Об одной четырехэлементной краевой задаче типа Римана для бианалитических функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.968

ОБ ОДНОЙ ЧЕТЫРЕХЭЛЕМЕНТНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ТИПА РИМАНА ДЛЯ БИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

ЮЛ. Медведев, К.М. Расулов

В работе получен алгоритм решения одной из основных четырехэлементных краевых задач типа Римана в классах кусочно-бианалитических функций, линией скачков которых является единичная окружность, указаны условия, при которых решение задачи может быть получено конструктивно и явно в интегралах типа Коши. Исследована картина разрешимости задачи и установлена ее нетеровость.

1. Постановка задачи. Пусть Т+ - конечная одноевязная область на плоскости комплексного переменного г = х + іу, ограниченная простым гладким замкнутым контуром I. Область, дополняющую Т+иЬ до полной плоскости, обозначим через Т~ и будем считать, что начало координат находится вГ.В дальнейшем в основном пользуемся терминами и обозначениями, принятыми в [1]. Рассмотрим следующую краевую задачу.

Требуется найти все кусочно-бианалиттеские функции /г(г) = |^+(2), класса

4(г±)пЯ(2)(1), исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие на Ь условиям:

л (л дР+№ \( п*-1 л 5ІГ+(0 -г . ( П*-1Г (Л ,к-\ т т

Ы) дх2-кдукА( } к дх2~кд/-х дх2-кдук~] } к2І)дх 2-кдук~1 &(),(>

где к = 1,2, ^-(0,^(0» О = 1,2) ~ заданные на контуре Ь функции класса Н(Ь) (Гёль-

дера), і - мнимая единица, причем для определенности будем предполагать, что выполняется следующее «начальное условие»

/г’+(0) = 0. (2)

Сформулированную задачу будем называть задачей а соответствующую однородную задачу (gk(t) = 0, к-1,2) назовем задачей 0$.

Отметим, что в частном случае, когда Ап(0 = А22(0 = С?12(0 = С22(0 = 0, Ап(ґ) = А21(0 = 1, задача представляет собой основную {двухэлементную) краевую задачу типа Римана для бианалитических функций, сформулированную Ф.Д. Гаховым в его известной монографии (см. [2], с. 319). Двухэлементная задача типа Римана (1) для бианалитических функций в случае произвольных конечносвязных областей с гладкими границами подробно исследована в работах одного из авторов (см. [1] и имеющуюся там библиографию).

В данной заметке задача исследуется в сформулированной выше постановке в случае,

когда контур I есть единичная окружность: Ь = {/ :|ґ| = 1}.

2. О сведении задачи к двум векторно-матричным задачам Римана для аналитических функций. Хорошо известно (см., например, [1, 2]), что всякую исчезающую на бесконечности кусочно-бианалитическую функцию F(z) с линией скачков Ь можно представить в виде

^(г) = %{г) + (£), г є Г* (3)

где <р\ (г), (рЦг) - аналитические соответственно в Т+ и Т~ функции, причем

Г1Ц" ,со| >1 + &, к = 0,1 (здесь означает порядок функции <рк(г) в точке г = оо ).

С учетом представления (3), известных соотношений

д д д д .(д дл

дх дг дг’ ду і^йг дг

и тождества t^t = 1 є I) краевые условия (1) можно переписать в следующем виде:

гЧі(0Фі(О+^2(ОФ*(0=гЧ(0ФК0+^2(0Ф*(0+^*(0) к=\,2, (4)

где приняты обозначения:

ф±(г) = гМ(£)+ММ + (_1)*-1 z(3±(*)s геГ*.

dz dz

Из равенства (4), переходя к комплексно сопряженным значениям, получаем:

/2Л1(Г)-^(0 + Г142(/)Ф^(/) = Г2О,1(0-/Фї(0 + Г1СА2(/)ФИ0 + ^(0, * = 1,2. (5)

Далее, введем в рассмотрение аналитические соответственно в Т+ и Т~ функции ц/ц{г) и (к = 1,2; у =1,2), которые определим так:

ванном значении к) с линией скачков L.

Таким образом, при выполнении условий (7), решение задачи G&, сводится к решению двух обычных векторно-матричных задач Римана вида (8) относительно двумерных кусочноаналитических векторов y/k{z) = (^(z), if/k2{z)).

Замечание 2.1. Здесь важно отметить, что если выполняются условия (7), то S (f\

detGA(0 = - - ■ * О, teL. Следовательно, условия (7) необходимы и достаточны для нетерово-

sk({)

сти обеих векторно-матричных задач вида (8) (см., например, [3], с. 51).

Из приведенных выше рассуждений видно, что в случае, когда L = \t :\t\ = l] и выполняются

условия (7), проблема исследования задачи GR4 в классах кусочно-бианалитических функций сводится в основном к проблеме исследования двух векторно-матричных задач Римана вида (8). Известно, что в общем случае решение векторно-матричных задач такого вида сводится к решению определенных систем интегральных уравнений Фредгольма второго рода (см., например, [3], гл. 1 или [4], гл. 1). Поскольку законченного решения метод интегральных уравнений не дает (как в смысле установления условий разрешимости, так и в смысле эффективного получения самих решений), то очень важно установление частных случаев, когда векторно-матричные задачи вида (8) допускают вполне конструктивные и эффективные решения.

Структура матриц Gk(t) (к = 1,2) в краевых условиях (8) позволяет получить конструктивные решения векторно-матричных задач Римана вида (8) (а значит, и поставленной задачи GR4), например, в следующих трех случаях:

I. Общий случай, когда выполняются условия:

(6)

Если предположить, что

^к\^У^к\^) —Ak2{t)Gk2(f)^^, teL, к-1,2, то равенства (4), (5) можно записать в следующей векторно-матричной форме:

4/k(t) = Gk(04'k(t) + Qk(t), teL, к = 1,2,

(7)

(8)

где

( Gkx{t)gk{t)-Gkl{t)gk{t)}

*4(0

<5* (0 - Ai(fУ^кі(0~4t2if)Gk2(t), Pk{t)-t^ {^Ak}(t)Gk2(t)-Ak2(t)Gkl(0) >

a y/k(z) = (i//kl(z), iyk2(z)) ~ неизвестный кусочно-аналитический вектор (при каждом фиксиро-

Ии(0|*Ии(')| и \Gkl(t)\*\Gk2(t)\, teL,k = 1,2;

(9)

П. Вырожденный случай, когда для каждого из двух значений параметра к выполняется одно из следующих условий:

Нн (0| = |^*2 (0| 5 |Л1«| * |Лг(0|. * е Ь; (10)

|41(0|3|4ьг(0|> 1^1 (0|*|^2(0|, (11)

|^и(0|31^2(0|> |4н(0|5 Ию(0|, I е X; (12)

Ш. Полувырожденный случай, когда при одном значении параметра к выполняется условие (9), а при другом значении этого параметра выполняется одно из условий (10)—(12).

Ниже покажем, что в каждом из указанных случаев задача дя* допускает вполне эффективное решение.

3. О решении задачи (ЙС4. Остановимся сначала на построении конструктивного алгоритма решения исследуемой задачи в случае I. Заметим, что при выполнении условий (7) коэффициент Ск(г) каждой векторно-матричной задачи Римана вида (8) (т.е. задачи, получаемой из (8) при каждом фиксированном значении параметра к ) обладает следующим важным свойством: все

главные миноры матрицы СгЛ(0 отличны от нуля на Ь. Но при выполнении этого условия из-

вестно (см., например, [1], §18), что векторно-матричная задача Римана для аналитических функций допускает вполне конструктивное решение. В самом деле, перепишем в развернутом виде матричное равенство (8):

(13)

ад «,«)

ад ад *Ч(о

Вводя обозначения

0и(О = з(*>^(0, * = 1,2, (15)

дк(о *®*(0

равенства (13), в свою очередь, можно записать так:

^со=ЦМ^)+е,1(/), к=1,2. (16)

°к\ о

Далее, если временно рассматривать <2к(0, te.L (при фиксированном значении к) как известную функцию, то равенство (16) будет представлять собой краевое условие скалярной задачи Римана относительно неизвестной кусочно-аналитической функции ^(г), исчезающей на бесконечности.

Пусть

,|2 ,.ч|2^

= Ыбк(1) = хк, к = 1,2.

ІПСІ

|ОцММо>2(01:

т

ч /

Тогда, как известно (см., например, [2], с. 113), при Хк -0 скалярная задача Римана вида (16) (при каждом фиксированном к ) безусловно разрешима и ее общее решение задается так:

/

^(*) = **(*)

2пі) Х^(г)г-2

,**7*, (17)

где Хк(г) - каноническая функция задачи, РХк_х(г) - полином степени д-1 с произвольными комплексными коэффициентами. Если же д <0, то решение задачи Римана (16) также дается формулой (17), где нужно положить РХк_х(г) = 0, при соблюдении следующих ~Хк условий разрешимости:

] Х*(г)

£

Подставив граничное значение функции ц/кХ{г), найденной по формуле (17), в равенство

(14), получим краевое условие обобщенной скалярной задачи Римана относительно исчезающей на бесконечности кусочно-аналитической функции у/к2(2):

Уй(0+ = 0и(0> к = 1,2, (18)

где Вк2Ц,т) - фредгольмово ядро, б42(0 “ функция класса Н(Ь), вполне определенным образом выражаемые через известные функции бф(/), gk(t)■^J = 1,2).

Ясно, что при выполнении условий (7) и (9) обобщенная скалярная задача Римана (18) является задачей нормального типа и в этом случае она допускает конструктивное решение (см., например, [1], § 2).

Наконец, решая (при каждом фиксированном значении параметра к ) обобщенную задачу Римана (18), например, пользуясь методом, предложенным в [1], определим функции Щ2{г) ■ Затем, подставив граничные значения найденной функции цгк2{г) в выражение для свободного члена краевого условия (16) и решив обычную задачу Римана (16), определим кусочноаналитическую функцию цгкХ (г). По найденным функциям Ц/кХ(г) и <//к2(2) > пользуясь формулами (6), определим кусочно-аналитические функции Фк(г),к = 1,2. Тогда, с учетом начального условия (2), нетрудно восстановить аналитические компоненты искомой кусочно-бианалитической функции Р±{г):

лс

ас,

где Г+ (Г ) - произвольная гладкая кривая, лежащая в Г+ (Г ) и соединяющая точки 0 и 2 (со и г). Следовательно, в силу (3), решение искомой задачи можно получить по формуле:

^М=^(ФГ(г)-Ф!00)+г|і

»с

ас,гет*

Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Теорема 3.1. Если на £ = |ґ:|/| = і| выполняются условия (7) и (9), то решение задачи Сй4

сводится к последовательному решению двух обобщенных скалярных задач Римана вида (18) и двух обычных скалярных задач Римана егіда (16) в классах исчезающих на бесконечности кусочно-аналитических функций с линией скачков I.

Очевидно, что в вырожденном (П) и полувырожденном (Ш) случаях можно применить тот же алгоритм решения задачи что и в рассмотренном общем случае. Например, если коэффициенты поставленной задачи обладают одним из свойств (10), (11) или (12) (случай П), то решение каждой векторно-матричной задачи Римана вида (8) будет сводиться к решению двух скалярных задач Римана в классах кусочно-аналитических функций, исчезающих на бесконечности (см. формулы (13), (14)). Соответственно, с учетом рассуждений п. 2, для решения задачи потребуется решить четыре обычные скалярные задачи Римана. Аналогично, в случае Ш решение искомой задачи сводится к решению четырех скалярных задач Римана в классах аналитических функций, исчезающих на бесконечности: одной обобщенной задачи вида (18) и трех обычных задач вида (16).

Замечание 3.1. Так как в вырожденном случае (II) решение задачи редуцируется к решению четырех обычных скалярных задач Римана, то в этом случае решение задачи Ои (в случае ее разрешимости) можно получить явно в интегралах типа Коши, т.е. при выполнении усло-

Медведев Ю.А., Расулов К.М.

вия (7) и одного из условий (10)—(12) исследуемая задача допускает решение в замкнутой форме (в квадратурах).

4. О качественном исследовании задачи <?Л4. Картину разрешимости задачи СЛ} и вывод о ее нетеровости несложно установить основываясь на теореме 3.1. Действительно, из теоремы 3.1 видно, что картина разрешимости задачи СЛ* определяется на основании картин разрешимости двух обобщенных скалярных задач Римана вида (18) и двух обычных задач Римана вида (16). При этом важно заметить, что индексы этих задач (для каждого фиксированного значения к ) совпадают:

|4.(0|2-К2мР

ІПСІ

т

- ІпсІ

= М8к{і) = хк, к = 1,2.

т

ч ✓ ч /

Следовательно, для полного изучения картины разрешимости задачи на основании картин разрешимости краевых задач Римана вида (18) и (16), следует рассмотреть следующие четыре различных случая, которые полностью охватывают все возможные ситуации:

1) Х\<Ъ,Хг^’Ъ) Ж1 ^ 0, < 0;4) Х\ < 0» %ъ < 0 •

Далее, пользуясь схемой исследования картины разрешимости обобщенной задачи Римана вида (18), приведенной в монографии [1], нетрудно установить справедливость следующего,утверждения.

Теорема 4.1. Если на £ = {/:|/| = 1} выполняются условия (7) и (9), то число линейно независимых решений однородной задачи и число условий разрешимости неоднородной задачи

конечны, то есть задача является нетеровой.

Литература

1. Расулов К.М. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторые их приложения. - Смоленск: СГПУ, 1998. - 343 с.

2. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. - М.: Наука, 1977. - 640 с.

3. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. - М.: Наука, 1977.-448 с.

4. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений. - М.: Наука, 1970. - 379 с.

Поступила в редакцию 23 июня 2006 г.