ТОЖДЕСТВА ТЕНЗОРА РИМАНОВОЙ КРИВИЗНЫ ПОЧТИ C(L)-МНОГООБРАЗИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2020. № 4

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 4

УДК 514.76

doi 10.18522/1026-2237-2020-4-49-54

ТОЖДЕСТВА ТЕНЗОРА РИМАНОВОЙ КРИВИЗНЫ ПОЧТИ С(Л)-МНОГООБРАЗИЙ

© 2020 г. А.Р. Рустанов1, Е.А. Полькина2, С.В. Харитонова3

'Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет, Москва, Россия, 2Московский педагогический государственный университет, Москва, Россия, 3Оренбургский государственный университет, Оренбург, Россия

IDENTITIES OF THE RIEMANNIAN CURVATURE TENSOR OF ALMOST C(2)-MANIFOLDS

A.R. Rustanov1, E.A. Polkina2, S.V. Kharitonova3

1National Research Moscow State University of Civil Engineering, Moscow, Russia, 2Moscow Pedagogical State University, Moscow, Russia, 3Orenburg State University, Orenburg, Russia

Рустанов Алигаджи Рабаданович - кандидат физико-математических наук, старший преподаватель, кафедра прикладной математики, Институт фундаментального образования, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет, Ярославское шоссе, 26, г. Москва, 129337, Россия, е-шаИ: aligadzhi@yandex.ru

Aligadzhi R. Rustanov - Candidate of Physics and Mathematics, Senior Lecturer, Department of Applied Mathematics, Institute of Fundamental Education, National Research Moscow State University of Civil Engineering, Yaroslavskoe Highway, 26, Moscow, 129337, Russia, e-mail: aliga-dzhi@yandex.ru

Полькина Елена Александровна - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра теоретической физики имени Э.В. Шпольского, Институт физики, технологии и информационных систем, Московский педагогический государственный университет, ул. Малая Пироговская, 29/7, стр. 1, г. Москва, 119435, Россия, е-шаИ: РоШпа. еа@шаИ ги

Elena A. Polkina - Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Shpolsky Department of Theoretical Physics, Institute of Physics, Technology and Information Systems, Moscow Pedagogical State University, Malaya Pi-rogovskaya St., 29/7, Build. 1, Moscow, 119435, Russia, email: Polkina.ea@mail.ru

Харитонова Светлана Владимировна - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра геометрии и компьютерных наук, Оренбургский государственный университет, пр. Победы, 13, г. Оренбург, 460018, Россия, е-шаИ: ^Ь@уа^ех.ги

Svetlana V. Kharitonova - Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Department of Geometry and Computer Science, Orenburg State University, Pobedy Ave, 13, Orenburg, 460018, Russia, e-mail: hcb@yandex.ru

Изучается геометрия тензора римановой кривизны почти С(Х)-многообразия. Для почти С (А)-многообразий получены несколько тождеств тензора римановой кривизны. Из них выделены четыре дополнительных тождества, на основе которых определяются четыре класса почти С(к)-многообразий. Получена локальная классификация каждого из выделенных классов почти С (к)-многообразий. Доказано, что множество почти С (А)-многообразий класса совпадает с множеством почти С(А)-многообразий класса множество почти С(А)-многообразий класса совпадает с множеством почти С(А)-многообразий класса почти С(А)-многообразие размерностью больше 3 является многообразием класса тогда и только тогда, когда оно является косимплектическим многообразием, т.е. когда оно локально эквивалентно произведению кэлерова многообразия на вещественную прямую.

Ключевые слова: почти С (А)-многообразие, косимплектическое многообразие, многообразие класса тензор римановой кривизны.

ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2020. № 4

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 4

The geometry of the Riemannian curvature tensor of an almost C(X)-manifold is studied. We have obtained several identities of the Riemannian curvature tensor of almost C(k)-manifolds. Four additional identities are distinguished from these identities, on the basis of which four classes of almost C(X) -manifolds are determined. A local classification of each of the distinguished classes of almost C(X) -manifolds is obtained. It is proved that the set of almost C(X) -manifolds of class coincides with the set of almost C(X) -manifolds of class Ж2, and it is also proved that the set of almost C(X) -manifolds of class coincides with the set of almost C(X)- manifolds of class We have found that an almost C(X)-manifold, dimension greater than 3, is a manifold of class if and only if it is a cosymplectic manifold, i.e. when it is locally equivalent to the product of the Kahler manifold and the real line.

Keywords: almost C(X)-manifolds, cosymplectic manifolds, ^-manifolds, Riemannian curvature tensor.

Введение

Понятие почти С(^)-многообразий введено Д. Янссеном и Л. Ванхекке [1]. З. Ольчек и Р. Роска [2] исследовали такие многообразия. В их работе почти С(^)-многообразия появляются как подкласс локально конформно почти косим-плектических многообразий. В [3] получено необходимое и достаточное условие того, что почти контактное метрическое многообразие является почти С(Х)-многообразием. Доказано, что конформно плоское почти С(Х)-многообразие является многообразием постоянной кривизны X. В [4] выделены два подкласса почти С(Х)-мно-гообразий и изучено их локальное строение. Исследованием почти С(^)-многообразий занимались А. Акбар и А. Саркар [5], А. Ашока и С.С. Багевади [6] и др.

В определенном смысле данная статья является продолжением работы [4]. Изучается геометрия тензора римановой кривизны почти С(^)-мно-гообразий. На основе дополнительных тождеств тензора римановой кривизны почти С(Х)-много-образий выделено 4 класса и дана их локальная классификация.

Пусть М2п+1 - гладкое многообразие размерности 2п+1; Х(М) - Сю(М)-модуль гладких векторных полей на М; ё - оператор внешнего дифференцирования; знаком «°» будем обозначать композицию тензоров; «®» - тензорное произведение. Все многообразия, тензорные поля и т.п. объекты предполагаются гладкими класса С

Определение 1 [7, 8]. Почти контактной метрической структурой на многообразии М называется совокупность (ц, ф,д) тензорных полей на этом многообразии; / - дифференциальная 1-форма, называемая контактной формой структуры; £ - векторное поле, называемое характеристическим; Ф -эндоморфизм модуля Х(М), называемый структурным эндоморфизмом; д = {■,■) - риманова структура. При этом данные тензорные поля удовлетворяют условиям:

1) л(0 = 1; 2) Ф = 0;

3) Ф(^) = 0; 4) Ф2 = -id +

(1)

5) {ФХ, ФГ) = {X, У) - т](Х)т](У), Х,У е Х(М). Многообразие с заданной на нем почти контактной метрической структурой называется почти контактным метрическим многообразием. Будем для краткости называть его ЛС-многообразием.

Исследование производится с помощью метода присоединенной О-структуры. Подробное описание её построения для почти контактного метрического многообразия проведено в работах [7-10].

Пространство присоединенной С-структуры состоит из комплексных реперов, каждый из которых называется Л-репером [9, 10]. Матрицы компонент тензоров Фр и др (р - произвольная точка многообразия М) в Л-репере имеют вид /0 0 0 (Ф]) = ( о 4-Ъп о

\0 0 -4-11п Л 0 ^

Ы = (0 0 /„),

ч0 L

где 1п - единичная матрица порядка п.

Используемые в данной работе индексы 1,],к,... принимают значения от 0 до 2п, а,Ь,с,й^,д,... -от 1 до п. Будем считать, что а = а + п, а = а, 0 = 0.

Почти С(Я)-многообразия

Рассмотрим ЛС-многообразие {М2п+г, ц, Ф, д}.

Определение 2 [1, 2]. Почти контактное метрическое многообразие называется почти С(к)-многообразием, если его тензор римановой кривизны удовлетворяет соотношению

{К(г^)у,х) = {и(фг, ф]^)У,Х) -

-Х{д (X, IV)д (У, Т)-д (X, Т)д (Г, IV) -

-д(Х, ф]^)д(У, фг) + д(Х, фг)д(У, ФЖ)}, где X, У,2, № е Х(М), к - вещественное число.

Определение 3 [1, 2]. Нормальное почти С(к)-многообразие называется С(к)-многообразием.

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 4

В дальнейшем нам понадобится

Теорема 1 [3]. ЛС-многообразие является почти С(Х)-многообразием тогда и только тогда, когда компоненты его тензора римановой кривизны на пространстве присоединённой С-структуры удовлетворяют соотношениям Щсй = ЛБ^, Я'ъо = Щ, Яьсй - любое, в силу тождества Риччи удовлетворяющее тождеству

Кса-Къа = -М'^ (2)

где X - вещественное число, = — 8'5с, а остальные компоненты получаются из приведенных выше в силу свойств симметрии тензора кривизны или равны нулю.

Из теоремы 1 следует, что Я'ьо, Я^, Я'са -ненулевые существенные компоненты тензора ри-мановой кривизны почти С(Х)-многообразия. Остальные выражаются через них в силу свойств симметрии тензора римановой кривизны или равны нулю. Ненулевые существенные компоненты являются основными инвариантами почти С(Х)-многообразий. Исследуем геометрический смысл обращения в нуль этих инвариантов.

В работе [3] выделены классы СЯ-, СЯ2 и СЯ3 почти С(Х)-многообразий, полученные на основе тождеств, аналогичных тождествам А. Грея [11] для почти эрмитовых структур. В [4] получены тождества, характеризующие классы СЯг и СЯ2 почти С(Х)-многообразий. Заметим, что последние классы отличаются от классов аналогов А. Грея, и во избежание путаницы назовём их & соответственно. Рассмотрим ещё некоторые тождества, которым удовлетворяет тензор римановой кривизны почти С(Х)-многообразий, и упростим тождество, характеризующее класс почти С(Х)-многообразий.

Применяя процедуру восстановления тождества, подробно описанную в [9, 10], к равенствам Я°0Ь = =—Л5° = 0, Я'оЬ = —Л5', Я'оь = —Л5" = 0, получим [4]

Я({,Х){ = —Лф2Х, УХ е Х(М). (3)

Определение 4 [4]. Почти С(Х)-многообразие назовем многообразием класса если его тензор римановой кривизны удовлетворяет тождеству

Я(%,Х)% = 0,УХ е Х(М).

Для почти С(Х)-многообразия класса &1 имеет место

Теорема 2 [4]. Почти С(Х)-многообразие является многообразием класса тогда и только тогда, когда оно косимплектическое, т.е. когда оно локально эквивалентно произведению кэлерова многообразия на вещественную прямую.

Применяя процедуру восстановления тождества к равенствам Я10аЬ = 0, получим

Я(ф2Х, ф2У)% — Я(фХ, ФУ)^ = 0, (4)

УХ, У еХ(М).

Если применить процедуру восстановления тождества к равенствам Я10а^ = 0, то получим

Я(ф2Х, ф2У)( + Я(фХ, ФУ)^ = 0, (5)

У Х,У еХ(М).

Из (4) и (5) имеем: 1) Я(ф2Х, ф2У)( = 0; 2) Я(фХ, ФУ)^ = 0, (6) УХ, У е Х(М).

С учетом (1:4) и (3) равенство (6:1) можно записать в виде

Я(Х,У)% = Л{г](У)ф2Х — г](Х)ф2У}, УХ, У е Х(М).

Применяя процедуру восстановления тождества к равенствам Я°0Ь = 0, Я'^ = 0, Я'0ъ = 0, получим

Я($, ф2Х)ф2У — Я(ь, ФХ)ФУ = 0, (7)

УХ, У е Х(М).

Рассмотрим равенства Яааоь=Л№0,ЯааоВ=ЛЗаа1;с = 0, Яаоь=Л5аЧС = 0,т.е.Яаой=леТ'.

Применим к ним процедуру восстановления тождества. Имеем

Я(!;, ф2Х)ф2У + Я(£, ФХ)ФУ = 2Л{фХ, ФУ) УХ, У е Х(М).

С учетом (7) из последнего равенства следует:

1) Я(Ф2х)Ф2У = Л{фХ, ФУ)(8)

2) я(ъ, ФХ)Ф У = Л(фХ, ФУ)УХ, У е Х(М). Равенство (8:1) с учётом (1:4) и (3) примет вид Я(?,Х)У = Л(фХ, фУ)^ — Лг](У)ф2Х, (9)

У Х,У еХ(М).

Определение 5. Будем называть почти С(Х)-многообразие многообразием класса &2, если для его тензора римановой кривизны выполняется тождество Я(%,Х)У = 0, УХ, У е Х(М).

Теорема 3. Почти С(Х)-многообразие принадлежит классу Ж2 тогда и только тогда, когда Яаоь = 0 на пространстве присоединенной С-структуры.

Доказательство. Рассмотрим почти С(Х)-мно-гообразие класса ёЯ2. Согласно определению 5 справедливо тождество Я(^,Х)У = 0,УХ,У е Х(М). На пространстве присоединенной С-структуры оно примет вид Я0аУХ^ + ЯСа]У1Х>Ес + яС0]У1х!ес = 0. С

учётом теоремы 1 и вида матрицы структурного эндоморфизма из последнего тождества получим

яаоь<Г + Яь0оа<Г = 0,т.е.яаоь = °.

Обратно, рассмотрим почти С(Х)-многообразие, для которого Яа0£ = 0. Так как для почти С(Х)-мно-гообразия всегда Яса0^ = 0 и Яса0^ = 0, то, обобщая, можно записать Я1а0^ = 0. Если применить проце-

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 4

дуру восстановления тождества к последнему равенству, получим R(Ç,X)Y = 0,VX,Y G Х(М).

Теорема 4. Классы и R2 совпадают для почти С(А)-многообразий.

Доказательство. Рассмотрим почти С(Х)-многообразие М класса Для М на пространстве присоединенной G-структуры R0aOb = 0 [4]. Поскольку тензор римановой кривизны кососим-метричен по первым двум индексам, то Râob = -R00b = 0, по теореме 3 М принадлежит классу R2.

Обратно, рассмотрим почти С(А)-многообразие М класса R2. Тогда по теореме 3 Д^оь = 0. В силу свойств симметрии тензора римановой кривизны

п0 -

Rboa =

—Д°оВ = 0. Поскольку для почти

по _

п00а =

С(к)-многообразия Я°0а = 0, Я°0а = 0, то Я100а = 0. Применяя процедуру восстановления тождества к этим равенствам, получим = 0, УХ е Х(М),

т.е. многообразие является многообразием класса

Замечание. В силу теоремы 4 для почти С(к)-мно-гообразия класса Ж2 справедлив аналог теоремы 2.

Применяя процедуру восстановления тождества к равенствам К°Ьс = 0, = 0, К%Ьс = 0, получим

Я(ф2Х, ф2у)ф2г - Я(ф2Х, фУ)фг --И(фХ, ф2У)ф2 - Я(фХ, фУ)ф2г = 0, (10) х,у,г ех(м).

Рассмотрим равенство (2), т.е. - ь0 =

= —ÀS,

па Rbcd

R~

$ = Ä(SaSf} — SaS?). Поскольку ра

Rcbâ

R0

= —Щ? = A(SâSb = —AS0?=A(S0S?-

-sâsb) = 0,

SOS?) = 0, то

Rbcd

bcd cbd

'cbd=Ä(.SlcSO; — SlbSb),т.е. Rtec, £d)£b — Rteb, £d)£c = 4(£b, £d)£c — (£c, £d)£b). Так как {ea} и {ea} - базисы подпространств Dф-1 и

D,

-V=ï

соответственно, а проекторами Х(М) на

V-T

1-V-Î

являются эндомор-

—R(<^2X, Ф^)Ф22 — R^2X, OY)OZ + +R^X, ^>2Y)^Z — R(m, ФY)Ф2Z + +R^2Z, Ф2Y)Ф2X + R^2Z, OY)OX — —R^Z, Ф2Y)ФX + R(^Z, ФY)Ф2X = = À{—02X(02Z, 02Y) — Ф2X{ФZ, OY) — —ФX(Ф2Z, OY) + ФX(ФZ, О2Y) + Ф2Z(Ф2X, О2Y) + +Ф2Z(ФX, OY) + ФZ(Ф2X, OY) — —ФZ{ФX, О2 Y)}; VX,Y,Z G Х(М).

С учетом (10) его можно переписать в виде

(11)

подпространства ДФ и Д физмы л = а о I = -1 (ф2 + 4-1Ф) и

п = д°1=1 (-Ф2 + 4-1Ф) [8, 9], то

И(ф2Х + 4-1фХ, -ф2У + 4=1фУ)(ф2г + 4-1ф2) -

- я(ф2г + -ф2У + + =

= Х[(ф2Х + 4-1фх){ф2г + -ф2У + +4-1фУ) - (ф22 + 4-1фг){ф2х + 4-1фХ, -ф2У + +4-1фУ)},ух,у,г е х(м).

Выделяя действительную и мнимую части из последнего равенства, получим тождества, эквивалентные тождеству:

R{^2X, Ф2Y)Ф2Z — R{^X, О2Y^Z ■ —R^2Z, Ф2Y)Ф2X + R^Z, Ф2Y)ФX = = A^2X^2Z, О2Y) — ФX(ФZ, О2Y) — —Ф2Z{Ф2X, О2Y) + ФZ{ФX, 02Y)}, VX,Y,Z G Х(М).

Определение 6. Будем называть почти С(А)-многообразие многообразием класса R3, если для его тензора римановой кривизны верно тождество R{^2X, Ф2Y)Ф2Z — R^X, О2Y^Z = (12)

= R^2Z, Ф2Y)Ф2X — R^Z, 02Y)0X, VX,Y,Z G Х(М).

Теорема 5. Почти С(А)-многообразие принадлежит классу R3 тогда и только тогда, когда Racâ — Rabâ = 0 на пространстве присоединенной G-структуры.

Доказательство. Рассмотрим почти С(А)-мно-гообразие класса R3. По определению 6 для такого многообразия верно тождество (12). Последнее на пространстве присоединенной G-структуры примет вид

(R0jk Ol Ф^Ф^Ф^™ Ф$Фг^п —

—R0jk <bÎZsKXm<bk Ф^п — —R0jk Ol 0<XS Ф Ф&тФкФГг?п + +R0jk OjX s Ф^тФк +

+(Rajk Ol Ф^ Of ф^ф'к Ф^

—Rajk OÉZ ОJmX^k — Rfjk ф1 ®lsXs ф{ o^okolY" +

+Rajk фlsXS оJmZ^k Ф^п)£а +

+(Rajk фг °Szs ф{ ФtmXmФk O^Y" —

Rjàjk фlsZSФJmXmФk — Rjjk Фг ®SXS Of ФtmZmФ]kФrnYn +

+Râjk фlsXS 0mzm0k Ф^п)еа = 0.

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 4

Учитывая теорему 1 и вид матрицы структурного эндоморфизма, получим

-2(xabca-Kba)zbxcYdea-

-2(RL-R!ba)z~bx£Ydza = o,

т.е. Kcä-Kbä = °u4cd

xa-bd = о.

Обратно, рассмотрим почти С(А)-многообразие, для которого Rac- — R^â = 0. Как показано выше,

Kcd — Rcbd = 0 Rbcd — R0bd = 0 для почти C(À)-многообразия. Следовательно, можно рассмотреть

равенства Rlbc- — Rlcb- = 0 и применить к ним процедуру восстановления тождества. С учетом (10) получим тождество (12).

В заключение рассмотрим равенства R^acd = ^^CCtl, Rccd = 0, R^cd = 0, справедливые для почти С(А)-многообразия. К R\cd = ÀôCd применим процедуру восстановления тождества. С учетом (10) получим

R(^2X, ф2у)ф2г + R(®2X, фУ)фг + +R^X, ф2У^ — R(oX, фУ)ф2г =

= 2Л{ф2Х(фУ, ф!) — фХф, ф2!) —

—ф2У(фХ, ф!) + ФГ(ФХ, ф2!)}, VX,Y,Z G Х(М).

Последнее тождество с учетом (10) запишется в виде

Х(ф2Х, ф^)ф2! — R(oX, фY)ф2Z =

= Л{ф2Хф, ф!) — ФХ(Y, ф!) —

—ф^{фХ, ф!) + фY{X, ф!)}, (13)

VX,Y,Z G Х(М).

Определение 7. Будем называть почти С(А)-многообразие многообразием класса если для его тензора римановой кривизны верно тождество Х(ф2Х, ф^)ф2г — R(oX, фY)ф2Z = 0 , VX,Y,Z G Х(М).

Теорема 6. Почти С(А)-многообразие принадлежит классу тогда и только тогда, когда RfCcd = 0 на пространстве присоединенной G-структуры.

Данная теорема доказывается аналогично теореме 5.

Теорема 7. Классы ёЯ3 и совпадают для почти С(А)-многообразий.

Доказательство. Рассмотрим почти С(А)-многообразие класса Ж3. По теореме 5 для него Rabcâ — R^d = 0. Это равенство в силу свойств симметрии тензора римановой кривизны запишется в виде Rbcd + Rbdb = —Rdbbc = 0 т.е. ^ = 0. Из теоремы 6 следует, что многообразие является почти С(А)-многообразием класса

Обратно, рассмотрим почти С(А)-многообразие класса Тогда в силу теоремы 6 и свойств тензора римановой кривизны

Rbcd — Rcbd = Rbcd + Rcdb = —Rdibc = 0, те.

Rbcd — Rcbd = 0. Следовательно, согласно теореме 5 данное почти С(А)-многообразие является многообразием класса ёЯ3.

Теорема 8. Почти С(А)-многообразие размерностью больше 3 принадлежит классу ^4 тогда и только тогда, когда оно является косимплектиче-ским, т.е. когда оно локально эквивалентно произведению кэлерова многообразия на вещественную прямую. Если многообразие односвязно, то указанные локальные эквивалентности можно выбрать глобальными.

Литература

1. Janssen D., Vanhecke L. Almost contact structures and curvature tensors // Kodai Math. J. 1981. Vol. 4. P. 1-27.

2. Olszak Z., Rosea R. Normal locally confomal almost cosymplectic manifolds // Publ. Math. Debrecen. 1991. Vol. 39. P. 315-323.

3. Харитонова С.В. Почти С(Х)-многообразия // Фундаментальная и прикладная математика. 2010. Т. 16, вып. 2. C. 139-146.

4. Рустанов А.Р., Харитонова С.В., Казакова О.Н. О двух классах почти ^^-многообразий // Вестн. Оренбургского гос. ун-та. 2015. № 3. С. 228-231.

5. Akbar A., Sarkar A. On the Conharmonic and Concircular curvature tensors of almost C(X)-Manifolds // International J. of Advanced Mathematical Sciences. 2013. Vol. 1(3). P. 134-138.

6. Ashoka S.R., Bagewadi C.S., Gurupadavva I. Curvature tensor of almost C(X) manifolds // Malaya J. of Matematik. 2014. Vol. 2 (1). P. 10-15.

7. Blair D.E. Contact manifolds in Riemannian geometry // Lecture Notes in Mathematics. 509. Berlin: Springer-Verlag, 1976. Р. 1-146.

8. Кириченко В.Ф. Методы обобщенной эрмитовой геометрии в теории почти контактных многообразий. Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. М.: ВИНИТИ, 1986. Т. 18. С. 25-71.

9. Кириченко В.Ф., Рустанов А.Р. Дифференциальная геометрия квазисасакиевых многообразий // Мат. сб. 2002. Т. 193 (8). С. 71-100.

10. Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. 2-е изд., доп. Одесса: Печатный дом, 2013. 458 с.

11. Gray A. Curvature identities for Hermitian and almost Hermitian manifolds // Tobhoku Math. J. 1976. Vol. 28 (4). P. 601-812.

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 4

References

1. Janssen D., Vanhecke L. (1981). Almost contact structures and curvature tensors. Kodai Math. J., vol. 4, pp. 1-27.

2. Olszak Z., Rosca R. (1991). Normal locally confo-mal almost cosymplectic manifolds. Publ. Math. Debrecen, vol. 39, pp. 315-323.

3. Kharitonova S. V. (2010). Almost C (X)-manifolds. Fundamental'naya i prikladnaya matematika, vol. 16, No. 2, pp. 139-146. (in Russian).

4. Rustanov A. R., Kharitonova S. V., Kazakova O. N. (2015). On two classes of almost C(X)-manifolds. Vestnik Orenburgskogo gosudarstvennogo universiteta, No 3, pp. 228-231. (in Russian).

5. Akbar A., Sarkar A. (2013). On the Conharmonic and Concircular curvature tensors of almost C(X)-Manifolds. International J. of Advanced Mathematical Sciences, vol. 1 (3), pp. 134-138.

6. Ashoka S. R., Bagewadib S. C., Gurupadavva I. (2016). Curvature tensor of almost C(X) manifolds. Malaya J. Mat., vol. 2(1), pp. 10-15.

7. Blair D.E. (1976). Contact manifolds in Riemanni-an geometry. Lecture Notes in Mathematics, 509, Berlin, Springer-Verlag, pp. 1-146.

8. Kirichenko V. F. (1986). Methods of generalized Hermitian geometry in the theory of almost contact manifolds. Results of science and technology. Problems of geometry. Moscow, VINITI Press, vol. 18, pp. 25-71. (in Russian).

9. Kirichenko V. F., Rustanov A. R. (2002). Differential geometry of quasi-Sasakian manifolds. Sbornik: Mathematics, vol. 193 (8), pp. 1173-1201.

10. Kirichenko V. F. (2013). Differential geometric structures on manifolds. 2nd ed. Odessa, Printing House, 458 p. (in Russian).

11. Gray A. (1976). Curvature identities for Hermitian and almost Hermitian manifolds. Tobhoku Math. J., vol. 28 (4), pp. 601-812.

Поступила в редакцию /Received

28 мая 2020 г. /May 28, 2020