О значении поперечников и наилучших линейных методах приближения в весовом пространстве Бергмана Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2015. Вып. 3. С. 91-104

= Математика =

УДК 517.5

О значении поперечников и наилучших линейных методах приближения в весовом пространстве Бергмана

М.С. Саидусайнов

Аннотация. В банаховых пространствах Ьр,7 и Брг/, 1 ^ р ^ то, с положительным интегрируемым весом 7 вычислены точные значения некоторых п-поперечников для классов функций ] € € БР}1}п, аналитических в круге радиуса Я ^ 1, удовлетворяющих условию \\врп,в < 1, и ^ (т € М, Я > 1) функций ] € нр,я, аналитических в круге \г\ < Я, у которых производные т-го порядка ](т) принадлежат пространству Харди Нр,п (1 < р < то) на границе, удовлетворяющих ограничению \\f (т)\\я я ^ 1.

Для введенных классов функций построены наилучшие линейные методы приближения соответственно в пространствах Бр ^ и Ьр. Полученные результаты интерпретированы с точки зрения оптимального восстановления и кодирования функций / € ^р1^) (1 ^ ^ р ^ то, Я ^ 1) в постановке Н.П.Корнейчука.

Ключевые слова: весовая функция, наилучший линейный метод приближения, весовое пространство Бергмана.

1. Введение

Целью настоящей работы является получение новых результатов, связанных с вычислением точных значений различных п-поперечников классов аналитических в круге радиуса Я ^ 1 функций, и построение наилучших линейных методов приближения рассматриваемых классов в весовом пространстве Бергмана.

Напомним необходимые понятия и определения, которыми воспользуемся в дальнейшем. Пусть X — произвольное банахово пространство; 5 — единичный шар в нем; М — некоторое выпуклое центрально-симметричное подмножество в X; Ьп С X — п-мерное линейное подпространство; Ьп С X - подпространство коразмерности п; Л : X ^ Ьп — линейный непрерывный оператор, отображающий X в Ьп. Приближение фиксированного множества М С X фиксированным подпространством Ьп этого же пространства X

определяется величинои

Е(М, Ьп)х вир {М {\\/ - ф\\х : ф € Ьп] : / € М} .

Величина

8(Ш,Ьп)х ^{вир{\\/ - Л(/)\\х : / € М} : ЛХ С Ьп} (1)

характеризует наилучшее линейное приближение множества М элементами подпространства Ьп С X. Линейный оператор Л* (Л*Х С Ьп), если он существует и реализует в (1) точную нижнюю грань, то есть такой, что

8(М, Ьп)х = вир{\\/ - Л*(/)\х; / € М},

является наилучшим для М линейным методом приближения. Величины

Ьп(М, X) = 8ир{8ир{е > 0 : еБ П Ьп+1 С М} : Ьп+1 С X}, (2)

йп (М,Х) =1п! {вир{\/\\х : / € М П Ьп} : Ьп С X}, (3)

йп(М, X) М{Е(М, Ьп)х : Ьп С X}, (4)

5п(М, X) = М{8(М, Ьп)х : Ьп С X} (5)

называют соответственно бернштейновским, гельфандовским, колмогоров-ским и линейным п-поперечниками. Если существует подпространство Ьп+1, на котором реализуется внешняя верхняя грань в (2), и существуют подпространства Ь*п, Ьп, Ьп, на которых соответственно реализуются внешние нижние грани в (3)—(5), то такие подпространства называют экстремальными для п-поперечников (2)—(5) множества М среди всех подпространств той же размерности из X.

Напомним, что между перечисленными выше п-поперечниками выполняются следующие соотношения (см., например, [1, 2]):

ь^т^) < (п^) ^ пж^). (6)

2. Вспомогательные материалы

Вопросы построения наилучших линейных методов приближения классов аналитических в круге функций и связанная с этим задача вычисления точных значений линейных п-поперечников рассматривались во многих работах (см., например, [3-15] и приведенную там литературу), а также в монографиях В.М. Тихомирова [1] и А. Пинкуса [2]. Предварительно введем некоторые определения и обозначения. Пусть

ипЛ= {г € С : <К}

— круг радиуса К ^ 1 в комплексной плоскости С, а А(Цд) - множество аналитических в Пи функций. Для произвольной функции / € А(Пд) при 0 < р < К полагаем

( i п2п \ 1/Р

den — \f(peit)\pdt , если 1 < p< ж,

MP(f,p) = \\2п Jo J

ma^\f (pelt)\ : t £ [0, 2п]} , если p = ж,

где интеграл понимается в смысле Лебега.

Символом Hp,R, 1 ^ p ^ ж, R ^ 1 обозначим банахово пространство Харди, состоящее из функций f £ A(Ur), для которых конечна норма

f \Кя = Km 0 Mp(f,P)•

Хорошо известно, что при этом норма реализуется на угловых граничных значениях функций f £ Hp,R, то есть

( 1 f 2п \ 1/p

H = \2П Jo \f (Relt)\pdt) , 1 < p< ж,

ess sup {\f (Reit)\ : t £ [0, 2n]} , p = ж.

def def def

В случае R = 1 полагаем U = Ui, Hp = Hp,i и \\f\\hp = \\f\\hp, 1. Че-

def

рез Lp = Lp(U), 1 ^ p < ж обозначим банахово пространство комплекс-нозначных в U функций f, имеющих конечную норму

\Lp = [f^ \f (z)\pdxdyyp = Q- ^ jTp\f (peit)\pdtd^ /P,

где интеграл понимается в смысле Лебега.

Пусть 7(\z\) — некоторая неотрицательная измеримая в U функция.

def

Через Lp,y = Lp(U,y), 1 ^ p < ж, обозначим множество комплекснознач-ных в U функций f, для которых y 1/p ■ f £ Lp(U) и \\f \\Lpл = \\y 1/pf \\Lp. def

Под Bp,Y = Bp(U,y), 1 ^ p < ж, понимаем банахово пространство функций f £ A(U) таких, для которых конечна норма

\\f \\Bpп = (£ PY(p)Mp(f,p)d^ /P ,

а через Bpr/,R := Bp(Ur,y), R ^ 1, обозначим пространство функций f £ £ A(Ur), для которых

\\f \\BpY, r := \\f(R)\Bpy < ж•

Отметим, что пространства Bp рассматривались в работе [15]. Наилучшие линейные методы полиномиального приближения функций f £ Bp и точные значения n-поперечников некоторых классов функции в пространстве Bp,^ изучались в [13].

Множество всех алгебраических полиномов степени ^ п обозначим

{п

Рп(г) : Рп(г) = ^ акгк, ак € С к=0

Нам понадобится следующее вспомогательное утверждение. Лемма 2.1 Для произвольного алгебраического полинома рп(г) € Рп справедливо неравенство

\\Рп\\врг/,п < Кп\\рп\\ьрл, К > 1, 1 < р < то. (7)

Доказательство. В монографии [2, с.252] доказано, что для произвольного рп € Рп справедливо неравенство

Мр(рп, рК) < Кпр • Мр(рп, р), К ^ 1, 0 <р < 1, 1 < р < то. (8)

Умножая обе части неравенства (8) на р7(р) и интегрируя по р на отрезке [0,1], получим

1 1

У р1 (р)МР(рп, рК)йр < Кпр I р1 (р)МР(рп,р)йр, 0 0

или что то же

Ш\ВРп< Кпр\\рп\\врП,

откуда сразу вытекает неравенство (7). Лемма доказана.

3. Вычисление значений п-поперечников для некоторых классов функций в пространствах Вра и

Для К ^ 1 положим

ВР,1,к = {/ : / € Вр^и \\/\\врл ^ 1}.

Символом /(т)(г), т € N обозначим производную т-го порядка по переменной г функции /(г) € А(ии),/(т)(г) = й/(т\г)/йгт. Для фиксированного т(т = 0,1, 2,...) и К ^ 1, полагаем

Кти = {/ : /(т) € Нри, \\/(т)\\нр< 1} .

Представляет интерес вычисление вышеперечисленных п-поперечников классов

Врпи, Шри), К ^ 1, 1 < р < то, т € N в пространствах Вр, 1 и Ьр, 1.

При доказательстве нижеприведенной теоремы 1 мы воспользуемся тем, что для любой / € при любом р € (0,1] и К ^ 1, выполняется равен-

ство [2, с.256]:

2п

R-n

f (peit) - Qn(f, peu) = f (pRei9)Fr(t - 9)d9, (9)

где

0

n— 1

f (z) = £ a3zj, Qn(f, peit) = £ a3(1 - R2j-2n)zj, (10)

j=0 j=0

FR(t) = e

те

y-k.

1 + 2 R-k cos kt k=1

причём при любых R ^ 1

2n

1 /",^/м, 1 I (R2 - 1)dt . ,

— \FR(t)\dt = — —^--- = 1. (11)

2W 2п У0 R2 - 2R cos t + 1 V ;

Теорема 3.1. Пусть К ^ 1, 1 ^ р ^ то. Тогда для любого натурального п справедливы равенства

Ьп(Вр г/, п,Вр, 1) = $п(Вр, 1, л ,ВР, 1) = йп (Вр, 1, я,Вр, 1) =

= $п(Вр,л Врг/) = Еп(Вр, 1,л)врл = £(Вр, 1,л Qn)вp, 7 = К-п■ (12) При этом:

1) Рп = врап{1, г,гп} является оптимальным подпространством для бернштейновского п-поперечника Ьп(Вр,1ля, Врг/);

2) Ьп = {/ : / € Вр, 1, /(й)(0) = 0, к = 0, п — 1} является оптимальным подпространством для гельфандовского п-поперечника йп(Вра>п, Вра);

3) Тп-\ = врап{1, г,гп-1} является оптимальным подпространством для колмогоровского п-поперечника йп(Вр, 1 , л, Вр, 1);

4) Qn(/,z), определенное равенством (10^, является оптимальным подпространством для линейного п-поперечника 5п(Вр, 1 , л, Вр, 1).

Доказательство. Применяя неравенство для свертки [18, с.43] к равенству (9), с учетом (11) имеем

2п 2п

\/(Ре1') — Qn(/, Р^)\рй1 < К-пр • П • I\/(рКвгв)\рйв. 0 0 Отсюда сразу получаем

1 2п

¿//р7(р)\/(ре11) — Qn(/,рeгt)\pdрdt < 00

1 2п

< Я-пр---

2п

Р7(Р)!/ (рЯе* )\рйрйв,

о о

или что то же

/ - Яп(/)|В

'РП,Д

^ я-

(13)

Из неравенства (13) для любого / € Вргия получаем

$п(Вр,7 , и, Вр,7) ^ 6п(Вр,я, Яп )вр,7 < Я-п. (14)

Для получения оценки бернштейновского п-поперечника снизу введем в рассмотрение шар полиномов

Бп = {Рп(г) : Ш1врп < Я-п]

и покажем, что Бп С Вр,7 , я, то есть для любого рп € Бп выполняется неравенство ЦрпЦвр7 д ^ 1- В самом деле, для любого рп € Бп, согласно неравенству (7) получаем

Ыврп,д < ЯЦРпЬрГ1 < яп • я-п = 1,

и включение Бп С Вр,7 , я доказано. Согласно определению бернштейновского п-поперечника получаем

Ьп(Вр,7 , я,Вр,7) ^ Ьп(Бп,Вр,7) ^ Е-п. (15)

Равенства (12) следуют из сопоставления неравенств (14) и (15), чем и завершаем доказательство теоремы 1.

Конкретизируем экстремальные подпространства Ь*п,Щ,Ьп+1 и наилучший линейный метод приближения Лп_1, о которых шла речь в введении. Для этого полагаем

Ь*п =' |{г3}™-о1, {

к-/) =7Е с> (/)* + Е

Ч=о

т— 1

$2(п-з)__а3,т • \г\2(п-])

а2п-],т

■ г

п1

о3 г

3=0

3=т

1 —

Ш)

Г)

■> з=т )

2(п-з)

Ьг:

а2п-],т \ Я

/ € ВрП : /(к)(0) = 0, к = ЪП—Г}

(16)

{п -

Рп(г) : Рп(г) = ^ акгк, Ок € С к=о

где

ап,т = п(п — 1)... (п — т + 1), п ^ т. В принятых обозначениях имеет место следующая

Теорема 3.2. Пусть Я ^ 1, 1 ^ р ^ ж, т € N. Тогда имеют место равенства

Ъп^рт; Вр,7) = Ьп(шРт^- Ьр„) = ВрП) =

й^р^; ЬрП) = йп(Шр$; ЬрП) = бп (<^; Ьра) = Е (жЦ; Юьр „

£Ь*п)ьрп = вир {\\/ — Лп-1(/)\\ьрп : / € WPm)}

то, п <т

Кт—п / ['1 \ 1/р

/у рпр+17(р)йП , п ^ т, 1 ^ р < то,

ап, т Кт—п

-, п ^ т, р = то.

х ап, т

При этом:

1) в случае п-поперечников

я ; Ьр, 1) и бп^ Я;Ьр) подпространство Ьп является экстремальным для класса WP"Я в пространстве Ьр, 1;

2) линейный непрерывный оператор Лп_ 1 является наилучшим для класса WP"Я линейным методом приближения в пространстве Ьр, 1;

3) подпространство Щ будет экстремальным для п-поперечника

й1п№ртЛ; Вр,у); _

4)подпространство Ьп+1 = Рп является экстремальным для Ьп^р"Я; Вр,7).

Доказательство. Для произвольной / € А(Ця), у которой производная /(т) € Нр,л, 1 ^ р ^ то при любом п ^ т и К ^ 1, имеет место представление [2, с.254] '

/ (реи) — Л*п—1(/,реи) =

1 ' "(т)! г> Ав\Атд/

1 С 2П

= _ /(т)(Ке1в)етСя(р^ — в)йв, 0 < р < К, 0 <t < 2п, (17) 2п Уо

где

СяШ) = Кт (КГ+2£ (К) ,

а Лп—1(/, г) определен равенством (16).

В справедливости (17) легко убедиться, разложив подынтегральную функцию /(т)(г) в ряд Тейлора и произведя почленное интегрирование. Применением двойного преобразования Абеля легко доказать, что для всех t € [0, 2п) и р € [0,1] функция е—шСЯ(р, ^ ^ 0, причем

1 1'2п

2П 0 \СяМй = Кт(р/К)па—т. (18)

Из определения нормы в пространстве Ьрг/ и равенстве (17) получаем

\\/ — лП— 1(/Шр „ =

( 1 /-1 г2п 1 г2п р \ 1/р

I I р7(р) 2П I /(т)(Кегв)егтв— в)йв

йрйЦ . (19)

Применяя известное неравенство для свертки [16, р.71]

У * 9^Ьр[0, 2п] ^ V Ньр[0 , 2п] • НдНь1[0 , 2п], с учетом (18) для произвольной / € ^ из (19), получаем

1 Г2*

2П ¡0

1 (2п

/Ы (Кег0утвСя(р,г — в^в

.)0

р

¿г <

^ 2П 0 !/(т)(Яегв)!РМ) •(2П Г !°я(Р"т) =

= {Кт(р/К)п • а-1т)Р I/{т)Гирд < (Ят(р/Я)п • а-1т)Р ■ (20)

Теперь из неравенства (20) и равенства (19) для произвольной / € Ш^Гя) запишем

I/ — Л-1(/)|| < Ят-п • а-т • (£ Рпр+ЧШр^ 'Р . (21)

Из неравенств (6) и (21) имеем

йгат (ш^; ЬрГ) < 5п (ш^; Ь>,у) < Е «Я; Ь*п)^ <

(с 1 \ 1/р

У0 рпр+17 Шр^ , 0 (22)

где под йгат(•) подразумевается любой из п-поперечников Ьп( ),йп( ) или йп(). При этом согласно (4) и (1) будем иметь

¿п (шрти; Ьр,7) < Е (шрт; ьп)ь < е (шгСя); ьп)

г \ /Г

^р, 7 ^р, 7

В монографии [2, гл.11, §3, предложение 3.2] доказано, что если X и У — линейные нормированные пространства и X является подпространством У, то ¿п(А,Х) = ¿п(А,У), где множество А С X. Исходя из этого, можем записать ( ) ( )

¿п (Ш^; ЬрГ/) = ¿п (щЦ; ВрГ/) . (23)

Используя определение бернштейновского п-поперечника, имеем

Ьп Щт; Ьр^ > Ьп Шт; Вр,7) . (24)

Для получения оценки снизу бернштейновского п-поперечника, записанного в правой части неравенства (24), вводим в рассмотрение (п + 1)-мерный шар полиномов

Бп+1 = |Рп € Рп : Ц'РпЦврП < Ят-п • а-т • (£ Рпр+Ч(р)^р) ^

и докажем, что Бп+1 С ^рд . В работе [13] доказано, что для любого алгебраического комплексного полинома рп(г) £ Вр>1,1 ^ р < то справедливо точное неравенство

( /"1 \ -1/р Ь^Н, д < Яп-т • ап,т ^у0 Рпр+1^ШР) • Ш\врп. (25)

Включение Бп+1 С сразу вытекает из (25), поскольку для любого рп £

£ Бп+1 имеем

( /"1 \ -1/р < Яп-т • ап,т ^Уо Рпр+17(Р)Й^ • \\рп\\врп < 1,

а потому, используя определение бернштейновского п-поперечника, получаем

Ьп) ^ Ъп(Бп+1,ВРП) ^ Ят-п • а-т • (^ рпр+17(р)йр) /Р . (26)

Утверждение теоремы 2 с учетом (23) и (24) вытекает из сопоставления неравенств (22) и (26). В заключение отметим, что из теоремы 2 в случае 7(р) = 1 вытекает результат теоремы 2.4 А.Пинкуса [2, с.254], а в случае

7 (р) = Р-1 • (1 - р)Л(1/р-1/9)-1, 0 <р<д ^ то, шт(д, Л) ^ 1, Я = 1

получаем результат С.Б.Вакарчука [11].

В случае приближения периодических функций вопросы вычисления точных верхних граней модулей коэффициентов Фурье на различных классах функций рассматривались в разное время многими авторами (см.,например, [17] и приведенную там литературу). В связи с этим определенный интерес представляет вычисление точных верхних граней для коэффициентов Тейлора на различных классах аналитических в круге функций. Здесь аналогичная задача рассмотрена для коэффициентов сп(/) разложения /(г) = ^ сп(/)гк, аналитической в круге радиуса Я ^ 1 функции

п=0

f (z) е W^, 1 < p<

Теорема 3.3. При выполнении условий теоремы 2 имеет место следующее равенство

{ } Rm-n

sup{ \cn(f )| : f е w(mA = R-, (27)

где n > m; n,m е N; R ^ 1, 1 ^ p < то.

Доказательство. Хорошо известно, что для коэффициентов cn(f) произвольной функции f е A(Ur) и любого n е N имеет место равенство

cn(f) = ^ I r(n+1)fm, о<P<R. 2m JW=p

т{т) р,

интегральное представление

Используя соотношение (17), для произвольного элемента / € Ш^р) запишем

1 Г2п

РпОп(/) = 2П 0 /(Рег') — Л-/ рег')) е~гпгМ =

= 2П /(т)(Яегв)егтвСг(р, г — в)йв | йг.

ю (. J0

Из неравенства (20) сразу следует, что

р } 1/р йЛ <

Г 1 Г-2Ж 1 р2п р

рп\оп(/)\ ^ ^ ^ 0 /{т)(Яеге)егт)Сг(р,г — в)йв йг^

(1 г 2п \ / 1 п 2п \ 1/р ят—п

2П1 \ С<Р'г) I*) (аПI 1 /^т){Яе")Гйв) <""ОпГ '"/(т)"йрД

Отсюда и из определения класса Ш^Я следует оценка сверху

{ } яп—т

вир{ \Оп(/)\ : / € < Я-. (28)

ап,т

Для получения оценки снизу рассмотрим функцию

тп

Г / \ Ле1 Я п

/0(г) = -г , п > т.

ап,т

Покажем, что /0 € Шут? . В самом деле, поскольку /0)т\г) = ят—пгп—т,

И^Иирд = Кт—пЦ(Кг)п—тЦнр = 11гп—т11нр = 1, п > т,

то /0 € Щт? . Поэтому

{ } ят—п

вир{\Оп(/)\ : / € > \Оп(/0)\ = Я-. (29)

' ап,т

Сопоставляя неравенства (28) и (29), получаем равенство (27), чем и завершаем доказательство теоремы 3.

4. Экстремальные задачи оптимального восстановления и кодирования функций

Полученные в §3 результаты можно интерпретировать с точки зрения задач оптимального восстановления и кодирования функций в постановке Н.П.Корнейчука (см., например, [18, гл.8, §8.3]).

Приведем необходимые понятия и определения. Пусть в нормированном

def

функциональном пространстве X задан набор Mn = {ц1, ц2, ■ ■ ■, Цn} функционалов ц е X*, k = 1,n, где X* - пространство, сопряженное с X. Множество Mn можно рассматривать как метод кодирования, сопоставляющий элементу f е X числовой вектор

F (f, Mn) d= {m(f), Ц2 (f ),...,Mf)} ■ Пусть P* = {pk(z)}*= 1и Гп {Yk}*=

:1 — соответственно произвольные

системы линейно независимых функций из X и набор числовых коэффициентов. Задачу восстановления функции f по информации F решают, сопоставляя вектору F(f, Mn) функцию

n

p(f; Mn, Pn, rn,z) = ^ YkЦ-k(f )Pk(z), k=i

позволяющую наилучшим образом приспособиться к рассматриваемому классу N. Величину

Q(N, Mn, Pn)x = inf {sup {\\f - <p(f; Mn, Pn, Гп)Ух : f е N} : Гп е Rn}

называют погрешностью восстановления на классе N и полагают

Qn (N, X) =inf {Q(N, M n, Pn)X : n Pn},

Qn(N,X) = inf{Q(N, M'n, Pn)x : M*, Pn}, где Mn — набор заданных на X линейных ограниченных функционалов. Методы восстановления (M*n, P**, ГП), (MП, P**, ГП), для которых Qn(N, X) = sup {\\f - <p(f; M*n, P*, ГП)\\х : f е N} ,

Qn(N, X) = sup {\\f - <p(f; MП, P*, Г*)\\x : f е N} , соответственно, называют оптимальным и оптимальным линейным методом восстановления функций класса N. При этом справедливы соотношения [1, с.381]:

Q*(N,X) = S*(N,X),

Qn(N, X) ^ d*(N,X)■ (30)

Если

N = N + L,

где NN — компакт, L — конечномерное подпространство, то в (30) имеет место знак равенства.

Наряду с Qn(N, Mn, Pn)x рассматривают также величину

K(N, Mn)x = sup {\\fi - f2\x : fi,f2 е N, F(fi, M*) = Ff M*)} ,

которую интерпретируют как погрешность метода кодирования на классе N с помощью фиксированного набора функционалов Mn (см. [1, гл.8,§8.3]). Полагая

vn(N,X) = inf{K(N, Mn)x : M*},

получаем

ип(т,х) < 2^п(^,х), и если множество N — центрально-симметрично и выпукло, то

V п(%х ) = 2Яп(т,х).

Используя результаты теоремы 2 и вышеизложенное, получаем следующее утверждение.

Теорема 4.1. Пусть Я ^ 1, 1 ^ Р ^ ж, п,т € N, п ^ т. Тогда оптимальный метод восстановления функций / € ШрЯ в банаховом пространстве Ьр>1 доставляют функции Лп_ 1(/, г), а наилучший метод кодирования определяется набором функционалов

/ (к)(0)

^ (/) = Ок (^/) = L^Г', к = 0, !,•••,п — 1.

При этом

2 vn(w(nS,LPY ) = Qn(w(mJ,Lpr( ) =

Rm-n / f 1 \l/p

= Q'n(w(m),LpY ) = R■{ pnp+lY(p)dp\ .

an,m \.J0 J

Список литературы

1. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: МГУ, 1976. 318 с.

2. Pinkus A. n-Widths in Approximation Theory. Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo: Springer-Verlag, 1985. 287 p.

3. Тайков Л.В. О наилучших линейных методах приближения функций классов Br и Hr // Успехи математических наук. 1963. Т. 18. №4. С.183-189.

4. Белый В.И. К вопросу о наилучших линейных методах приближения функций, аналитических в единичном круге // Украинский математический журнал. 1967. Т. 19. №2. С.104-109.

5. Белый В.И., Двейрин М.З. О наилучших линейных методах приближения на классах функций, определяемых союзными ядрами // Метрические вопросы теории функций и отображений. Киев: Наукова думка, 1971. Вып.2. С. 37-54.

6. Двейрин М.З. Задачи наилучшего приближения классов функций, аналитических в единичном круге. Теория приближения функций. М.: Наука, 1977. С.129-132.

7. Двейрин М.З., Чебаненко И.В. О полиномиальной аппроксимации в банаховых пространствах аналитических функций. Теория отображений и приближение функций. Киев: Наукова думка, 1983.

8. Фарков Ю.А. Поперечники классов Харди и Бергмана в шаре из Cn // Успехи математических наук. 1990. Т. 45. №5. С.197-198.

9. Вакарчук С.Б. Наилучшие линейные методы приближения и поперечники классов аналитических в круге функций // Математические заметки. 1995. Т. 57. №1. С.30-39.

10. Вакарчук С.Б. О наилучших линейных методах приближения и поперечниках классов аналитических функций // Математические заметки. 1999. Т. 65. №2. С.186-193.

11. Вакарчук С.Б. Точные значения поперечников классов аналитических в круге функций и наилучшие линейные методы приближения // Математические заметки. 2002. Т. 72. №5. С.665-669.

12. Вакарчук С.Б., Забутная В.И. О наилучших линейных методах приближений функций классов Л.В.Тайкова в пространствах Харди Нчр, д ^ 1, 0 < р ^ 1 // Математические заметки. 2009. Т. 85. №3. С.323-329.

13. Вакарчук С.Б., Шабозов М.Ш. О поперечниках классов функций, аналитических в круге // Математический сборник. 2010. Т. 201. №8. С.3-22.

14. Шабозов М.Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функций в пространстве Бергмана // Доклады РАН. 2002. Т. 383. №2. С.171-174.

15. Шабозов М.Ш, Шабозов О.Ш. О наилучшем приближения некоторых классов аналитических функций в весовых пространствах Бергмана 62,7 // Доклады РАН. 2007. Т. 412. №4. С.466-469.

16. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. М.: Наука, 1976. 320 с.

17. Степанец А.И. Равномерные приближения тригонометрическими полиномами. Киев: Наукова думка, 1981. 324 с.

18. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближений. М.: Наука, 1987. 424 с.

Саидусайнов Муким Саидусайнович (smuqim@gmail.com), к.ф.-м.н., старший преподаватель, кафедра функционального анализа и дифференциальных уравнений, Таджикский национальный университет, Душанбе.

On the values of widths and the best linear methods of approximation in the weighted Bergman space

M.S. Saidusaynov

Abstract. In the banach spaces of Lp,Y and Bp,Y, 1 ^ p ^ to with positive integrable weight 7, are calculated an exact values of some n-widths for the classes Bpr/,R functions f € Bpr/,R analytically in the circle of radius R ^ 1, satisfying the condition \\f \\Bp y r ^ 1 and wP"R m € N, R ^ 1 class of functions

f € Hpr analytic in a circle \z\ < R whose derivatives of m-th order f(m) are belong to the space of Hardy Hp,R (1 ^ p ^ to) at the bound and satisfied the condition \\f(m)\\Hp R ^ 1. For the considered class of functions constructed the best linear methods of approximation correspondingly in the spaces Bp,Y and Lp. The obtained results interpreted from the view of the best optimal restoration

and coding of functions f G WpR (1 ^ p ^ R ^ 1) in N.P.Korneychuk formulation.

Keywords: weighted function, the best approximated linear method, weighted Bergman space.

Saidusaynov Mukim (smuqim@gmail.com), candidate of physical and mathematical sciences, senior teacher, department of functional analysis and differential equations, Tajik National University, Dushanbe.

Поступила 25.06.2015