О НЕКОТОРЫХ АСПЕКТАХ ГЕОМЕТРИИ ПОЧТИ C(L)-МНОГООБРАЗИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 3

УДК 514.76 DOI 10.18522/1026-2237-2020-3-19-24

О НЕКОТОРЫХ АСПЕКТАХ ГЕОМЕТРИИ ПОЧТИ С(^)-МНОГООБРАЗИЙ

© 2020 г. А.Р. Рустанов1, Е.А. Полькина1, С.В. Харитонова2

1Московский педагогический государственный университет, Москва, Россия, 2Оренбургский государственный университет, Оренбург, Россия

ON SOME ASPECTS OF GEOMETRY OF ALMOST C(A)-MANIFOLDS

A.R. Rustanov1, E.A. Polkina1, S. V. Kharitonova2

Moscow Pedagogical State University, Moscow, Russia, 2Orenburg State University, Orenburg, Russia

Рустанов Алигаджи Рабаданович - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра теоретической и специальной социологии, Институт социально-гуманитарного образования, Московский педагогический государственный университет, пр. Вернадского, 88, г. Москва, 119571, Россия, е-mail: aligadzhi@yandex.ru

Полькина Елена Александровна - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра теоретической физики имени Э.В. Шпольского, Институт физики, технологии и информационных систем, Московский педагогический государственный университет, ул. Малая Пироговская, 29/7, стр. 1, г. Москва, 119435, Россия, е-mail: Polkina. ea@mail. т

Харитонова Светлана Владимировна - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра геометрии и компьютерных наук, Оренбургский государственный университет, пр. Победы, 13, г. Оренбург, 460018, Россия, е-mail: hcb@yandex.ru

Aligadzhi R. Rustanov - Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Department of Theoretical and Special Sociology, Institute of Social Studies and Humanities, Moscow Pedagogical State University, Vernadskogo Ave, 88, Moscow, 119571, Russia, e-mail: aligadzhi@yandex.ru

Elena A. Polkina - Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Shpolsky Department of Theoretical Physics, Institute of Physics, of Technology and Information Systems, Moscow Pedagogical State University, Malaya Pi-rogovskaya St., 29/7, Build. 1, Moscow, 119435, Russia, email: Polkina.ea@mail.ru

Svetlana V. Kharitonova - Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Department of Geometry and Computer Science, Orenburg State University, Pobedy Ave, 13, Orenburg, 460018, Russia, e-mail: hcb@yandex.ru

Рассматриваются почти С())-многообразия. Получено локальное строение Риччи-плоских почти С())-многообразий. На пространстве присоединенной G-структуры доказаны необходимые и достаточные условия, при выполнении которых почти С())-многообразия являются многообразиями постоянной кривизны. Получены соотношения, характеризующие эйнштейновы почти С())-многообразия и строение тензора римановой кривизны почти C())-многообразия постоянной кривизны. Доказано, что полное почти C(A)-многообразие Эйнштейна либо голоморфно изометрично накрывается произведением вещественной прямой на Риччи-плоское кэлерово многообразие, либо компактно и имеет конечную фундаментальную группу. Для почти С())-многообразий, являющихся г}-эйнштейновыми, получены аналитические выражения для функций а и ¡, характеризующие эти многообразия. Показано, что почти C(A)-многообразие имеет Ф-инвариантный тензор Риччи. Изучаются почти С())-многообразия точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны.

Ключевые слова: почти С())-многообразия, многообразия Эйнштейна, г}-эйнштейновы многообразия, голоморфная кривизна, косимплектическое многообразие.

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 3

In this paper almost C())-manifolds are considered. The local structure of Ricci-flat almost C())-manifolds is obtained. On the space of the adjoint G-structure, necessary and sufficient conditions are obtained under which the almost C())-manifolds are manifolds of constant curvature and the structure of the Riemannian curvature tensor of an almost C())-manifold of constant curvature is obtained. Relations are obtained that characterize the Einstein almost C())-manifolds. It is proved that a complete almost C())-Einstein manifold is either holomorphically isometrically covered by the product of a real line by a Ricci-flat Kahler manifold, or is compact and has a finite fundamental group. For almost C ())-manifolds that are rEinstein, analytic expressions for the functions a and ¡5 characterizing these manifolds are obtained. It is shown that an almost C())-manifold has an 0-invariant Ricci tensor. We study also almost C())-manifolds of pointwise constant 0-holomorphic sectional curvature.

Keywords: almost C())-manifolds, Einstein manifolds, rj-Einstein manifolds, holomorphic curvature, cosymplectic manifold.

Введение

Д. Янссен и Л. Ванхеке исследовали почти С(^)-многообразия в [1]. Авторы определили такие многообразия условием на тензор кривизны Римана, показали, что примерами почти С(Х)-многообразий являются сасакиевые, косимплек-тические, а также многообразия Кенмоцу. Они же ввели понятия почти а-сасакиевых и почти а-Кенмоцу многообразий и определили их как нормальные почти а-сасакиевые и почти а-Кенмоцу многообразия. Показано, что а-сасакиевые и а-Кенмоцу многообразия являются С(а2)- и С(-а2)-многообразиями соответственно. Для почти С(Х)-многообразий водится понятие тензора кривизны С-Бохнера [1].

В работе [2] почти С(^)-многообразия появляются как подкласс локально конформно почти ко-симплектических многообразий. Авторы исследуют С(А,)-многообразия постоянной кривизны.

В [3] изучены конформно плоские почти С(А,)-многообразия. В частности, получены необходимое и достаточное условия того, что почти контактное метрическое многообразие является почти С(Х)-многообразием. Доказано, что на почти С(Х)-многообразиях выполняются контактные аналоги

[4] второго и третьего тождеств кривизны А. Грея

[5], причём аналог первого тождества Грея выполняется тогда и только тогда, когда многообразие является косимплектическим. Доказано, что конформно плоское почти С(Х)-многообразие является многообразием постоянной кривизны X.

В работе [6] выделены почти С(Х)-многообразия классов СЯ\ и СЯ2, дана их локальная характериза-ция. Доказано, что почти С(Х)-многообразие является многообразием класса СЯ\ тогда и только тогда, когда оно косимплектическое многообразие, т.е. локально эквивалентно произведению кэлерова многообразия на вещественную прямую. Почти С(Х)-многообразие размерности больше 3 является

многообразием класса СЯ2 тогда и только тогда, когда оно косимплектическое, т.е. локально эквивалентно произведению кэлерова многообразия на вещественную прямую.

Изучением геометрии почти С(Х)-многообразий занимаются ряд геометров, например А. Акбар, А. Саркар, С.Р. Ашока, С. Багевади и др.

В данной работе исследуются Риччи-плоские, эйнштейновы, г-эйнштеновы почти С(Х)-много-образия и почти С(Х)-многообразия точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны, рассматриваются почти С(Х)-многообразия с Ф-инвариантным тензором Риччи.

Почти С(Х)-многообразия

Пусть М - гладкое многообразие размерности 2п + 1; Х(М) - Сот(М)-модуль гладких векторных полей на многообразии М; ё - оператор внешнего дифференцирования; ° - операция композиции; ® - тензорное произведение. Все многообразия, тензорные поля и т.п. объекты предполагаются

Сот

.

Определение 1 [7, 8]. Почти контактной структурой на многообразии М называется тройка Ф) тензорных полей на этом многообразии, где г - дифференциальная 1-форма, называемая контактной формой структуры; £ - векторное поле, называемое характеристическим; Ф - эндоморфизм модуля Х(М), называемый структурным эндоморфизмом. При этом = 1; ^ ° Ф = 0;

Ф(0 = 0; Ф2 = +

Если, кроме того, на М фиксирована риманова структура д = (•,•), такая что (ФХ, Ф7) = (Х,У) — -Г1(Х)Г1(У);Х,У еХ(М), то четверка (ц,^,Ф,д) называется почти контактной метрической (короче, АС-) структурой. Многообразие, на котором фиксирована почти контактная метрическая структура, называется почти контактным метрическим (короче, АС-) многообразием.

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 3

Пусть Ф, д) - почти контактная метрическая структура на многообразии М. Задание почти контактной метрической структуры на гладком многообразии М равносильно заданию на этом многообразии присоединенной С-структуры со структурной группой { е} X и(п), состоящей из А-реперов [8, 9]. Такие реперы строятся в каждой точке р многообразия М и характеризуются тем, что матрицы тензоров Фр и в них выглядят следующим образом:

/0 0 0 (Ф)) = ( 0 7-Г/я 0 \о 0 -V-!/,!

/1 0 0Х

Ы = (0 0 /п), (1)

\0 /п 0/ где /п - единичная матрица порядка п.

Подчеркнем, что пространство присоединенной С-структуры состоит из комплексных реперов, т.е. реперов комплексификации соответствующих касательных пространств. Поэтому, даже имея дело с вещественными тензорами, говоря об их компонентах на пространстве присоединенной С-структуры, подразумеваем компоненты комплексных расширений этих тензоров. В свою очередь, комплексный тензор является комплексным расширением вещественного тензора тогда и только тогда, когда он инвариантен относительно оператора комплексного сопряжения. Такой тензор называется вещественным [9, 10]. В частности, сумма чистого комплексного тензора и комплексно сопряженного является вещественным тензором [9, 10].

На протяжении всей работы будем подразумевать, что индексы I ,_/, ... принимают значения от 0 до 2п, а, Ь, с, /, д,... - от 1 до п. Положим а = а + п, а = а, 0 = 0.

Пусть {М2п+г, Ф, д} - ЛС-многообразие.

Определение 2 [1, 2]. Почти контактное метрическое многообразие называется почти С(Х)-многообразием, если его тензор римановой кривизны удовлетворяет соотношению (Я(г, X) =

= <я(Фг,Ф -я{д(х,ж)д(У,г) -

- !

я(ВДд(У, ж) - ФЖ)д(г, Фг) + +д(Х,Фг)д(Г,ФЖ)}, где Х,У,г,Же!(М), я -вещественное число.

Нормальное почти С(Я)-многообразие называется С(Я)-многообразием.

Косимплектическое, сасакиево и Кенмоцу многообразия являются соответственно С(0)-, С(1)-, С(-1)-многообразиями [1].

Теорема 1 [3]. ЛС-многообразие является почти С(Я)-многообразием тогда и только тогда, когда компоненты его тензора римановой кривизны на пространстве присоединённой С-структуры удо-

влетворяют соотношениям: Rgcd = =

= 15^, - любое в силу тождества Риччи удовлетворяющее условию — = —15gC, а остальные компоненты равны нулю, где X - вещественное число, = —

Согласно работе [3], для почти C(X)-многообразия на пространстве присоединённой G-структуры ненулевые компоненты тензора Риччи имеют вид

^оо = 2!n,Sag = Sga = + ^^ (2)

остальные компоненты нулевые.

Теорема 2. Риччи-плоское почти С(Х)-много-образие локально эквивалентно произведению Рич-чи-плоского кэлерова многообразия на вещественную прямую.

Доказательство. Пусть почти С(Х)-много-образие является Риччи-плоским. Тогда из (2) следует, что 1 = 0, т.е. многообразие является косим-плектическим. Поскольку косимплектическое многообразие локально эквивалентно произведению кэлерова многообразия на вещественную прямую [10, 11], то теорема доказана.

Из (2) для VX, Y £ Х(М) непосредственно получим следующие равенства:

1)S(£0 = 21n;

2) S(£ Ф2Х) = 0;

3)s(f,X) = 21nq(X);

4) 5(ф2Х, Ф2Y) = 5(фХ, ФY);

5) 5(ФХ, Ф Y) — S(X, Y) = 2n1^(X)?7(Y) — —21n^(X) — 21n?7(Y).

Известно [10], что псевдориманово многообразие является многообразием точечно постоянной кривизны к тогда и только тогда, когда его тензор римановой кривизны имеет строение:

Я(Х, Y)Z = fc«Y,Z)X — <X,Z)Y),X, Y,Z £ X(M).

Последнее выражение на пространстве присоединенной G-структуры равносильно следующим соотношениям для компонент тензора римановой кривизны:

«Scd = ^bcd = «"go = (3)

Непосредственно из теоремы 1 и (3) следует

Предложение 1. Для того чтобы почти C(X)-многообразие являлось многообразием точечно постоянной кривизны, необходимо и достаточно, чтобы на пространстве присоединенной G-структуры компоненты тензора кривизны удовлетворяли соотношению «agcd =

Применим процедуру восстановления тождества

[9, 10] к равенствам: Ragc^ = 15а5ь; «agcdi = d = 0; S0gcd = 15° = 0, т.е. к равенствам

bed = . Последнее равенство запишем в ви-

R

де {R(£a,£g)£c} 1 = ^(£a)4£g,£c>, т.е. R(ea,eg)ec = = ^(£a)(£g,£c>. Так как проекторами Х(М) на под-

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 3

/—г _ /—г

пространства Эф и Эф? являются эндоморфизмы п = а = —1(Ф2 + ?—1ф) и п = &°1 = = 1(-Ф2 + ?—1Ф), то И(Ф2Х+ ^—1ФХ,-Ф2У + +?—1ФУ)(ф22 + ?—1Ф2) = А(Ф2Х +

1ФХ)(—Ф2У + ^=1ФУ, Ф2! + ?—1Ф2), УХ, У, Ъ Е Х(М). Выделяя действительную и мнимую части в последнем равенстве, получим Я(Ф2Х, Ф2У)Ф2! + Я(Ф2Х, ФУ)Ф2 —

—я(фх, Ф2у)Фг + я(фх, ФУ)Ф2г = = а{ф2х(ф2у, ф2!) + ф2х(фу, Фг) — —фх(ф2у, Фг) + фх(фг, ф21)\,

УХ, У, 2 Е Х(М).

Учитывая, что (X, ФУ) = —(ФХ,У), Ф3Х = —ФХ [9, 10], последнее соотношение можно переписать в виде

я(ф2х, Ф2У)Ф2г + я(ф2х, ФУ)Фг — —я(фх, Ф2У)Фг + я(фх, ФУ)Ф2г =

= 2А{Ф2Х(ФУ, Фг) + ФХ(У, Фг)}; (4)

ух, у, г е х(м).

Таким образом, справедлива Теорема 3. Почти С(Х)-многообразие является многообразием точечно постоянной кривизны X тогда и только тогда, когда его тензор римановой кривизны удовлетворяет тождеству (4).

С учетом предложения 1 из формул (2) получим, что компоненты тензора Риччи почти С(Х)-многообразия точечно постоянной кривизны на пространстве присоединенной С-структуры имеют вид 500 = 2Ап; = = 2Ап5ь. Применяя процедуру восстановления тождества к последним соотношениям, получим равенства, характеризующие тензор Риччи почти С(Х)-многообразия точечно постоянной кривизны: 1) = 2Ап; 2) Б(^,Ф2Х) = 0; 3) Б(%,Х) = 2Ащ(Х); 4) Б(Ф2Х,Ф2У) = 5(ФХ,ФГ) = = 2пА(ФХ,ФУ) = —2Ап(Х,У) — 2Ащ(Х)г](У);; УХ, У Е Х(М). С учетом этих свойств тензор Риччи почти С(Х)-многообразия точечно постоянной кривизны примет вид Б(Х, У) = 2Ап[{Х, У) + ц(Х) + Г1(У) — —2г1(Х)г1(У)}; УХ, У Е Х(М).

Определение 3 [12, 13]. Псевдориманово многообразие М называется г-эйнштейновым многообразием типа (а,Р), если его тензор Риччи удовлетворяет уравнению Б = ад + Р'Ц®'^, где д -(псевдо)риманова метрика; а,Р - подходящие гладкие функции. При Р = 0 многообразие является эйнштейновым с космологической константой а.

Пусть М - многообразие Эйнштейна с космологической константой а, т.е. = ад^. Тогда 500 = 2Ап = а, Бац, = + АпЗа = 0-8%, откуда а = 2Ап. Сверткой второго равенства по индексам а и Ь

получим Rlat) = An2 = у, т.е. Rba£ = а5% -

—Ап8а = Ап8а.

Таким образом, доказано

Предложение 2. Если почти С(А)-многообразие является многообразием Эйнштейна с космологической константой а, то а = 2An, R= AnSa.

Поскольку почти С(А)-многообразие, являющееся многообразием Эйнштейна с нулевой космологической константой а = 0, есть Риччи-плоское косимплектическое многообразие, то оно голоморфно изометрично накрывается произведением вещественной прямой на Риччи-плоское кэлерово многообразие. Если а Ф 0, то по классической теореме Майерса [14] в случае полноты М оно компактно и имеет конечную фундаментальную группу. Таким образом, предложение 2 можно сформулировать следующим образом.

Теорема 4. Полное почти С(А)-многообразие Эйнштейна либо голоморфно изометрично накрывается произведением вещественной прямой на Риччи-плоское кэлерово многообразие, либо компактно и имеет конечную фундаментальную группу.

Из определения 3 следует, что тензор Риччи )-эйнштейнова многообразия типа (а,Р) на пространстве расслоения реперов имеет компоненты 50о = а + ¡, Sao = Soa = Sab = S&b = 0;

с__— .^xb

J ab J ba аиа,

где a,P - гладкие функции.

Тогда для почти С(А)-многообразия на пространстве присоединённой G-структуры с учетом (2) получим

(Rbca£ + AnSba=aSba,

2Ап = а + ß.

откуда

« = zKbc +

1

ß = --R?bc + *n.

(5)

Таким образом, справедлива

Теорема 5. Если почти С(Х)-многообразие является г-эйнштейновым многообразием типа (а, Р), тогда на пространстве присоединенной С-структуры справедливо (5).

Ф-инвариантность тензора Риччи

Пусть {М, ц, Ф, д} - ЛС-многообразие.

Определение 4. Говорят, что ЛС-многообразие имеет Ф-инвариантный тензор Риччи, если ФQ = QФ, где Q - оператор Риччи, заданный формулой Б(Х, У) = д(Х,д(У)).

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 3

На пространстве присоединенной G-структуры определяющее условие Ф-инвариантности тензора Риччи ЛС-многообразия можно записать в виде Ф/cQ; = Поскольку Sy = fi^Of, последнее

равенство с учетом (1) равносильно следующим соотношениям:

1) S0a = So<a = Sao = S<ao = 0;

2) Sag = Sag = 0. (6)

Теорема 6. ЛС-многообразие имеет Ф-ин-

вариантный тензор Риччи тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной G-структуры справедливы равенства (6).

Пусть М - почти С(Х)-многообразие. Тогда с учетом (2) и теоремы 6 имеет место

Теорема 7. Почти С(Х)-многообразие имеет Ф-инвариантный тензор Риччи.

Постоянство Ф-голоморфной секционной кривизны

Определение 5 [9, 10]. Почти контактное метрическое многообразие М называется многообразием точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны с, если VX £ £ ^ ^ <Я(Х,ФХ)Х,ФХ) = с||Х||4,где с£Сга(М), £ = / тФ - подмодуль Х(М). Если к тому же с=сonst, многообразие называется многообразием глобально постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны.

На пространстве присоединенной G-структуры определяющее равенство запишется в виде

4fiagcdXaXgXcXd = —4C£ag£ca™gXcXd С учетом вида матриц структурного оператора и метрического тензора (1) определяющее равенство можно записать в виде («agcd + = 0. Поляризация этого соотношения приводит к следующему результату.

Предложение 3 [9, 10]. Почти контактное метрическое многообразие является многообразием точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны с тогда и только тогда, когда

r>(a d) _ c Pad /п\

K (gc) =2<3gc , (7)

где ^ = + 5са^.

Пусть М - почти С(Х)-многообразие точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны с. Известно, что для почти С(Х)-многообразий

Йа d be

Йа d _

eb —

(8)

fo — îW-^bOd),

(11)

Распишем левую часть (7)

па й . па й,пй а , nd а _ n,,гad Я Ьс + Я сЬ +Я Ьс + Я сЬ = 2с<эЬс . (9)

В силу симметрии тензора Римана-Кристоффеля

имеем ЯаЬсй = ЯйсЬа и ЯасЬй = ЯйЬса. Тогда (9) запишется в виде

ра й , ра й _ _,,?ай Я Ьс + Я сЬ = С0Ьс . Таким образом, из (8) и (10) имеем

(10)

Из предложения 2 и (11) следует, что с = Я, т.е. почти С(Х)-многообразие точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны с является многообразием Эйнштейна с космологической постоянной а = 2п с.

Любое трехмерное почти контактное метрическое многообразие является многообразием точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны. Как известно, косимплектическое многообразие локально эквивалентно произведению кэле-рова многообразия на вещественную прямую [10, 11]. В частности, косимплектическое многообразие постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны локально эквивалентно произведению комплексной пространственной формы (т.е. кэлерова многообразия постоянной голоморфной секционной кривизны) на вещественную прямую. Всякое полное од-носвязное кэлерово многообразие нулевой голоморфной секционной кривизны размерности свыше двух голоморфно изометрично комплексному евклидову пространству Сп, снабженному стандартной эрмитовой метрикой ((у)) = ds2, в каноническом атласе задаваемой соотношением ds2 = £?=1zadza [10, гл. 9, п. 7].

Теорема 8. Почти С(Х)-многообразие является многообразием постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны с = 0 тогда и только тогда, когда оно локально эквивалентно комплексному евклидову пространству Сп, снабженному стандартной эрмитовой метрикой ((•,•)) = ds2, в каноническом атласе задаваемой соотношением ds2 = £f=i zadza.

Литература

1. Janssen D., Vanhecke L. Almost contact structures and curvature tensors // Kodai Math. J. 1981. Vol. 4. P. 1-27.

2. Olszak Z., Rosca R. Normal locally confomal almost cosymplectic manifolds // Publ. Math. Debrecen. 1991. Vol. 39. P. 315-323.

3. Харитонова С.В. Почти С(Х)-многообразия // Фундаментальная и прикладная математика. 2010. Т. 16, вып. 2. С. 139-146.

4. Волкова Е.С. Тождества кривизны нормальных многообразий киллингова типа // Мат. заметки. 1997. Т. 62, вып. 3. С. 351-362.

5. Gray A. Curvature identities for Hermitian and almost Hermitian manifolds // Tobhoku Math. J. 1976. Vol. 28, № 4. P. 601-812.

6. Рустанов А.Р., Харитонова С.В., Казакова О.Н. О двух классах почти C(X)-многообразий // Вестн. Оренбургского гос. ун-та. 2015. № 3. C. 228-231.

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 3

7. Blair D.E. Contact manifolds in Riemannian geometry // Lecture Notes in Mathematics. Berlin: SpringerVerlag, 1976. Vol. 509. P. 1-146.

8. Кириченко В.Ф. Методы обобщенной эрмитовой геометрии в теории почти контактных многообразий // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. 1986. Т. 18. С. 25-71.

9. Кириченко В.Ф., Рустанов А.Р. Дифференциальная геометрия квазисасакиевых многообразий // Мат. сб. 2002. Т. 193, № 8. С. 71-100.

10. Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. 2-е изд. Одесса: Печатный дом, 2013. 458 с.

11. Kiritchenko V.F. Sur le géométrie des variétés approximativement cosymplectiques // C. R. Acad. Sci. Paris. Sér. I. Math. 1982. Vol. 295 (1). P. 673-676.

12. Sasaki S. Almost contact manifolds // I. Lect. Notes. Tohoku University, 1965. P. 1-250.

13. Бессе А. Многообразия Эйнштейна. М.: Мир, 1990. Т. 1, 2.

14. Myers S.B. Riemannian manifolds in the large // Duke Math. J. 1935. Vol. 1. P. 39-49.

References

1. Janssen D., Vanhecke L. (1981). Almost contact structures and curvature tensors. Kodai Math. J., vol. 4, pp. 1-27.

2. Olszak Z., Rosca R. (1991). Normal locally con-fomal almost cosymplectic manifolds. Publ. Math. Debrecen, vol. 39, pp. 315-323.

3. Kharitonova S.V. (2010). Almost C(X)-manifolds. Fundamental'naya i prikladnaya matematika, vol. 16, No. 2, pp. 139-146. (in Russian).

4. Volkova E.S. (1997). Curvature identities for normal manifolds of killing type. Mathematical Notes, vol. 62, pp. 296-305.

5. Gray A. (1976). Curvature identities for Hermitian and almost Hermitian manifolds. Tobhoku Math. J., vol. 28, No. 4, pp. 601-812.

6. Rustanov A.R., Kharitonova S.V., Kazakova O. N. (2015). On two classes of almost C(X)-manifolds. Vestnik Orenburgskogo gosudarstvennogo universiteta, No. 3, pp. 228-231. (in Russian).

7. Blair D.E. (1976). Contact manifolds in Riemannian geometry. Lecture Notes in Mathematics. Berlin, Springer-Verlag Publ., vol. 509, pp. 1-146.

8. Kirichenko V.F. (1986). Methods of generalized Hermitian geometry in the theory of almost-contact manifolds. Itogi nauki i tekhniki. Problemy geometrii, vol. 18, pp. 25-71. (in Russian).

9. Kirichenko V.F., Rustanov A.R. (2002). Differential geometry of quasi-Sasakian manifolds. Mathematics, vol. 193 (8), pp. 1173-1201.

10. Kirichenko V.F. (2013). Differential geometric structures on manifolds. 2nd ed. Odessa, Pechatnyy Dom Publ., 458 p. (in Russian).

11. Kiritchenko V.F. (1982). Sur le géométrie des variétés approximativement cosymplectiques. C.R. Acad. Sci. Paris. Sér. I. Math., vol. 295 (1), pp. 673676.

12. Sasaki S. (1965). Almost contact manifolds. I. Lect. Notes. Tohoku University Press, pp. 1-250.

13. Besse A. (1990). Einstein's Manifolds. Moscow, Mir Publ., vol. 1, 2. (in Russian).

14. Myers S.B. (1935). Riemannian manifolds in the large. Duke Math. J., vol. 1, pp. 39-49.

Поступила в редакцию /Received

19 апреля 2020 г. /April 19, 2020