О решении невырожденной четырехэлементной краевой задачи типа Карлемана для бианалитических функций в круге Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.968.23

О РЕШЕНИИ НЕВЫРОЖДЕННОЙ ЧЕТЫРЕХЭЛЕМЕНТНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТИПА КАРЛЕМАНА ДЛЯ БИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ

Н.Н. Богданова, К.М. Расулов*

Смоленский государственный университет, кафедра алгебры и геометрии,

*кафедра математического анализа Е-таН: [email protected]

Статья посвящена исследованию четырехэлементной краевой задачи типа Карлемана для кусочно-бианалитических функций с линией скачков Ь = {£ : Щ = 1}. Получен конструктивный метод решения рассматриваемой задачи в так называемом невырожденном случае. Установлено, что решение исследуемой задачи сводится к решению двух обобщенных и двух обычных скалярных задач Римана для кусочно-аналитических функций с линией скачков Ь.

Ключевые слова: четырехэлементная краевая задача типа Карлемана, кусочно-бианалитические функции, линия скачков, скалярная задача Римана для кусочно-аналитических функций.

About the Solution of Nondegenerate Four-Element Boundary Value Problem of Karleman Type for Bianalytical Functions in Circle

N.N. Bogdanova, K.M. Rasulov*

Smolensk State Universyty Chair of Algebra and Geometry,

* Chair of Mathematical Analysis E-mail: [email protected]

The article is devoted to the investigation of four-element boundary value problem of Karleman type for sectionally bianalytical functions with discontinuity line L = {t: |t| = 1}. A constructive method for solution of the problem concerned in a so called nondegenerate case was found. It is established that solution of the investigated problem consists of solution of two generalized and two usual scalar boundary value problems of Riemann for sectionally analytical functions with discontinuity line L.

Key words: four-element boundary value problem of Karleman, sectionally bianalytical functions, discontinuity line, scalar boundary value problem of Riemann for sectionally analytical functions.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть Т + — конечная односвязная область на расширенной плоскости комплексного переменного г = х + іу, ограниченная простым гладким замкнутым контуром Ь, а Т- = С \ (Т + и Ь). Для определенности будем предполагать, что начало координат принадлежит области Т +. Далее будем пользоваться в основном терминами и обозначениями, принятыми в монографиях [1, 2]. Рассмотрим следующую краевую задачу.

Требуется найти все кусочно-бианалитические функции Г (г) = (Г + (г),Г- (г)} класса А2(Т±) п Н(2)(Ь), исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие на контуре Ь следующим условиям:

All (t) ^ + A12 (t) «■= Gn(t) ^ + Gi2(t)M+ gi(t), (1)

А21 (і)^ - А22(0= См(()^ - С22(()^ - Ы(), (2)

где А^ (і), (і), (і) (к = 1, 2; і = 1, 2) — заданные на L комплекснозначные функции

класса Н(Ь) (Гельдера), і — мнимая единица, а (і) — прямой или обратный сдвиг контура Ь, удовлетворяющий условию Карлемана

а [«(£)] = і, (3)

причем а' (і) Є Н(Ь).

В формуле (2) множитель (-1) перед А22(і) и Є22(і), а также множитель (-і) перед д2(і) введёны для удобства в дальнейших обозначениях.

Сформулированную задачу будем называть первой основной четырехэлементной краевой задачей типа Карлемана в классах бианалитических функций, или, короче, — задачей К41, а соответствующую однородную задачу (ді (і) = д2(і) = 0) — задачей К0.

© Н.Н. Богданова, К.М. Расулов, 2GG9

Сразу отметим, что в частном случае, когда А12(і) = А22(і) = Є12(і) = Є22(і) = 0, А11 (і) = А21(і) = 1, используя оператор сопряжения, задача К41 элементарно сводится к основной (двухэлементной) краевой задаче типа Римана для бианалитических функций, сформулированной Ф.Д. Гаховым в его известной монографии [1, ^ 319].

Если же, например, на контуре Ь выполняются условия А11 (і) = А21 (і) = Є12(і) = Є22(і) = 0, А12(і) = А22(і) = 1, то задача К41 представляет собой основную (двухэлементную) краевую задачу типа Газемана для бианалитических функций. Двухэлементные задачи типа задачи Римана и типа задачи Газемана для бианалитических функций в случае произвольных конечносвязных областей с гладкими границами подробно исследованы в работах К.М. Расулова (см., например, монографию [2] и имеющуюся там библиографию). В работах [3, 4] задача К41 изучалась при условии Ап (і) = А21 (і) = 0, А12 (і) = А22 (і) = 1 и а (і) = і.

Следует отметить также, что в частном случае, когда а(і) = і, задача К41 была исследована в работах ЮА. Медведева [5, 6].

Здесь задача К41 исследуется в указанной выше постановке в случае, когда контур Ь — есть единичная окружность: Ь = ( і : | і | = 1}, а Т + = ( г : | г | < 1}. Кроме того, в дальнейшем без ограничения общности будем считать, что выполняется следующее начальное условие:

Г +(0) = 0. (4)

2. О СВЕДЕНИИ ЗАДАЧИ К41 К ДВУМ ТРЕХЭЛЕМЕНТНЫМ ВЕКТОРНО-МАТРИЧНЫМ ЗАДАЧАМ РИМАНА ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Первым важным шагом при исследовании задачи К41 является доказательство следующего утверждения.

Теорема 2.1. Если на контуре Ь = { £ : | £ | = 1} выполняются условия

$к (£) = Ак1(£)£к1 [а(£)] — Ак2[а(£)]£к2 (£) = 0, £ € Ь, к = 1, 2, (5)

то решение задачи К41 сводится к решению следующих двух векторно-матричных задач типа Римана относительно кусочно-аналитических вектор-функций:

где

^+(і) = ^(і)^ (і) + ^2 (іЖ [а(і)] + Як (і), і Є Ь, к = 1, 2, (6)

ФІ(г )=( ^±‘(!) 1, ^±1 (г ) = Ф± (г), (г) = ^ , г Є Т±, (7)

Ф±(г) = г^^°(г) + + (-1)к-1г^±(г), г Є Т±, (8)

/ Ак і (,) 0 \ / 0 ,[а(,)]2 Ак2(,) \ / ^дкі (,)

І‘0‘) ^М«)] . ^кіМ,)] І‘і,) . Я№ = „£[<&)]

V 0 5к [а(і)\ / \і2 [а(і)]Зк [а(,)] 0 / \і23к [«(,)],

А к 1(£) = £ к 1[а(£)]£к 1 (£) — £ к2(£)£ к2 [а(£)]5 А к2(£) = Ак 1 [а(£)]£ к2 (£) — Ак 2 (£)£ к 1[а(£)]

Ук 1 (£) = А к 2[а(£)]^ к 1 (£) - А к 1(£)£ к2 [а(£)], V: 2 (£) = А к 1 [а(£)]А к 1(£) - А к 2(£)А к 2 [а(£)], (9)

Я к1 (£) = £ к 1[а(£)]#к (£) - £ к2 (£)#к [а(£)], Я к 2(£) = А к 2[а(£)]#к (£) - А к 1 (£)#к [«(£)]•

Доказательство. Как известно (см., например, [1, 2, 7]), всякую исчезающую на бесконечности кусочно-бианалитическую функцию Р(г) с линией скачков Ь можно представить в виде

р(г) = [ Р +(г) = (г) + (гг € Т + (10)

\ р-(г) = Ро (г)+ (г) г € Т_>

где ^+(г), (г) — аналитические функции соответственно в Т + и Т-, для которых выполняются

условия: Г№- , го} > 1 + к, к = 0, 1; здесь , го} — обозначение порядка функции ц>к (г) в

точке г = го.

С учетом представления искомой кусочно-бианалитической функции в виде (10) и в силу известных соотношений

д д д д / д д

дх дг + дг’ ду \дг дг

краевые условия (1) и (2) перепишем в следующем виде:

А (і) І -^+(і) , т-(^+(і) , ..+ (іЛ , А (і^-^+[а(і)] , Т77Г-^+[а(і)] , ..+ [а(і)^

А11 (‘Н “ЗГ" + ^(і) + А12(і) ^^—-Т- + “(і)^-^ + ^ [“(і)П =

= он (() , ^ + іМ-М + («)) + Си(і) (+ Оі)5» + ,+ [„(і)]) + д1 (і), (11)

А (і)/ -^+(і) , т-^+(і) ..+ (іЛ , А (і^-^+[а(і)] , Т77Г-^+[а(і)] ..+ [а(і)П

А21 (і) ---^-----+ і---^------^1 (і) + А22(і) --77-+ а(і)--77-^1 [а(і)] =

-і -і 1 -і -і

1

= °2‘ (‘М ^ - V'- (‘Л + с22(‘) (+ 0(£) *М1 - ^ [„(«)]) + *(£)• (12)

Поскольку во всех точках окружности Ь = {‘ : |‘| = 1} выполняется равенство ‘ ■ ‘ = 1, то, используя функции Ф+(г) и Ф-(г), задаваемые формулами (8), краевые условия (11) и (12), в свою очередь, можно записать так:

іАк1(і)Ф+(і) + [а(і)] 1 Ак2(і)Ф+ [а(і)] = іОк1 (і)Ф*. (і) + [а(і)] 1 Ок2(і)Ф*. [а(і)] + дк(і), к = 1,2. (13)

Из равенств (13), переходя к комплексно-сопряженным значениям функций, получим

і 1 Ак1(і)ф+ (і) + [а(і)]2 Ак2 (і) ■ «(і)ф+[«(і)] =

= « 1£к1(‘)Ф^ (‘) + [а(‘)]2£к2(‘) ■ а(‘)Ф^ [а(‘)] + #к(«), к = 1, 2. (14)

Подставив всюду в соотношения (13) вместо ‘ выражение а(‘) (с учетом условия Карлемана (3)), будем иметь:

а2(‘)Ак1 [а(«)]а(«)Ф+ [а(«)] + ‘-1 Ак2 [а(‘)]Ф+ (‘) =

= а2(‘)£к1 [а(‘)]а(‘)Ф-[а(‘)] + ‘-1£к2[а(‘)]Ф-(‘) + #к[а(‘)], к = 1, 2. (15)

Далее, с помощью формул (7) введем в рассмотрение аналитические функции ф +1(г), ф +2(г) и ф -1 (г), ф -2(г) (к = 1, 2) соответственно в Т + и Т-.

Важно заметить, что в силу формул (7) предельные значения функций ф ±!(г), ф±2(г) должны удовлетворять условиям «симметрии»:

ф±1 (‘)=Ф±^ ф±2(‘) = ‘Фй ^ ф±2[а(‘)] = «(‘)ФЙ [а(‘)], ‘ € Ь к = 1 2. (16)

С учетом формул (16), равенства (14) и (15) запишем в виде следующей системы (при каждом фиксированном значении к):

‘ 1А к 1 (‘)фк1(‘) + [а(‘)]2 Ак2 (‘)фк2 [а(‘)] =

= ‘-1 £к 1 (‘)ф-1 (£) + [а(‘)]2£к2(‘)ф+2 [а(‘)]+ ^к (£),

к = 1, 2. (17)

[а(‘)]2 Ак 1 [а(‘)]ф -2 [а(‘)] + ‘-1А к2 [а(‘)]ф +1 (‘) =

= [а(‘)]2£ к 1[а(‘)]ф+2 [а(‘)] + ‘-1 £к2 [а(‘)]ф-1(‘) + ^к [а(‘)],

Выразив из первого уравнения системы (17) функцию ф +1 («), а из второго уравнения этой системы функцию ф +2[а(‘)], будем иметь:

«1»-^? в"» ‘Г2КЧ + ^

+ _ ^к 1 (і) „і,- и\ і ^к2 (і)я/,- Г„,ЛЛ1 , Як2(і)

ф +2 [«(і)] = т Ф ^1(і) + Ф ^2 [«(і)] +

к = 1, 2. (18)

Наконец, заменив во втором уравнении системы (18) Ь на а(Ь), с учетом условия Карлемана (3) окончательно получим

= Ф_ V* і [«(*)]

Ф_ , Ф(*)]2А к2(і) Ф_ [а(і)] , *1 (і)

Ф Й1 (і) +-----ГТТа------Ф £2[аС0] +

4 (і)

Йг(*) =

5к (і)

Я к 2[а(і)]

і2 [а(і)]5к [а(і)]

^_і[“(і)1 + 99 (<) + ^ к[а(*)]'

к = 1, 2.

(19)

Но система (19) есть «развернутая» форма записи краевого условия (6).

Таким образом, установлено, что при выполнении условий (5) решение исходной задачи К41 действительно можно свести к решению двух трехэлементных векторно-матричных задач Римана вида (6) относительно кусочно-аналитических вектор-функций.

Для завершения доказательства осталось показать, как после решения двух векторно-матричных задач Римана вида (6) можно восстановить искомые кусочно-бианалитические функции Р + (г) и

р _ И-

Для этого сначала находим функции Ф±(г) :

где ф ± (г) =

ф ±і(г) > ±2(^),

Ф±(г) = ф±і(г), к = 1, 2,

— решение задачи Римана (6) (при фиксированном значении параметра к).

Затем определяем аналитические компоненты (г), (г) (к = 0, 1) искомых кусочно-

бианалитических функций из следующих двух систем, которые должны выполняться в силу обозначений (8):

Г ) (г)

+ г^+(г) = Ф+(г), г Є Т+,

— г^+(г) = Ф+(г), г Є Т+,

^ + 2^_(г) = ф_(г), г є Т"

гй£_(£)+ #_£) — ^_(г) = ф_(г), г Є Т-

(20)

(21)

Из формул (20) и (21) видно, что функции Ф+(г) и Ф+(г) в точке г = 0 должны удовлетворять следующему условию:

й^+(0)

Ф+(0) = Ф+ (0) =

(22)

Решив систему (20) относительно ( г) и ( г), а систему (21) — относительно ( г) и ^ (г), с учетом соотношений (22) и начального условия (4) будем иметь:

<Р±( г) = 2; (Ф±(г) — Ф±( г)) ,

Ро+ ( г) = У ^ (ф+ (О + ф+ (О — 2

V-(г) = I ^ (Ф_(С) + Ф_(С) — 2

С

С

(23)

где Г+ (Г-) — произвольная гладкая кривая, лежащая в Т + (Т-) и соединяющая точки 0 иг (го и г).

Таким образом, решение задачи К41 можно находить по формуле (5), где функции ( г), к = 0, 1, определяются по формулам (23). Теорема полностью доказана.

Из приведенных при доказательстве теоремы 2.1 рассуждений следует, что в случае выполнения условий (5) проблема исследования задачи К41 в классах кусочно-бианалитических функций сводится к проблеме исследования двух векторно-матричных задач Римана вида (6).

Из краевых условий (6) видно, что если выполняются условия (5), то целесообразно изучать векторно-матричные задачи Римана вида (6) (а значит, и краевую задачу К41) отдельно в следующих четырех случаях:

I. det ^к1 (Ь) = 0, det (Ь) = 0, Ь е Ь, к = 1,2 (невырожденный случай).

II. det ^к1(Ь) = 0, det ^к2(Ь) = 0, Ь е Ь, к = 1, 2 (1-й полувырожденный случай).

III. det ^к2(Ь) = 0, det ^к1(Ь) = 0, Ь е Ь, к = 1, 2 (2-й полувырожденный случай).

IV. det ^к1(Ь) = 0, det ^к2(Ь) = 0, Ь е Ь, к = 1, 2 (вырожденный случай).

В настоящей заметке ограничимся решением задачи К41 в случае I.

3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ К41 В НЕВЫРОЖДЕННОМ СЛУЧАЕ

Пусть а(Ь) — прямой сдвиг контура Ь, 5к(Ь) = 0, det ^к1(Ь) = 0 и det ^к2(Ь) =0, Ь е Ь, к = 1, 2. Отсюда следует, что Д^- (Ь) = 0 и (Ь) = 0, Ь е Ь (к = 1, 2; ^ = 1, 2).

Рассмотрим далее «развернутую» форму записи краевых условий (6), т.е. систему (19). Зафиксируем значение параметра к и перепишем первое равенство из системы (19) в следующем виде:

ф+1(Ь) = Рк1 (Ь)ф-1(Ь) + 9к1(Ь) > Ь е Ь (24)

где

Р (Ь)=Д к1(Ь) 9 (Ь) = Ф(Ь)]2 Д2(Ь) ф — [т(,)1 . к1(Ь) (25)

Рк 1(Ь) = 1кйГ ’ *1 (Ь) =-----*■(*)--ф2 . (25)

Будем считать временно дк 1 (Ь) известной функцией. Тогда равенство (24) (при фиксированном значении параметра к) представляет собой краевое условие обычной скалярной задачи Римана относительно исчезающей на бесконечности кусочно-аналитической функции фк 1 (г) = (ф +_(г), ф-1(г)} с линией скачков Ь (см., например, [1, с. 109]).

Пусть х к 1 = 1пёР к 1(Ь) — индекс задачи Римана (24). Как известно (см., например, [1, с. 113]), если х к 1 > 0, то скалярная задача Римана (24) безусловно разрешима и ее общее решение можно задавать формулой

ф«(г) = / 1+м ^+х±'(г)рх‘--‘(г) г е Т±- (26)

где Х±1 (г) — канонические функции задачи Римана (24), а РХк1-1 (г) — произвольный многочлен степени не выше х к 1 — 1. Если же х к 1 < 0, то при выполнении следующих —х к 1 условий разрешимости

дк 1 (т ) т — 1

Ь

Х+1(т)

тт йт = 0, т = 1,2,..., —хкъ (27)

единственное решение задачи Римана (24) также задается формулой (26), где положено РХк1—1 (г) = 0.

Переходя к пределу при г ^ Ь е Ь и с учетом формул Сохоцкого (см., например, [1, с. 38]), а также обозначений (25), из (26) будем иметь:

ф— /,ч 1 Ь[«(Ь)]2 Д к2(Ь) ф— ГпГ.)] . Х—1(Ь) [ Г [«(Т)]2Д к 2 (т) ф—2 [а(т )]йт

ф к 1(Ь) = о А /-/Л фк2[а(Ь)] +

2 Д к 1(Ь) 2П У 4 (т )Х+ (т) т — Ь

Ь

1 ЬЯк1 (Ь) . ХЙ1 (Ь) /* тЯ к 1_(г) йт

'+1

2ДИ (*) + 2™ У <5к(т)Х+ (т) т — * + Хк1(‘)р»1—‘№' (28)

Поскольку ф д,2 (Ь) — граничное значение аналитической в Т и исчезающей на бесконечности функции ф—2(г), то справедливо равенство (см., например, [1, с. 40]):

2«>- ■« (2»)

Н.Н. Богданова, КМ. Расулов. О решении невырожденной четырехэлементной краевой задачи _ Из (29), в свою очередь, вытекает следующее равенство (см., например, [8, с. 117]):

1 Ф- ьті = —— ( фкМіМі)*

2 к2 2пг 7 а(т) — а(ї)

ь

Ф-2[«(*)] = ^ I , * Є Ь. (30)

Далее, с учетом (30) из формулы (28) будем иметь:

Ф-і(ї) = — ^ ^ Л-2 [а(^)]+/Ві (ї,т)Ф-2 [«(т)]^т + Мкі(і), (31)

где

и (і т) = Хмй/ т[а(т)]2дк2(т) ____^[а(^)]2Ак2(і) «/(т) I (32)

к1 (’ ) 2пі \ 4(т)Х+і(т) т — і 4(*)Х+і(*) а(т) — а(*Г ’ ( )

М (*Л _ 1 *1(^) + Х1 (^ ^ к1 (т) ^т |Х- (.)р (.ч

Мк1 (*)_ -2 д^(У + ^ПГ У ^ к(т)х+ (т) 7-Г +х 1 (*)Р- -1(*)-

Нетрудно проверить, что при сделанных в условии задачи К41 предположениях относительно заданных на контуре Ь функций Ак-(*), Ск-(*), (*) (к _ 1, 2; ] _ 1, 2) и а(*), будем иметь:

Мк 1(*) е Н(Ь), а Вк 1(*,т) е Н* (Ь х Ь), т.е. Вк 1 (*,т) — фредгольмовы ядра.

Подставив в формулу (31) вместо * функцию сдвига а(*), получим

ф-1 [а(*)] _ - * [а^)|'[а(*)-|!(*)] ^-2(*) + / В1 [а(*)’ а(т)]Ф-2(тК(т)Йт + Мк 1[«(*)]- (33)

У

Наконец, подставив в правую часть второго равенства системы (19) вместо функции ф-1[а(*)] ее значение, задаваемое формулой (33), будем иметь:

ф +2 (*) _ ^ к2 (*)ф -2 (*) + ^ Вк2 (* т)ф -2 (т)^т + 2 (*), * е Ь, (34)

У

где

Б к2(і) = л^Г^М , вк (і) = Ак 1 (і)£кі [а(і)] — Ак2 [«(*)]£ к2(і),

А к і [«(І)]

Вк2 (*’т) = ^ш^)]Вк іі“(‘)'“(т )і“/(т)- (35)

„ (і)= ^к і[а(і)] М [т(.)] . Я к2[а(і)]

«и(ї) = Мк і1а(*я + •

Итак, если выполняется условие

вк (і) = Ак і(і)С к і [а(і)] — Ак 2[а(і)]^ к2 (і) = 0, і Є Ь (36)

(т.е. Бк2(і) =0, і Є Ь), то равенство (34) (при каждом фиксированном значении параметра к) представляет собой краевое условие хорошо изученной обобщенной скалярной задачи Римана нормального типа относительно исчезающей на бесконечности кусочно-аналитической функции фк2(г) = = {Ф+2(г), Ф-2(г)} (см., например, [1, с. 365] или [2, с. 40]).

Таким образом, установлена справедливость следующего утверждения.

Теорема 3.1. Если на Ь = {і : |і| = 1 } выполняются условия (5), (36), а(і) — прямой сдвиг контура Ь и det ^і (і) = 0, det ^2(і) =0, і Є Ь, к = 1, 2, то решение задачи К4і сводится к последовательному решению двух обобщенных скалярных задач Римана вида (34) и двух обычных скалярных задач Римана вида (24) в классах исчезающих на бесконечности кусочноаналитических функций с линией скачков Ь. При этом задача К4і разрешима тогда и только тогда, когда одновременно разрешимы краевые задачи (34), (24) и выполнены условия (22).

Замечание 3.1. Важно отметить, что, при выполнении условий теоремы 3.1, задача К4і будет нетеровой. Это следует из того, что в рассматриваемом случае скалярные задачи Римана вида (24) и (34) являются нетеровыми.

Библиографический список

1. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.

2. Расулов К.М. Краевые задачи для полианалитиче-ских функций и некоторые их приложения. Смоленск: Изд-во СГПУ, 1998. 344 с.

3. Анищенкова Н.Г. Трехэлементные краевые задачи типа Римана для бианалитических функций: Дис. .. . канд. физ.-мат. наук. Смоленск, 2002. 120 с.

4. Анищенкова Н.Г., Зверович Э.И., Расулов К.М. О решении обобщенной краевой задачи типа Римана для бианалитических функций в круге // Докл. НАН Беларуси. 2002. Т. 45, № 6. С. 22-25.

5. Медведев Ю.А. Четырехэлементные краевые задачи типа задачи Римана в классах бианалитических функ-

ций: Дис. . . . канд. физ.-мат. наук. Смоленск, 2007. 115 с.

6. Медведев Ю.А., Расулов KM. О решении первой четырехэлементной краевой задачи типа Римана для бианалитических функций в случае окружности // Исследования по краевым задачам комплексного анализа и дифференциальным уравнениям. Смоленск: Изд-во Смоленск. ун-та, 2005. Вып. 6. С. 83-93.

7. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука, 1970. 379 с.

8. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. М.: Наука, 1977. 448 с.

УДК 517.5

О НЕСЕПАРАБЕЛЬНЫХ ВСПЛЕСК-ФУНКЦИЯХ ТИПА МЕЙЕРА В ПРОСТРАНСТВАХ БЕСОВА ИЛИЗОРКИНА-ТРИБЕЛЯ

С.А. Гарьковская

Воронежский государственный университет,

кафедра функционального анализа и операторных уравнений

E-mail: [email protected]

Статья посвящена доказательству возможности использования несепарабельных всплеск-функций типа Мейера в качестве разбиения единицы в определении шкал пространств Бесова и Ли-зоркина - Трибеля. Этот результат является первым шагом в доказательстве безусловной базисности вышеназванных всплеск-функций в рассматриваемых шкалах.

Ключевые слова: всплеск, несепарабельные всплески, пространства Бесова, пространства Лизоркина - Трибеля, разбиение единицы.

Nonseparable Wavelets of Meyer Type in Besov and Lizorkin -

- Triebel Spaces

S.A. Garkovskaya

Voronezh State University,

Chair of Functional Analysis and Operator Equations E-mail: [email protected]

It is proved that Fourier transforms of nonseparable wavelets of Meyer type can be used as decomposition of unity in definition of Besov and Lizorkin - Triebel spaces. The result is the first step in the proof of unconditional basisness of above mentioned wavelets in scales under consideration.

Key words: wavelet, nonseparable wavelets, Besov spaces, Lizorkin - Triebel spaces, decomposition of unity.

1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Определение 1 [1, с. 93]. Совокупность замкнутых пространств V- С Ь2(КП), 3 е Ъ, называется кратномасштабным анализом в Ь2 (Кп) с матричным коэффициентом расширения М, если выполнены следующие условия (аксиомы):

MR1. V- С У-+1 для всех 3 е Ъ;

MR2. и V- плотно в Ь2 (Ъ);

-еж

MR3.fl V- _ {0};

-еж

MR4. / е V) ^ / (М- •) е V- для всех 3 е Ъ;

MR5. существует функция ^ е V), такая что последовательность {^(- + п)}пеЖ образует базис Рисса в V).

Функция ^ называется масштабирующей. Если масштабирующая функция некоторого кратномасштабного анализа не является тензорным произведением функций одной переменной, то такой кратномасштабный анализ называют несепарабельным.

© С.А. Гарьковская, 2009