О решении обобщенной краевой задачи типа Римана для бианалитических функций в случае произвольных односвязных областей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.544

О РЕШЕНИИ ОБОБЩЕННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТИПА РИМАНА ДЛЯ БИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СЛУЧАЕ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ОДНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ

Я. А. Васильев

Смоленский государственный университет E-mail: Vasiliev.Yaroslav.A@yandex.ru

В данной статье исследуется обобщенная краевая задача типа Римана в классе кусочно-бианалитических функций в случае произвольных односвязных областей. Рассмотрен общий метод решения рассматриваемой задачи и построена картина ее разрешимости.

Ключевые слова: кусочно-бианалитическая функция; обобщенная краевая задача типа Римана.

About Solution the Generalized Boundary Value Problem of Riemann Type for Bianalytic Functions in Case of Any Simply Connected Domains

Ya. A. Vasiliev

On this we investigate generalized boundary value problem of Riemann type in the class of sectionally bianalytic functions in case of any simply connected domains. The methods for solving the considered problem was developed and its decidability picture was constructed.

Key words: sectionally bianalytic function; generalized boundary problem of Riemann type.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть Т + — конечная односвязная область на плоскости комплексного переменного г = х + гу, ограниченная простым гладким контуром Ь е С2, а Т- — область, дополняющая Т + и Ь до расширенной комплексной плоскости. Для определенности будем считать, что начало координат находится в Т+.

Рассматривается следующая краевая задача. Требуется найти все кусочно-бианалитические функции Е(г) = {Е+(г),Е-(г)} класса А2(Т±) п Н(2)(Ь), Е +(0) = 0, Е-(ж) =0 и удовлетворяющие на Ь следующим краевым условиям:

дЕ + (Ь) „ , ,дЕ-(Ь) [ дЕ +(т) Г , ЛдЕ-(т) 1

ИГ--а1 (Ь)Г>ХГ + ^-¡х2* + В (Ь-т)^йт = (1)

дЕ+ (Ь) „ , , дЕ-(Ь) Г дЕ + (т) , Г , ЯЕ- (т) ,

-¡Г - С*(^^Г + к ^(^—ду^йт + 1ь ЪМ—^йт = гд2(г), (2)

где г — мнимая единица, Ск (Ь), дк (Ь) (к = 1,2) — заданные на Ь функции, причем (Ь) е Н(3-к) (Ь), дк(Ь) е Н(2) (Ь), (Ь) = 0 на Ь; Ак(Ь,т), Вк(Ь,т) — заданные фредгольмовы ядра, принадлежащие классу н!3-к) (Ь х Ь).

Сформулированную задачу ради краткости назовем задачей СК1)2, а соответствующую однородную задачу (д\(Ь) = д2(Ь) = 0) — задачей СК0,2.

Сразу отметим, что при А1 (Ь,т) = А2(Ь,т) = В1(Ь,т) = В2(Ь,т) = 0 задача СК1)2 подробно исследована в монографии [1].

Кроме того, в случае, когда Т+ = { г : |г| < 1}, задача СК1)2 была исследована в статьях [2,3]. Но поскольку бианалитические функции не инвариантны относительно конформных отображений (см., например, [1]), то методы, разработанные в случае Т+ = {г : |г| < 1}, не переносятся на случай произвольной области. Поэтому основной целью настоящей статьи является разработка конструктивного метода решения задачи СК12 в случае произвольных односвязных областей с гладкими границами.

2. О РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ СК12

Как известно (см., например, [1, с. 26, 27]), исчезающую на бесконечности кусочно-бианалити-ческую функцию Е(г) с линией скачков Ь можно представить в виде

Е, ) = [Е + (г) = р+(г) + Ш<р+ (г), г е Т+, \Е-(г) = (г) + И<р-(г), г е Т

© Васильев Я. А., 2013

где ) е А(Т+), ) е А(Т-), к = 0,1, причем

П{<-> го}> к + 1, к = 0,1

(4)

(здесь Л, го} означает порядок функции <к (г) в точке г = го).

д д д д / д д

В силу представления (3) и соотношений —— = ——Ь —, — = 7 —--ттг ] (см. [4, с. 304])

дх дг дг ду \дг дг

краевые условия (1) и (2) можно переписать соответственно в виде

Г ■ ^ + <+(*) -

+ УЬ А1 )

¿<+(т)+ * ■ ^ + (Т)

¿Т

¿Т

¿Т+

+ ^ . (г,т)

(Т)+ * . ¿<-(1) + (Т)

¿Т

¿Т

¿Т = #1 (*),

+г ■ ^ - <°(г) - 52(г)

¿г

¿г

+ / А(*,Т)

+ *--Г--<1 (г)

¿<+(Т)+ Г ■ - (т)

+ I' . (*,Т ) Введем следующие обозначения:

¿Т ¿Т

(тк - ¿<-(т)

¿Т+

¿Т

+ г ■

¿Т

- < (т)

¿Т = #2 (г),

Ф°° (г) =

¿г

(51(^) =

до (г) = Г51 (г) + (1 (г)<-(г) - г

¿г

Ф- (г) =

(1 (¿) г '

(г)

¿г

¿г

В (г,т ) =

Ф0 (г) = г В1(г,т)

¿г

+

+

- <+ (г) - А1(г,т)

(5)

¿<1° (т) + , ,

Г + <+(т)

¿Т

¿Т -

- Л В1 (*'Т)

(т) ,

¿Т + #1(г).

(6)

(7)

(8)

(9)

С учетом обозначений (7)-(9) краевое условие (5) можно записать так:

ф+(г) - (51 (г) ■ Ф- (г)+ / А (г, т )ф° (-)^Т + / В (г,т)Ф-(т)^т = до (г).

(10)

Поскольку <°0 (г) е А(Т+), < (г) е А(Т ), то из равенств (7) следует, что Ф° (г) е А(Т+), Ф-(г) е А(Т-), причем в силу (4) П{Ф-, го} > 1. Кроме того, так как ((г) е Н(2)(Ь), В1(г,т) е

е Н] )(Ь х Ь), то из равенств (8) будем иметь: 51(г) е Н(2)(Ь), .01 (г, т) е Н] )(Ь х Ь). А значит, учитывая, что Ь е С2, #1 (г) е Н(1)(Ь), А(г,т) е Н(2)(Ь х Ь) и (г) е А(Т±) ПН(2)(Ь), приходим к выводу, что до (г) е Н(Ь).

Предположим временно, что д0(г) — известная функция. Тогда равенство (10) представляет собой краевое условие хорошо изученной (см., например, [1, 4]) обобщенной скалярной краевой задачи Римана относительно исчезающей на бесконечности кусочно-аналитической функции

Фо(г) = {Ф0+(г), Ф-(г)}.

Обобщенную задачу Римана (10) будем решать методом, изложенным в монографии [1]. Пусть %1 = 1пё (1(г) и Хд = 1пё (51 (г) = х1 - 1. Тогда, как известно, общее решение задачи (10) (в случае ее разрешимости) задается следующими формулами (см. [1, с. 48, 51]):

Ф°° (г) = ±( ОИ ■

0К } 2пг I г т - г

¿т + Я°(,г,т)Оо(т)^т ^^ во^"(г), г е Т +,

3 = 1 1о

Фо"(^ = ¿7 / + I Д-(г,т)до(т)^т ^ воз(г), г е Т-,

ь (51 (т) - - г Л

3=1

(11)

(12)

ь

ь

ь

ь

где Я±(г,т), (г) — вполне определенные функции, выражаемые через , $1 (¿); во^ (0 = 1, • • •, 1о) — произвольные комплексные постоянные;

1о =

Х1 + ^о - го,

Х1 > о,

тах(0,^о -|Х1|), Х1 < 0,

а — число линейно независимых решений определенного однородного уравнения Фредгольма второго рода (см., например, [1, с. 47]), го — ранг определенной матрицы (см., например, [1, с. 50-51]), причем ^о > го и во1 = во2 = • • • = во1о = 0 при 1о = 0.

Поскольку [<+ (!)](к> и [<- (!)](к>, к = 0, 1, — граничные

значения аналитических соответственно в

Т + и Т" функций [<+ (г)](к>, [<-(г)](к> (причем [<-(г)](к> | = 0), то, как известно (см., например, [1, с. 40]), на Ь выполняются следующие равенства

[<±(*)](*> = ±±[ [<±(т)](к) ¿т, ^ ^ пт Уь т -1 '

г е ь (к = 0,1)

(13)

Из (11) и (12), устремив г к г е Ь, с учетом обозначений (7)-(9), формул Сохоцкого-Племеля и формул перестановки Пуанкаре-Бертрана (см., например, [1, с. 28]) будем иметь:

ф0+(г) = 1 до(*) + -Лг / ^т + / Я0 (г,т№о(т)^т + £воj<• (г)

2

2пт уь т — г

j=1

-¿<0 (г) +.. 1 = —т^Ш — <+(г) + —

+

2пт

¿г

5 (т) — ад)

т — г

2пт

— Во+1(г,т)

т С1(т) — ^1(г) _ + (, ) --Во2(г,т)

т — г

(т) ¿т

(т)^т —

2пт

т — Т т — г

+ А+2(г,т)

¿т+

¿<0 (т) ¿т

¿т—

^ [ А+1 (г,т)<+(т)^т + 2$1(г) + 2Л7 [ + 2- [ (1,ТМТ^Т + £воj<•(г), (14)

2пт./ь т — г

j=l

1 до (г)

+ ¿7 Ь Ш^ + Ь Я-(г,т)до(т)^т + воj¿о" (г) = ——

Фо" (г)= 2 (?1 (51 (т) т — ^

j=l

2пт У ь

тт — гт т — г

— Во~2 (г,т)

^¿т — ^ /ь В-2 (*,Т)<- (т).т—

51 (т) 51 (г) у т — г

1

1

2~ПГ

1

1

5 1 (т) 51(г)

1

т — г

+ А12(г,т)

+ АН (г,т)

¿<0 (т) ¿т

¿т—

(т )^т—

2+ IШ^ + 1 "-С-)$1(т* + ЕДи^(г),

(15)

где

А+к (г,т ) =

[1 + (г, т)] УЪ ^(Т^) ¿т1 + л [А (г, т) + 2Я+(г, т)] ¡>,

Вк(г,т)= тк-1 [1 — Яо+^т)]

В1(п ,т)

А-к (1,Г ) = тк-1 В-к (1,Г ) = тк-1

1

1(т)

1

— Я-1 (г,т)

ь — г

{ А1 (т1,т) ь т1 — t

¿т1 + пт [В1 (г,т) — 25 (т)л+(г,т)] А1 (г,т)

— П7

51(т)

— Я-1 (1,Г )

В1(т1 ,т)

Т1 — г

— П7

1 (г)

В1(г,т)

— 2Я-(1,Т )

[ 51(г)

+ 2(1(т )Я- (1,Т )

Д±1 (1,т) = 2пт(т — 1)Я±(1,т), к = 1, 2^

Ясно, что

ф- (г) = г-1Ф-(г)

(16)

ь

1

1

ь

ь

ь

ь

26

Научный отдел

Подставляя в (6) вместо ^ найденные по формулам (14), (15) и (16) граничные значения

кусочно-аналитической функции Ф±(г) = ^^ , с учетом С1 (£) = 0 и после некоторых преобразований получаем краевое условие еще одной обобщенной задачи Римана нормального типа для определения исчезающей на бесконечности кусочно-аналитической функции <(г) = {<+(г)}:

(+ (t) - G 2 (t) ■ (-(t)+ / All (t,T)(+ (r)dr + / Bn(i, т )(-(r)dr = Qi(t), (17)

J L J L

где G2(t) = t-1G2(t), (3-(z) = z(-(z); A11 (t,T), B11 (t,T) — определенные фредгольмовы ядра, принадлежащие классу ЯЯ (L х L), Q1 (t) — вполне определенная функция из класса Я (1)(L).

Пусть %2 = IndG2(t) и х2 = IndG2(t) = х2 — 1. Далее, решая краевую задачу (17), например, методом, изложенным в монографии [1], получаем ее общее решение в виде

(+(z) = ^ jL Q—Т)^т + jL R+1 (z, т)Q1 (t)dT + (z), z € T +, (18)

(-(z) = 2ni jL G^) Td~z + ,/L R-1(z,t)Q1 (т)^т + 5 d-j (z),z € T-, (19)

1 j

j=1

где (г, т), (г) — вполне определенные функции, выражаемые через (£), (£) (к = 1, 2); (] = 1,..., 11) — произвольные комплексные постоянные;

1 = [ Х + - г1, Х2 > 0, [тах(0,^1 - |х2Ь < 0,

а — число линейно независимых решений определенного однородного уравнения Фредгольма второго рода (см., например, [1, с. 47]), г1 — ранг определенной матрицы (см., например, [1, с. 50-51]), причем > г1 и в11 = в12 = • • • = Р111 = 0 при 11 = 0.

А так как <5-(г) = то из (19), в свою очередь, получаем:

"-(2) = 1 { I Т^ + I (т)^т + Е Ь (*)} € Г-, (20)

Подставив в свободный член фо(£) краевого условия (10) вместо (£) и ) граничные значе-

ния функций <+(г), (г), определенных по формулам (18), (20), и их производных (г), а затем,

решив обобщенную скалярную задачу Римана (10), найдем функции (г). Отсюда сами функции

аг

(г), (г) определим так:

<00(г)=/ Ф+ (£)#, г € Т+, )=/ Ф-(Сг € Т-,

J L-

где — произвольная гладкая кривая, принадлежащая односвязной области Т + и соединяющая точки 0 и г; Ь~ — произвольная гладкая кривая, принадлежащая односвязной области Т- и соединяющая точки го и г.

Наконец, по найденным функциям (г) и ) искомые решения задачи СК12 определим по формуле

р(г) = /ф+ (С)аС + (г), г € Т + (21)

Ф-(С)аС + -<-(*), г € Т-.

Таким образом, получен следующий результат.

Теорема 2.1. Задача СК1)2 равносильна системе из двух обобщенных задач Римана (17) и (10) относительно неизвестных кусочно-аналитических функций < 1 (г) = {<+ (г), <55-(г)} и

Ф0(z) = Ф0 (z)} соответственно, где ф- (z) = z^- (z), Ф±(z) =

<*ф± (z) dz

Ф0 (z) = zФ- (z).

При этом обобщенная задача Римана (17) не зависит от Ф± (г), а в свободный член Q0 (£) краевого условия обобщенной задачи Римана (10) входят граничные значения функций (г).

3. ИССЛЕДОВАНИЕ КАРТИНЫ РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ ОБ12

Обозначим через I число линейно независимых (над полем С) решений соответствующей однородной задачи ОБ0 2, а через р — число условий разрешимости неоднородной задачи ОБ12. Также пусть ро (р1) — число условий разрешимости неоднородной задачи (10) (неоднородной задачи (17)), а через 10 (/1) — число линейно независимых решений соответствующей однородной задачи (10) (однородной задачи (17)).

Хорошо известно (см., например, [1, 4]), что обобщенные скалярные задачи типа Римана (10) и (17) с фредгольмовыми ядрами являются нетеровыми, т. е. они нормально разрешимы (по Хаусдорфу), и числа 1к, Рк (к = 0, 1) являются конечными.

Но согласно теореме 2.1 необходимые условия разрешимости задачи ОБ12 являются и достаточными (т. е. она нормально разрешима), а в силу формул (21) будем иметь: I = 10 + 11 и р = р0 + р1, т. е. I и р — конечные числа. Значит, задача ОБ12 также является нетеровой.

Библиографический список

1. Расулов К. М. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторые их приложения. Смоленск : СГПУ, 1998. 343 с. [Rasulov K. M. The Boundary Problems for Polyanalytic Functions and Some of Their Applications. Smolensk : SGPU, 1998. 343 p.]

2. Васильев Я. А. О решении обобщенной краевой задачи типа Римана для бианалических функций в круге // Современные проблемы науки. Смоленск : Принт-Экспресс, 2011. С. 26-32. [Vasiliev Y. A. About Solution the Generalized Boundary Problem of Riemann Type for

Bianalytic Functions in the Unit Disc. Smolensk : PrintExpress, 2011. P. 26-32.]

3. Васильев Я. А., Расулов К.М. Первая обобщенная краевая задача типа Римана для бианалических функций в круге // Изв. Смоленск. гос. ун-та. 2011. № 2. С. 119-129. [Vasiliev Y. A., Rasulov K. M. The Generalized Boundary Value Problem of Riemann Type for Bianalytic Functions in the Unit Disc // Izv. Smolensk. Gos. Un-ta. 2011. № 2. P. 119-129.]

4. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М. : Наука, 1977. 640 с. [Gahov F. D. The Boundary Problems. Moscow : Nauka, 1977. 640 p.]

УДК 517.51

ТОЖДЕСТВА ТИПА ТИТЧМАРША

ДЛЯ ОБОБЩЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ ХАРДИ

И ХАРДИ-ЛИТТЛВУДА

С. С. Волосивец

Саратовский государственный университет E-mail: VolosivetsSS@mail.ru

В работе доказывается теорема типа Титчмарша о преобразованиях Фурье обобщенных операторов Харди и Харди-Литтлвуда, зависящих от параметра а е (1/2,1].

Ключевые слова: оператор Харди, оператор Харди-Литтлвуда, теорема Титчмарша.

Identities of Titchmarsh Type for Generalized Hardy and Hardy-Littlewood Operators

S. S. Volosivets

A Titchmarsh-type theorem on Fourier transforms of Hardy and Hardy-Littlewood operators depending on parameter a e (1/2,1] is proved.

Key words: Hardy operator, Hardy-Littlewood operator, Titchmarsh theorem.

ВВЕДЕНИЕ

В теории функций хорошо известны операторы Харди:

H(f)(x)= f(t)/tdt, x> 0,

(1)

и Харди-Литтлвуда:

B(f )(x) = x~4 f (t) dt,

0

x > 0.

(2)

oo

x

© Волосивец С. С2013