Существование состояний равновесияв одномерной задаче о фазовых переходах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9+539.3

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2006, вып. 3

В. Г. Осмоловский

СУЩЕСТВОВАНИЕ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ В ОДНОМЕРНОЙ ЗАДАЧЕ О ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДАХ*

1. Введение. В одномерном случае задачу о фазовых переходах в механике сплошных сред при нулевом коэффициенте поверхностного натяжения можно рассматривать как вариационную задачу для функционала [1]:

I[п,хА= I {х(¥ +(п')+г) + (1- х)¥- (и') + ди} ¿х, ¥±(М) = а±(М - с±)2, М,с±,а± £ К1, а± > 0. Областью определения функционала (1.1) служат множества

и £ X = {и £ ^(0,/): и(0) = а0,и(1)= а;}, х £ 2, (1.2)

где 2 — множество измеримых характеристических функций на отрезке (0,/).

Функции ¥± (М) задают плотность энергии деформации каждой из фаз упругой среды в квадратичном приближении, числа а± определяются упругими характеристиками, числа с± называются остаточными деформациями. Функция д £ ¿1(0,/) определяет силовое воздействие на двухфазовую упругую среду. Температура г £ К1 считается постоянной вдоль всего отрезка. Функция и интерпретируется как поле смещений с фиксированными граничными условиями и(0) = ао, и(/) = аI, а характеристическая функция х задает распределение фаз на отрезке (0, /). В тех точках, где х(х) = 1, располагается вещество фазы с индексом «+», а в точках, где х = 0,—вещество фазы с индексом «—».

Состоянием равновесия двухфазовой упругой среды при фиксированной температуре г назовем пару и £ X, х £ 2, доставляющую минимум функционалу энергии

1 [и,х,г] = м 1 [и,х,г]. (1.з)

пЕХ,хЕ2

Функцию и назовем равновесным полем смещения, а функцию х — равновесным распределением фаз. Состояние равновесия называтся однофазовым, если х = 0 или х = 1 при почти всех х £ (0, /), и двухфазовым в противном случае.

С позиций механики описанная одномерная задача может считаться модельной, поскольку к ней сводится классическая трехмерная задача при априорном предположении о слоистом распределении фаз.

Проводя в функционале (1.1) предварительную минимизацию по х, придем к функционалу

1ш1п[и,£] = м 1[и,х,£]=/ (¥тш(и',г)+ди) ¿х, и £ X, г £ К1,

./о (1.4)

¥ш1п(М,г) = шт{¥ + (М)+ г, ¥-(М)},

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №05-01-01063) и Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант № НШ-8336.2006.1).

© В. Г. Осмоловский, 2006

сводящему нахождение равновесного поля смещений и при фиксированном t к решению вариационной задачи

Imin[u,t] = inf Imin[u,t], (1.5)

u^li

Функция Fmin(.,t) является выпуклой лишь при тех значениях t, для которых Fmin(.,t) совпадает с одной из функций F+ (.) +1 или F-(.). Поскольку выпуклость функции Fmin(.,t) является критерием слабой полунепрерывности снизу функционала (1.4) в пространстве W^ö, l) [2,§3.1], к вариационной задаче (1.5) не применимы прямые методы вариационного исчисления [3], что не позволяет гарантировать существование решения вариационной задачи (1.5). Отсутствие решения вариационной задачи (1.5) приводит к отсутствию состояния равновесия и, х для функцонала (1.1).

Слабая полунепрерывность снизу функционала (1.4) является точным условием в теореме существования решения вариационной задачи (1.5). Можно привести пример функционала типа (1.1) с невыпуклой функцией Fmin(.,t), для которого не существует состояния равновесия. В качестве такого функционала можно взять, например, функционал

IU,X]= f ix(u> - 1)2 + (1- Х)(и' + 1)2 + аи2} dx,

Jo (1.6)

О

и е X0 W21 (0, l), х е Z, а > ö.

Этот функционал получается из (1.1) при a+ = a- = 1, c+ = 1, c— = -1, t = 0, g = au. Данный функционал при а > 0 не достигает наименьшего значения на множестве Xo х Z

[4].

Слагаемое au2, а > 0 в подынтегральном выражении (1.6) не имеет механического смысла (внешнее силовое поле g не должно зависеть от поля смещений). В случае а = 0 (что отвечает функции g = 0) функционал (1.6) принимает наименьшее значение, не смотря на отсутствие слабой полунепрерывности снизу у соответствующего ему функционала (1.4).

Цель данной работы — доказать (вопреки невыпуклости функции Fmin(.,t)) существование состояний равновесия для функционала (1.1).

Для одномерных вариационных задач с функционалом

I[и] = Ф(и', и, x) dx, и(0) = ао, u(l) = а1 (1.7)

0

в случае Ф = Ф(и') имеется критерий достижения функционалом (1.7) наменьшего значения [3, с. 242]. Это условие превращается в достаточное в случае Ф = Ф(и',х) [3, с. 244]. Не смотря на то, что функционал (1.4) может быть сведен к виду (1.7) с Ф = Ф(и', х), применение этого условия на практике не удобно.

При исследовании функционала (1.1) мы будем использовать метод, предложенный в [4, 5] при исследовании вопроса о существовании состояний равновесия в многомерном случае у двухфазовой среды при специальном выборе плотностей энергии и нулевом силовом поле. Этот метод существенно использует квадратичность функций F± (M) и позволяет разделить в функционале (1.1) зависимость от функций и и х и свести задачу к минимизации некоторого вспомогательного функционала, зависящего лишь от функции х.

Функции F±(M) будем считать отличными друг от друга:

(a+ - a-)2 + (c+ - c-)2 > 0. (1.8)

Без ограничения общности положим

а+ ^ а—, о+ > о— при а+ = а—. (1.9)

Остальные варианты сводятся к (1.9) с помощью переобозначений. Произведя замену

х _ и(1у) «0 аI — ао XIи(х) ^ и(у) = —-----у---,

х(х) ^ х(у) = х(1у), д(х) ^ д(у) = 9(1у),

аI — ао с± с±----

и используя равенство

/ {х(а+(и' — 0+)2 + £) + (1 — х)а—(и' — о— )2 + дм} Ах =

о

= 1 {Х(а+ (м' — с+ )2 + (1— х)а—(и' — о—)2 + дм} Ау, о

сведем граничные условия для функции и к однородным, а отрезок интегрирования к единичному. Поэтому без ограничения общности остановимся на исследовании функционала

I[и,хА= I {X^ + (и')+Ь) + (1 — х)Р— (и') + ди} Ах, (1.10)

о

о

и е Хо ж!(0,1), х е 2, (1.11)

где 2 — множество измеримых характеристических функций на отрезке [0,1]. Сформулируем основное утверждение, доказываемое в этой работе.

Теорема Функционал (1.10) достигает на множестве (1.11) наименьшее .значение для каждого Ь е И!, д е ¿1(0, 1). При а— = а+ и

|д(ж)| > 0 почти всюду на отрезке (0,1) (1.12)

состояние равновесия и, х однозначно определяется температурой Ь и силовым полем д.

Раздел 2 работы содержит доказательство теоремы, в разделе 3 собраны замечания, касающиеся случая д = 0.

2. Доказательство теоремы. Доказательство утверждения теоремы разобьем на ряд этапов.

(1) Преобразование функционала (1.10). Пусть

! / !■ X

= з{у) ^ ~ ^ ^ ^ ■

Тогда

Я е Ш!(0,1), I q(х) Ах =0, (2.1)

1о

а функционал (1.10) можно преобразовать к виду

I[и,х,А = / {х(а+(и> — с+ )2 + ¿) + (1 — х)а-(и' — с-)2 — 2ци'} ¿х, и € Хо, х € 2. Jо

(2.2)

Следующие цепочки равенств выполняются для функций х € 2, и их справедливость отдельно устанавливается для х € (0,1), при которых х(х) = 1, и для х € (0,1), при которых х(х) = 0. Имеем

х(а+(и — с+)2 + £) + (1 — х)а~(и' — с— )2 — 2ди' = = (ха+ + (1 — х)а—)и'2 — 2(ха+ с+ + (1 — х)а— с— + д)и' + (ха+с+ + (1 — х)а—с— + X).

Далее, для любого а € Я1

(ха+ + (1 — х)а—)и'2 — 2(ха+ с+ + (1 — х)а—с— + д)и' =

Я — ач Я — а 4 2

(с_ 1

= (ха+ + (1 - х)а-) (и' - (х(с+ + + (1 - *)(с_ + ~ 2аи>~

~(ха+(с+ + + (1 - Х)а-(с- + .

V а+ а_ /

Таким образом,

х(а+(и' — с+)2 + ¿) + (1 — х)а—(и' — с—)2 — 2ци' = = (Ха+ + (1 - *)а-) (и' - (Х(с+ + + (1 - х)(с_ + " 2сш'-

а+ а—

~(ха+(с+ + + (1 - Х)а_(с_ + ^)2) +

V а+ а— у

+ (ха+с+ + (1 — х)а—с— + х^).

(2.3)

Фиксируем число а, потребовав !■ 1

,0 (2-4)

Тогда в силу равенства (2.1)

с+д + с_(1 -д) -аа-9 + ■а+(1 - 9) + (\х3:Х = о,

а+а— а+а— Jо

1

(2.5)

Q = ( х ¿х € [0, 1].

о

Следовательно,

г 1

а+а- ■(с+а + с-а-С})-?^^ ЯХ<1х). (2.6)

V а+ а_ /п /

а— Q + а+(1 — Q) V а+ а— ,/о

Равенство (2.3) позволяет записать функционал (2.2) следующим образом:

1о[и,х,Ь] = -![и,х] + -2 [х,Ь],

-•! . . / / / „ „л / „, \ \ \ 2

с_

>о ' 1 "

(2.7)

(2) Минимизация функционала —!. Представление (2.7) выделяет зависимость функционала (1.10) от функции и в отдельное слагаемое —![и, х], допускающее простое исследование.

Очевидно, что — [и, х] ^ 0, причем равенство достигается в том и только том случае, если

м' = х(с+ + ^)+(1-х)(с- + ^). (2.8)

В силу (2.4) уравнение (2.8) для каждой функции х е 2 имеет единственное решение и е Хо. Поэтому любая пара

и, х: х — произвольный элемент Z, и е Хо —решение задачи (2.8), (2.9)

минимизирует функционал —!.

(3) Преобразование функционала -2. Имеем

X ~ а+ + + ^ + (! - X) - а_ +

= ХЬ + 2а(с+Х + с_(1 - *)) - а2 ( — + ^ ) - 2д(с+Х + с_(1 - х))+

\а+ а— у

\а+ а— у \а+ а—

Следовательно,

2 a—Q + а+(1 — Q)

Мх,Ь] = Qt + 2а(о+Q + о—(1 — Q)) —

а

а+ а—

С! 2а С!

-2/ </(с+Х + с_(1 — х)) (]-х Н--/ </(а-Х + а+(1 ~~ х)) (1х—

Jо а+а— Jо

1 Г!

--/ </2(а_х + а+(1-х))^. (2.10)

а— а+ ./о

Используя формулу (2.5) для числа а и равенство (2.1), упростим правую часть (2.10):

+ + — 2[с] /^х^+^Ь (1 ч2х3х_±_

а+ а— 7о а+а— Уо а— Уо

[а] = а+ — а—, [о] = о+ — о—.

(2.11)

(4) Минимизация функционала .2 на множестве Z/. Расширим область определения функционала .2 [.,£], заменив множество Z на множество Z/:

Z/ = {х € Ьто(0, 1) : 0 ^ х(х) ^ 1 при почти всех х € (0, 1)}.

Поскольку при выводе формулы (2.7) существенно использовалось включение х € Z, эта формула перестает быть справедливой на множестве Z/. Рассмотрим вариационную задачу

.2[хс,Ь]= .2 [хЛ X € (2.12)

Множество Z/ С ¿2(0,1), оно является компактным относительно слабой сходимости в пространстве ¿2(0,1). В силу (2.11) и (2.6) функционал ..2[.,1] непрерывен на множестве Z/ относительно слабой сходимости в Ь2(0, 1). Следовательно, вариационная задача (2.12) имеет хотя бы одно решене х € Z/.

(5) Доказательство включения х € Z. Пусть х € Z/ —решение вариационной задачи (2.12). Для произвольной функции х € Z/ положим

х« = «х +(1 - «)х, « € [0,1].

Введем обозначения

Я (в) = / («х + (1- «)х) &х = «я + (1 - в)<3, я = х&х, Я = х &х,

Jо Jо Jо

,-1

а(*) = —пГТТ±^п—ТТГТТ + с-(! - ^С5))--I ЯХ8(Ь),

а—<(в) + а+(1 - Ч(в))\ а+а— 7о '

ф(в) = Ыхв,Ц.

В силу выпуклости множества Z/ функция х«(.) € Z/ для всех в € [0,1]. Очевидно, что ф € С™ [0, 1].

Из (2.11) получаем

ф (в) = ЦЦ - Ц) - а (в)-(<у - С^) + 2-а(в)а (в)-

а+а— а+а—

1

о

Поскольку функция а(в) удовлетворяет тождеству, аналогичному (2.5),

-2[с] [ д(х~х)Лх + -^- [ <?(х-х)<Ьс. (2.13)

и0 а+а- Jо

с+д(5) + с_(1 - ЯМ) -_ Г1 дХв=

а+а— а+а— Уо

после его дифференцирования по в € [0,1] получаем

ШЯ - я) + а(в)-И-(д -я)-^ С Ч{х -Х)<ь = а-9(5) + а+(1-9(5))^).

а+ а— а+а— J о а+ а—

Тогда

а_д(а) + а+( 1 - д(й)) „ , и .

2-«(в)« (в) = 2а(в)[с](д -

а+а-

а+а- а- а+ Jо

что позволяет переписать равенство (2.13) в следующем виде:

<//(*) = (* + + 2а(в)[с])(д - д)-

а+ а-

— 2(а(в)——--Ь [с]) / +[ ^(х

а+ а- Уд а+а_ _/0

[пировку слагаемых, в виде

= ¡\ь + - </)2 + 2[с](а(В) - д))(Х - *) (2.14)

Л а+а_

г-1

0

Или, произведя перегруппировку слагаемых, в виде

_м

а+а

В частности, при в = 0 справедливо равенство

ф'{0)= I (г+-^-(а-д)2 + 2[с]{а-д)){Х-х)<1х, а = а(0). (2.15)

Уо а+а-

Поскольку функция х минимизирует функционал . [•,£], должно выполняться необходимое условие минимумума (так называемое вариационное неравенство):

(2Л6)

ф'(0)= [ + 2[с^(а-Ч))(х-х)3,х^0

0 а+а-

для всех х £ 2'.

Введем измеримые множества

£+ = ¥+(х) = { х е (0,1) : 4 + -^-(а - ч{х))2 + 2[с](а - д(х)) > 0

а+ а-

= £?_(*) = (ж € (0, 1) : г + - 4{х))2 + 2[с](а - д(х)) < 01 ,

а+а-

Е= = Е={х) = \ х € (0,1) : * + - 4{х))2 + 2[с](а - д(х)) = 0 1 .

а+ а-

Из нервенства (2.16) следует, что

{0 при почти всех х € Е+,

р £ E+, (2^17)

1 при почти всех х £ Е- •

Неравенство (2.16) не дает информации о значении функции х на множестве Е=. Этот факт не имеет значения, если |Е= \ = 0.

Рассмотрим случай \Е=\ > 0. Из определения множества Е= следует, что для всех х € Е= функция q(x) может принимать не более двух различных значений: q(x) = ql и q(x) = q2. Положим

Е= = {х € Е= : q(x) = ql}, Е= = {х € Е= : q(x) = q2}.

В силу (2.11) и (2.12)

= « г + а2

-0 + а+(1 - Я) 1

а+а-

+ [ х(1х+(-^-д22 -2[с]д2) [ Х<1х.

а+ а- JE1 а+а- Е2

q (х +

(0,1)\Е= а+а-

а

Исправим функцию X на множествах Е=, г = 1, 2 таким образом, чтобы сделать ее на этих множествах характеристической (принимающей лишь значения 0 и 1), не меняя при этом величины fEi X (х. Такое изменение функции X не меняет ни величины

Я, ни величины а и, следовательно, величины функционала .12 [X, г], но приводит к включению исправленной функции в множество Z.

(6) Минимизация функционала .12 на множестве Z. Из включения Z С Z/ следует, что инфимум функционала .2[.,г] на множестве Z не меньше инфимума этого функционала на множестве Z/. Поскольку инфимум на множестве Z/ достигается на функции X € Z, эта функция предоставляет инфимум функционалу .2[.,г] на множестве Z.

(7) Построение состояния равновесия функционала (1.10). Очевидно, что пара (2.9) с X = X минимизирует функцонал (1.10) на множестве Хо х Z.

(8) Единственность состояний равновесия. Для доказательства единственности состояния равновесия функционала (1.10) достаточно установить единственность решения вариационной задачи (2.12).

Пусть XI, —два решения вариационной задачи (2.12), «1, «2 —вычисленные согласно (2.6) по этим состояниям равновесия числа а. Запишем неравенство (2.16) с X = XI, X = X2 и с X = X = XXI:

0

[а]

/о а+а-1 [а]

■(«1 - q)2 + 2[с\(«1 - q))(X2 - XI) (х > 0,

/ (г +

0

а+а-

После их сложения получаем

(«2 - q)2 + 2[с\(«2 - q))(Xl - X2) (х > 0.

0{

0

[а]

о а+ а-

■((«2 - q)2 - («3:1 - q)2) + 2[с](«2 - «1)}(;^2 - (х < 0.

При [а] = 0 положим а+ = а- = а. Тогда формула (2.6) упрощается:

«(X) = «(Я) = а(с+Я + С-(1 - Я)), Я = X (х.

ио

Из (2.18) с [а] = 0 и (2.19) получаем

(2.18)

(2.19)

2а[с]2(Я2 - СЗ1) X - 31) (х = 2а[с]2(С32 - Я1)2 < 0, Я< ■)о

1, 2.

1

а

а

о

1

о

Поэтому Qi = Q2. Таким образом, для любого решения х вариационной задачи (2.12) величины 1

Q= х dx, d = a(c+Q + С— (1 - Q)) Jo

не зависят от выбора решения XQ. Тогда из формул для множеств E+, E—, E= следует, что эти множества также не зависят от выбора решения XX. В силу (2.17) для доказательства единственности решения вариационной задачи (2.12) достаточно установить, что \E=\ = 0.

Поскольку Е= совпадает с прообразом числа щщ + ПРИ отображении q G ^/(0,1), для почти всех точек этого прообраза выполняется равенство q'(x) = \д{х) = 0 (см. [2,§2.2]). Тогда в силу предположения (1.12) мера множества E= равна нулю.» 3. Замечания. (1) Случай g = 0. В этом случае в силу (2.11)

J2[X,t]^G(Q,t) = Qt + a2(Q)a-9 + a+(1-Q), (3.1)

a+a—

а равенства (2.6) и (2.5) примут вид

c+g + c_(i-g)-a(g)a-Q + a+(1~9) =о. (з.з)

a+a—

Поэтому исследование задачи (2.12) сводится к отысканию величины Q(t), минимизирующей функцию G(.,t) на отрезке [0,1]:

G(Q(t),t) = min G(Q,t), Q(t) e [0,1]. (3.4)

Qe[0,i]

Проведем выкладки, позволяющие это сделать. Из (3.1) имеем

Gq{Q,t) = t - + 2a{Q)a\Q)'a~Q +"+(1 " 9).

a+a— a+a—

Дифференцируя (3.3), получаем

[c\+a(Q)-=a(Q)-. (3.5)

a+ a— a+ a—

Из этих двух равенств следует, что

Gq(Q,t) = t + 2a(Q)[c] + a2(Q)-^-. (3.6)

a+ a—

Тогда в силу (3.5)

Gqq{Q,t) = 2a'(Q)([c] + a(g)^L) = 2(а'(3))2°~9 + °+(1 9).

a+a— a+a—

Дифференцируя (3.2), находим

[ac]a+a—

a'(Q)

(a—Q + a+(1 - Q))2'

Следовательно,

Одд(Я,г) = 2

а+а- [ас]2

(а-Я + а+ (1 - Я))3'

Заметим, что в силу (3.5) и (3.2)

0д(0,г) = г - г+, Од(1,г) = г - г-,

г+ = г* +

[ас]2 а+

г_ = г* -

[ас]2

, г* = - (а+с+ - а-с2_).

(3.7)

(3.8)

Очевидно, что г- ^ г+, причем равенство возможно лишь при условии [ас] = 0.

Проделанные выкладки позволяют дать следующее описание множества всех решений задачи (3.4).

Лемма. 1) Пусть [ас] = 0. Тогда

Я(г)

1 при г < г* 0 при г > г*

а Я^*) — любое число из интервала [0,1]. 2) Пусть [ас] = 0. Тогда

Я(г)

1 при г ^ г-, 0 при г ^ г+,

а при г € (г-,г+) функция д(г) однозначно определяется равенством Од(Q(г),г) = 0. Функция С3(г) бесконечно дифференцируема при г = г±, непрерывна по г € Я1, строго монотонно убывает при г € (г-,г+).

Доказательство. При [ас] =0 в силу (3.7) функция Од(.,г) постоянна на отрезке [0,1], а г+ = г- = г*. Если в этом случае г < г*, то из (3.8) получаем неравенство Од(.,г) < 0. Поэтому функция О(.,г) строго монотонно убывает и ее минимум реализуется только при Я = 1. Аналогично, при г > г* функция О(.,г) строго монотонно возрастает и ее минимум реализуется только при Я = 0. Если г = г*, то в силу (3.8) справедливо равенство Од(.,г*) = 0. Поэтому функция Од(.,г) постоянна на отрезке [0,1] и любое число из этого отрезка минимизирует эту функцию.

При [ас] =0 в силу (3.7) функция О(.,г) строго выпукла. Поскольку при г ^ г- из (3.8) вытекает неравенство Од(Я,г) < 0, при этих г для всех Я € [0,1) справедлива оценка Од«, г) < 0. Поэтому функция О(.,г) строго монотонно убывает и ее минимум реализуется при Я = 1. Аналогично, при г ^ г+ функция О(.,г) строго монотонно возрастает и ее минимум реализуется при Я = 0. Если г € (г-,г+), то в силу (3.8) выполняются оценки 0д(0,г) < 0, Од(1,г) > 0. В этом случае из строгой выпуклости функции О(., г) следует, что ее минимум реализуется в единственной внутренней точке интервала [0,1].

Гладкость функции Я (г) вне интервала [г-,г+] очевидна. Гладкость этой функции при г € (г-,г+) следует из теоремы о неявной функции, примененной к уравнению Од(Я,г) = 0. Из этой теоремы вытекает, что

а

ЯМ =--7-<0,

Саатъг)

Поэтому функция Я (г) строго монотонно убывает на интервале (г-,г+). Осталось доказать непрерывность функции Я (г) в точках г = г±.

Рассмотрим точку г = г+. Точка г = г- исследуется аналогично. Из монотонности и ограниченности функции Я (г), г € (г-,г+) следует существование предела Я (г) = Я+ € [0,1]. После предельного перехода по г | г+ в равенстве Од«(г),г) = 0 получаем Оg(<С+,г+) = 0. Из этого соотношения и равенства (3.8) в силу строго выпуклости функции О(.,г+) следует, что = 0. Поэтому функция Я (г) непрерывна при г = г+.»

(2) Роль силовых полей в теореме единственности. Пусть щ, Хг —состояние равновесия для функционала (1.10), (1.11) при фиксированном г € Я1 и д = 0. Из леммы следует, что при [ас] = 0 функция Я (г) = Xt(x) (х, задающая объем фазы с индексом «+», определяется однозначно, в то время как хг —любая функция из множества Z с фиксированным объемом (3(г), а функция щ восстанавливается согласно (2.8). Поэтому при г € (г-,г+) у этого функционала существует бесконечно много различных состояний равновесия.

Если двухфазовая среда подвергается силовому воздействию, удовлетворяющему (1.12), то при а+ = а- доказанная теорема гарантирует единственность состояния равновесия.

(3) Температуры фазовых переходов. Числа г± естественно назвать температурами фазовых переходов. Если г- < г+, то при г ^ г- существует лишь однофазовое состояние равновесия с фазой с индексом «+», при г ^ г+ —однофазовое состояние равновесия с фазой с индексом «-», а в промежутке (г-,г+) существуют только двухфазовые состояния равновесия, причем при увеличении г на этом интервале фаза с индексом «+» монотонно замещается фазой с индексом «-».

При наличии силовых полей или в многомерном случае удается лишь доказать существование температур фазовых переход и дать для них двусторонние оценки [6, 7].

Summary

V. G. Osmolovskii. Existence of equilibrium states in the one-dimensional problem on phase transitions.

The theorem of existence of the variational problem solution for a non-convex functional describing two-phase elastic medium strain energy in the one-dimensional case is proved.

Литература

1. Гринфельд М. А. Методы механики сплошных сред в теории фазовых превращений. М., 1990. 312 с.

2. Буттацо Д., Джаквинта М., Гильдебрандт С. Одномерные вариацинные задачи. Новосибирск, 1998. 246 с. (Buttazzo G., Giaquinta M., Hildebrandt S. One-dimensional Variational Problems. An Introdaction.)

3. Dacarogna B. Direct methods in the calculus of variations. Berlin. 1989. 308 p.

4. Осмоловский В. Г. Вариационная задача о фазовых переходах в механике сплошной среды. СПб., 2000. 261 с.

5. Осмоловский В. Г. Точные решения вариационной задачи фазовых переходов механики сплошной среды // Проблемы мат. анализа. Вып. 27. 2004. С. 171-206.

6. Осмоловский В. Г. Зависимость состояний равновесия двухфазовой упругой среды от температуры при нулевом коэффициенте поверхностного натяжения // Проблемы мат. анализа. Вып. 28. 2004. С. 98-114.

7. Осмоловский В. Г. Существование температур фазовых переходов для неоднородной анизотропной двухфазовой упругой среды // Проблемы мат. анализа. Вып. 31. 2005. С. 59-66.

Статья поступила в редакцию 10 апреля 2006 г.