CC BY
64
УДК 532.783; 548-14
В.А. Еремеев Ростовский государственный университет
ФАЗОВЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ В СИЛЬНО ДЕФОРМИРОВАННЫХ НЕМАТИЧЕСКИХ ЖИДКИХ КРИСТАЛЛАХ
Abstract
From the continuum mechanic point of view the equilibrium of nematics with phase transitions of nematic phase - isotropic liquid type is investigated. The phase transitions in nematics are considered which are the result of strongly deformations of director field. The proposed model is analogous to the models of stress-induced martensate phase transformations in solids. The variational statement of the problem is given. The boundary conditions on the phase interface are obtained by using variational methods. Some types of director field orientation on the phase surface are discussed. As an example, the phase transition near disclination axis in nematic is investigated.
Жидкие кристаллы с момента их открытия привлекали большое внимание физиков и механиков. В значительной степени этот интерес вызван также и широкими техническими приложениями жидких кристаллов. Гидростатике и гидродинамике жидких кристаллов посвящено огромное число публикаций, отметим здесь только работы [1-8]. Существенной особенностью жидких кристаллов является наличие в них широкого спектра фазовых превращений. Основными управляющими параметрами, определяющими фазовый переход, служат температура для термотропных жидких кристаллов и концентрация - для лиотропных. Вместе с тем для жидких кристаллов существенно наличие неоднородного напряженно-деформированного состояния, отличного от гидростатического. Сильные деформации жидких кристаллов могут вызываться внешними причинами (электрическими и магнитными полями, действием механических напряжений, приложенных к границам тела). Сильные искажения наблюдаются в окрестности дефектов, резких изменений границ, даже при отсутствии внешних воздействий. Локально сильно неоднородное напряженно-деформированное состояние в жидких кристаллах может приводить к фазовым переходам в областях, где упругая энергия жидкого кристалла велика, даже в условиях однородного поля температуры или концентрации. В частности, возможность фазового перехода нематической фазы в изотропную жидкость в ядре дисклинации отмечалась в [8]. Следует отметить, что для нематика наличие дисклинаций весьма характерно, этот факт и обусловил их название [2]. Вызванный действием напряжений механизм перехода аналогичен фазовым превращениям мартенситного типа [9], наблюдаемых во многих материалах, например, в сплавах с памятью формы. Для описания таких превращений в рамках механики твердого тела широко используются вариационные методы [10-16]. При этом условия на границе раздела фаз получаются как естественные краевые условия из вариационного принципа стационарности свободной
энергии в изотермическом процессе (или внутренней энергии в адиабатическом процессе) на кинематически допустимых полях перемещений при условии независимого варьирования поля перемещений и положения фазовой границы.
В статье рассмотрена модель фазовых превращений в наиболее исследованных с точки зрения континуальной механики нематических жидких кристаллах. Следуя [16], дана вариационная постановка задачи о равновесии жидкого кристалла, испытывающего фазовый переход. Вариационным методом получены краевые условия на фазовой границе. В качестве примера рассмотрена задача о фазовом переходе в окрестности ядра дисклинации.
Уравнения состояния нематиков [1-8]
В рамках континуального подхода деформация нематического жидкого кристалла (нематика) описывается радиус-вектором частиц R, который описывает положение центров масс молекул нематика, и единичным вектором - директором D. Директор характеризует преимущественное направление главной оси вытянутых молекул нематика.
Плотность свободной энергии нематика представим в виде у/ = ys{p,0>D,Gra&D). Здесь Grad - оператор градиента в эйлеровых координатах, р -плотность, 0 - температура. Для жидких кристаллов энергия зависит от R только посредством плотности. В дальнейшем поле температуры будем считать однородным и постоянным, а нематик - несжимаемым. Таким образом, зависимость для у/ принимает вид
y/^4/{D,Gr&AD). (1)
Заметим, что общая форма уравнения состояния (1) включает в себя также и холестерики - жидкие кристаллы, обладающие в ненапряженном состоянии закрученной структурой.
Вариационный принцип и условия термодинамического равновесия
Предположим, что нематик, занимающий область V, состоит из двух фаз, разделенных достаточно гладкой поверхностью Г. Для определенности величины, относящиеся к фазам нематика, будем обозначать индексами ,,+1’ и м-и. Условия равновесия нематика могут быть получены как следствие принципа стационарности функционала свободной энергии
5Е = 0, E=jp\\fdV, (2)
V
в котором независимо варьируются поле директора D и положение границы раздела фаз Г. Как и в случае двухфазных нелинейно-упругих тел, особенностью функционала (2) является наличие разрывных в окрестности Г решений. Для вычисления SE воспользуемся формулой дифференцирования интегралов по областям, содержащим поверхности разрыва [17]. Имеет место формула
ЗЕ = JpSy/dV - j(pwipt - N • Ж)£dT. (3)
V г
В (3) Сг- виртуальная скорость движения поверхности в направлении нормали, квадратными скобками обозначен скачок соответствующей величины при пересечении поверхности разрыва: [(■)]* = (-)+ - (•)_, вектор нормали iV направлен внутрь фазы
Без ограничения общности далее будем считать, что вариации 50 исчезают на внешней поверхности тела. Требования несжимаемости и единичности директора накладывают следующие ограничения на вариации 5Я и 80:
80 0 = 0,
где Вж - оператор дивергенции.
С учетом этих ограничений и формулы Гаусса - Остроградского, вариационное уравнение (2) можно преобразовать к виду
8Е = К- уТ)• М - (ОгеМ) 80 4 р№ IЖ -
^ . (4)
- д/у • т • <яг]! + [уу ■ м ■ т]+_ + Соу/(сг - N ■ <ж)£ }/г = о,
где
Т = -pi - М • (Gradi))7, М = р
ду/
Э Grad D
тензоры напряжений и моментных напряжений типа Коши, р - давление, I-единичный тензор.
Из (4) следуют уравнения в объеме каждой из фаз
DivT± = 0, (5)
DivM+ - р xD = 0. (б)
до )
Нетрудно видеть, что система уравнений (5), (6) распадается. Директор О подлежит определению из уравнения (6). Соотношение (5) может быть всегда удовлетворено за счет выбора давления р с точностью до постоянной интегрирования по полю директора О [5].
Для преобразования поверхностного интеграла в (4) и получения условий баланса на фазовой границе, используем формулу [17], выражающую баланс массы на фазовой границе
Cr[pl = [pSRl-N. (7)
Введем вариацию директора Z), учитывающую изменение директора при варьировании фазовой границы,
8TD± =8D±+(CT-N-8R)N - Grad О (8)
Вариации директора 8гО± могут быть связаны различными соотношениями, вытекающими из физико-химических условий сцепления на межфазной поверхности.
Рассмотрим случай, когда директор - непрерывная функция в окрестности Г, причем не зависящая от Г. Другими словами, поля директора в каждой фазе оказывают взаимное ориентирующее воздействие друг на друга. Тогда 8гО_ = STD+ и можно показать, что из (4) следуют уравнения баланса на Г
дЧт]!, = °. лЧмх/>]1 =о, (9)
N ■ belt = 0, где х+ = х±1. Z+ “ ¥± + Pt • (10)
р±
Уравнения (9) представляют собой условия баланса сил и моментов на фазовой границе. Соотношение (10) является условием термодинамического равновесия фаз
материала, необходимым для определения положения фазовой границы. Шаровой тензор х является тензором энергии-импульса для нематика.
В противоположном только что рассмотренному случае поле директора в одной из фаз не оказывает никакого ориентирующего влияния на другую фазу. Тогда вариации ЗгО+ независимы и второе уравнение в (9) следует заменить на соотношения
N -М±хВ+ = 0,
Остальные условия баланса из соотношений (9), (10) в этом случае сохраняют свою форму.
Полученные выше условия фазового равновесия не исчерпывают всех возможных случаев, поскольку не учитывают ориентирующего влияния межфазной поверхности. Вместе с тем хорошо известно, что поверхность контакта оказывает существенное воздействие на ориентацию поля директора в некотором приграничном слое. Эти эффекты широко используются в различных приборах и устройствах [6]. Математической моделью таких пограничных эффектов, как правило, служит уравнение, задающее направление директора на поверхности в зависимости от вектора нормали к ней. При этом рассматриваются случаи сильного и легкого ориентирования поля директора. В первом случае поле директора определяется однозначно, например, совпадает с нормалью к поверхности, во втором - задается угол между нормалью и директором. Краевые условия, учитывающие ориентирующее влияние поверхности, могут быть также получены путем рассмотрения поверхностной энергии, зависящей от нормали к поверхности и направления директора. Все это приводит к разнообразию математических постановок краевых условий для директора на границе раздела фаз.
Далее, ограничимся получением краевых условий на фазовой поверхности в случае сильного сцепления, когда директор О параллелен вектору нормали N . Это пример своего рода "следящих" краевых условий для директора. Тогда имеем
Здесь V - поверхностный оператор градиента. Преобразуя вариационное уравнение (2) с учетом последней формулы и используя формулу Стокса на поверхности, можно получить краевые условия на границе раздела фаз
N■ [т]! = -&>лг, ®=[у-(лг-м-(1-л'л0)]!, (П)
0±=м, [/!>().
Силовое краевое условие (11) имеет точно такой же вид, какой получается в случае задания на границе раздела фаз поверхностной энергии с постоянным коэффициентом поверхностного натяжения со. Таким образом, случай сильного сцепления В - N эквивалентен заданию более сложного выражения для поверхностной энергии, зависящего от моментных напряжений на фазовой границе. Заметим, что термодинамическое соотношение не изменилось.
Аналогично можно рассмотреть и другие варианты краевых условий.
Фазовый переход в окрестности радиальной дисклннации в нематике
В качестве примера рассмотрим фазовое превращение в окрестности ядра дисклинации в предположении, что ядро заполнено несжимаемой изотропной жидкостью. Радиус ядра может быть определен из условий фазового равновесия.
Рассмотрим цилиндрическую область радиуса , занятую нематиком и содержащую прямолинейную дисклинацию. Введем цилиндрическую систему
координат /?,Ф,2 с осью Z вдоль оси дисклинации. Предположим, что вдоль оси дефекта нематик претерпевает фазовый переход, и новая фаза представляет собой изотропную несжимаемую жидкость с плотностью р_ и плотностью свободной энергии цг_ . Для нематической фазы примем энергию в стандартной форме [1-8]
2р+у/, А',(Г)гу/))2 +А:2(2>-КоШ)2 +АГ2|/)хЯоГ/)|2,
где К] )К2,К3 - постоянные Франка.
Из симметрии задачи следует, что область новой фазы также представляет собой круговой цилиндр с неизвестным радиусом а .
Будем считать, что на границе нематической фазы поле директора ориентировано по нормали к границе. Тогда решение для директора определяется формулой
(12)
где ел > а также еф, ег - координатные орты. Решение (12) описывает так называемую радиальную дисклинацию [4].
Проведя необходимые выкладки, из условия термодинамического равновесия можно определить радиус фазового включения
I К і /л
а= !---. (13)
\lP-V-
Другое решение задачи о дисклинации получается в случае других краевых
условий на фазовой границе (поле директора лежит в касательной плоскости к
границам). Здесь решение определяется формулой
В=еф (14)
(циркулярная дисклинация [4]).
Для решения (14) формула для радиуса фазового включения имеет вид
а — £&■ ■ (15)
1Р-У-
Если учесть поверхностную энергию фазовой границы, то формулы (13), (15) принимают вид
а = ,\—1-- +
ґ \2
......., / = 1,3, (16)
Р-¥-
Р-¥-
где о - постоянный коэффициент поверхностного натяжения.
Формулы (13), (15) или (16) могут быть использованы для определения материальных постоянных нематиков в окрестности фазового перехода по наблюдениям толщины ядра дисклинации.
Работа выполнена при финансовой поддержке КЦФЕ при СПбГУ (Е00-4.0-185).
Библиографический список
1. Аэро Э.Л., Булыгин А.Н. Гидродинамика жидких кристаллов// Итоги науки и техники. Гидромеханика. Т.7. - М.: ВИНИТИ, 1973. - С. 106-213.
2. Жен де П. Физика жидких кристаллов. - М.: Мир, 1977. - 416 с.
3. Кац Е.И,, Лебедев В.В. Динамика жидких кристаллов. - М.: Наука, 1988. - 144 с.
4. Ландау Л.Д., Лифшиц E.ML Теория упругости, - М.: Наука, 1987. - 248 с.
5. Сонин А.С. Введение в физику жидких кристаллов, - М.: Наука, 1983. - 320 с.
6. Томилин М.Г. Взаимодействие жидких кристаллов с поверхностью. - СПб:
Политехника, 2001. - 325 с.
7. Чандасекар С. Жидкие кристаллы. - М.: Мир, 1980. - 344 с.
8. Эриксен Дж. Исследования по механике сплошных сред: Сб. статей. - М.: Мир,
1977.-246 с.
9. Бойко B.C., Гарбер Р.И., Косевич А.М. Обратимая пластичность кристаллов. - М.: Наука, 1991. -280 с.
10. Гринфельд М.А. Методы механики сплошных сред в теории фазовых превращений. - М.: Наука, 1990.-312 с.
11. Gurtin М.Е. Two-phase deformation of elastic solids // Arch. Rat. Mech. Anal. - 1983. -Vol. 84.-N. l.-P. 1-29.
12. James R.D. Finite deformation by mechanical twinning II Arch. Rat. Mech. Anal. -1981. - Vol. 77. - N. 2. - P. 143-177.
13. Морозов Н.Ф., Фрейдин А.Б. Зоны фазовых переходов и фазовые превращения упругих тел при различных видах напряженного состояния // Тр. матем. ин-та им. В.А. Стеклова. - 1998. - Т. 223. - С. 220-232.
14. Осмоловский В.Г. Вариационная задача о фазовых переходах в механике сплошной среды. СПб.: Изд.-во Санкт-Петербург, ун-та, 2000. - 262 с.
15. Фрейдин А.Б. Приближение малых деформаций в теории фазовых превращений при деформировании упругих тел //Прочность и разрушение материалов и конструкций: Межвуз. сб. Под ред. Н.Ф. Морозова. Исследования по упругости и пластичности. - 1999. - Вып. 18. - С. 266-290.
16. Еремеев В.А., Зубов Л.М. Условия фазового равновесия в нелинейно-упругих средах с микроструктурой //Доклады РАН. - 1992. - Т.322. - № 6. - С.1052-1056.
17. Седов Л.И. Механика сплошной среды: В 2 т. - Т. 1. - М.: Наука, 1983. - 528 с.
Получено 06.08.2002
