Точные верхние грани наилучших приближений суммами Фурье-Бесселя в пространстве $l_2$ на отрезке $[0,1]$ со степенным весом и значения поперечников некоторых классов функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2015. Вып. 4. С. 91-106

= Математика =

УДК 517.5

О поперечниках некоторых классов функций в весовом пространстве Бергмана

М. Ш. Шабозов, Х. М. Хуромонов

Аннотация. В банаховых пространствах Харди Нр, Бергмана Врл и Ьрг/, 1 ^ р < ж с весом 7 вычислены точные значения различных п-поперечников классов ^^^(Ф), г € М, аналитических в круге радиуса Е ^ 1 функций, у которых усредненные модули гладкости г-х производных ](г) € Нр ^ ограничены заданной мажорантой Ф. Для классов WprR(Ф) построены наилучшие линейные методы приближения в Ьрг/.

Ключевые слова: наилучшее приближение, банахово пространство, модуль гладкости, наилучшие линейные методы, п-поперечники.

1. Введение

В работе получены некоторые результаты, связанные с построением наилучших линейных методов приближения и вычислением точных значений различных п-поперечников некоторых классов функций, аналитических в круге радиуса Е ^ 1, принадлежащих весовому пространству Бергмана, усредненные модули гладкости которых мажорируются заданной функцией.

Первые результаты, связанные с вычислением колмогоровских п-по-перечников в банаховом пространстве Харди Нр, 1 ^ р ^ ж для классов аналитических функций с ограниченной по норме Нр г-й производной, найдены В.М.Тихомировым [1] (р = ж) и Л.В.Тайковым [2] (1 ^ р < ж). Оценка сверху ранее была получена К.И.Бабенко [3]. Затем это направление исследований продолжено, например, в работах [4-21]. С.Б.Вакарчук [8] изучал аналогичные задачи в пространствах Бергмана и вычислил точные значения целой серии п-поперечников для некоторых классов аналитических функций. Им же построены наилучшие линейные методы приближения [11, 12, 17, 18] для ранее изучавшихся Л.В.Тайковым [4], Н.Айнуллоевым и Л.В.Тайковым [7] классов функций. Ряд окончательных результатов в этом направлении еще ранее был получен в работах [5, 6, 9, 10]. Продолжая исследование указанных авторов С.Б.Вакарчуком и М.Ш.Шабозовым в работе [20] построены наилучшие линейные методы приближения в пространстве Бергмана с

произвольным суммируемым весом. Здесь мы продолжаем исследование в этом направлении и излагаем некоторые новые результаты.

Напомним некоторые обозначения и определения, используемые в дальнейшем. Пусть М, М+, С - соответственно множество натуральных, положите/

тельных и комплексных чисел; Пи = [г £ С : \г\ < Я} - круг радиуса Я ^ 1 в комплексной плоскости С, а А(Пи) - множество аналитических в Пи функций. Для произвольной функции / £ А(ии) символом Нр,и(1 ^ р ^ то, Я ^ 1) обозначим банахово пространство Харди, для которого конечна норма

2п \ 1/Р

1То ( If (PeU)\Pdt) > 1 ^ Р ^ (!)

НР,Я г, п

В случае р = то дополнительно будем предполагать функцию /(г) непрерывной в замкнутом круге и и = [г £ С : \г\ ^ Я}. В (1) интеграл понимается в смысле Лебега и норма реализуется на угловых граничных значениях функций / £ нр,е, т.е.

2п \ 1/Р

■ ' ~ р ■ 1 ^ р ^ то.

1 I\f(Reii')\pdt

def def def

В случае R = 1 полагаем U = Ui, Hp = ИрЛ и \\f \\hp = \\f \\hpA■

def

Через Lp = Lp(U), 1 ^ p < то обозначим банахово пространство комплекснозначных в U функций f, имеющих конечную норму

\1/p / 1 2п \ i/p

Lp =[:П U\f (z)\p dxdy ) = ( ^ Il p\f (peU)\p dtdp U ) V о 0

где интеграл понимается в смысле Лебега.

Пусть y(z) — некоторая неотрицательная измеримая не эквивалентная

def

нулю функция, суммируемая на множестве U. Через Lpri = Lp(U, y), 1 ^ p < < то обозначим множество комплекснозначных в U функций f, для которых

Yi/pf £ Lp(U), \\f \\ Lpy = \\Y1/pf \\Lp ■

def

Под BpY = Bp(U,y) (1 ^ p < то) понимаем банахово пространство функций f £ A(U), таких, что f £ Lp,Y. При этом

i/p

PY (p)Mp(f,p)dp

где

2п

К (/,р) =' \/ (реи)\чг. 0

В частном случае, при 7 = 1 пространство Вр = Вр^ есть известное пространство Бергмана, а в общем случае пространство Вр>1 было введено в работе [16]. В [20] рассматривается конкретная весовая функция которая позволяет получать пространство Врг/^ аналитических в и функций с менее жесткими ограничениями на их поведение вблизи границы \г\ = 1 круга и по сравнению с функциями, принадлежащими пространству Вр.

Пусть X — банахово пространство, 5 — единичный шар в X, М — некоторое выпуклое центрально-симметричное подмножество в X, Лп С X — п-мерное линейное подпространство, Лп С X — подпространство коразмерности п, Ь : X ^ Лп — линейный непрерывный оператор, отображающий X в Лп. Приближение фиксированного множества М С X фиксированным подпространством Лп этого же пространства X определяется величиной

Е(М,Лпк =' 8ир{Е(/,Лп)х : / е М} := 8ир{1п!{\\/- ^\\х : V е Лп} : / е М}. Величина

Е(М, Лп)х *= 1Ш{8ир{\\/ - Ь(/)\х : / е М} : ЬX С Лп} (2)

характеризует наилучшее линейное приближение множество М элементами подпространства Лп С X. Линейный оператор Ь*, Ь*X С Лп, если он существует и реализует в (2) точную нижнюю грань:

Е(М, Лп)х = 8ир{\\/- Ь*(/)\х : / е М},

является наилучшим для М линейным методом приближения. Величины

Ъп(М, X) = 8ир{8ир{е > 0 : еБ П Лп+1 С М} : Лп+1 С X},

йпМ^) = М{Е(М, Лп)х : Лп С X}, ^(М.^) = 1п1 {8ир{\\/\\х : / е М П Лп} : Лп С X},

ЗпМ^) = {Е(М, Лп)х : Лп С X}

называют соответственно бернштейновским, колмогоровским, гельфандов-ским и линейным п-поперечниками (см., например, [6, с.5], [22, с.17]). Если существует подпространство Лп+1, для которого

Ъп(Ш, X) = 8ир{е > 0 : е5 П Лп+1 С М},

то оно является экстремальным для бернштейновского п-поперечника. Подпространство Лп С X коразмерности п, если оно существует, такое, что

^(М^) = 8ир{\\/\\х : / е М П Лп},

называют экстремальным для гельфандовского п-поперечника. Если существует Лп С X, для которого

¿пМ^) = Е (М, Л п)х,

то Лп называют экстремальным подпространством для колмогоровского п-поперечника. Подпространство Лп С X, для которого

бпМ^) = Е(М, Лп)х,

называют экстремальным для линейного п-поперечника. Между перечисленными выше п-поперечниками имеют место соотношения [6, 22, 23]

ЪпМ^) < ^) ^ пж^). (3)

2. Наилучшее приближение и значения поперечников некоторых классов функций

Символом /(г)(г), г е N обозначим обычную производную г-го порядка по переменной г функции / е А(ид). Равенством

21)щ,я :=8ир {\\/(ге™) - 2/(г) + /(ге-гх)\\ир,Е : N < г} =

2п ^ 1/р

8Цр \ 2П / / +Ж)) - 2/ ) + / (вё(т-х)) Р йт

0

определим модуль гладкости функции / е Нр,д и структурные свойства указанных функций охарактеризуем скоростью убывания к нулю модуля гладкости граничных значений производных /(г)(г), задавая эту скорость убывания посредством мажоранты некоторой усредненной величины

(г), 2г)ир ,я.

Пусть Ф(г), г ^ 0 - произвольная непрерывная возрастающая функция такая, что Ф(0) = 0. Выбирая в качестве мажоранты функцию Ф(г) для произвольной Н е (0, п/2] вводим в рассмотрение следующий класс функций

<д \ / е А(ид): Ц(г); 2г)яр,дйг < Ф(Н),

0

где г е N 1 < р < оо, Я ^ 1. При этом ^р(г)(Ф) <=/ ^(Ф).

Обозначим через Рп - совокупность алгебраических комплексных полип

номов степени п вида рп = ^^ акгк ак е С и полагаем

к=0

ап,г := п(п - 1)(п - 2)... (п - г + 1), п ^ г, п,г е N.

Теорема 2.1. Пусть r,n Е N,n > r и мажоранта Ф(Н) при любом h Е Е (0,п/2\ удовлетворяет условию

(n-r)h

$(h) п 1 f .

-г, ,п,-тт ^ -г ^т-гт (1 - cos x)*dx, (4)

Ф(п/2(п - r)) п - 2 (n - r)h J

о

где

(1 — cosx)* = |l — cosx, если 0 ^ x ^ п; 2, если x ^ п|. (5) Тогда при всех 1 ^ p ^ ж имеют место равенства bn ^(Ф); Hp) = dn (W},r)(Ф); Hp) =

п 1 Ф ( п

"n-l>Hp = 2(п - 2) • anr \2(n — r)

Множество мажорант {Ф}, удовлетворяющих условию (4), не пусто. Доказательство. В [4] доказано, что для произвольной функции f (z) Е Hp, 1 ^ p ^ ж, у которой f (r\z) Е Hp, 1 ^ p ^ ж, r Е N, имеет место точная оценка

= E№Г)(Ф), Vu-i)H„ = • — Ф W7—, . (6)

n/2(n-r)

n-r (п - 2)ап

En(f, Vn-I )hp < 7----(f (r);2t)Hp dt, n> r. (7)

xn , r J

о

Знак равенства в (7) реализуют функции вида /(г) = агп, а £ С, п £ N. Учитывая определение класса из неравенства (7) для произвольной

функции /(г) £ шРТ\ф) имеем

п

En(f, Vn-l) Hp \

2(п - 2)ог,

( n/2(n-r) \

/ "2(f (r);2t)HP dt

по

<

п 1 п ^ ^-т--Ф

2(п — 2) ап, г \2(п — г))'

Отсюда, воспользовавшись соотношением (3), получаем оценку сверху для бернштейновского и колмогоровского п-поперечников

Ьп (»¿"(Ф); Нр) < й„ (»'«(Ф); Нр) <

< Е^т-Рп-^ < ■ опт *(*—)) ■ (8)

С целью получения оценки снизу указанных п-поперечников, равной правой части неравенства (8), в множество Рп П Нр введем в рассмотрение шар

( П 1 / П

5п+1 :={рперп: \\рп\\Нр < 2(П-2) • а-^{дп-г),

и покажем, что шар 5п+1 С ^р(;)(Ф). Для этого используем неравенство [4] Ш2((Рп)(г);2г)Нр < 2ап,г (1 - С08(п - г)г)* \\рп\\Нр , (9)

справедливое для любого полинома рп(г) е Рп. Учитывая ограничение (4)

и определение класса ^р(;)(Ф) для любого рп е 5п+1, из неравенства (9) получаем

н н

Ш2((рп){г);2г)нрйг ^ 2аП;\\Рп\\нр • Н /(1 -со8(п -г)г)*йг ^ 00

(п-г)Н

< - Ф

У (1 - cos t)*dt < Ф(Н).

п - 2 \ 2(п - г) / (п - г)Н

0

Полученное соотношение означает, что 5п+1 С ^рг)(Ф). Из этого включения и определения бернштейновского п-поперечника следует оценка снизу

Ъ„ («*>№);Яр) > Ъ„ Нр) > ^ • £ Ф (и) • (10)

Сопоставляя оценку сверху (8) и снизу (10), получаем требуемые равенства (6). Приступая к доказательству второй части теоремы, покажем, что функция Ф*(г) = га, где

а = 2/(п - 2) (1 < а < 2),

удовлетворяет ограничению (4). Подставляя Ф*(г) в (4), будем иметь неравенство

(п-г)Н

2(п - г)Н\а п 1

п 1С

> П-2 -<П=ф (1 - COS(11)

п J п — 2 (n — r)h

о

которое еще предстоит доказать. Полагая 2(n — r)h = цп (0 ^ а < ж), с учетом (5) перепишем неравенство (11) в эквивалентном виде

Í2 ап

а--sin —, если 0 ^ а ^ 2,

п 2 (12) 2(а — 1), если 2 ^ а < ж.

1

Исходя из первого неравенства (12), на отрезке [0, 2] введем в рассмотрение вспомогательную функцию

ф(и) = иа+1 - (и - -sin f)

п - 2 п 2

и покажем, что для всех значений ц £ [0,2] функция ф(р) ^ 0. Сначала установим этот факт на отрезке [0,1]. Так как при ц ^ 0 + 0

ф(р) = ¡л,а+1 1 — 0(р2-а)

то в достаточно малой окрестности нуля ф(ц) > 0 и если бы ф(р) сменила знак в некоторой точке £ £ [0,1], то, учитывая равенства ф(0) = ф(1) = 0, пришли бы к выводу, что производная первого порядка

ф'(и) = (а + 1) (> - 1+cos

2

имеет на интервале (0,1) два различных нуля и еще ф'(0) = ф'(1) = 0. Но тогда вторая производная

ф"(и) = (а + 1) [аиа-1 - 2 sin Ц-)

имеет на интервале (0,1) не менее трех нулей и, кроме того, в силу того, что 1 < а < 2, имеем ф"(0) = 0. Отсюда следует существование трех различных нулей на интервале (0,1) производной третьего порядка

ф"'(1и) = (а + 1)(а(а - 1)иа-2 - (2 cos ^ . (13)

Но это невозможно, поскольку функция (13) представляет собой разность выпуклой вниз и выпуклой вверх функций. Из геометрических соображений ясно, что ф"'(и) не может иметь более двух нулей, а потому для и Е [0,1\ неравенство (12) выполняется.

Если 1 < и ^ 2, то из условий ф(1) = ф'(1) =0 и ф"(и) > 0 сразу следует, что ф(и) ^ 0, и таким образом для значений 0 ^ и ^ 2 первое неравенство в (12) имеет место.

Пусть 2 ^ и < ж. В этом случае достаточно доказать, что при всех 2 ^ ^ и < ж всегда

2п

ф1(и)= иа+1--2 (и - 1) := иа+1 - 2(а + 1)(и - 1) ^ 0.

п-2

Так как 1 < а < 2, и ^ 2, то

ф1 (и) = (а + 1)(иа - 2) > 0, 2п

и поскольку ф1(2) = 2а+1--- > 0, то ф1(и) > 0 при любом 2 ^ и < ж.

п - 2

Но это означает, что второе неравенство в (12) на множестве 2 ^ и < ж выполняется, чем и завершаем доказательство теоремы 2.1.

3. Наилучший линейный метод приближения класса (Ф) в пространствах Вра и

Распространим результат (6) для класса функций (Ф), г е N 1 ^ ^ р < о, Я ^ 1 на пространствах Вр>1 и Ьр>1.

Теорема 3.1. Пусть Я ^ 1, 1 ^ р < о, г е N и мажоранта Ф удовлетворяет ограничению (4). Тогда для любого натурального числа п > г имеют место следующие равенства

Ъп (Ф); Вр,у) — Ъп (угр%(Ф); Ьр,у) — йп (шр%(Ф); = йп ^Д(Ф); Вр,у) — Г (Ф); Ьр,7) = 5п (Ф); Ьр^ — = Е Ыр%;Лп)г = Е Д(Ф);ЛГ

(;) р, я

' Вр,' —

8ир{\\/ - Ь*(/)\\Ьр„ : / е W1

п

Яг

2(п - 2) ап

Ф

п

2(п - г)

1 \ 1/Р

рпр+17(р)йр

(14)

При этом:

1) в случае йп ^р Я(Ф); Ь

ргп и

р,у) подпространство

Л*п врап\ {гк}'к=,

к}Г-1

к=0

Я2(п-к)+

+

ак,

а2п—к;

1 -

к — г

2п — г — к

1

\г\2(п-к)

п1

к=г .

где

а— 2(п - г) = п - 2

п/[2(п-;)]

У (1 - 81п(п - г)х) со8(к - г)хйх, к ^ г,

является экстремальным для класса WprЯЯ(Ф) в пространстве Ьра; 2) линейный непрерывный оператор

Ь*п-1 (/, г) Ск(/)гк+

г-1

к=0

п- 1

+Е 1 +

ак,

к=г

а2п—к;

1 -

к-г 2п г к

1

м

Я

2(п- к)

Ск(/)гк

2

к

г

2

(r)

является наилучшим для класса Wp R линейным методом приближения в

пространстве Lpri;

\n def

3) подпространство An = {f Е Bp,Y : f (k)(0) =0, k = 0,1,... ,n - 1}

экстремальное для n-иоиеречника dn [W(R (Ф); Bpr/j ,

4) экстремальным для n-поперечника bn (w(R(Ф); Bp,является

подпространство Лп+1 ^ span {1, z,..., zn} .

Доказательство. Следуя [6, с.254], воспользуемся следующим представлением:

f (,oeи) - Qm-1(f,peit) =

2п

= i f(r) (Reid) eimBgr(p, t - в)сШ, 0 < p < R, 0 < t< 2п, (15) 2п

о

(r)

справедливым для произвольной функции f Е Hp R, где

Gr R^R)"^ +2 g( R)*^ ,

1 «k(f )zk + g Ck(f )zk ^ - ^ (R)2Ы'к) .

Пп-1(/,г) = Ул^У- . /.-кул- I - „ (т-,

, \ а2п—к,т\ Я

к=0

Равенство (15) проверяется непосредственным вычислением, путем разложения производной /(т\Явгд) в ряд Тейлора и последующим почленным интегрированием. В работе [20, с.15] доказано, что для произвольной функции / £ А(ии), у которой /£ Нр,и, имеет место неравенство

\\f - L*n-1(f)\\bp<

1 \ 1/P n/[2(n-r)\

< — (/ Pnp+1Y(p)dp\ ^ / и2 (f(r), 2x) dx. (16) an,r \ J п - 2 J V / Hp, R

оо

Учитывая определение класса W(R(Ф), из правой части неравенства (16)

получаем

1 \ 1/Р n/[2(n-r)\

pnp+1Y(p)dp] n-r J "2 (f(r), 2x)Hp R dx =

an r \ J i п 2

оо

1/р

п Яг

2(п - 2) ап

|рпр+17 (р)йр| х

(

2(п - г)

п/2 (п-г)

V

П

I Ш2 (/(г), 2х) йх

.) ^ ' Нр

<

<

П Яг

2(п - 2) ап

1 \ 1/Р

У рпр+17(р)йр I • Ф ( 2(п г) ) , п > г, п, г е N. 0

(17)

Из неравенства (16) с учетом (17) для произвольной функции / е W(Д(Ф)

имеем

\\/- Ь*п-1(/Шр^ <

<

П

Яг

2(п - 2) ап

Ф

п

2(п - г)

1 \ 1/Р

рпр+17(р)йр

(18)

Из соотношения (3) и неравенства (18) вытекает, что

1п (Ф); ЬрГ) < йп (Ф); Ьр>7) <

< Е (Ф);Лп) р ^ < 8ир { \\/ - Ьп-1(/)\ьр ,7 : / е w(rЯя

\ 1/р

1

<

<

п

Яг

2(п - 2)

Ф

ап

п

2(п - г)

опр+Ч (р)йр

(19)

где тп( • ) - любой из п-поперечников Ъп(• ), йп(• ) или йп(•). С другой стороны, согласно определению колмогоровского п-поперечника, имеем

йп ^(Д (Ф); ЬрП) < Е ^Д (Ф);Лп) < Е ^Д (ФУ;Л*п)Ьр ^ . (20)

В [6, гл. II, §3, предложение 3.2] доказано, что если X и У - линейные нормированные пространства и X является подпространством У, то для произвольного множества N С X выполняется равенство ^(ЭД,X) — йп(Ш,У). Поскольку Вр,7 С Ьр,7 и WpГ'Д(Ф) С Вр,7, то можем записать

йп Д(Ф); Ьр,у) — йп Д(Ф);

В

р,1

(21)

1

X

Используя определение бернштейновского n-поперечника, имеем

bn (<R(Ф); > bn (w(R(Ф); Bp ,y) , (22)

и дело сводится к оценке снизу бернштейновского n-поперечника в правой части неравенства (22). В работах [19, 20] доказано, что для любого полинома pn(z) £ Pn при всех 1 ^ p < оо и R ^ 1 и любых r,n £ N, n > r имеет место точное неравенство

( 1 \ "1/P

WP^Up,,R < Rn-ran,r П Pnp+1 Y(p)dp I \\Pn\\BpY, n > r, (23)

которое обращается в равенство для полинома qn(z) = azn, a £ C. Рассмотрим (n + 1)-мерный шар полиномов

^n+1 <=/ I Pn £ Pn : \\Pn\\Bp , ^ <

- ( 1 \ 1/p

< •— if PnP+1 Y (P)dp

" 2(n - 2) anr V 2(n - r) ) I J 1 ,yi J 1

и докажем, что 5n+1 содержится в W(R(Ф). Воспользовавшись приведенным в [20, с.16] неравенством

W2 (рПГ\ 2x1 < 2(1 - cos(n - фШГ^Ыр R, (24)

v ' HprR

с учетом определения класса wPR(Ф), соотношения (23) и ограничения (4), для произвольной pn £ Sn+1 получаем

h h

h J Ш2 (p{n\ 2x) H R < 2 • W'P^WHp RR • U(1 - cos(n - r)x)*dx <

JJ

(1 \ -1/P (n-r)h

У Pnp+1Y(p)dp I \\Pn\\Bp, y • I (1 - cosx)*dx <

JJ

(n-r)h

^ П-2 J (1 - c°sx)*dx ^ Ф(h)•

J

Последнее неравенство означает, что Sn+1 С W(rR,(Ф). Учитывая доказанное включение и определение бернштейновского n-поперечника, запишем

bn (WP%(ф); BP

п Яг—п( п

1/р

'¿п^У и—).!! <25>

Сравнивая неравенства (19), (20), (22), равенство (21) и неравенство (25), получаем требуемые равенства (14). Из приведенного выше доказательства следует, что подпространство Лп является экстремальным для класса »^Е(Ф) в пространстве Ьр>1 в случае вычисления точных значений колмогоровского и линейного п-поперечников, а подпространство Лп+1 - экстремальное для бернштейновского п-поперечника Ьп (»рЕ(Ф); Вр>1 Линейный оператор Ь*п_ 1 будет наилучшим линейным методом приближения для класса »(Е(Ф) в пространстве Ьр>1. Докажем, что подпространство Лп коразмерности п будет экстремальным для гельфандовского п-поперечника йп (»^Е(Ф); Вр^\ . В самом деле, для произвольного элемен-

-С (к' (г\\

та / £ »(Е(Ф) п Лп в силу равенства (15) и соотношений ск(/) = —^— = 0, к = 0,1,... ,п — 1, справедливо интегральное представление

2п

/(Ре*) = 2П! /(Г)(Яегв)егтв°и(р,г — 9)М,

о

где 0 < р < Я, 0 * I < 2п. Из неравенства (18) и из определения гельфандов-ского п-поперечника получаем

йп (<Е(Ф); Вр^ * 8ир{ /К„ : / £ КЕЕ(Ф) П лп} *

1/р

* Ф* 'В 'р""+ч^ . (26)

Сопоставляя неравенство (25) и (26) и учитывая соотношения (3) между п-поперечниками, убедимся, что подпространство Лп коразмерности п является экстремальным для п-поперечника йп [»рЕ(Ф); Вр. Теорема 3.1 доказана.

4. Точные значения верхних граней модулей коэффициентов Тейлора на классе ^^(Ф)

В теории приближения периодических функций тригонометрическими полиномами актуальной является задача вычисления точных верхних граней модулей коэффициентов Фурье на различных классах функций. Эта задача в разное время рассматривалась многими математиками (см., например, [24]

и приведенную там литературу). Подобная задача для классов аналитических функций рассматривалась, например, в работе [20]. Напомним, что для произвольной функции / е Л(ии) ее коэффициенты Тейлора Сп(/), п е Z+ определяются формулой

СП(/) = 2- / Г(п+1)/(№, 0<р<Е. \*\=р

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 4.1. При выполнении условий теоремы 3.1 имеет место следующее равенство:

туу_П / \

■иР {|с„(/)| : / е (Ф)} = 20—) ' ~ ф\2(п—г)) , (27)

где п,г е М, п > г, К ^ 1, 1 ^ р < о.

Доказательство. Используя ортогональность функции е—гп* ко всем

га—1

полиномам рп—1(рег*) = ^ ск(рп— 1 )ркегк* с учётом вида оператора Ь*п—1(/),

к=0

для произвольной функции / е «РД(Ф) запишем

2п

РпСп(/) = 1 / [/(Р^) - Ь*п—1(/, Рё*)] (28)

о

Оценивая по абсолютной величине равенство (28) и повторяя буквально схему рассуждений, приведенную в [20, с.17-18], получаем оценку сверху:

■ир{ 1сп(/)| : / е (Ф)} <

П Кг—п( П \

< -г--Ф -г , (1 < Р< о, К ^ 1,п>г,п,г е М). (29)

2(п - 2) ап,г V 2(п - г)/

Для получения оценки снизу рассмотрим функцию

^ Л П Кг—п , ( П \ п

Ш = 2(П—2) • *

и покажем, что функция /о е (Ф). Используя неравенство (24), имеем

^2 (/0,г\ 2x1 < 2(1 - 0С8(п - т)х)4/0,г)\\нр, д = ^ / Нр , я

2(п - 2) \2(п - г)

П Кг—п • Ф( —) • 2(1 - ес8(п - г)х)\п—г Н я =

П-2Ч^п-Т) )(1 -ео8(п - г)х)*.

Отсюда с учётом определения класса и ограничения (4) будем иметь

h

Ц tt"*) Hp.R dX ^

о

(n-r)h

^ п-2 • ф {w-r)) J -cosx)*dx ^

о

Следовательно, функция f0 £ W(и для этой функции

"n

)\: f £ <>w} > кш\ = ■ 07 *{w-r)) '

(30)

Сравнивая оценки (29) и (30), получаем равенство (27), чем и завершаем

доказательство теоремы 4.1.

Список литературы

1. Тихомиров В.М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближений // Успехи мат. наук. 1960. Т.15. №3. С. 81-120.

2. Тайков Л.В. О наилучшем приближении в среднем некоторых классов аналитических функций // Мат. заметки. 1967. Т.1. №2. С. 155-162.

3. Бабенко К.И. О наилучших приближениях одного класса аналитических функций // Известия АН СССР. Сер. Математика. 1958. Т.22. №5. С. 631-640.

4. Тайков Л.В. Поперечники некоторых классов аналитических функций // Мат. заметки. 1977. Т.22. №2. С. 285-294.

5. Двейрин М.З., Чебаненко И.В. О полиномиальной аппроксимации в банаховых пространствах аналитических функций // Теория отображений и приближение функций. Киев: Наукова думка, 1983. С. 62-73.

6. Pinkus A. n-Widths in Approximation Theory. Berlin, Heidelberg, New York. Tokyo: Springer-Verlag, 1985. 252 p.

7. Айнуллоев Н, Тайков Л.В. Наилучшее приближение в смысле Колмогорова классов аналитических в единичном круге функций // Мат. заметки. 1986. Т.40. №3. С. 341-351.

8. Вакарчук С.Б. О поперечниках некоторых классов аналитических в единичном круге функций. I // Укр. мат. журнал. 1990. Т.42. №7. С. 873-881.

9. Фарков Ю.А. Поперечники классов Харди и Бергмана в шаре из Cn // Успехи мат. наук. 1990. Т.45. №5. С. 197-198.

10. Fisher S.D., Stessin M.I. The n-width of the unit ball of Hq // Journal Approx. Theory. 1991. V.67. №3. P. 347-356.

11. Вакарчук С.Б. Наилучшие линейные методы приближения и поперечники классов аналитических в круге функций // Мат. заметки. 1995. Т.57. №1. С. 30-39.

12. Вакарчук С.Б. О наилучших линейных методах приближения и поперечниках некоторых классов аналитических функций // Мат. заметки. 1999. Т.65. №2. С. 186-193.

13. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди Н2 // Мат. заметки. 2000. Т.68. №5. С. 796-800.

14. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшее приближение и значения поперечников некоторых классов аналитических функций // ДАН России. 2002. Т.382. №6. С. 747-749.

15. Вакарчук С.Б. О некоторых экстремальных задачах теории приближений в комплексной плоскости // Укр. мат. журнал. 2004. Т.56. №9. С. 1155-1171.

16. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. О наилучшем приближение некоторых классов аналитических функций в весовых пространствах Бергмана // ДАН России. 2007. Т.412. №4. С. 466-469.

17. Вакарчук С.Б. Точные значения поперечников классов аналитических в круге функций и наилучшие линейные методы приближения // Мат. заметки. 2002. Т.72. №5. С. 665-669.

18. Вакарчук С.Б., Забутная В.И. О наилучших линейных методах приближения функций классов Л.В.Тайкова в пространствах Харди Нч р, д ^ 1, 0 < р ^ 1 // Мат. заметки. 2009. Т.85. №3. С. 323-329.

19. Шабозов М.Ш., Лангаршоев М.Р. Наилучшее приближение некоторых классов функций в весовом пространстве Бергмана // Известия АН Республики Таджикистан. Отд. физ.-мат., хим., геол. и тех. наук. 2009. №3(136). С. 7-23.

20. Вакарчук С.Б., Шабозов М.Ш. О поперечниках классов функций, аналитических в круге // Мат. сборник. 2010. Т.201. №8. С. 3-22.

21. Шабозов М.Ш., Лангаршоев М.Р. О наилучших линейных методах и значениях поперечников некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана // ДАН России. 2013. Т.450. №5. С. 518-521.

22. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.:МГУ, 1976. 324 с.

23. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. М.: Наука, 1987. 424 с.

24. Степанец А.И. Равномерные приближения тригонометрическими полиномами. Киев: Наукова думка, 1981. 339 с.

Шабозов Мирганд Шабозович ([email protected]), д.ф.-м.н., академик АН Республики Таджикистан, зав. отделом, отдел теории функций и функционального анализа, Институт математики АН Республики Таджикистан, Душанбе.

Хуромонов Хуромон Мамадамонович ([email protected]), аспирант, кафедра математического анализа и теории функций, Таджикский национальный университет, Душанбе.

On widths of some classes functions in weighted Bergman spaces

M. Sh. Shabozov, Kh. M. Khuromonov

Abstract. In Banach spaces Hardy Hp, Bergman BPY and LPY, 1 ^ p < to with the weight y calculated the exact values of various n-widths classes WP,%($), r £ N, analytic in the disc of radius R ^ 1 functions whose averaged moduli of smoothness r-s derivatives f ^ £ Hp,R restricted given majorant for classes W^R($) constructed the best linear methods of approximation in LPY.

Keywords: best approximation, Banach space, modulus of smoothness, best linear methods, n-widths.

Shabozov Mirgand ([email protected]), doctor of physical and mathematical siences, academician of Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan, head of department, department of theory of functions and functional analysis, Institute of Mathematics of Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan, Dushanbe.

Khuromonov Khuromon ([email protected]), postgraduate student, department of mathematical analysis and theory of functions, Tajik National University, Dushanbe.

nocmynuAa 15.09.2015