О пространствах Харди Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.51

О пространствах Харди Тиен Зунг Фам

Кафедра математического анализа и теории функций Российский университет дружбы народов ул. Миклухо Маклая, 6, Москва, Россия, 117198

В работе доказываются теоремы о представлении функций из пространств Харди Нр, 1 < р ^ 2 и ограниченность оператора Римана—Лиувилля в пространстве И,е Н1.

Ключевые слова: пространство Харди, оператор Римана—Лиувилля.

1. Введение

Пусть К := (ж, ж), := [0, ж). Пространство Лебега ЬР(Ш) состоит из всех измеримых функций на К таких, что ||/||ьр(к) := (|/(х)1Р<х) р < ж. Аналогично определяется пространство Ьр (М+).

Пространство Харди Нр, 1 ^ р < ж состоит из аналитических функций Р(г) в верхней полуплоскости 1т х > 0, удовлетворяющих условию

||Р||яр :=8ИР ( / |Р(х + iу)1Р<х

у>о

ш

1/р

Известно [1], что

||РИНР = у™0 (/ |Р(х + *у)1Р<х

<.

1/р

(1)

и Р(х + гу) при у ^ 0 сходится почти всюду к /(х) + г/(х), где функции /(х) и /(х) принадлежат ЬР(Ж), причём /(х) является преобразованием Гильберта функции /(х). Обратно, для функций вида ¡(х)+ г/(х), где /(х) € ЬР(Ж) и /(х) -преобразование Гильберта /, существует Р € Нр такая, что функция /(х) + г/(х) почти всюду совпадает с предельными значениями Р(х + 1у) на К при у ^ 0 [2, Теорема 103]; [1, Глава 2].

Пусть / € ЬР(Ш+), 1 <р < 2. Обозначим

г , , 2 ё [ л. . яш хЛ , - . . 2 ё - аъ ] х - т

Кх)1 со&х ах, (2)

т.е /с (/з) — это косинус-преобразование (синус-преобразование) Фурье функции /. Мы будем называть пару (а, Ь) функций а(1) и Ь(1) С ¿'-парой преобразований Фурье, если существует функция / € Ьр(Ж),р € (1,2] такая, что для почти всех 1 ^ 0 справедливы равенства

а(1) = т, Ъ(1) = Ш,

¡(х)-ах,

' Цх)1 - ах. (3)

В работе [3] мы показали, что если / е Ьр(М+), 1 < р < 2, а > 1/р', р' = , то почти всюду на справедливы равенства

Ва( ¡с)(х) = НМ)с(х), Ва( ¡а)(х) = На(М(х), (4)

где операторы Римана-Лиувилля Ва(/) и На(/)(х) имеют вид

х

Ва(Л(х) ¡(х - ^а~1 кт, х > 0, а > 0,

ха ]

На(Л(х) := ] -, х > 0, а > 0.

X

В настоящей работе мы рассматриваем задачу о представлении функций из пространств Нр с помощью СБ-пар преобразований Фурье (Теоремы 1 и 2), а также доказываем ограниченность оператора Римана-Лиувилля На в пространстве Ке Н1 (Теорема 3). Теоремы 1-3 дополняют работу Б.И. Голубова [4].

и

2. Основные результаты

Теорема 1. Пары (а, Ь) и (—Ь,а) одновременно являются СБ-парами преобразований Фурье тогда и только тогда, когда существует Р(х) е Нр, ре (1,2], такая, что

сю

Р(г) = У (а(г) — ъЬ(г)) ешсИ, 1т г > 0. (5)

о

Доказательство. Необходимость. Пусть (а, Ь) и (—Ь,а) одновременно являются СБ-парами преобразований Фурье, тогда существует /(х) и д(х) е ЬР(Ж), р е (1, 2] такие что, для почти всех £ > 0 а(1) = Ь(£) = /3(£) и —Ь(1) = дс(£),

а(£) = 9з(^:

Пусть /(1) — преобразование Фурье функции /(1) в ЬР(Ж), р е (1,2]. Тогда

1 Н Г е-™1 - 1

а(1) — ъ Ъ(1) = -- /(х)-:-Нх = ¡(1).

ж ш .! —гх

ж

Пусть к(Ь) равна еггЬ при £ > 0 и равна 0 при I < 0. Тогда

1 С 11

к(и) = - егг1-ги1(М = —,--.

ж ] ж г(и — г)

Применение формулы Парсеваля к (5) даёт

с

Р(г) = I (а(г) — ъЬ(*)) еш<И = — I , 1т г > 0,

.] г ж .] Ь — г

о ж

откуда следует, что

—Р( г) = (/ *РУ)(х) + г(/ *ЯУ)(х), 1т г > 0, (6)

где г = х + г у и

РУ (х) 2 I 2 , ^У(х) 2 I 2 .

- х2 + у2 - х2 + у2

Обозначим

сю

Ф(г) := I (—Ь(г) — ъа($) ешсИ, 1т г > 0.

о

Аналогично доказательству (6), если —Ь(^ = дс((р) и а(1) = д3(^, то

—Ф(г) = (д *РУ)(х)+г(д )(х), 1т г > 0. Поскольку Ь(1) = ¿3(£) и а(1) = то

—Ф(г) = ( / * Qy)(х) — г(/ * Ру)(х), 1т г > 0. Приравнивая вещественные и мнимые части, находим

( / *QЙ)(х) = (д *РУ)(х) и (/ *РУ)(х) = —(д * Qy)(х). Отсюда и из (6) вытекает, что

—Р(г) = (/ *РУ)(х) + г(д * Ру)(х), откуда при фиксированном > 0 находим

I |Р(х + iy)|pdX]j < ||/ * Ру ||ьр + ||/ * Qy ||ьр = ||/ * Ру ||ьр + ||д * Ру ||ьр < ж.

Это значит, что Р(г) € Нр.

Достаточность. Пусть Р(г) € Нр, р € (1,2] и

(а(г) —гЪ(г), 0, и(€) = \0, К ъ.

Тогда

Р(х + гу) = J Н($)е-*уеш<И, 1т (г) > 0.

Покажем, что Н(1)е 1у есть трансформация Фурье функции Р(х + гу), т.е.

1 а Г р ~ыь — 1

К*)е~1у = ^-гг Р(и + гу)-:-«и, 1т (х) > 0. (7)

2- аг 3 —%и

к

Рассмотрим интеграл

У Р (г)е Аг,

п

где П = {( х, у) : х = ±а;у = У1',У = У2,0 < У1 < Ы С 1т (г) > 0. Имеем

У2 -а

IР(г)е= IР(а + гу)е~и(а+"у)ау^ Р(и + гУ2)е~и(и+"У2)аи+

П У1 а

У1

+ J F(-a + iy)e-it(-a+iy)dy + j F(u + iyi)e-it(u+iyi)du =: h + I2 + I3 + h = 0.

У2 -a

(8)

Докажем, что Д, I3 ^ 0 при a ^ ж.

Пусть Ф £ Hp, Imz > 5 > г > 0. Тогда по формуле Коши и неравенству Гельдера

|Ф«' = ё

1/р' I N 1/Р

< \ [ |Ф( z + rег^)|pd <р | <

2тт

I Ф( z + reiv)dcp 0

' г / 2тт \1/р

2(2ir)l/p'

< 2 I гdr \/ |Ф( z + relip)lpd<

00

(2ir)i/p' i f 2f . \1/P (¿2 \1/p

< 1 ^ 2 \jj Mz + re^)lp rdrdtp] ÍM < \0 0 )

1/p ( У2 ^ 1/P

(¿) p \j dv J |Ф(и + iv)lpdu\ . (9)

<

х—5

Известно, что для всех 1 < <

х+5 х+5

/ |Ф( и + гг>)|рё и< то и Ит / |Ф( и + гь)1РНи = 0. ] х—ю ]

х—5 х—5

Следовательно, правая часть неравенства (9) сходится к нулю, и Ф(-г) ^ 0 при х ^ Поэтому 1з ^ 0 при а ^ то. Отсюда вытекает, что 12 + /4 стремится к нулю при а ^ то в (8). Имеем

а

Ь + и = <Ра(*, У1УШ —Ра (Ь,У2)е1у2, где уа(1, у):=!р(и + 1у)е—гиЧи.

— а

Поскольку , У\) — , у1)\\р' ^ 0, \\уа ^, У2) — ,У2)\\Р' ^ 0 при а ^ то, то существует такая последовательность {ак}, что

,Ит Уак ^, У1) = У(г, У1), Ит Уак ^ ,У2) = Ф ,У2), для п.в. г.

к—>ю к—>ю

Отсюда

у(1, у!)еЬу1 = ф, у2)еЬу2 для п.в. I.

Положив у1 := у; у2 := 1, получим (р(1, у) = е—1уегу(Ь, 1) := е—г Уу^). Для £ > 0, по теореме Лебега о мажорируемой сходимости, имеем

S S S

J e-ty<p(t)dt = J <p(t, y)dt= l-m^J <Pa(t, y)dt

a-

00

S a a

1 ? ? • 1 í е-ги£ — \

= lim — dt F (u + iy) е-г ut du = lim — F (u + iy)-du =

a—<x 2ТТ J J a—ж 2ТТ J —%u

0 - a - a

a

1 Г - 1 1 Г Г ■ \ е~ыГ - 1

= т-Г(и-—и-аи = 2-1(/к(х)е-«""Ч -—¡г-аи =

к к ш /

1 Г Г е~ыГ - 1 ■ Г

= 7Г- И(х)е ~х у Ах -ег и = Ых)е ~х у Ах,

2-} } —ги }

к к о

откуда следует, что Ъ,(£)е~ьу = (р^, у) есть преобразование Фурье функции Р (х + гу).

По определению И^), получим

1 A Г р-гиъ _ 1

( a(t) — ib(t))e~ty = — — F(u + iy)-:-Au, t > 0

2ж At J —iи

R

1A

AtJF(U + гу)~

-Au = 0, t < 0.

и

Для F(z) G Нр существует предел почти всюду

lim F(x + iy) = f(x) + if (x),

у—0

где f,f — пара преобразований Гильберта. Более того

lim ||F(х + iу) - f(x) - if(x)\\ LP = 0. у—>0

Поэтому при у ^ 0 получим

1 d f _ e-iut _ 1

a(t) -ib(t) = — — (f(x)+ if (x))-:-du, п.вЛ > 0,

2тт dt J —гu

R

1 d f ~ e~iut - 1

7Г-Г (f(x) + if (x))-:-d u = 0, п.в. t < 0,

2tt dt J —гu

R

откуда следует, что справедливы равенства

1 d f f(u)sin tu — f(u)cos tu + f(u) , a(t) =------du, п.в., t > 0,

y ' 2k dt J u ' ' '

R

(t) = 1d ff( u)sintu + f( u)co*tu - f( u) du, п.в.; > 0 w 2k dt J u '

A f f(u)sin tu — f(u)cos Ы + f(u)

-A u = 0, п.в. t < 0,

A u

R

A f f( u) sin tu + f( u) cos tu — f( u) At I u

A u = 0, п.в. < 0.

Поэтому для почти всех t ^ 0

1 A sin u 1 A 1 cos u

а(*) = "37 f(u)-Au, b(t) = -- f(u)-Au. (10)

ж At J u ж At J u

и

Аналогично, для почти всех t ^ 0

w N 1 d [ , sin tu , . . 1 d Г . 1 — cos tu , _,

—W = f(u)-du, a(í) = -- f(u)-du. (11)

ж dt j u ж dt j u

R R

Это означает, что пары (a, b) и (—Ь, а) одновременно являются СБ-парами преобразований Фурье. Теорема доказана. □

Теорема 2. Пусть интеграл (5) представляет функцию F(z) е Нр, 1 < р < 2 в верхней полуплоскости Imz > 0. Тогда интеграл

Ф(z) = J(A(t) - iB(t))eiz 1 dt, у> 0 (12)

0

тоже принадлежит Hp, где

t t A(t) = iJ(t - x)a-la(x)dx, B(t) = -^J(t -x)a-1 b(x)dx, и a> 1/p'.

00

Более того, справедливо неравенство

||Ф||яр <С(a,p)\\F\\HV. (13)

Доказательство. Если интеграл (5) представляет функцию F(z) £ Hp, р £ (1, 2] в верхней полуплоскости Imz > 0, то справедливы равенства (10) и (11), где f(x) + гf (x) — граничная функция для F(z) на действительной оси, причём f £ Lp(R) и f £ Lp(R). Таким образом, существуют f £ Lp(R) и f £ Lp(R) такие, что (a, b) и (-b, a) является СБ-парами преобразований Фурье. Мы будем обозначать

U(x) = 1(f(x) + f(-x)), f-(x) = 2(f(x) - f(-x)), (14)

т.е. f+ — чётная, а f- — нечётная составляющие функции f. Из равенства (10) и (14) для почти всех t ^ 0

a(t) = fc(t) = (f+)*(t), b(t) = fs(t) = (f-)^(t), (15)

тогда из (4) и (15) следует, что для почти всех t ^ 0

A(t) = [Ha(f+ №t), B(t) = [Ha(f-)tt (t). (16)

Так как (-b, a) также является СБ-парой преобразований Фурье, то для почти всех t ^ 0

,, , 1 d Í' л^тtu 1 d Г ~ 1 - costu

-(t) = ñ dt í(u)—du, a(t) = ñ dt du,

где — преобразование Гильберта функции .

Обозначим д(х) = /(х). Тогда д(х) е Ьр и аналогично (15) и (16) для почти всех t ^ 0

—Ь ® = (д+)Ж а® = (д— )Ж (17)

Известно, что так как f+ — чётная функция, то На(f+) — чётная функция и так как /_ — нечётная функция, то Ha(f_) — нечётная функция. Отсюда следует, что (А, В) является С ¿'-парой преобразований Фурье функции Ha(f) = Ha(f+) + Ha(f_). Аналогично мы получим, что (—В, А) является Сб'-парой преобразований Фурье функции Ha(g) = Ha(д+) + Ha(g_). Так как Haf е Lp и Hag е Lp [5, Теорема 329], то из необходимости теоремы 1 следует, что Ф(-г) е Hр в верхней полуплоскости Imz > 0. По теореме 1 из представления (5) функции F (z) е Hp, р е (1,2] в верхней полуплоскости Im z > 0 вытекают равенства (10). Аналогично, из представления (12) вытекают равенства

A(t) = 0c(t), B(t) = 0a(t), (t > 0),

где <fi(x) + i0(x) — граничная функция на действительной оси для функции §(z) е Hp.

Пусть p(x) = <p+(x) + <£-(x), где ф+ — чётная, а — нечётная составляющие функции ф. Тогда

A(t) = 0c(t) = (ф+)*(t), B(t) = 0s(t) = (<p+)*(t), для п.в. t > 0.

Отсюда и (16) мы получим

[Ha(U)]c (t) = (<p+)*(t), [Ha(f-)m = (<P+)S(t), для п.в.; > 0.

По теореме единственности для преобразований Фурье

Ha( f+)(t) = <p+(t), Ha(f-)(t) = <p+(t)

почти всюду на R. Отсюда следует равенство

V(t) = Ha( U)(t) + Ha (f.)(t) = Ha(f)(t). Аналогично, получим

<p(t) = Ha(f)(t).

Из свойства ограниченности функций Ha е Lp [5, Теорема 329] мы получим

1|Ф||яр = Mt)+ i<p(t)\\L» = \\Ha(f + if)(t)\\L* <

< \\H4lv || f(x) + i f(x)\\L* = C (a, p)HF\\HP.

Доказательство закончено. □

В случае р = 1 мы покажем, что оператор Римана-Лиувилля Haf ограничен в пространстве ReH1, которое состоит из всех функций f(x) е L(R), для которых f е L(R) и

WfheH 1 := ||/|\l(R) + ||/||l(R) < (18)

Известно, что пространство Re H1 изоморфно пространству H1 и справедливы неравенства

АМНReHi < \\F\\H1 <В\\ДКен1, (19)

где f(x)+ i f(x) — граничная функция для функции F(z) е H1 на действительной оси, а константы А > 0, В > 0 не зависят от F.

В следующем утверждении мы дополняем результат Б.И. Голубова [4, Теорема D].

Теорема 3. Пусть интеграл (5) представляет функцию F(z) е Н1 в верхней полуплоскости Imz > 0. Тогда интеграл

ж

Ф( z) = J(A(t) — iB(t))eiz 1 dt, y> 0 (20)

0

тоже принадлежит Н1, где

t t A(t) = 1J(t - x)a-1a(x)dx, B(t) = 1J(t -x)a-1 b(x)dx, и a> 1/pp.

00

Более того, справедливы неравенства

||Ф||н (a, p)\\F\\Нг, \\Haf ||яея1 \\f\\ReHi. (21)

Доказательство. Если интеграл (5) представляет функцию F(z) е Н1 в верхней полуплоскости Im z > 0, то справедливы равенства

a(t) = — í f(u)cos tu du, b(t) = — í f(u)s'm tu du, (22)

ж J ж J

—b(t) = — / f(u)cos tu d u, a(t) = 1 í f(u)sin tu du, (23)

ж J ж J

RR

где f(x) + if (x) — граничная функция для F(z) на действительной оси, причём f е L(R) и f е L(R) [4, теорема D]. Таким образом, существуют f е L(R) и f е L(R) такие, что (а, Ь) и (—Ь, а) является СБ-парами преобразований Фурье. Мы будем обозначать

f+(x) = 1(f(x) + f(—x)), f-(x) = 1(f(x) — f(—x)), (24)

т.е. f+ — чётная, а f- — нечётная составляющие функции f. Из равенства (22) и (24) для t > 0

a(t) = Ш = (f+)*(t), b(t) = fs(t) = (f-)^(t), (25)

тогда из (4) и (25) следует, что для почти всех t ^ 0

A(t) = [Ha(f+ )]*(t), B(t) = [Ha(f-)tt (t). (26)

Так как (—b, a) также является СБ-парой преобразований Фурье, то для t ^ 0

—b(t) = 1 í f(u)cos tudu, a(t) = 1 í f(u)s'm tudu, ж J ж J

RR

где f — преобразование Гильберта функции f.

Обозначим g(x) = f(x). Тогда g(x) е L(R) и аналогично (25) и (26)) для почти всех t ^ 0

—b(t) = (g+)*(t), a(t) = (g-)* (t), —B(t) = [На(д+)]$ (t), A(t) = [На(д-)]$ (t).

и

Отсюда следует, что (А, В) является С ¿'-парой преобразований Фурье функции Ha(f) = Ha(f+) + Ha(f-). Аналогично получим, что (—В, А) является С5*-парой преобразований Фурье функции Ha(g) = Ha(д+) + Ha(д-). Так как Haf е L(R) и Hag е L(R) [5, теореме 329], то Ф(-г) е H1 в верхней полуплоскости Imz > 0.

Поскольку (5) представляет функцию F( ) е H1 в верхней полуплоскости Im z > 0 и верны равенства (22), то из представления (20) вытекают равенства

А(1) = фс(1), В(1) = ф8(1), (t > 0),

где ф(x) + i<p(x) — граничная функция на действительной оси для функции Ф( z) е H1.

Пусть p(x) = <£+(x) + <£-(x), где — чётная, а — нечётная составляющие функции ф. Тогда

А(1) = фс(t) = (<p+)*(t), В(г) = 0s(t) = (p+)*(t), (t > 0) Отсюда мы получим

[Ha(f+)]C(t) = (<p+)C(t), [Ha(f-)]S(t) = (<p+)S(t), (t > 0). По теореме единственности для преобразований Фурье

Ha(f+)(t) = <p+(t), Ha(f-)(t) = <p+(t)

почти всюду на R. Отсюда следует равенство (p(t) = Ha(f+)(t) + Ha(f-)(t) =

Ha(f)(t).

Аналогично, получим 0(t) = Ha(f)(t).

Из свойства ограниченности Ha [5, теореме 329] находим

\Ф\Н1 = \Ш+ i<p(t)\\Li = \\Ha(f + if)(t)HLi <

< \\H4li || f(x) + i f(x)\\Li = С (a, p)HF\\н 1

и в силу (18) \\Haf ||ReHi = H'Ali + \№\li - ЦФНю < С (a, p^fWReH 1. Теорема доказана. □

Литература

1. Гарнетт Д. Ограниченные аналитические функции. — М.: Мир, 1984.

2. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. — М.-Л.: Гостехиздат, 1948.

3. Pham T. Z. On Bellman-Golubov Theorems for the Riemann-Liouville Operators // J. Funct. Spaces Appl. — 2009. — Т. 7, № 3.

4. Голубов Б. И. Об ограниченности операторов Харди и Харди-Литлвуда в пространствах ReH1 и ВМО // Матем. сб. — 1997. — Т. 188, № 7. — С. 93-106.

5. Харди Г. Г., Литтлвуд Д. Е., Полиа Г. Неравенства. — М.: ИЛ, 1948.

UDC 517.51

On Hardy Spaces

Tien Zung Pham

Mathematical Analysis and Function Theory Department Peoples Friendship University of Russia Miklukho Maklai str., 6, Moscow 117198, Russia

Representation theorems for functions from the Hardy spaces Hp, 1 < p ^ 2 and the boundedness of the Riemann-Liouville operator in Re H1 are proved.

Key words and phrases: Hardy space, Riemann-Liouville operator.