CC BY
40
В. Г. Осмоловский
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДАХ В ОДНОМЕРНОМ МОДЕЛЬНОМ СЛУЧАЕ*
В работе рассматривается вариационная задача о фазовых переходах в механике сплошных сред в одномерном модельном случае. Подобное упрощение позволяет при постановке и исследовании задачи не использовать сложных математических конструкций. Более того, все решения задачи находятся в явном виде, что дает возможность досконально отследить процесс образования новой фазы при изменении параметров задачи и выявить влияние поверхностной энергии границы раздела фаз на свойства состояний равновесия.
1. Постановка задачи. Пусть двухфазовая упругая среда занимает отрезок [0,1]. Тогда ее функционал энергии в отсутствии силовых полей согдасно [1] может быть записан в виде
Io[u,x,t]= [ {х(а+(и' - с+)2 + t) + (1 - х)а_(и' - c_)2} dx, (1.1)
J 0
где функция и(х) моделирует поле смещений в одномерном случае, числа с± —тензоры остаточной деформации, числа а± > 0 — тензоры модулей упругости для фаз с индексами «±», соответственно, число t определяется температурой, а характеристическая функция х(х) заведует распределением фаз: в точках, где х(х) = 1 располагается упругая среда фазы с индексом ««+», в точках, где х(х) = 0, —фазы с индексом ««-».
В качестве области определения функционала (1.1) фиксируем множества
О
и £ X = W2(0,1), х G Z = {х G LTO(0,1) : х2(х) = х(х) почти всюду в (0,1)}.
(1.2)
Включение и G X, в частности, означает, что поле смещений и(х) равно нулю на границе интервала (0, 1) .
При фиксированном t G R1 равновесное поле смещений Ut и равновесное распределение фаз х* определяются как решение вариационной задачи
Io[Ut, >>*, t] = inf Io[u, х,^. (1.3)
uGX,xGZ
Функционал энергии (1.1) не учитывает поверхностной энергии границы раздела фаз. Для ее учета введем обозначения:
Z' = {х G Z : supp х состоит из конечного числа непересекающихся, замкнутых подынтервалов отрезка [0, 1]},
N[х], х G Z'—число граничных точек носителя х, лежащих в (0,1). (1.4)
Здесь supp — носитель функции х — множество тех х G [0, 1], для которых х(х) = 1.
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №07-01-00525).
© В. Г. Осмоловский, 2007
Считается [1], что поверхностная энергия границы раздела фаз пропорциональна площади этой границы. В одномерном модельном случае площадь границы раздела фаз заменяется на N [х], х G Z. Тогда полный функционал энергии двухфазовой упругой среды запишется в виде
IКхЛа] = 1o[u,x,t]+ aN[х], u G X, х G Z, (1.5)
где коэффициент а > 0 — коэффициент поверхностного натяжения.
При фиксированных t G R1 и а > 0 равновесное поле смещений uij0- и равновесное распределение фаз х^о- определяются как решение вариационной задачи
I[иг,о,хСг,о, t, а] = inf I[и,хЛа]. (1.6)
uGX, x^Z'
Состояние равновесия для задач (1.3) и (1.4) назовем однофазовым, если х (в случае
(1.3)) и х^ст (в случае (1.6)) тождественно равны нулю или единице, и двухфазовым — в противном случае.
Нашей целью является определение всех решений задач (1.3) и (1.6) в явном виде и исследование их зависимости от параметров t и а.
2. Метод решения вариационных задач (1.3) и (1.6). Основой для реализации этой цели служит [2] непосредственно проверяемое равенство
1o[u, х, t] = 7х[и,х] + G(Q,t), Q = / х(х) dx,
o
^[и, Х\ = J Ыа+ + (1 - х)а~) ~ ^Х (^с+ - + (1 _ X) (с- ~
^-а_д+а1+а(1-д)(с+д + с-(1-^
СШ) = ф + а2 (д)а-д + а+(1~д),
а+а-
(2.1)
справедливое для всех и £ X, х € ^. Важным моментом в представлении (2.1) является тот факт, что
^,(Х^.^)) + (1.,)^.^)))<Ь = 0. (2.2)
Равенство (2.2) позволяет утверждать, что
и(х) = ¡'^ |х(у) ^с+ — + (1 — х(у)) ^с- — | dy £ X (2.3)
— единственная функция множества X, минимизирующая функционал Ji [., х] для каждой фиксированной функции х G Z, причем минимум этого функционала для каждой функции х равен нулю.
Для решения задачи (1.3) нужно для каждого фиксированного t G R1 определить числа Q(t) G [0,1], удовлетворяющие условию
G(Q(t),t) = min G(Q,t), (2.4)
Qe [0,1]
и в качестве функции хсг взять любой элемент множества Z, удовлетворяющий равенству
Q(t) = / х*(х) dx. (2.5)
o
Затем по функции х восстановить функцию ut согласно (2.3). Очевидно, что описанная процедура выдает все решения задачи (1.3).
Для решения задачи (1.6) следует для всех фиксированных t G Д1, а > 0 найти функцию х^ст G Z как решение вариационной задачи
Ыхь,о ,t,a] = inf J2[x,t,a], J2 [х, t, а] = G(Q,t) + aN [х], (2.6)
xeZ'
а функцию uij0 восстановить по х*,о согласно (2.3). Очевидно, что и в этом случае мы получаем все решения задачи (1.6).
Вариационную задачу (2.6) сведем к исследованию на минимум функции
{G(0, t) при Q = 0,
G(Q,t)+ а при 0 <Q< 1, (2.7)
G(1, t) при Q = 1.
Если Q(t, а) G [0,1] и решает задачу
F(Q(t, а), t, а) = min F(Q,t, а), (2.8)
Qe [0,1]
то функции
х*,о(х)
I 1 при x G [0, Q(t, а)]
I 0 при x G (Q(t, а), 1]
в случае 0 < <3(£,ст) < 1,
х,.м=|';при *£ц-1 (2.9)
11 при х € [1 — СД^ст), 1]
Хь,а(х) = 0 при <5(4, а) = 0<
ХСг,а(х) = 1 при <5(4, а) = 1,
и только они, являются решениями задачи (2.6).
С позиций механики, числа <3(£) и <3(4, а) —объемные доли фазы с индексом ««+» в состоянии равновесия для задач (1.3) и (1.6) соответственно. Объемная доля фазы с индексом ««—» определяется выражением 1 — <3(£) и 1 — <3(4, а).
3. Множество всех решений задачи (2.4). Введем обозначения:
[ас]2 [ас]2 2
¿+=Г + -^-Ц , г* = - ас2 ,
+ а+ ’ а_ ’ 1 (3.1)
[ас] = а+с+ — а-с-, [ас2] = а+с+ — а-с—.
Числа назовем верхней и нижней температурами фазовых переходов. Очевидно, что
4_ < 4+ и 4_ = 4+ лишь при условии [ас] = 0.
Несложные, но громоздкие выкладки приводят к следующему списку множества всех решений задачи (2.4).
<(*) =
(2) При [ас] = 0
а при 4 £ (4_ ,4+)
при 4 < 4*
число из интервала [0,1] при 4 = 4*
при 4 > 4*
(3.2)
3(4) =
1 при 4 < 4_,
0 при 4 > 4+,
(3.3)
<(*)=
а_ 1 а+а
+ тт-
2[а] 2 [а] (а+Л.(4)+а_(1 —Л.(4)))1/2
при а+ = а_ ,
, [а] = а+ — а_
при а+ = а_ .
(3.4)
Отметим, что при [ас] = 0 функция <3(4) многозначна в точке 4 = 4*, а при [ас] = 0 эта функция однозначна, непрерывна по 4 £ Д1, бесконечно дифференцируема при 4 = 4±, строго монотонно убывает на интервале [4_,4+].
4. Множество всех решений задачи (2.8). Для описания множества всех решений задачи (2.8) при [ас] = 0 нам потребуется функция
ст(4) = Л^) — с(<5(г), 4), Л*)
(4.1)
где <3(4) задается равенствами (3.3), (3.4).
Проверим, что ст(4) = 0 при 4 £ (4_,4+), ст(4) положительна, строго выпукла, строго монотонно возрастает по 4 на интервале [4_,4*], положительна, строго выпукла, строго монотонно убывает по 4 на интервале [4* ,4+]. Кроме того, эта функция непрерывна по 4 £ Д1 и бесконечно дифференцируема при 4 = 4*, 4 = 4±. Ее максимальное значение ст* достигается в единственной точке 4 = 4*:
яир ст(4) = ст(4*).
гек1
1
0
1
2
ас
*
ст
Обозначим через 4±(ст), 4_(ст) < 4+ (а), а £ [0,ст*] абсциссы пересечения графика функции ст(4) с параллельной оси 4 прямой, ордината которой равна ст. Тогда (0) = ,
4_(ст) < 4+(ст) при ст £ [0,ст*), 4_(ст*) = 4+(ст*), функция 4_(ст) бесконечно дифференцируема, строго монотонно возрастает, функция 4+(ст) бесконечно дифференцируема, строго монотонно убывает на интервале [0, ст*]. При ст > ст* положим 4+(ст) = 4_(ст) = 4*. Числа 4±(ст), ст > 0 назовем верхней и нижней температурами фазовых переходов для задачи (1.6).
Используя результаты раздела 3, приходим к следующему списку множества всех решений задачи (2.8).
(2) При [ас] = 0
<3(4, ст)
при 4 < 4*,
0 при * 4 4
при 4 > 4*.
при 0 < ст < ст(4),
при 4 < 4* , ст > ст( 4) ,
при 4 > 4* , ст > ст( 4) .
Если ст = ст(4), функция <3(4, ст) принимает два значения:
3(4) ^*\ \ [*3(4)
(4.2)
(4.3)
<3(4, ст)
1
при 4 £ (4_,4*), <3(4, ст)
0
при 4 £ (4* ,4+). (4.4)
При 4 = 4*, ст > ст* функция <3(4, ст) принимает два значения:
<3(4*, ст) = 0 и 1.
При 4 = 4*, ст = ст* функция <3(4, ст) принимает три значения:
<3(4*, ст*) =0 и 1 и <3(4*).
(4.5)
(4.6)
5. Состояния равновесия при ст = 0. Пользуясь результатами (3.3), (3.4), приходим к следующим свойствам состояний равновесия двухфазовой упругой среды при нулевом коэффициенте поверхностного натяжения в невырожденном ([ас] = 0) случае.
Для каждого 4 £ (—то,4_] реализуется лишь однофазовое состояние равновесия с фазой +. При изменении 4 в интервале (4_,4+) реализуются лишь двухфазовые состояния равновесия, их бесконечно много для каждого 4 из этого интервала, но объемные доли каждой из фаз являются однозначными непрерывными функциями аргумента 4. При возрастании 4 от 4_ до 4+ объемная доля фазы с индексом ««+» строго монотонно убывает от единицы до нуля. Заметим, что возникновение фазы с индексом ««—» при 4 = 4_ и исчезновение фазы с индексом ««+» при 4 = 4+ не носят скачкообразного характера. Наконец, при 4 > 4+ реализуется лишь однофазовое состояние равновесия с фазой с индексом ««—». При 4 £ (4_,4+), несмотря на нулевые граничные условия и отсутствие силовых полей, иг ф 0.
6. Состояния равновесия при ст > 0. Пользуясь результатами (4.3)—(4.6), приходим к следующим свойствам состояний равновесия при положительном коэффициенте поверхностного натяжения в невырожденном случае.
При 4 < 4_(ст) реализуется лишь однофазовое состояние с фазой ««+», при 4 > 4+(ст) —однофазовое состояние с фазой ««—». При 0 < ст < ст* интервал (4_(ст ), 4+ (ст)) = 0. При 4 £ (4_(ст),4+(ст)) реализуются лишь двухфазовые состояния равновесия в количестве двух штук. Величина <3(4, ст), ст £ (0, ст*) определяется однозначно, оба двухфазовые состояния равновесия имеют лишь одну точку границы раздела фаз и носители функций Хг,о- для этих состояний равновесия примыкают к граничным точкам
1
0
интервала (0,1). При t = t±(<r), а £ (0, а*) множество всех состояний равновесия исчерпывается однофазовыми состояниями xt,a = 1, Щ,а = 0 при t = i_(a), xt,a = 0, üijCT = 0 при t = t+(a) и парой описанных выше двухфазовых состояний равновесия. При t = t*, а = а* множество всех состояний равновесия состоит из четырех пар: обоих однофазовых состояний равновесия и двух двухфазовых. При а £ (0, а*) функция <5(.,а) в точках t = ^(а) имеет скачки. Поэтому возникновение фазы с индексом «—» при t = t_^) и исчезновение фазы с индексом ««+» при t = ^(а) носит скачкообразный характер. Зародыш фазы с индексом ««-» при t = t_^) имеет «конечный объем» и концентрируется около одного (безразлично которого) конца отрезка (0,1). При а > а* верхняя и нижняя температуры фазовых переходов совпадают: t_^*) = Ма*) =t*.
7. Зависимость температуры фазовых переходов от размеров области. Коэффициент поверхностного натяжения характеризует двухфазовую упругую среду и не зависит от размеров области, занимаемой этой средой. Рассмотрим двухфазовую упругую среду, занимающую отрезок [0,1]. Ее функционалы энергии определяются аналогичными (1.1) и (1.5) равенствами с заменой отрезка (0,1) на отрезок (0,1). Вводя дополнительный параметр 1 в число аргументов функционалов и сохраняя обозначения
(1.1) и (1.5) в случае 1 = 1, получаем
/о[м, х, t, 1] = 11o[U, х, t], 1[м, х, t, 1] = 11 [м, х, а/1],
М(1У) (7.1)
й(е) = -у^, х(х)=х(1у), *е[0,1], 2/ е [0,1].
Поэтому, если мы придерживаемся модели, не учитывающей поверхностной энергии границы раздела фаз, то в силу (7.1) температуры фазовых переходов не зависят от размеров отрезка. Если мы считаем коэффициент поверхностного натяжения положительным, то при фиксированном а в силу (7.1) температуры фазовых переходов будут зависеть от длины отрезка согласно формуле ^(а/1) = t±(1). Существует такое число 1*, определяемое равенством а/1* = а*, что при убывании 1 от ж до 1* число t_(1) строго монотонно возрастает от t_ до t*, число t+(1) строго монотонно убывает от t+ до t*, при 1 = 1* обе температуры фазовых переходов совпадают: t_(1) = t+ (1) = t*. Таким образом, зависимость температур фазовых переходов от размеров области говорит в пользу положительности коэффициента а.
8. Об определении коэффициента а. Этот коэффициент является дополнительным параметром задачи. В рамках предложенной модели он однозначно определяется числами а* и 1*. Число а* явно вычисляется через характеристики упругой среды, число l* может быть найдено измерением температур фазовых переходов для различных отрезков (0, l) .
9. Замечания. Перечисленные результаты частично переносятся на многомерный случай. В [3] найдены в явном виде решения задачи о фазовых переходах при а = 0 в произвольной области Q С Rm в случае однородных изотропных фаз, в [4, 5] доказано существование и получены оценки температур фазовых переходов при а = 0 для неоднородных анизотропных фаз, в [6] доказано существование и описаны свойства функции а^), получены оценки для числа а*, в [7] исследована зависимость температур фазовых переходов от размеров области.
Summary
V. G. Osmolovskii. Exact solutions of the problem of phase transitions in a one-dimensional model case.
The solutions of the problem of phase transitions in the explicit form are obtained in onedimensional model case with both positive and zero coefficient of a surface-tension. The dependence of equilibrium states on the parameters of the problem is investigated.
Литература
1. Гринфельд М. А. Методы механики сплошных сред в теории фазовых превращений. М., 1990. 312 с.
2. Осмоловский В. Г. Существование состояний равновесия в одномерной задаче о фазовых переходах // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2006. Вып. 3. С. 54-65.
3. Осмоловский В. Г. Точные решения вариационной задачи о фазовых переходах механики сплошной среды // Проблемы мат. анализа. Вып. 27. 2004. С. 171-206.
4. Осмоловский В. Г. Зависимость состояний равновесия двухфазовой упругой среды от температуры при нулевом коэффициенте поверхностного натяжения // Проблемы мат. анализа. Вып. 28. 2004. С. 98-114.
5. Осмоловский В. Г. Существование температур фазовых переходов для неоднородной анизотропной двухфазовой упругой среды // Проблемы мат. анализа. Вып. 31. 2005. С. 59-66.
6. Осмоловский В. Г. Зависимость состояний равновесия двухфазовой упругой среды от температуры при положительном коэффициенте поверхностного натяжения // Записки научных семинаров ПОМИ. Т. 318. 2004. С. 220-232.
7. Осмоловский В. Г. Об определении коэффициента поверхностного натяжения в механике двухфазовых упругих сред // Проблемы мат. анализа. Вып. 30. 2005. С. 61-68.
Статья поступила в редакцию 15 марта 2007 г.
