О решении одной четырехэлементной краевой задачи типа Римана в классах метааналитических функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.968.23

о решении одной четырехэлементнои краевой задачи

типа римана в классах метааналитических функций

© 2010 г. Д.С. Букачёв, К.М. Расулов

Смоленский государственный университет, ул. Пржевальского, 4, г. Смоленск, 214000, icspgu@sci. smolensk.ru

Smolensk State University, Prgevalskij St., 4, Smolensk, 214000, icspgu@sci. smolensk.ru

Разработан конструктивный метод решения четырёхэлементной краевой задачи типа Римана в классах кусочно метаана-литических функций. Найдены необходимые и достаточные условия ее нетеровости.

Ключевые слова: метааналитическая функция, кусочно метааналитическая функция, аналитические компоненты, линия скачков, краевая задача Римана, условие нетеровости.

The article is devoted to the development of a constructive method for the solution to a four-element boundary value problem of Riemann type in the classes of sectionally metaanalytical functions and the discovery of necessary and sufficient conditions of its being a Noe-therian one.

Keywords: metaanalytical function, sectionally metaanalytical function, analytical components, line of jumps, boundary value problem of Riemann type, conditions of a problem being a Noetherian one.

Постановка задачи

Пусть и Xx - корни характеристического урав-

Пусть Т - конечная односвязная область на нения + ах Л + а0 = 0 . Тогда всякую метааналити-плоскости комплексного переменного 2 = х + гу, ограниченная простым замкнутым гладким контуром

ческую в области T+ функцию F(z) можно задать в

Ь ; Т = С \ Т +и ь), где С - расширенная комплексная плоскость, причем для определенности будем

считать, что точка 2 = 0 принадлежит области Т + .

В дальнейшем будем придерживаться терминов и обозначений, принятых в [1].

Рассмотрим дифференциальное уравнение

д 2 F (z)

д F ( z)

+ Ai(z) _

д z д z

+ A0( z)F (z) = 0,

(*)

где д =11 — + г'-3- I - дифференциальный опера-

д г 2^дх дуу

тор Коши-Римана; А0 (г), А1 (г) - кусочно аналитические функции с линией скачков Ь , задаваемые сле-

ак, если 2 е Т+

дующим образом: Ак (г) = •

„z

2-к

, если z e T

при-

чем а0, ^ - некоторые комплексные постоянные. Обычно [1, с. 139] решения дифференциального

виде F + (г) = [+(2) + г -[+ (г)]-в*0'2, если Л0 =Л1, или F + (г) = [+ (г) - вЛ°'г +[ (г) - вЛ1-2, если Л0 ф Л1, где [+ (г), [+ (г) - произвольные аналитические (голоморфные) в Т + функции.

Аналогично в области Т- всякая метааналитическая функция F- (г) задается в виде

F~ (г) = [[- (г) + г (г)]- вЛ>'г22 , если Л0 = Л1, или

F- (г) = [-(г) - вя°'212 +[ (г) - вЛуг 12, если Л0 ф Л1,

где [- (г), [ (г) - произвольные аналитические в

Т функции.

Следуя [1], введем понятие кусочно метааналити-ческой функции с линией скачков Ь .

Определение 1. Кусочно метааналитической функцией с линией скачков Ь будем называть функцию F(г) комплексного переменного г = х + гу, которая в двух дополняющих друг друга до расширен-

уравнения вида (*) в области Т + (Т ) называются ной комплексной плоскости областях Т и Т опре-

метааналитическими функциями в T + (T ).

деляется по формуле

F (z) =

F + (z) = F - (z) =

P0+ (z) + zp+ (z) P- (z) + zp (z)

exp{20z}, z e T+ exp<20 — l, z e T

или

F (z) =

F+ (z) = p0+ (z)exp{20z} + p+(z)exp{2jz}, zeT+

F~ (z) = P0 (z)exp^ l+p-(z)exp U1- l, z e T",

(1)

(2)

где p± (z) e A(T± ) , к = 0,1; 2 , 2 - некоторые комплексные постоянные (2 ^ 21), причем в каждой точке t e L существуют конечные пределы lim F+ (z) = F+ (t), lim F- (z) = F" (t).

z^teL z^teL

Обычно функции фк (z) e A(T ±) (к = 0,1) в представлениях (1), (2) называют аналитическими компонентами кусочно метааналитической функции F (z) .

Класс всех кусочно метааналитических функций обозначим символом M2 (T ±).

При этом кусочно метааналитическую функцию F (z), задаваемую формулой (1) (или (2)), будем называть исчезающей на бесконечности, если Прк, ■»}> к +1 (или Прк, ■»}> 1), где к = 0,1; здесь П рк, - порядок аналитической функции р- (z) в точке z = да.

Будем говорить, что кусочно метааналитическая функция F (z) с линией скачков L принадлежит

классу M2 (T±) m H (1)(L), если ее аналитические компоненты непрерывно продолжаются на границу L

dP±(z)

вместе со своими производными

dz

(к = 0,1),

причем так, что граничные значения функций < (г)

(к = 0,1) и указанных производных удовлетворяют на

Ь условию Гёльдера.

В настоящей заметке основным объектом исследования является следующая краевая задача.

Требуется найти все кусочно метааналитические

функции F(z) = (г),F~(7)} класса М2(Т±)пН(1)(Ь), исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие на Ь следующим краевым условиям:

Ац(-) -—— + А^-) - ()-

СХ

öx

^ .. dF- (t) ^ ,. SF" (t) = Gn(t)—^ + G12(t)-—(t) + gl(t), (3)

öx öx

A21(t) - A22(t)

öF + (t)

Cy

^ .. SF- (t) ^ , 4öF- (t) = G21(t) —(t) - G22(t) -—+ i§2 (t) , (4)

öy öy

где Aj (t), G. (t), gk (t) (к = 1, 2 ; j = 1, 2) - заданные на L функции, причем A. (t), G. (t) e H(3-к)(L) (к = 1, 2 ; j = 1, 2), gk (t) e H(3-к) (L); в равенстве (4)

множители (-1) перед А22(-), G22(-), а также множитель / при g2 (-) введены для удобства в дальнейших обозначениях, /2 = -1.

Отметим, что в частном случае, когда искомая функция F(г) задается формулами (1), где Л0 = 0 , и при выполнении на контуре Ь условий А11(-) = А21(-) = 1

и А12(-) = А22(-) = Gl2(-) = G22(-) = 0 сформулированная выше краевая задача (3), (4) представляет собой первую основную краевую задачу типа Ри-мана для бианалитических функций, которая была поставлена Ф.Д. Гаховым в [2] и подробно исследована, например, в [1]. Поэтому в дальнейшем краевую задачу (3), (4) будем называть первой основной четырехэлементной краевой задачей типа Римана в классах метааналитических функций, или задачей GRA1.

Следует отметить также, что краевая задача GR41 в классах кусочно бианалитических функций (т.е. в классах функций вида (1) при = 0) подробно исследована, например, в [3, 4].

Основной целью настоящей заметки является нахождение условий нетеровости задачи GR41 и построение конструктивного метода ее решения в классах кусочно метааналитических функций вида (1) в случае, когда Л0 ф 0 и Т + = {г:|г| < 1}, Ь = {-: - = 1}.

Решение задачи GR41 в классе функций вида (1) и в случае Ь = {- :| -1= 1}

Будем искать решения задачи GR41 в виде (1). То- - -

гда, пользуясь соотношениями — =--+ —=■,

-X -2 -2

- ( - - ^

— = /I---=■ I, и с учетом того, что на окружности

-У У-2 - 2 ]

Ь выполняется тождество - =1, краевые условия (3),

(4) можно переписать так: aw(t)®+ (t) + ak 2(t)®+ (t) =

(5)

= gk1 (t)®- (t) + gk2 (t)®- (t) + gk (t) , к = 1, 2 :

где

ак1 (t) = 1 AM(t)exp|2°I, gkl(t) = 1 Gkl(t)exp|2o}, (6)

ак 2 (t) = tAk 2(t)exp {20-J, gh 2(t) = tGk 2(t)exp 20t2}, k = 1, 2. Ф+ (z) = (-1)к+12 zp0+ (z) + (2) + z)p+ (z))+

dp+(z) dp1+(z)

+ z--1--, к = 1, 2,

dz dz

Ф-(z) = |-2r + (-1)к+120 р0-(z) +

(7)

(8)

(

-20 + (-1)к+1 ( z + 20

V z3 l z

к = 1, 2 .

Л

P1 (z) + z

dp0) (z) dp- (z)

dz

dz

z

z

z

+

Анализируя формулы (7) и (8), заключаем, что при сделанных в условии задачи ОЯА1 предположениях рассматриваемые здесь вспомогательные функции Ф+ (г) и Ф- (г) должны быть аналитическими в областях Т + и Т- , а их граничные значения - принадлежать классу Гёльдера (т.е. ф± (г) е А(Т±) Н(Ь),

к = 1,2), причем пф-, ■»}> 1.

Таким образом, в случае Ь = {г:\ г1= 1} решение краевой задачи ОЯ41 в классах функций вида (1) сводится к решению двух четырехэлементных краевых задач (5) относительно исчезающих на бесконечности кусочно аналитических функций Ф^г) = |ф+ (г), Ф- (г)} и

Ф2(2) = Ф+ (2), Ф- (2)}.

Известны различные подходы к решению четы-рёхэлементных краевых задач вида (5) в классах кусочно аналитических функций [5, 6]. Если линия скачков Ь - окружность, одним из эффективных способов решения таких задач является метод сведения четырёхэлементных задач вида (5) к двухэлементным векторно-матричным задачам Римана [6, с. 232].

Переходя в формулах (5) к комплексно сопряженным значениям, будем иметь

ak 2№ +к (t) к aki(t )Ф +к (t) =

(9)

= ёк2 №- (?) + ёк1 (ОФ- (?) + ёк (?), к = 1,2 .

Введем в рассмотрение аналитические в Т + и Т-функции у+ (г) и у- (г) (к = 1,2 ; у = 1,2), которые определим следующим образом: у±1(2) = Ф± (г), у±2(г) = 1Ф+ ^, к = 1,2 . (10)

Замечание 1. Из (10) следует, что граничные значения функций у±1(г) и у±2(2) должны удовлетворять на Ь следующим условиям «симметрии»:

у^г) = ?утк2(г), ? е Ь , к = 1,2 . (11)

Используя (10), из (5) и (9) будем иметь аи(0У+1(0 + гак2(1)ук2($) = (12)

= ёк1 (У (?) +18к2 Ш+к2 (?) + ёк (?), к = 1,2 , ак 2ШШ+а^Уш = (13)

= ёк2(У-1(?) + ? ёк1 С)Ук2 (?) + ёк() , к = 1,2 .

Выражая из системы равенств (12) и (13) функции Ук1(() и Ук2(г), п°лучим

ПЛО =

ЛёМ^^кМ к Щ Vk2t) к

$к (t)

4 (t)

, gk1(t )ёк (t) - ёк 2 (t) ёк (t) к=12 sк (t) , , '

(14)

^ ä(t) Mol -К2(р| ¥1,2 (t) = -Ч= ¥11(t) к J-==-- ¥-2 (t) к

tsk (t)

sk (t)

, ак 2 (t)g к (t) - ak1(t) ёк (t) k = l2 tsk (t) , , '

где 3к (г) = ак1 (0ёк1(г) - ак 2 (0ёк 2 (г),

/Зк (г) = Ок1(Оёк 2 (?) - ак 2 (ЪТккй).

Равенства (14) представляют собой развернутую запись следующих 2 векторно-матричных задач Ри-мана относительно кусочно аналитических вектор-

( ± (гк

функций Ук(2) =

\у±2(2)

у+ (г) = Ок (г)у- (г) + тк (г), к = 1,2.

(15)

где

Gk (t) =

1

Sk (t)

|ёк1(t tf - \ёк 2 (t f

tßk (t)

-1-lßk(t) \aki(t)| -\ak2(t)

®k (t) =

Sk (t)

ёк1()ёк (t) - ёк2 (t)ёк (t) 11Ы«)ёк(t) - aki(t)gkÜ)l

Важно отметить, что для определителей матриц-коэффициентов векторно-матричных задач Римана (15) справедливы следующие равенства (при каждом фиксированном значении параметра к ):

det Gk (t) =

Sk (t) Sk (t)

t e L , к = 1,2 .

(16)

Из (16) следует [1, 5, 6], что для нетеровости векторно-матричных задач Римана (15) необходимо и достаточно, чтобы всюду на окружности Ь выполнялись условия:

8к(Г) = 0к1(Г)ёк1(?) - ак2(0ёк2(1) ф 0 , (17)

г е Ь, к = 1,2 .

Замечание 2. С учетом (6) условия (17) можно переписать в виде з± (г) = Ак1(гуОк1(г) - а± 2(?)0± 2(г) ф 0, г е Ь, к = 1,2.

Методы решения векторно-матричных задач вида Римана (15) (при выполнении условий (17)) достаточно подробно изложены, например, в [1, 5].

Предположим далее, что выполняются условия (17), векторно-матричные задачи (15) разрешимы и уже найдены их общие решения у± (г), к = 1,2 .

Покажем, как по найденным решениям 2 вектор-но-матричных задач Римана (15) (т.е. по известным

вектор-функциям ук (z) =

f¥+k1(z) Л Щ2( z)

к = 1,2 , компо-

ненты которых удовлетворяют условиям «симметрии» (11)), можно восстановить искомые метаанали-тические функции F + (г) и F- (г) (т.е. решения исходной задачи ОЯ41).

Во-первых, в силу (11) по известным вектор-функциям у±± (г), к = 1,2 можно определить кусочно

аналитические функции Ф± (г) и Ф± (г) , исчезающие на бесконечности.

Во-вторых, из соотношений (7), (8) получим

(2) й[>1 (2)

dz

dz

=1 (Фк (z) к ф к

(z)),

1

t

\

20 zp+ (z) + (2 + z)p+ (z) =1 (® + (z) - Ф + (z)),

2

rn - ^ rn -U ^dp-^ dP1- (z)

—0 P0(z) —3 P1 (z) + z—0-+ -

z2 z3 dz

(18)

II. Пусть 20 ^ 0. В этом случае из соотношений (18) получим

dz

Р0+ (z) = -1- (®+ (z) - Ф + (z))- f1 + -1

220z Vz 20

р (z),

= 1 (ф- (z) + Ф - (z))

dp+ (z) 2

dz

p+ (z) = Q+ (z):

2p- (z) + 1 z + ■2 Jpf (z) =1 (ф- (z) - ®2 (z)). p- (z) = _L (®- (z) - ®2 (z))- f— +1P- (z)

V J 220 ^ 2 z

2

Далее для окончательного решения рассматриваемой задачи GR41 нужно рассмотреть отдельно: 1) Л0 = 0; 2) Л0 ф 0.

I. Пусть Л0 = 0. Из соотношений (18) получаем формулы для нахождения кусочно аналитических компонент <р± (z) (k = 1, 2)

р± (z) = А- (®± (z) -Ф ± (z)),

2z

P0± (z) = 1 I

2 г±

(

(19)

1 (®± (£) + Ф ± (£))

J_

>2

d®± (£) d® ±

£

13 (®± (£) -Ф ± (£))

d£,

dr = 0,

г т

I(2^2 - 1)ф+ w + ® + wdr = 0,

(20)

dP1- (z) +|1 - ^IPf (z) = Q - (z),

dz где

z z3

(21) (22)

(23)

(24)

Q + (z) =

1 I d®+ (z) d®+ (z)

2z I

dz

dz

2

2z

0 (®1+ (z) + Ф + (z))

--1T (®+ (z) -Ф+ 2z 2

(z)),

(25)

ß-(z) = _L I d®1- (z) d®- (z)

2z I dz dz

\

2 2z 4

(®- (z) -Ф - (z)).

2 (®- (z) + Ф- (z))-2z 2

(26)

где Г+ - произвольная гладкая кривая, лежащая в T+ и соединяющая точку z = 0 и произвольную точку

z е T + ; Г- - произвольная гладкая кривая, лежащая в T- и соединяющая точку z = да и произвольную точку z еT-, причем должны выполняться следующие условия:

Поскольку равенства (22) и (24) представляют собой линейные неоднородные дифференциальные уравнения относительно неизвестных функций

<+ (z) и (z), то для решения задачи GR41 в рассматриваемом случае нужно решить дифференциальные уравнения (22) и (24) в классах функций

А(Г +) п H (1)(Ь) и А(Г- ) п H (1)(Ь).

Так как явное решение дифференциального уравнения (22) имеет вид

P+ (z) = exp(-2-0 / z)

С + | Q + (g)exp(Ä0lg)dg

г+

обеспечивающие отсутствие особенностей у аналитических функций <+ (z) (k = 1,2) в точке z = 0 (здесь у - произвольная окружность с центром в точке

z = 0, лежащая в круге T +).

Наконец, подставив в формулу (1) вместо <р± (z) и <± (z) их значения из (19), получим решение исходной задачи GR41 в рассматриваемом случае.

Таким образом, в случае Л = 0 получаем следующее утверждение, ранее установленное в [3, 4].

Теорема 1. Пусть Ь = {-: - = 1} и всюду на Ь выполняются условия (17). Тогда решение краевой задачи GR41 в классе исчезающих на бесконечности кусочно бианалитических функций (т.е. функций вида (1) при Л = 0) сводится к решению двух векторно-матричных задач Римана вида (15) для аналитических функций. При этом для разрешимости задачи GR41

необходимо и достаточно, чтобы были одновременно разрешимы задачи Римана (15) и выполнялись условия (20).

где С - произвольная комплексная постоянная; Г+ -произвольная гладкая кривая, лежащая в T + и соединяющая точку г = 0 с произвольной точкой z еT + , то оно в общем случае дает мало информации об аналитических решениях класса А^ +) п Н(1)(Ь). Поэтому здесь целесообразно искать аналитические в круге T + решения уравнения (22) методом степенных рядов [7], т.е. функцию <+ (z) будем искать в виде степенного ряда

p+ (z) = z anzn

(27)

где аи - некоторые комплексные числа.

Функция Q + (z), задаваемая формулой (25), является мероморфной в круге T + с единственным полюсом в точке z = 0 не выше второго порядка. Представим ее в виде ряда Лорана

Q + (z) = Z bszs

s=-2

где b - некоторые комплексные числа.

z

+

Т

Г

да

n=0

Учитывая (27) и (28), из (22) получим следующую рекуррентную формулу:

Ъ-2

--—, если п = 0;

Л0

(п -1)ап-1 -Ъп^, если п > 0.

Л0

Переходя в последней формуле от рекурсии к явному заданию коэффициентов, имеем

_ n (n -1)\b. 2

2 ■ - - ^ q 2 (n > 0). (29)

_ b-2 _

a0 =-' an = ~Z ( ПМn-q+1 Ä0 q=1 (qq

Таким образом, функция вида

h ш n (n- \)\bn 9

( (z) = -^ - Z Z~-—^zn

nKJ Ä0 tqkiq-1)\Ä^ qk1

(30)

dkpк ( z)

dzk

M,

(1- r)

1- ak

0<ak < 1, к = 1,2, (31)

место неравенство lim

(n -1)!

b

q-2

Z

q=1(q-1)!%-^

< 1.

В дальнейшем для удобства будем говорить, что дифференциальное уравнение (22) разрешимо в круге Т + ={г :\ 2 \< 1}, если оно имеет аналитические в этом

круге решения, задаваемые формулой (30) и удовлетворяющие условиям (31). В противном случае дифференциальное уравнение (22) будем называть неразрешимым в круге Т + .

Допустим, что дифференциальное уравнение (22)

разрешимо в круге Т + и уже найдена функция [+ (г) . Тогда функцию (г) можно найти по формуле (21) без каких-либо дополнительных условий. Действительно, из (21) видно, что для отсутствия полюса у функции [ (г) в точке 2 = 0 необходимо выполнение условия:

(Фк (0)- ф к (0))

2Ä

)-an = 0 .

(32)

Но из формул (25), (28) и (29) вытекает, что

an = —

г b- 2 =ТГ (фк (0)- Ф к (0)), т.е. условие (32)

Ä 2Ä,

Рассмотрим теперь дифференциальное уравнение (24). Решая его, получим

1

будет аналитическим в круге Т + решением дифференциального уравнения (22), если ряд в правой части (30) сходится в этом круге.

Поскольку требуется решить задачу ОЯ41 в классе

М2(Т±)Н^(Ь), то, в силу известной теоремы Харди и Литтльвуда [8, с. 397], нужно еще выполнение следующих условий:

где Мк - конечные постоянные, причем условия (31) являются необходимыми и достаточными для того, чтобы аналитическая в круге Т + функция [ (г) принадлежала классу А(Т +) Н(1) (Ь).

Пользуясь критерием сходимости Коши-Адамара [9, с. 45], заключаем, что ряд в правой части (30) сходится в круге Т + тогда и только тогда, когда имеет

[ (г) =-0ф|- -0в (ё , (33)

где Г- - произвольная гладкая кривая, лежащая в и соединяющая точку 2 = да и произвольную точку г еГ.

Так как по условию задачи ОЯ41 ищутся исчезающие на бесконечности решения, то аналитическая компонента г) должна на бесконечности иметь нуль не ниже 2-го порядка, т.е. п{р-, 2. Но поскольку п(в" (г), да}- 3 (см. обозначения (8) и формулу (26)), то нетрудно заметить, что функция [ (г), определяемая формулой (33), удовлетворяет этому условию.

Предположим, что уже найдена (по формуле (33)) функция [1 (г). Тогда функцию [ (г) можно найти по формуле (23), причем здесь будем иметь

п[-, да}-1.

Наконец, поскольку требуется решить задачу ОЯ41 в классе М2(Т±) Н ^(Ь), остается еще проверить выполнение следующего условия: граничные значения функций [ (г) (к = 0,1) и их производных 1-го порядка удовлетворяют на Ь условию Гёльдера, т.е. [ (г) е Н(1)(Ь), к = 0,1.

Согласно условию задачи ОЯ41, коэффициенты Ау (г), Оу (г) е Нк) (Ь) (к = 1,2; у = 1,2) и свободные

выполняется автоматически.

члены ёк (г) е Н(3 кк)(Ь). Поэтому в силу (6) имеем ак] (г), ёку (г) е НС-к) (Ь). Отсюда Ок (г) е Н{Ъ~к) (Ь) и

тк(г) е Н('3к\Ь). Следовательно [1, с. 53], граничные значения решений краевых задач Римана (15) принадлежат классу Нк)(Ь), т.е. у±у (г) е Н{Ъ~к)(Ь) (к = 1,2 ; у = 1,2). Но тогда в силу (10) граничные значения функций Ф± (г) также принадлежат классу Нк)(Ь). Значит, согласно формулам (21), (23), (30), (33) (при выполнении условий (31)), будем иметь [± (г) е Н т(Ь), к = 0,1.

Таким образом, решения задачи ОЯ41 в рассматриваемом случае можно найти по формуле (1), где [к (2) (к = 0,1) определяются из (21), (23), (30), (33).

Сформулируем полученный результат.

Теорема 2. Пусть Ь = {г: |г| = 1}, Л0 ф 0 и всюду на Ь выполняются условия (17). Тогда решение краевой задачи ОЯ41 в классе М2(Т±)Н(\Ь) исчезающих на бесконечности кусочно метааналитиче-ских функций, задаваемых формулами (1) при Л0 ф 0, сводится к решению двух векторно-матричных задач Римана (15) для аналитических функций и двух линейных неоднородных дифференциальных уравнений

r = z

n

n

(22) и (24). При этом для разрешимости задачи GR41

необходимо и достаточно, чтобы были одновременно разрешимы задачи Римана (15) и дифференциальное уравнение (22).

Так как при выполнении условий (17) векторно-матричные задачи Римана (15) являются нетеровыми, то из теорем 1 и 2 вытекает следующее важное утверждение.

Следствие 1. Задача GR41 в рассматриваемом случае нетерова тогда и только тогда, когда выполнены условия (17).

Литература

1. Расулов К.М. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторые их приложения. Смоленск, 1998. 344 с.

2. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М., 1977. 640 с.

3. Медведев Ю.А., Расулов К.М. О решении первой че-тырехэлементной краевой задачи типа задачи Римана для бианалитических функций в случае окружности // Исследования по краевым задачам комплексного анализа и дифференциальным уравнениям: межвуз. сб. науч. тр. Смоленск, 2007. Вып. 6. С. 83-93.

4. Медведев Ю.А. Четырехэлементные краевые задачи типа задачи Римана в классах бианалитических функций : дис. ... канд. физ.-мат. наук. Смоленск, 2007. 115 с.

5. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений. М., 1970. 379 с.

6. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. M., 1977. 448 с.

7. Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков, 1939. 719 с.

8. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М., 1966. 626 с.

9. Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. М., 1984. 320 с.

Поступила в редакцию

10 июня 2009 г.