О двух классах почти с(а)-многообразий Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.76

Рустанов А.Р.1, Харитонова С.В.2, Казакова О.Н.2

1Московский педагогический государственный университет, [email protected] 2Оренбургский государственный университет, [email protected]

О ДВУХ КЛАССАХ ПОЧТИ С (Я)-МНОГООБРАЗИЙ

Почти контактные метрические многообразия обладают богатой дифференциально-геометрической структурой. Исследование почти С (Я) -многообразий в своих работах начали Д. Янсен и Л. Ванхекке. Тензор кривизны имеет определяющее значение для почти С(Я) -многообразий, а тождества кривизны, которым удовлетворяет этот тензор, очень важны для понимания дифференциально-геометрических свойств почти С (Я) -многообразий. Полученные в данной статье тождества, выражающие дополнительные свойства симметрии тензора римановой кривизны почти С (Я) -многообразий, позволяют решить актуальную задачу классификации почти С (Я) -многообразий, а именно, выделить классы класса СИ1 и СИ2 почти С (Я) -многообразий.

В работе получены следующие тождества кривизны почти С (Я) -многообразия:

1) R(X,^ = -ЯФ 2 X;

2) R(ф2X,Ф2У)ф27 + R(ф2X,ФY) + R(фX,Ф2У) - R(ФX,ФY)ф2Z =

= Я{Ф 2 Х^ Ф 2У, Ф 2 ^ + Ф 2 X( Ф Y, Ф^ + ФХ^ Ф 2Y, Ф^ - Ф^ Ф Y, Ф 2 ^ -

- Ф2у/Ф2X,Ф27) - Ф2У(ФХ,Ф^ - ФУФ2X,фА + ФУФХ,ф7} .

На основе данных тождеств выделены почти С (Я) -многообразия класса СИ1 и класса СИ2. Определение 3. Почти С (Я) -многообразие называется многообразием класс а 0Я1, если его

тензор римановой кривизны удовлетворяет условию R(X= 0 , VXе X(M).

Определение 4. Назовем почти С (Я) )-многообразие многообразием класса СИ2, если его тензор римановой кривизны для VX,У,7е X(M) удовлетворяет условию

я(ф 2 X, Ф 2У ) 2 Z + я(ф2 X, ФУ )z + r($)X , Ф 2У ) - я(фх , ФУ )ф 2Z

= 0 .

Дана локальная характеризация выделенных классов, а именно доказаны следующие утверждения.

Теорема 2. Почти С(Я) -многообразие является многообразием класса СИ1 тогда и только тогда, когда оно является косимплектическим многообразием, т.е. когда оно ло кально эквивалентно произведению келерова многообразия на вещественную прямую.

Теорема 3. Почти С (Я) -многообразие, размерности больше 3, является многообразием класса СИ2 тогда и только тогда, когда оно является косимплектическим многообразием, т.е. когда оно л окально эквивалентно произведению келерова многообразия на вещественную прямую.

Ключевые слова: почти С (Я) -многообразия, косимплектические многообразия, С(Я) -многообразия, тензор римановой кривизны, сасакиево многообразие, многообразие Кенмоцу.

Понятие почти С(Я) -многообразий, где тензоры конгармонической и конциркуляр-

Я - вещественное число, было введено в ной кривизны почти С(Я) -многообразия. 1981 году Д. Янсеном и Л. Ванхекке, авторы Д. Янсен и Л. Ванхекке определили по-

начали исследование таких многообразий чти С(Я) -многообразие следующим обра-

в работе [1]. З. Олчек и Р. Роска [2] изучали зом.

нормальные локально конформно почти ко- Определение 1 [1], [2]. Почти контакт-симплектические многообразия, которые ное метрическое многообразие называется дополнительно являются почти С(Я) -мно- почти С(Я) -многообразием, если его тензор гообразиями. римановой кривизны удовлетворяет соотВ работе [3] рассматриваются конфор- ношению

мно плоские почти С(Я)-многообразия. (R(ZW)YX) = (R(ФZ ФЖ)У X) -

А. Акбар [4] изучал тензор Риччи и квази- ^ ' ' / \ ' ' /

тензор конформной кривизны почти С (Я)- -Я( g (X,W У (У, 7)-g (X, 7 У (У,W )-

многообразия. В статье [5] авт°ры изучали -g(X,фw)(у,Ф7)+g(X,Ф7)(У,ФW)), (1)

Рустанов А.Р., и др.

О двух классах почти С^-многообразий

где Х,У, е Х(М), а X - вещественное число.

Определение 2 [1, 2]. Нормальное почти С(X) -многообразие называется С(X) -многообразием.

Д. Янссен и Л. Ванхекке показали, что косимплектическое многообразие, сасаки-ево многообразие и многообразие Кенмо-цу являются соответственно С(0)-, С(1)- и С(-1)-многообразиями [1]. Имеет место следующая теорема.

Теорема 1 [3]. ЛС-многообразие является почти С(X) -многообразием тогда и только тогда, когда компоненты его тензора римановой кривизны на пространстве присоединённой б-структуры удовлетворяют соотношениям:

Я

аЪсй , Яа0Ъ0 ~Х8Ъ , КаЪей

любое, в силу тождества Риччи, удовлетворяющее тождеству

ЯаЪсй ЯасЪй

1 s:ad ~-ХдЪс ,

где X - вещественное число,

оаЛ ¡-а ^ £a;•d ОЪс =дЪ дс -дс дЪ ,

а остальные компоненты равны нулю.

Зная выражения для компонент тензора римановой кривизны на пространстве присоединённой б-структуры, по формуле

V - =-яК ±у1]к

получим выражения для компонент тензора Риччи почти С(X) -многообразия на пространстве присоединённой б-структуры:

500 = 2Xn ,

5аЪ = ^Ъа = Ясас + ^

(2)

остальные компоненты нулевые.

Вычислим скалярную кривизну с почти С(X) -многообразия на пространстве присоединённой б-структуры по формуле

X = §г3г],

где §г] - компоненты контравариантного метрического тензора. Используя соотношения (2) и матрицу метрического тензора

0

1п 0

получим

X = 2Xn + 2яЪЪс + 2Xn2 . (3)

Применим процедуру восстановления тождества ([6], [7], [8], [9]) к равенствам:

Яа0Ъ0 = ^Ъ , Яа0Ъ0 = Щ = 0 , Я00Ъ0 = ^Ъ = 0 ,

т.е. [я(еа= X(sa) , т.е. Я(£а^ = ^.

ом Х(М) на подпространство

Т. к. проекторе

Оф-1 (где Бф-1 - собственное подпространство эндоморфизма Ф с собственным значением является эндоморфизм

ж=аоI = -2(ф2 +л/-Тф) ([7], [10]),

то я(ф 2 X + л/-ТфХ,;) =x(ф 2 X+7-!фХ)

УХ е Х(М).

Выделяя действительную и мнимую части последнего равенства, получим эквивалентные тождества: я(ф2Х,;) = x(ф2Х) и Я(ФХ = X(ФX). Рассмотрим действительную часть я((2X,;У = x(ф2x) УХе Х(М). Поскольку ф2X = -X+п(ХУ; , то последнее равенство можно переписать в виде:

Я(Х,;); =-XФ2X , УХе Х(М). (4)

Назовем тождество (4) первым дополнительным тождеством кривизны почти С^) -многообразия.

Определение 3. Почти С(X) -многообразие называется многообразием класса СЯ1, если его тензор римановой кривизны удовлетворяет условию

Я(Х,;); = 0 , УХе Х(М).

Пусть почти С(X) -многообразие является многообразием класса СЯ1, тогда согласно определению 3 имеет место равенство Я(Х,;) = 0 , УХ е Х(М), т.е. на пространстве присоединенной б-структуры Я0]г0 = 0 , которое с учетом теоремы 1, запишется в виде: Яа0Ъ0 = XSa = 0 . Таким образом, из теоремы 1 и определения 3 следует, что почти С(X) -многообразие является многообразием класса СЯ1 тогда и только тогда, когда XSЪa = 0. Свернем это равенство по индексам а и Ъ, тогда Xn = 0 . Поскольку п > 0 , то X = 0 . А, значит С(X)-многообразие является косимплектическим многообразием. Как известно [6], косимплектическое многообразие локально эквивалентно произве-

п

Физико-математические науки

дению келерова многообразия на вещественную прямую.

Обратно, для косимплектического многообразия имеем, что Ra0b0 = 0 , Ra0b0 = 0 , Roobo = 0, т.е. Ri j 0 = 0. А значит, r(x = 0, УХ G x(m ). Т.е. является многообразием класса CR1.

Таким образом, доказана следующая

Теорема 2. Почти С (Я) -многообразие является многообразием класса CR1 тогда и только тогда, когда оно является косимп-лектическим многообразием, т.е. когда оно локально эквивалентно произведению ке-лерова многообразия на вещественную прямую.

Применим процедуру восстановления тождества ([7], [8], [9]) к равенствам:

1 sab îlsasd gagd| 'Я0cd =ЯдЬ Oc — Oc Ob J

R , , = Я8а = я(рЬ>0^ — Sröh )= 0

abcd

R

0bcd

)=

: Я°Ы = Я — °c°b ) = 0 ,

т.е. к равенствам Rгbcd = я(( - 5гс5ь ). Последнее равенство запишем в виде:

{(а,£ьК } = я{£а ) (£Ь¿с) - £Ь)£а ¿с)},

т.е. ^£а Чь )чс = я(ча £Ь ,£с)-££>(£а ,£с)). Т.к. проектором Х(М) на подпространство Бф1 и БФ^"1 являются эндоморфизмы

п =а о I = - 2 (ф 2 + л/-1ф) и к=а оI = 2(-Ф2 + л/-1ф) ([6], [10]),

R

abcd

то

R(ф 2 X + ^/-LФX, Ф 2У + Т-Гфу )- Ф 2 7 + Т-Гф7 )=

=я{(ф 2 X+^f-iФX )ф 2у+Т-Гфу ,-ф 2 7+7-Гф^ -

-(ф2У + л/-ГФУУф2X + Т-Г^,-Ф27 + Т-ГФ^} VX,У,7е Х(М).

Выделяя действительную и мнимую части последнего равенства, получим тождества для VX,Y,7е Х(М) эквивалентные тождеству:

R(ф2X, Ф2У )ф27 + R(ф2X, ФУ )ф7 + R(фX, Ф2У )ф7 - R(ФX, ФУ )ф27 = = Я{Ф2^ Ф2У, Ф 7 + Ф 2 X ФУ, Ф?) + Ф^ Ф2У, Ф^ - Ф^ ФУ, ф7 -

— ф2У(ф2Х,Ф^) — Ф2У(ФХ,Ф^ — ФУ(Ф2Х,Ф^ + ФУ(ФХ,Ф22)}, (5)

Тождество (5) назовем вторым дополнительным тождеством кривизны почти С(Я) -многообразия.

Определение 4. Назовем почти С (Я) -многообразие многообразием класса CR2, если его тензор римановой кривизны для уХ,У,Z g X(M) удовлетворяет условию

R( 2 X, Ф 2У ) 2 Z + R(ф 2 X, ФУ )Z + + r(X , Ф 2У )Z — R(ФX, ФУ )Ф 2Z = 0.

Пусть почти С (Я) -многообразие является многообразием класса CR2, тогда согласно определению 4 имеет место равенство

R(ф 2 X, Ф 2У ) 2 7 + R(ф 2 X, ФУ )) +

+ R(фX ,Ф 2У )ф7 - R(ФX, ФУ )Ф 2 7 = 0

для VX,Y,7е Х(М). Последнее равенство на пространстве расслоения реперов запишется в виде:

(ф 2 X )(ф 2У )(ф 2 Z ) ,jkl (ф 2 х )(ФУ )) (ФZ )) + Rm (ФХ )(ф 2У ) (ФZ

R)kl + Ri

jkl

— R)kl (ФХ )k (ФУ ))(с

Ф 2Z ) = 0.

Рустанов А.Р., и др.

О двух классах почти С(Х)-многообразий

Последнее равенство на пространстве присоединенной б-структуры можно переписать следующим образом

Щыфктф тф1рф рф] ф' + я)Ыфктф Ыф Г+

Яг%;фкф1 фтф] - Яг%фкф1 ф] фт = 0

Отсюда, с учетом теоремы 1 и вида матрицы эндоморфизма

ф/)=

0

V-ГIn 0

0 0

-V-Гin

получим ^ - Я^Ъ )= 0 т.е. яш = 0.

Таким образом, почти С(X) -многообразие является многообразием класса СЯ2 тогда и только тогда, когда Я^ = 0, т.е. X8f¿ = 0. Свернем это равенство по индексам а и с, а затем по индексам Ъ и d, тогда получим

X(n -1)= 0. Поскольку п > 0 , то либо X = 0 , либо п = 1, т.е. размерность многообразия равна 3. А, значит почти С(X) -многообразие являющееся многообразием класса СЯ2 является косимплектическим или имеет размерность 3.

Обратно, для косимплектического многообразия размерности больше 3 имеем Яьы = 0, т.е. является многообразием класса СЯ2.

Подытожив сказанное, можно сформулировать следующую теорему.

Теорема 3. Почти С(X) -многообразие, размерности больше 3, является многообразием класса СЯ2 тогда и только тогда, когда оно является косимплектическим многообразием, т.е. когда оно локально эквивалентно произведению келерова многообразия на вещественную прямую.

10.02.2015

Список литературы:

1. Janssen, D. Almost contact structures and curvature tensors / D. Janssen, L. Vanhecke // Kodai Math. J. - № 4. - 1981. -P. 1-27.

2. Olszak, Z. Normal locally conformal almost cosymplectic manifolds / Z. Olszak, R. Rosca // Publ. Math. Debrecen. - 39:3-4. -1991. - P.315-323.

3. Харитонова, С.В. Почти С(А) -многообразия / С.В. Харитонова // Фундаментальная и прикладная математика. - 16:2. - 2010. - С.139 - 146.

4. Akbar, A.Some Results on Almost С(А) manifolds / Ali Akbar // International Journal of Mathematical Sciences Engineering and applications (IJMSEA). - 7:1. - 2013. - Р.255-260.

5. Akbar, А. On the Conharmonic and Concircular curvature tensors of almost С(А) manifolds / Ali Akbar, Avijit Sarkar // International Journal of Advanced Mathematical Sciences (IJMSEA). - 1:3. - 2013. - Р.134-138.

6. Кириченко, В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / В.Ф. Кириченко. - МПГУ. - Москва. - 2003. - 495с.

7. Кириченко, В.Ф. Дифференциальная геометрия квазисасакиевых многообразий / В.Ф. Кириченко, А.Р.Рустанов // Математический сборник. - т. 193. - №8. - 2002. - с.71-100.

8. Рустанов, А.Р. Тождества кривизны многообразий класса С11 / А.Р. Рустанов, Н.Н. Щипкова // Вестник Оренбургского государственного университета. - №6. - 2011. - С.169-171.

9. Рустанов, А.Р! Геометрия тензора конциркулярной кривизны ас-многообразий класса С11 / А.Р. Рустанов, Н.Н. Щипкова // Вестник Оренбургского государственного университета. - №9. - 2014. - С.114-120.

Сведения об авторах

Рустанов Алигаджи Рабаданович, доцент кафедры теории и истории социологии Московского педагогического государственного университета, кандидат физико-математических наук 142735, г. Москва, ул. Усачева 64, подъезд 6; тел.: (499) 245 45 60; e-mail: [email protected].

Харитонова Светлана Владимировна, доцент кафедры геометрии и компьютерных наук Оренбургского государственного университета, кандидат физико-математических наук 460018, г. Оренбург, пр. Победы, 13, ауд. 1503; тел.: (3532)37-25-39; e-mail: [email protected]

Казакова Ольга Николаевна, доцент кафедры геометрии и компьютерных наук Оренбургского государственного университета, кандидат педагогических наук наук 460018, г. Оренбург, пр. Победы, 13, ауд. 1503; тел.: (3532)37-25-39; e-mail: [email protected]