где ф- (z) = z^- (z), Ф±(z) =

<*ф± (z) dz

Ф0 (z) = zФ- (z).

При этом обобщенная задача Римана (17) не зависит от Ф± (г), а в свободный член Q0 (£) краевого условия обобщенной задачи Римана (10) входят граничные значения функций (г).

3. ИССЛЕДОВАНИЕ КАРТИНЫ РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ ОБ12

Обозначим через I число линейно независимых (над полем С) решений соответствующей однородной задачи ОБ0 2, а через р — число условий разрешимости неоднородной задачи ОБ12. Также пусть ро (р1) — число условий разрешимости неоднородной задачи (10) (неоднородной задачи (17)), а через 10 (/1) — число линейно независимых решений соответствующей однородной задачи (10) (однородной задачи (17)).

Хорошо известно (см., например, [1, 4]), что обобщенные скалярные задачи типа Римана (10) и (17) с фредгольмовыми ядрами являются нетеровыми, т. е. они нормально разрешимы (по Хаусдорфу), и числа 1к, Рк (к = 0, 1) являются конечными.

Но согласно теореме 2.1 необходимые условия разрешимости задачи ОБ12 являются и достаточными (т. е. она нормально разрешима), а в силу формул (21) будем иметь: I = 10 + 11 и р = р0 + р1, т. е. I и р — конечные числа. Значит, задача ОБ12 также является нетеровой.

Библиографический список

1. Расулов К. М. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторые их приложения. Смоленск : СГПУ, 1998. 343 с. [Rasulov K. M. The Boundary Problems for Polyanalytic Functions and Some of Their Applications. Smolensk : SGPU, 1998. 343 p.]

2. Васильев Я. А. О решении обобщенной краевой задачи типа Римана для бианалических функций в круге // Современные проблемы науки. Смоленск : Принт-Экспресс, 2011. С. 26-32. [Vasiliev Y. A. About Solution the Generalized Boundary Problem of Riemann Type for

Bianalytic Functions in the Unit Disc. Smolensk : PrintExpress, 2011. P. 26-32.]

3. Васильев Я. А., Расулов К.М. Первая обобщенная краевая задача типа Римана для бианалических функций в круге // Изв. Смоленск. гос. ун-та. 2011. № 2. С. 119-129. [Vasiliev Y. A., Rasulov K. M. The Generalized Boundary Value Problem of Riemann Type for Bianalytic Functions in the Unit Disc // Izv. Smolensk. Gos. Un-ta. 2011. № 2. P. 119-129.]

4. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М. : Наука, 1977. 640 с. [Gahov F. D. The Boundary Problems. Moscow : Nauka, 1977. 640 p.]

УДК 517.51

ТОЖДЕСТВА ТИПА ТИТЧМАРША

ДЛЯ ОБОБЩЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ ХАРДИ

И ХАРДИ-ЛИТТЛВУДА

С. С. Волосивец

Саратовский государственный университет E-mail: [email protected]

В работе доказывается теорема типа Титчмарша о преобразованиях Фурье обобщенных операторов Харди и Харди-Литтлвуда, зависящих от параметра а е (1/2,1].

Ключевые слова: оператор Харди, оператор Харди-Литтлвуда, теорема Титчмарша.

Identities of Titchmarsh Type for Generalized Hardy and Hardy-Littlewood Operators

S. S. Volosivets

A Titchmarsh-type theorem on Fourier transforms of Hardy and Hardy-Littlewood operators depending on parameter a e (1/2,1] is proved.

Key words: Hardy operator, Hardy-Littlewood operator, Titchmarsh theorem.

ВВЕДЕНИЕ

В теории функций хорошо известны операторы Харди:

H(f)(x)= f(t)/tdt, x> 0,

(1)

и Харди-Литтлвуда:

B(f )(x) = x~4 f (t) dt,

0

x > 0.

(2)

oo

x

© Волосивец С. С2013

Первый из них ограничен в пространстве Ьр(К+), 1 < р < ж, а второй — в Ьр(К+), 1 < р < ж (см. [1, теоремы 327 и 328]). В [2, гл. 2, §6] даны критерии ограниченности этих операторов в симметричных пространствах. Пусть / е Ь2(К+), ^с(/)(1) = (Ь2) — Нш Гпа /(х)собхЫх. Тогда, как

а^те 0

показал Е.Титчмарш [3, гл. 3, теорема 69], справедливы равенства

в(ед))(*) = ^ (н(/))(*); (/))(*) = ад/))(*). (3)

п. в. на К+. Б. И. Голубов [4] доказал первое из равенств (0.3) для / е Ьр(К+), 1 < р < 2, а второе — для / е Ьр(К+), 1 < р < 2. F. Moricz [5] уточнил доказательства из [4] и доказал аналоги (3) для обычного преобразования Фурье и функций, определенных на К. В нашей работе вводятся аналоги операторов (1) и (2):

г- те

На(/)(х) = ха-1 / Га/(1) х> 0, а е (0,1], (4)

J х

Ва(/)(х) = х-а / 1а-1/(1) х> 0, а е (0,1]. (5)

Jo

Они являются сопряженными друг к другу, На действует в Ьр (К+) при 1 < р< 1/(1 — а) (для а = 1 полагаем 1/(1 — а) = ж), а Ва действует в Ьр(К+) при р > 1/а (см. лемму 2). Их можно определять для функций, заданных на К, при х < 0 формулами

/х л 0

|Г°7 (*) Ва (/)(х) = |х|-М |^|а-1/(1) ¿1. (6)

-те ^ х

При таком определении из четности / следует четность На (/) и Ва(/), из нечетности / следует нечетность На(/) и Ва(/).

Целью данной работы является доказательство аналогов равенств (3) для операторов (4) и (5) в случае 1/2 < а < 1. В теоремах 1 и 2, соответствующих равенствам из теоремы Титчмарша, рассматриваются функции, заданные на К+, что позволяет сделать доказательства короче. Затем формулируется аналогичная теорема 3 для функций, заданных на К.

1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ

Пространства Ьр(К+), 1 < р < ж, состоящие из измеримых функций /(х), таких что |/(х)|р интегрируема по Лебегу на К+, рассматриваются с обычной нормой ||/||р = (/0те |/(х)|р¿х)1/р. Если / е Ьр[0, а] для всех а > 0, то / е Ьрос(К+). Для / е Ь1 (К+) ее косинус-преобразование Фурье задается формулой ^с(/)(1) = /0те /(х)собхЫх. Если / е Ьр(К+), 1 < р < 2, то ^с(/)(1) определяется как предел /0а /(х) соб х1 ¿х в Ьр (К+) при а ^ ж, где 1/р + 1/р' = 1. При этом

||*С(/)||р < С(р)||/||р. (7)

По поводу корректности этого определения и неравенства (7) см. [3, гл. 4, теорема 74]. Аналогично вводится синус-преобразование Фурье )(1) и для него также верно неравенство (7).

Лемма 1. (см. [6, гл. 1, теорема (9.16)]). Пусть /(х) > 0 на К+, г > 1, 5 < г — 1. Если / (х)х5 е Ь1 (К+) и Ф(х) = /0х /(1) , то {х-1Ф(х)}гх5 е Ь1 (К+) и

[ {х-1Ф(х)}г х5 ¿х < С (г, 5) / /г (х)х5 ¿х. (8)

Лемма 2. Пусть 0 < а < 1. Тогда оператор На(/) ограничен в Ьр(К+) при 1 < р < 1/(1 — а), а оператор Ва ограничен в Ьр(К+) при р > 1/а. При р > 1/а и любых Ь > 0 верно неравенство

г-Ь гЪ

/ |Ва(/)(х)|р ¿х < С(р) / |/(х)|р ¿х. (9)

./0 ./о

Доказательство. Пусть ^(1) = 1а-11/(1)|. Тогда по неравенству Гельдера при р > 1/а получаем /0а ^(1) < С11|/||раа-1/р < ж. Это означает, что функция Ф(х) = /0х ^(1) имеет смысл. Применим (8) для 5 = (1 — а)р (неравенство 5 < р — 1 равносильно а > 1/р):

[ ф) 'о

р рте рте

¿х </ х5(х-1 Ф(х))р ¿х < С2 / х5^р(х)^х = С2 ||/||р

те

х

о

о

о

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2013. Т. 13. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1, ч. 2 Заменим теперь / (Ь) на /1(Ь) = / (Ь)Х(0>Ь)(Ь), где ХЕ — индикатор множества Е. Тогда

г- Ь г- Ь г- Ь

/ | Ва (/)(х)|Р йх = | Ва(Л)(х)|Р йх < С2 Ц/1 ||Р = С2 |/(х)|Р йX, Jо ■}0 .7 0

что дает (9). Наконец, если Ва непрерывен в Ьр(К+), то сопряженный к нему оператор На непрерывен в сопряженном пространстве Ьг(К+), где 1/р+1/г = 1, т. е. для всех г Е [1,1/(1-а)). Лемма доказана.

2. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Теорема 1. Пусть 1/2 < а < 1, / е Ьр(ж+), где 1/а<р < 2. Тогда Ва(Ес(/))(Ь) = Ес(На(/))(Ь) п. в. на . Аналогичный результат справедлив для синус-преобразования Фурье.

Доказательство. По определению Ес(/) е Ьр (М+), 1/р + 1/р' = 1. Так как а > 1/р > 1/р', по лемме 2 Ва(Ес(/))(Ь) существует как функция из Ьр (К+), определенная в каждой точке Ь > 0. Пусть теперь /а = /Х(0а), а> 0. Имеем при всех Ь > 0

lim Ba (Fc (fa ))(t)= Ba(Fc(f ))(t). В самом деле, по неравенству Гельдера при фиксированном t > 0

B (Fc (fa ))(t) - Ba (Fc (f ))(t)| < C1t ~ a\\Fc (fa ) - Fc(f )\\p' ta ~1/p', и норма в последнем выражении стремится к нулю при а ^ +го. Далее

(10)

Ba (Fc (fa ))(t) = t

t ¡-a

—a I / jv„.\ „„„ ™„. J„. „a — 1

f (u)cos xuduxa dx = t

at -a a-1

xa cos xudxf (u) du.

0 .70

'0 Jo

Сделаем замену y = xu/t, t > 0, во внутреннем интеграле:

Ba(Fc (fa ))(t)= / ya — 1 COS yt dy u—a f (u) du.

00

(11)

Так как 2 < 1/(1 — а) < го, то условие р < 1/(1 — а) выполнено и по лемме 2 Fc(На(/))(Ь) существует как функция из Ьр (К+), определенная п.в. Имеем:

Fc(Ha(fa))(t) = x 0

aa

a —1 I „.—a

откуда

u a f (u) du cos xtdx = xa cos xtdxu a f (u)du,

00

Fc (Ha(fa))(t) = Ba (Fc (fa ))(t)

(12)

п. в. на R+. Здесь использован тот факт, что fa(t) dt = 0 при x > а, и теорема Фубини. Осталось показать, что

Fc (Ha (f ))(t) = (Lp') - lim Fc (Ha (fa ))(t). (13)

a^tt

По теореме Ф. Рисса существует аг ^ го такая, что Fc(Ha(f ))(t) = lim Fc(Ha(fai))(t) п. в.

i^tt

на R+. Тогда из (10), (12), (13) и последнего замечания получим утверждение теоремы 1 для косинус-преобразования Фурье. Для доказательства (13) сначала запишем

Ha(f)(x) cos xt dx =

r-a r-a r-a r-tt

+

'0 Jx J0 Ja

xa 1 cos xtu a f (u) dudx =

ca / f-u \ fa

a 1 a a 1

xa 1 cos xtdx\u a f (u) du + xa 1 cos xtdx ■ u a f (u) du. (14)

'0 \J 0 J Jo Ja

По неравенству Гельдера |/a° u-a f (u) du| < (/a°° |f (u)|p du)1/p u-ap' du^j . Первый сомножитель правой части есть o(1) при а ^ го, а второй — O(a(1 - ap )/p ). В итоге согласно (7) (норма слева берется по t) находим, что

a 1

cos xt dx u af(u)du

= o(a1/p — a)||xa—1X(0,a) ||p = o(1), а ^ го.

(15)

au

au

a

0

tt

a

tt

0

p

Таким образом, в силу (14), (11), (12) и (15)

Fc(H«(f))(t) = (Lp') - lim / Ha(f)(x) cosxtdx =

м ли

= (Lp ) — lim / / xa -1 cos xtdxu -af (u) du+ о J0

¡•a лте

+(Lp') — lim / xa-1 cosxtdx ■/ u-af (u)du = (Lp') — lim Fc(Ha(fa))(t).

J 0 J a

Тем самым равенство (13) и утверждение теоремы 1 для косинус-преобразования Фурье доказаны. Утверждение теоремы 1 для синус-преобразования Фурье доказывается аналогично. Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть 1/2 < a < f е Lp(R+), где 1/a < p < 2. Тогда H(F(f))(t) = Fc(Ba(f))(t) п. е. на R+. Аналогичный результат справедлив для синус-преобразований Фурье.

Доказательство. По условию Fc(f) е (R+) и неравенство p' < 1/(1 — a) равносильно p > 1/a, поэтому Ha(Fc(f))(t) определена как функция из Lp (R+). Изучим ее подробно. Зафиксируем b > t > 0 и по теореме Фубини получим:

J^ Fc(fa)(u)u-a du = J ^ J^ u-a cosxudu^ f (x) dx.

Согласно неравенству Гельдера аналогично доказательству (10) находим, что

Г- b Г- b Г- Г- b

lim / Fc(fa)(u)u-a du = Fc(f)(u)u-a du = f (x) / u-a cosxududx. (16)

J t Jt J R+ Л

Пусть ha,t,b(x) = Jtb u-a cos xudu. По второй теореме о среднем имеем (z е [t, b]):

f Z fЬ

|ha,t,b(x)| < t —a cos xu du + b—a / cos xu du

t Jz

< 4t

— a — 1

ax 1,

t,x > 0.

(17)

В то же время при tx < 1, bx > 1, a < 1, в силу (17) находим, что

Г 1/x —

|ha,t,b(x)| < / u—a du +

u a cos xu du

1 /x

< C1(a)x

a —1

(18)

При a = 1 получается логарифмическая оценка. Мы не разбираем этот случай подробно, так как это сделано в [5]. Пусть ha>t> (x) := lim ha>t>b (x) = u—a cos xudu, где стрелка в верхнем индексе

означает, что интеграл несобственный, как в смысле Лебега, так и Римана. Ясно, что в (17) и (18) (при tx < 1) можно заменить ha,t,b(x) на ha,t(x). Докажем теперь, что

Ha (F (f ))(t)= t

a-1

f (x)ha,t (x) dx, t> 0.

(19)

Так как и 4 е ж) при I > 0 и д > 1, то по неравенству Гельдера (/)(и)и а е Ь1 (£, ж) при а > 1/р. Отсюда по теореме Лебега о мажорируемой сходимости имеет место равенство

Ит / ^с(/)(и)и-а du = ^с(/)(и)и-а ¿и, £> 0. (20)

г Л

С другой стороны, в силу оценок (17), (18) и неравенства Гельдера имеем:

/ /(х)Л,а,г(х^х - / /^^ = / /< ./к+

/•1/6 лте

< / |/(x)|ClXa-1 dx + / 4Ь-а|/(x)|x-1 dx < ./о ./1/6

Ь

R

+

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2013. Т. 13. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1, ч. 2

л/ь

1/p

1/p

< C2

|f(x)|pdx) b1/p—a + b—a[ |f(x)|pdx) (1/b)(1—p')/p' < C3b1/p—a. (21)

1/ь

Поскольку а > 1/р, левая часть (21) также стремится к нулю при Ь ^ го. Благодаря (21) и неравенству (см. (17))

f (x)ha,t,b(x)dx — / f (x)ha,t,b(x)dx

< 4t -

1/p / r- tt \ 1/p'

| f( x) | p dx x p dx

правая часть (19) равна ta 1 lim lim f0 f (x) Г u a cos xududx. Однако в силу (20) и (16)

Ь—>-tt a—tt 0 1

часть (19) равна

и (16) левая

Ь г- a

ta 1 lim I Fc (f)(u)u a du = ta 1 lim lim I I f (x)u a cos xududx

a a 1

Ь—tt

Ь—tt a—tt

t0

По теореме Фубини (19) доказано. С помощью замены переменной находим, что

г-—г-—г-—

ha,t(x)= u-a cos xudu = xa-1 / v-a cos vdv = (x/t)a-1 / u-a cos utdu

J t J xt J x

Подставляя в (19), получаем:

r-O t-—

Ha(Fc(f))(t) = xa- 1f (x) ucosutdudx.

0x

(22)

Теперь вернемся к Ba. По условию Ba(f) e Lp(R+) и Fc(Ba(f)) существует как функция из Lp'(R+), причем Fc(Ba(f)) = (Lp') - lim Fc((Ba(f))a). Запишем

au

a a 1

Fc((Ba (f))a )(t) = I u a I xa 1f (x) dx cos utdu = I I u a cos utduxa 1f (x) dx

0x

Используя (17) и неравенство Гельдера, получаем:

<

r-a г-—>tt r-a r-a

/ xa—1 f (x) u—a cos utdudx — xa—1f (x) u—a cos utdudx

'0 Jx J0 Jx

/ [■ a \ 1/p

<|ha,a(t)^J0 |f(x)|pdx) C4aa—1/p < C51—1 If||pa—1/p, (23)

т. е. левая часть (23) стремится к нулю при а ^ го и фиксированном t > 0. В то же время в силу (17) и неравенства Гельдера имеем:

r-a г-—>tt r-tt г-—>tt

/ xa—1 f (x) u—a cos utdudx — xa—1 f (x) u—a cos utdudx

>0 Jx J0 Jx

r- — tt

xa—1 f (x) u—a cos utdudx =

x

1/p / rtt

xa 1f (x)ha,x (t) dx

/ r-tt \ 1/p / r-tt \

< C61—4 J f (x) |pdx J U (xa—1 x—a)p' dx)

1/p'

(24)

и левая часть (24) есть o(a- 1/p). Из (22), (23) и (24) следует, что Ha(Fc(f))(t) = lim Fc((Ba(f))a)(t) п. в. на R+, что завершает доказательство теоремы 2 в случае косинус-преобразования Фурье. Утверждение теоремы 2 для синус-преобразования Фурье доказывается аналогично.

Учитывая (6), из теорем 1 и 2 легко выводится

Теорема 3. Пусть 1/2 <а < 1, f e Lp(R), l/a<p < 2. Тогда (Ha(f))(t) = Ba(f)(t) п. в. на R и (Ba (f ))(t)= Ha (f)(t) п. в. на R.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 10-01-00270).

tt

0

a

tt

R

0

+

Ь

aa

0

0

М. О. Голубев. Метод проекции градиента для сильно выпуклого множества

Библиографический список

1. Харди Г., Литтлвуд Дж., Полиа Г. Неравенства. М. : Изд-во иностр. лит., 1948. 456 с. [Hardy G., Littlewood J., Polya G. Inequalities. Cambridge : Cambridge Univ. Press, 1934. 328 p.]

2. Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов. М. : Наука, 1978. 400 с. [Krein S. G., Petunin Jг. I., Semenov E. M. Interpolation of linear operators. Providence : Amer. Math. Soc., 1982. 375 p.]

3. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. М.; Л. : Гостехиздат, 1948. 480 c. [Titchmarsh E. Introduction to the theory of Fourier integrals. Oxford : Clarendon Press, 1948. 404 p.]

УДК 517.982.22, 517.982.252+256, 519.615, 519.853.3

М. О.Голубев

Московский физико-технический институт (государственный университет), Долгопрудный E-mail: [email protected]

В работе рассматривается стандартный метод проекции градиента в случае, когда множество является R-сильно выпуклым, а функция выпукла, дифференцируема и имеет липшицев градиент. Доказано, что при некоторых естественных дополнительных условиях метод сходится со скоростью геометрической прогрессии.

Ключевые слова: гильбертово пространство, метод проекции градиента, метрическая проекция, R-сильно выпуклое множество.

ВВЕДЕНИЕ

4. Голубов Б. И. Об одной теореме Беллмана о коэффициентах Фурье // Мат. сб. 1994. Т. 185, № 11. С. 3140. [Golubov B. I. On a Bellman theorem on Fourier coefficients // Russian Academy of Sciences. Sbornik. Mathematics. 1995. Vol. 83, № 2. P. 321-330.]

5. Moricz F. The harmonic Cesaro and Copson operators on the spaces Lp(R), 1 < p < 2 // Studia Math. 2002. Vol. 149, № 3. P. 267-279.

6. Зигмунд А. Тригонометрические ряды : в 2 т. Т. 1. М. : Мир, 1965. 616 с. [Zygmund A. Trigonometric series. Vol. 1. Cambridge : Cambridge Univ. Press, 1959. 320 p.]

Gradient Projection Algorithm for Strongly Convex Set M. O. Golubev

In our work we will discuss standard gradient projection algorithm, where a set is strongly convex of radius R and a function is convex, differentiable and its gradient satisfies Lipschitz condition. We proved that under some natural additional conditions algorithm converges with the rate of a geometric progression.

Key words: Hilbert space, gradient projection algorithm, metric projection, strongly convex set of radius R.

МЕТОД ПРОЕКЦИИ ГРАДИЕНТА ДЛЯ СИЛЬНО ВЫПУКЛОГО МНОЖЕСТВА

Пусть H — гильбертово пространство над вещественным полем скаляров, (p, x) — скалярное произведение векторов p, x е H. Обозначим через (x) = {y е H : ||y — x|| < R} замкнутый шар радиуса R > 0 с центром в точке x е H. Расстояние от точки x е H до множества A с H будем обозначать ^(x, A) = inf{||x — а|| : а е A}. Метрической проекцией точки x е H на множество A с H называется множество PA(x) = {а е A : ||x — а|| = ^(x, A)}. Опорная функция ко множеству A определяется следующей формулой: s(p, A) = sup(p, x) для всех p е H. Нормальным конусом к выпуклому замкнутому

жеА

множеству A в точке а е A называется множество N (A; а) = {p е H : (p, а) > s(p, A)}. Диаметром множества A называется число diam A = sup ||x — y||. Границу множества A обозначим через dA.

ж,у G A

Определение 1 [1, определение 3.1.1; 2,3]. Непустое множество A с H называется R-сильно выпуклым, если оно может быть представлено в виде пересечения замкнутых шаров радиуса R > 0,

т. е. A = P| (x) для некоторого подмножества X с H.

жех

Рассмотрим задачу минимизации:

f (x) ^ min, x е A с H. (1)

В данной работе мы обсудим стандартный метод проекции градиента:

xfc+1 = PA(xfc — afcf'(xfc)), xx е dA, afc > 0. (2)

Метод проекции градиента детально изложен в работах [4-7]. Известные случаи сходимости метода проекции градиента со скоростью геометрической прогрессии имеют место для замкнутого и выпуклого множества A и сильно выпуклой с константой 9 > 0 функции f, градиент f' которой удовлетворяет

© Голубев М. О., 2013

33