Свойства изотропности тензора кривизны почти контактных метрических многообразий класса Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.76 ББК 22.1

СВОЙСТВА ИЗОТРОПНОСТИ

ТЕНЗОРА КРИВИЗНЫ ПОЧТИ КОНТАКТНЫХ

МЕТРИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ КЛАССА с

А.Р. Рустанов

Аннотация. В работе рассматриваются некоторые аспекты геометрии почти контактных метрических многообразий класса в классификации Чи-нья, Гонзалеза, являющиеся естественными обобщениями косиплектических многообразий. Ставятся три задачи: 1) исследовать АС-многообразия класса - _; постоянной кривизны к; 2) изучить многообразия точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны с; 3) исследовать Эйнштейновы и /^-Эйнштейновы АС-многообразия класса СПри решении этих задач получены следующие результаты:

Теорема 1. Пусть М - АС-многообразие класса С10 постоянной кривизны к. Тогда оно либо является плоским, т.е. к = 0, либо локально эквивалентно произведению келерова многообразия на вещественную прямую.

Теорема 2. Полное АС-многообразие класса являющееся многообразием Эйнштейна, является либо риччи-плоским косимплектическим многообразием, а значит, голоморфно изометрично накрывается произведением вещественной прямой на риччи-плоское келерово многообразие, либо компактно и имеет конечную фундаментальную группу.

Теорема 3 .Для ц-Эйнштейнового АС-многообразия класса имеем:

янной Ф-голоморфной секционной кривизны с тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной О-структуры тензор А ^ имеет вид А^ = — Теорема 5. Точечное постоянство Ф-голоморфной секционной кривизны АС-многообразия класса размерности свыше 3 равносильно глобальному постоянству Ф-голоморфной секционной кривизны.

Предложение. Пусть М — собственное (отличное от косимплектического) АС-многообразие постоянной голоморфной секционной кривизны с. Тогда С > 0. Теорема 6. АС-многообразие класса С1!} является многообразием точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны тогда и только тогда, когда оно локально эквивалентно одному из следующих многообразий: 1. Произведению комплексного евклидова пространства на вещественную прямую;

207

Теорема 4. АС-многообразие класса является многообразием точечно пост»

2. Произведению комплексного проективного пространства на вещественную прямую.

Ключевые слова: почти контактное метрическое многообразие, ко-симплектическое многообразие, тензор римановой кривизны, Ф-голо-морфная секционная кривизна, Эйнштейново многообразие, ц-Эйн-штейново многообразие.

ISOTROPIC PROPERTIES OF THE CURVATURE TENSOR OF ALMOST CONTACT METRIC MANIFOLDS OF CLASS

■ A.R. Rustanov

'10

208

Abstract. In this paper we continue to explore some aspects of the geometry of almost contact metric manifolds class classification Chine a D. and Gonzalez C., is a natural generalizations cosymplectic manifolds. In [1] we studied some properties of these manifolds and on the basis of additional identities on the Riemann curvature tensor have been identified and investigated some subclasses of these varieties. In this paper, we consider three objectives: 1) to explore the AC-manifolds of class C1(j constant cun'ature k; 2) to explore the manifold of pointwise constant 0-sectional curvature c; 3) explore Einstein and i]-Einstein AC-manifolds of class C1(). In addressing these challenges with the following results:

Theorem 1. Suppose M - AC-manifold of class C1Q constant cun'ature k. Then either it is flat, i.e. k = 0, or is locally equivalent to the product of Kahler manifold on the real line.

Theorem 2. Complete AC-manifold of class being Einstein manifold is either Ricci-flat cosymplectic manifold, which means that the product is covered holomor-phically isometric real line on Ricci-flat Kahler manifold or a compact and has finite

fundamental group. ^

Theorem 3. For i]-Einstein AC-manifolds of class 10 have:

Theorem 4. AC-manifold of class is a manifold ofpointwise constant Ф-sectional

cun'ature c if and only if the space of the associated G-structure tensor Ahas the form Aldc

Theorem 5. Spot constancy 0-sectional cun'ature AC-manifold of class C 1(J of dimension greater than 3 equivalent global constancy of 0-sectional curvature. Proposition. LetM— own (other than cosymplectic) AC-manifold of constant holomor-phic sectional curvature c. Then c > 0.

Theorem 6. AC-manifoId of class C1Q is a manifold ofpointwise constant 0-sectional curvature if and only if it is locally equivalent to one of the following manifolds:

1. The product of complex Euclidean space and the real line;

2. A product of complex projective space on the real line.

Keywords: almost contact metric manifolds, cosymplectic manifolds, a tensor Riemannian curvature, Q-holomorphic sectional curvature, Einstein manifold, n-Einstein manifold.

В данной работе мы продолжаем изучать некоторые аспекты геометрии

почти контактных метрических многообразий класса Си, являющиеся естественными обобщениями косиплектических многообразий. В работе [1] мы изучали некоторые свойства этих многообразий и на основе дополнительных тождеств на тензор римановой кривизны были выделены и исследованы некоторые подклассы этих многообразий. Здесь мы исследуем АС-многообразия класса Сщ постоянной кривизны к и многообразия точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны с. Также мы рассматриваем Эйнштейновы и ц-Эйнштейновы АС-многообразия класса С1 о.

Пусть М—АС-многообразне класса Сю постоянной кривизны к. Тогда его тензор Римана-Кристоффеля имеет строение [2]:

д(^7)г = к{{у,г)х - чх,г,гЕХ{м) (1)

Равенство (1) на пространстве расслоения реперов можно записать в виде

Щк1 = к {д1кдц - Я]к9х)- (2)

Напомним [1], что существенные ненулевые компоненты тензора Римана-Кристоффеля на пространстве присоединенной О-структуры имеют вид:

1)= раереъ1 1)Ксё = А1Ъ = (3)

На пространстве присоединенной О-структуры соотношения (2) равносильны следующим соотношениям:

3) КъЛ = А™ = 4) НаЬса = -Р^Р^ = 0 ^

Свернем равенство (4:2) по сначала индексам а и с, а затем по индексам Ъ н с/, тогда получим к ■ п - (п — 1) = 0. Отсюда, либо й: = 0, либо п = 1, т.е. размерность многообразия равна 3. С учетом равенства (4:4) первое фундаментальное тождество, т.е. тождество — Р'= 0, примет вид: Аь\<;Р\Ш] = 0, т.е. Льс^ы — ^Ьс?^^ — 0. С учетом (4:3) последнее равенство запишется в виде: - ЪБ^Р^ = 0. Полученное равенство свернем по индексам а и с, тогда к(п — 1)Рь^ = 0. Рассмотрим второе фундаментальное тождество, т.е. тождество ^лЦРаЯ = которое запишем в

209

виде: FabFcd "Ь F^F^ "Ь Fad^bc ~ Свернем это равенство с Fa'\ тогда получим: Fah{FaiiFl^ + F^F^ + F^F^) = 0. С учетом (4:1) последнее равенство перепишем в виде: kSbFcd + kS^Fdb + kSdFbc = 0. Последнее равенство свернем по индексам h и с, тогда knFbd — knFbd knFbd =0, т.е. к(п — 2)Fbd = 0. Из равенств к(п — 1 )Fbd = 0 и к(п — 2)Fbd = 0 следует, что либо к = 0, либо F^u-i = 0- Подытожив вышеизложенное локальное строение косимплектических многообразий [1], можно сформулировать следующую теорему.

Теорема 1. Пусть М — ЛС-многообразие класса постоянной кривизны k. Тогда оно либо является плоским, т.е. к =0, либо локально эквивалентно произведению келерова многообразия на вещественную прямую.

Пусть М — ЛС-многообразие класса Си является многообразием Эйнштейна, т.е. его тензор Риччи удовлетворяет условию S = гд. где £ = const называется космологической постоянной. Условие Эйнштейновостн в координатной форме запишется в виде = sg^. которое на пространстве присоединенной G-структуры равносильно следующим соотношениям [3]:

1) 500 = е; 2)50q=Q; 3) = 0; 4) SaS = ESba (5)

Напомним [1], что компоненты тензора Риччи на пространстве присоединенной G-структуры имеют вид:

1) 500 = -2F°bFba; 2) Sa£ = SSa = А\% - FacFab (6)

остальные компоненты нулевые.

Из (5) и (6) имеем:

Свернем уравнение (7:2) по индексам а и Ъ, тогда получим sn = АЦ - FabFba, т.е. с учетом (7:1), имеем £ = ^-¿ЛЦ. Если £ = 0, из

(7:1) следует, что Раь = 0, т.е., согласно Предложению 4 из [1], многообразие является коснмплектнческим многообразием. С учетом [5], М локально голоморфно изометрнчно многообразию вида R X jV"" , где Л'21, — риччи-плоское келерово многообразие. Если £ > 0, то, согласно классической теореме Май-ерса [2], в случае полноты М компактно и имеет конечную фундаментальную группу. Мы получаем следующий результат.

Теорема 2. Полное ЛС-многообразие класса С10, являющееся многообразием Эйнштейна, является либо риччи-плоским косимплектическим многообразием, а значит, голоморфно изометрично накрывается произведением вещественной прямой на риччи-плоское келерово многообразие, либо компактно н имеет конечную фундаментальную группу.

Пусть М является //-Эйнштейновым ЛС-многообразнем класса Сiп. т.е. его тензор Риччи S удовлетворяет условию [4] 5 = ад + Ьт) @ ij. Это усло-

вне в координатной форме запишется в виде: = ад.., Ьг}^., которое на пространстве присоединенной О-структуры равносильно следующим равенствам:

1} 500 = а + Ъ; 2) = 0; 3} = 0; 4} 5а£ = (8)

Из (6) и (8) имеем:

Свернув второе уравнение полученной системы по индексам а и Ь. получим 1) а + Ъ = 2) - Р^Р*™ = ап Из полученных ра-

венств имеем

аЪ аЪ

2rlzlp Fbc

та ^ - п п

Итак, доказана следующая теорема. Теорема 3. Для //-Эйнштейновою АС-многообразня класса ^ 1и имеем:

Сю

Теперь рассмотрим когда АС-многообразне класса Сщ является многообразием Ф-голоморфной секционной кривизны.

Почти контактное метрическое многообразие М называется многообразием точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны [2, 3], если

ЧХ GX (R(X, ФХ)Х,ФХ) = с\\Х\\4, где с G CM(X)-

(10)

Если к тому же с = const. многообразие называется многообразием глобально постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны.

На пространстве присоединенной G-структуры равенство (10) записыва- 211 ется в впде:

^к1х'(ФЮ^{ФхУ = 4с(Г ха)2.

Это соотношение можно переписать следующим образом [2, 3]:

УЫ i ЧЪс)

(л $ _ с ^

,

(11)

(12)

где = + SfS^.

С учетом (3:2) н свойств тензора |, соотношение (12)

запишем в виде:

(13)

ПЬоводя рассуждения в обратном порядке, легко убедиться, что если тензор Аъс имеет вид (13), то АС-многообразие класса Сю является многообразием точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны.

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 4. ЛС-многообразне класса С1а является многообразием точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны с тогда " .только тогда, когда на пространстве присоединенной О-структуры тензор А-Ьс имеет вид

Используя соотношение [1]

Л Aad

be

. Aadnh — Aaduh 4- Ahdua 4- Aahtjd = Aad ujh 4- Aadh ijj

продифференцируем внешним образом соотношение (13). Тогда получим

л o-cZ .J, I ,ad)i I .oijyih

.-.;. ; г'.= 7 .. . . л:. С учетом

■9h ~ - 2 ~ л йй к ■ .adk IsP*

(13) полученное равенство примет вид: А^^ы^ + = Пусть

: = — ."".-. —."■.-. Сравнивая с предыдущим соотношением, с уче-

том линейной независимости базисных форм получим, что:

лай _ ijfibd , лайЬ. _ l^cd^Pi

.

(14)

212

ad ad ~aii

Поскольку J^bcfj = Afofc, из (14:1) имеем o^Cj, = Сворачивая это

соотношение сначала по индексам c и d, а затем по индексам a и b, получим, что [тс2 — 1]с^ = 0. Отсюда следует, что либо п = 1, т.е. размерность многообразия равна 3, либо ср, = 0, с'1 = Сд = 0. Следовательно, в размерности больше 3 имеем, что dc = 0, т.е. с = const.

Теорема 5. Точечное постоянство Ф-голоморфной секционной кривизны ЛС-многообразия класса размерности свыше 3 равносильно глобальному постоянству Ф-голоморфной секционной кривизны.

ПустьМ— ЛС-многообразие класса Сщ точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны с. Рассмотрим соотношение [1] F^fc^afl = 0, т.е.

-^ab^iiJ "Ь F^Fdh "Ь Fad^hc = Свернем это равенство с F^', тогда получим:

. Свернем полученное соотношение по

индексам b и h, тогда получим

F^FabFcd + ^FacFdb + F^F^F^ - 0. (15)

Первое фундаментальное тождество (т.е. ) с

учетом (13) запишется в виде:

Полученное равенство свернем по индексам а и Ь. тогда получим — ! :.г.. = г"г::г:: - г"г::г::. Последнее равенство с учетом (15)

запишется в виде: |(п + 1)с — |Р^ = 0. Откуда:

1) либо Р^ = 0, т.е. многообразие является коспмплектпческпм;

2) либо с — РаЪРаЪ — |2 > 0. В случае с = 0 многообразие

является косимплектическим. Таким образом, справедливо

Предложение. Пусть М — собственное (отличное от косимплектического) АС-многообразпе постоянной голоморфной секционной кривизны с. Тогда с > 0

Как известно, косимплектическое многообразие локально эквивалентно произведению келерова многообразия на вещественную прямую [5]. В частности, косимплектическое многообразие постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны локально эквивалентно произведению комплексной пространственной формы (т.е. келерова многообразия постоянной голоморфной секционной кривизны) на вещественную прямую. С учетом хорошо известной классификации комплексных пространственных форм [6], резюмируя вышеизложенное, можно сформулировать следующую теорему.

Теорема 6. АС-многообразпе класса С10 является многообразием точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны тогда и только тогда, когда оно локально эквивалентно одному из следующих многообразий:

1) произведению комплексного евклидова пространства на вещественную прямую;

2) произведению комплексного проективного пространства на вещественную прямую.

213

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Pvcmcmoe, А.Р. Тождества кривизны почти контактных метрических многообразий класса C1D. [Текст] / А.Р. Рустанов // Преподаватель XXI век. - 2010. - № 4. - С. 199-207.

2. Кириченко, В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. Издание второе, дополненное [Текст] / В.Ф. Кириченко. - Одесса : Печатный дом, 2013. - 458 с.

3. Кириченко, В.Ф. Дифференциальная геометрия квази-сасакиевых многообразий [Текст] / В.Ф. Киричеснко, А.Р. Рустанов // Математический сборник. - Т. 193. - № 8. - С. 71-100.

4. Blair, D.E. Riemannian Geometry of Contact and Symplectic Manifolds [Text] / D.E. Blair // Progr. Math. - Vol. 203. - Birkhauser Boston inc., Boston, MA, 2002.

5. Kiritchenko, V.F. Sur le géométrie des variétés approximativement cosymplectiques [Text] / V.E. Kiritchenko // C.R. Acad. Sci. Paris. - Sér. I. Math. - 1982. - Vol. 295. - P. 673-676.

6. Kirichenko, V.F. Generalized quasi-Kaehlerian manifolds and axioms of CR-submanifolds in generalized Hermitian geometry, II [Text] / V.E. Kiritchenko // Geometriae Dedicata. - Vol. 24. -1972. - P. 435-440.

REFERENCES

1. Rustanov A.R. Tozhdestva krivizny pochti kontaktnyh metricheskih mnogoobrazij klassa C_10 [The identities of the curvature of almost contact metric manifolds of class C_10], Prepodavatel' XXI vek, 2010, No 4, pp. 199-207.

2. Kirichenko V.F. Differencial'no-geometricheskie struktury na mnogoobrazijah [Differential and geometric structures on manifolds], Izdanie vtoroe, dopolnennoe, Odessa: Pechatnyj dom, 2013, 458 p.

3. Kirichenko V.F., Rustanov A.R. Differencial'naja geometrija kvazi-sasakievyh mnogoobrazij [Differential geometry of quasi-sasakian manifolds], Matematicheskij sbornik, T. 193, No 8, pp. 71-100.

4. Blair D.E. Riemannian Geometry of Contact and Symplectic Manifolds, Progr. Math, Vol. 203, Birkhäuser Boston inc., Boston, MA, 2002.

5. Kiritchenko V.F. Sur le géométrie des variétés approximativement cosymplectiques, C.R. Acad. Sci. Paris, Sér. I. Math., 1982, Vol. 295, pp. 673-676.

6. Kirichenko V.F. Generalized quasi-Kaehlerian manifolds and axioms of CR-submanifolds in generalized Hermitian geometry, II, Geometriae Dedicata, Vol. 24, 1972, pp. 435-440. ■

Рустанов Ал и гаджи Рабаданович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теории и истории социологии Московского педагогического государственного университета, [email protected]

Rustanov A.R., PhD in Physics and Mathematics, Associate Professor, Theory and History of Sociology Department, Moscow State Pedagogical University, [email protected]

214