CC BY
2
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 25. Выпуск 3.
УДК 512.554 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-3-118-142
Точные обёртывающие кольца нильтреугольного кольца типа
g2 и их автоморфизмы1
А. В. Казакова
Казакова Алёна Викторовна — Сибирский федеральный университет (г. Красноярск). e-mail: [email protected]
Аннотация
Строение алгебры Шевалле над полем или кольцом К, ассоциированной с неразложимой системой корней Ф, существенно зависит от ее нильтреугольной подалгебры ). Для МФ(К) оказалось естественным использовать введенную в 2018 году точную обёртывающую алгебру Д, имеющую один с NФ(К) базис. Известно, что изоморфность колец Ли NФ(К) те зависит от выбора знаков структурных констант Nr,s. Однако, для точных обёртывающих колец R это свойство нарушается. Поэтому вопрос описания их автоморфизмов был расширен до нахождения всех неизоморфных точных обёртывающих колец ЫФ(К) типа G^ над К, и только затем нахождения явного описания их автоморфизмов. Для классических типов найдено описание автоморфизмов колец R над любым ассоциативно-коммутативным кольцом К с единицей [13]. В статье перечислены все неизоморфные точные обёртывающие кольца NФ(К) типа Gi над произвольным ассоциативно-коммутативным кольцом К с единицей. Также найдено явное описание их автоморфизмов.
Ключевые слова: алгебра Ли, алгебра Шевалле, точная обёртывающая алгебра, ниль-треугольная подалгебра, стандартный автоморфизм, верхний центральный ряд, гиперцентральный автоморфизм.
Библиография: 16 названий. Для цитирования:
Казакова, А. В. Точные обёртывающие кольца нильтреугольного кольца типа G2 и их автоморфизмы // Чебышевский сборник, 2024, т. 25, вып. 3, с. 118-142.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 25. N0. 3.
UDC 512.554 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-3-118-142
The faithful enveloping rings of the nil-triangular ring of type G2
and their automorphisms
A. V. Kazakova
Kazakova Alyona Viktorovna — Siberian Federal University (Krasnoyarsk). e-mail: [email protected]
1 Работа поддержана Красноярским математическим центром, финансируемым Минобрнауки РФ (Соглашение 075-02-2024-1429).
Abstract
The structure of the Chevalley algebra over a field or ring K, associated with an indecomposable root system Ф, essentially depends on its nil-triangular subalgebra МФ(К). It turned out to be natural for NФ(К) to use the faithful enveloping algebra R, introduced in 2018, which has the same basis as NФ(К). It is known that the isomorphism of the Lie rings NФ(К) does not depend on the choice of signs of the structure constants Nr,s. However, for faithful enveloping rings R this property is violated. Therefore, the question of describing their automorphisms was extended to finding all non-isomorphic faithful enveloping rings NФ(К) of type G2 over K, and only then finding an explicit description of their automorphisms.
Keywords: Lie algebra, Chevalley algebra, faithful enveloping algebra, nil-triangular subalgebra, standard automorphism, upper central series, hypercentral automorphism.
Bibliography: 16 titles. For citation:
Kazakova, A. V. 2024, "The faithful enveloping rings of the nil-triangular ring of type G2 and their automorphisms" , Chebyshevskii sbornik, vol. 25, no. 3, pp. 118-142.
1. Введение
Ассоциативное кольцо R всегда превращается в кольцо Ли д(-), если определим новое умножение х * у = ху — ух, сохраняя сложение. Кольцо Д(-) будем сопоставлять произвольному (не обязательно ассоциативному) кольцу R. Алгебра R называется тонной обёртывающей алгебры Ли L, если д(-) и L изоморфны, т.е. их можно построить на одном линейном пространстве. Близкое понятие Ли-допустимой алгебры связывал с алгебрами Ли А. Альберт [1], см. также [2], [3]
Алгебру Шевалле над полем или ассоциативно-коммутативым кольцом К характеризуют системой корней Ф и базисом Шевалле, который составляют подходящий базис подалгебры Картана и вектора er, г £ Ф. Подалгебру с базизом {er | г £ Ф+} для системы Ф+ положительных корней как и в [4] обозначим через NФ(К) и назовём нильтреувольной.
Автоморфизмы алгебры Ли NФ(К) при ограничениях К = 2К = 3К на кольцо К описаны в 2007 году в [5]. Известно, что автоморфизмы алгебры NФ(К) являются и автоморфизмами множества NФ(К), рассматриваемого как кольцо. При переходе от алгебр к кольцам Ли группа автоморфизмов расширяется, поскольку в кольце не обязано сохраняться умножение на скаляр. Добавляются кольцевые автоморфизмы, индуцированные автоморфизмами основного кольца.
Впервые вопрос описания автоморфизмов колец Ли NФ(К) был решён в В.М. Левчуком [4] в 1983 году для типа Ап взаимосвязано с описанием группы автоморфизмов унитреугольной группы U над любым ассоциативно-коммутативным кольцом К с единицей. Автоморфизмы кольца Ли NФ(К) выявлены в [6] также для типа D4 над коммутативным кольцом К с единицей. В работах [7], [8] и [9] их описание редуцировано к исключительным типам G2 и F4. Автоморфизмы кольца Ли N Ф(К) таи a G2, когда К есть область целостности и К = 2К = 3К или 3К = 0 были получены в [10] и, когда К - толе и 2К = 0 - в [11]. Помимо стандартных автоморфизмов появляются исключительные автоморфизмы. В [12] и [5] появляется только один тип исключительных автоморфизмов. Оказывается, когда Апп2 = 0 появляются разнообразные исключительные автоморфизмы, что потребовало в [6] ввести для их систематизации обобщение центральных автоморфизмов - гиперцентральные автоморфизмы.
Автоморфизм группы или кольца Ли L, единичный по модулю т-то гиперцентра и неединичный по модулю (т — 1)-го гиперцентра, называют гиперцентральным высоты т (кратко, гиперцентральным, когда L те совпадает с т-м гиперцентром).
Основные операции кольца д(-) являются производными от операций в Я. Поэтому известно [13, лемма 2], что автоморфизмы любого кольца Я образуют подгруппу в группе автоморфизмов Аьй Я(-\ Отсюда естесственно возник вопрос описания автоморфизмов точных обёртывающих колец Д. Известно, что изоморфность колец Ли NФ(К) не зависит от выбора знаков структурных констант Мг,з. Однако, для точных обёртывающих алгебр Я это свойство нарушается. Поэтому вопрос описания их автоморфизмов расширяется до нахождения всех неизоморфных точных обёртывающих колец N Ф(К) тип а С2 над К, и только затем нахождения явного описания их автоморфизмов.
Для классических типов описаны автоморфизмы колец Я в [13] над любым ассоциативно-коммутативным кольцом К с единицей. Знаки структурных констант там зафиксированы в соответствии с [14, предложение 4.2.2]. Неклассические типы остаются неисследованными. В данной статье получено описание автоморфизмов всех неизоморфных точных обёртывающих колец Я типа С2 над К.
2. Стандартные и гиперцентральные автоморфизмы. Точные обёртывающие кольца
Для описания автоморфизмов колец нам потребуются определённые характеристические идеалы. Аннулятором множества М в произвольном кольце Я называем множество
Аппи(М) = [а е Я | Ма = аМ = 0}.
В произвольном кольце Ли Я = (Я, +, *), аналогично группам, вводят гиперцентральный или верхний центральный ряд
0 = ^о С С ... С ^ С С .. ., := [д е Я | д * Я С гг} (г > 0),
и нижний центральный ряд
Я = Г1 5 Г2 5 ... 5 гп 5 ..., Гп+1 :=Гп * Я (п > 1).
Пусть Ф+ - множество положительных корней системы Ф, а П = [п,..., г{} - её фундаментальная система простых корней из Ф. Для любого г е Ф через М(г) обозначим высоту корня г. По определению при г = а1г1 + ...аггг полагаем М(г) = а1 + ...аг. Согласно теореме о базисе алгебры Шевалле [14, теорема 4.2.1], для произвольных корней г, в е Ф+ имеем ег * ез = 0 при
г + веФи
ег * е3 = Мг,3ег+8, М3,г = -Мг,3 (г + 8 е Ф), (1)
где структурные константы Кг,з = ±1 ±2 или ±3, причём равенство Мг,з = ±3 возможно только для для Ф тип а С2-
В [14] выделяются специальные пары положительных корней (г, в) с сумм ой г + в е Ф+, а среди них - экстраспециальные пары. Известно, что знаки структурных констант Кг,з можно выбирать произвольно, только когда пара г, 8 экстраспециальная. Для специальных пар, не являющихся экстраспециальными, знаки вычисляются по формулам из [14].
Лемма 1. [13] Точной обёртывающей алгебры Ли NФ(К) является К- алгебра Я с базисом [ег | г е Ф+} и умножением: егез = 0 щи г + в е Ф о, если г, в, г + в е Ф+ и Ыг,з > 1,
7710 & з — и & з —
Известно, что изоморфность алгебр NФ(К) не зависит от выбора знаков структурных констант Кг,3. Однако, для точных обёртывающих алгебр К это свойство нарушается.
В алгебре Шевалле типа Ф над К подалгебра NФ(К) характеристична относительно каждого корневого автоморфизма хг(£) (г € Ф^ € К), [14, §4.3]. Его ограничение даёт автоморфизм подалгебры NФ(К)
Все корневые автоморфизмы хг (Ь) порождают подгруппу .] внутренних автоморфизмов алгебры Ли NФ(К). Известно, что она изоморфна фактор-группе унипотентной группы и = иФ(К) по центру.
Диагональный автоморфизм к(х) : ег —^ х(г)ег (г € Ф+) алгебры Ли NФ(К) сопоставляют любому ^-характеру % решётки корней, то есть гомоморфизм у подгруппы (Ф)+ аддитивной группы V + в мультипликативную группу К * обратимых элементов кольца К [14, §7.1]. Хорошо известно, что % определяется однозначно значениями на простых корнях.
Кольцевые автоморфизмы кольца Ли NФ(К) выделяем по аналогии с [14]. Произведения внутренних, диагональных, кольцевых и центральных автоморфизмов называют стандартными.
В [14] введен стандартный центральный ряд алгебры Ли NФ(К), где
По определению, степень Кт аддитивно порождают все произведения элементов из К конечной длины > тс любыми расстановками скобок.
Известно, что характеристичность Ьт в кольце Ли NФ(К) может нарушаться, когда в кольце К элемент 2 или (тип 3 необратим [13]. Однако, для точных обёртывающих колец К типа С2 верна [13]
Лемма 2. Идеалы, Ьт в кольце Я характеристичны и Ьт = Кт.
Описание верхних и нижних центральных рядов для колец NФ(К) над произвольным ассоциативно-коммутативным кольцом К с единицей завершено в [8], [9] для классических типов, в [10] для типа и для см. [15].
В статье перечислены автоморфизмы неизоморфных точных обёртывающих колец К типа
Пуст ь а, Ь простые корни для Ф тип а корен ь а — коротки й и |а| < |Ь|. Тогда
3. Изоморфизм точных обёртывающих колец Я
Далее установим критерии изоморфизма точных обёртывающих колец К колец Ли NФ(К) над произвольным ассоциативно-коммутативным кольцом К с единицей. Далее нам потребуются следующие две леммы, первая из которых очевидна.
Мг,3,о := 1, МГу3,г := (1/И)Мг,3Мг,г+3 ... Мф-1)г+3.
Ьг э Ь2 Э ... Э Ьн-1 Э Ьн = 0,
и := (Кег | г € Ф+, М(г) > г) (1 < г < к - 1).
Ф+ = {а, Ь,а + Ь, 2а + Ь, 3а + Ь, 3а + 2Ь}.
Лемма 3. В кольце с 1 для любого х € К из равенства хК = К следует, обратим,ость в К элемента х.
Лемма 4. Пусть R\, R2 - произвольные изоморфные кольца, ф - изоморфизм из R\ в R2: (p(Ri) = R2, Ni С Ri, Mi С Ri (i = 1 или 2), ф(И{) = N2, ф(М{) = М2. Тогда под действием ф сохраняются идеалы:
CrmodN(м) '■= (l е R I aj = OmodN, а е М}, ClmodN(М) := (7 е R I 7а = OmodN, а е М}, Annr (М), Апп1(М).
Доказательство. Пусть х е C7modNi(Mi) - правому центрадизатору множества Mi по модулю множества N\. Тогдa ф(0modNl) = ф(Мг ■ х) = М2 ■ ф(х) С N2, следовательно, ф(х) е cmodN2 (м2), откуда ф(Сl1modN1 (Mi)) С C^odN2 (М2) • Так как ф - изоморфизм, то <^(^1m0dNi (Mi)) = cmodN2 (M2). Аналогичное доказательство для левого централизатора кольца R1.
Пусть х е AnnrNl (Mi), тогд а 0 = ф(0) = ф(Мг ■ х) = М2 ■ ф(х), откуда ф(х) е AnnrN2 (М2). Так как ф - изоморфизм, то ф(Апп\(Mi)) = Аппгщ(М2). Аналогичное доказательство для левого аннулятора кольца Ri. □
Теорема 1. Если char К = 3, то два точных обёртывают,их кольца, Ri и R2 изоморфны тогда и только тогда, когда Na,b(Ri) = Na,b(R2), Na,2a+b(Ri) = Na,2a+b(R2), Nb,3a+b(Ri) = Nbt3a+b(R2). А при char К = 3 необходимо и достаточно выполнения, условий:
Na,b(Ri) = Na,b(R2), Nb,3a+b(Ri) = Nb,3a+b(R2).
Доказательство. Пусть ф - произвольный изоморфизм точных обёртывающих колец Ri и R2- Рассмотрим действие ф при различном выборе знаков структурных констант Nr,s.
I. Na,b(Ri) = 1, Na,b(R2) = -1.
1) Nb,3a+b(Ri) = Nb,3a+b(R2) = -1, но Na,a+b(Ri), Na,2a+b(Ri) выбираются произвольно для любых i = 1, 2. Найдём левые аннуляторы колец Ri ж R2:
Ann1 Ri = Keb + Кеза+2Ь, Ann1 R2 = Ke3a+2b.
Из того, что идеалы AnnlRi (i = 1,2) и AnnR = Кеза+2Ь сохраняются под действием произвольного изоморфизма ф и выполняются равенства
ф(Кеь + Ке3а+2ь) = ф(Апп1 Ri) = AnnlR2 = Ке3а+2ь = ф(АппК) = ф(Ке3а+2ь),
следует, что ф - не изоморфизм.
2) Nb,3a+b(Ri) = Nb,3a+b(R2) = 1, но Na,a+b(Ri), Na,2a+b(Ri) выбираются произвольно для любых г = 1, 2. Найдём правые аннуляторы колец Ri m R2:
AnnrRi = A2tKe2a+b + Ke3a+2b, AnnrR2 = Keb + Ke3a+2b,
где t = 1 при Na,2a+b(Ri) = — 3 и г = 1, 2, в остальных случаях t = 0. Из того, что идеалы L3, AnnrRi (г = 1, 2) сохраняются под действием произвольного изоморфизма ф и выполняются равенства
Кеь + Ке3а+2ь = AnnrR2 = ф(АппгRi) = ф(А2гКе2а+ь + Ке3а+2ь) С ф(Ь3) = L3,
но Кеь + Ке3а+2ь ^ L3. Отсюда следует, что ф - не изоморфизм.
3) Nb,3a+b(Ri) = 1, Nb,3a+b(R2) = 1, но Na,a+b(Ri), Na,2a+b(Ri) выбираются произвольно для любых i = 1, 2. Определим правые степени колец Rk := ((Rk-i * R)}(k > 1). Очевидно, что ф сохраняет степени колец Ri ж R2- Найдём Л5 и R
R\ = 0, R22 = mKe3a+2b,
где т = — 2 при Na2a+b(R2) = 3 и в остальных случаях т = 1. При т = 1, очевидно, что ф _ не изоморфизм. Рассмотрим случай, когда т = — 2. Из равенства 2К = 0 следует, что charK = 2. Вычистим правые аннуляторы идеала L2 для каждого из Ri
AnnRi(L2) = KebmodL2, AnnR2(L2) = A2Kea+b + Ке3а+2ь.
Учитывая, что идеалы L2, Annui (L2) сохраняются под действием ф, и выполняются равенства
ф(Аппп1 (L2)) = ф(Кеь-тойЬ2) = AnnR2 (L2) С L2 = ф(Ь2),
но Keb ^ L2, следовательно, ф - не изоморфизм.
4) Nb,3a+b(Ri) = —1, Nb,3a+b(R2) = 1, но Na,a+b(Ri), Na,2a+b(Ri) выбираются произвольно для любых г = 1, 2. Найдём левые аннуляторы колец R\ и R2:
Ann1 R\ = Keb + Ke3a+2b, Ann1 R2 = L4,
Из того, что идеалы L4, AnnlRi сохраняются под действием произвольного изоморфизма ф и выполняются равенства
ф(ЬА) = L4 = Ann1 R2 = ф(Апп^г) = ф(Кеь + Ке3а+2ь),
следует, что ф - не изоморфизм. IL = Na,b(R2) = 1.
1) Nb,3a+b(R\) = Nb,3a+b(R2) = 1, но Na,a+b(Ri), Na,2a+b(Ri) выбираются произвольно для любых г = 1, 2.
Проверим действие изоморфизма ф, используя идеалы C1modL3(R\) = Кеа+L2 = C1modL3 (R2) и Ann1 (R\) = Keb + Ke3a+b = Ann1 (R2). В силу того, что ф сохраняет множества L2 и L3, то ф действует
ф(хеа) = х° eamodL2, ф(уеь) = yxebmodL4,
где а,\ £ End КСюръективность а, А, то есть выполнение равенств Ка = К = Кл, следует из того, что ф сохраняет идеалы C1modL3(R\),Annl(R\),L§ и двух серий равенств
Кеа + L2 = CrmodLs (R2) = Ф(СГто4Ь3 (Ri)) = Ф(Кеа) + L2 = Ка eamodL2,
Keb + L5 = Annl(R2) = ф(Апп1 (Ri)) = ф(Кеь) + L5 = К xebmodL5. Обратимость в К элементов 1а, 1х следует из леммы 3 и равенств
L2 = ф(Ь2) = ф(Кеа+ь + L3) = Ф(Кеа+ь) + L3 = ф(Кеа • 1eb) + L3 = ф(1еа • Keb) + L3 = Ка 1xea+bmodL3 = 1аКxea+bmodL3.
Исследуем действие эндоморфизмов а, А, проверив все соотношения изоморфизма ф. Пусть
Ф(еаеъ) = Ф(еа+ь) = 1а 1Xea+b modAnnR, Ф(еаеа+ь) = Ф(к1в2а+ь) = к21а 1а 1xe2a+bmodAnnR,
при ki = 1 при Na,a+b(Ri) = 2, ki = — 1 при Na,a+b(Ri) = —2, где г = 1 или 2. В любом из случаев
Ф(еак1е2а+ь) = Ф(Ы1 еза+ь) = k2h1a 1а 1а 1xe3a+bmodAnnR, (2)
Ф(к1в2а+ьеа) = Ф(Ы2&за+ъ) = k2l\1a 1а 1а 1xe;3a+bmodAnnR, (3)
где li = 1 при Na 2a+b(Ri) = 3, li = —2 при Na 2a+b(Ri) = —3, где г = 1 или 2. При одинаковых Na,2a+b(Ri) для каждой из Ri изоморфизм получается тривиально. Проверим действие ф для разных Na,2a+b(Ri)) то есть li = fo. Пусть li = 1, тогда I2 = — 2. Домножив на —2 в (2), получим
<f>(—2kiea&2а+ь) = ф(—2к1еза+ь) = 4к21а 1а 1а 1xe3a+bmodAnnR. (4)
Из равенства (3) и (4), обратимости элементов 1а и 1х получим, что 3 = 0, то есть charK = 3. Аналогичные вычисления проводятся для случая li = —2 ж I2 = 1 и произвольпых N2a+b(Ri)-Остальные соотношения проверяются тривиально. Откуда ф - изоморфизм тогда и только тогда, когда charK = 3.
2) Nb,3a+b(Ri) = Nb,3a+b(R2) = 1, но Na,a+b(Ri), Na,2a+b(Ri) выбираются произвольно для любых г = 1, 2. При равных Na,2a+b(Ri) изоморфизм получается тривиально. Проверим действие Ф при Na,2a+b(Ri) = 3, Na,2a+b(R2) = —3.
Проверим действие изоморфизма ф, используя идеалы C1modL3(Ri) = Кеа+L2 = C1modL3(R2), CLodAnnR(Ri) = Keb+A2Ke2a+b+¿4 и ClmodAnnR(R2) = Keb + LA. В силу того, что ф сохраняет множества L2 и L3, то ф действует
ф(хеа) = ха eamodL2, ф(уеь) = yxebmodL3,
где а,\ £ End К+. Сюръективность а, А, то есть выполнение равенств Ка = К = Кх, следует из двух серий равенств
Кеа + L2 = ClmodL3 (R2) = <t>(ClmodL3 (Ri)) = ф(Кеа + L2) = ф(Кеа) + L2 = Ка eamodL2,
KebmodL3 = ClmodAnnR(R2) = Ф^^АппК^') = ebmodL;i.
Обратимость в К элементов 1а, 1х следует из леммы 3 и равенств
L2 = ф(Ь2) = ф(Кеа+ь + L3) = ф(Кеа+ь) + L3 = ф(Кеа • 1eb) + L3 = ф(1еь • Кеа) + L3 = Ка 1xea+bmodL3 = 1аKxea+bmodL3.
Исследуем действие эндоморфизмов а, А, проверив все соотношения изоморфизма ф. Пусть
Ф(еаеь) = Ф(еа+ь) = 1а 1Хеа+ь modL4,
Ф(еаеа+ь) = Ф^^а+ь) = к21а 1а 1Хе2а+ъ modAnnR,
при ki = 1 при Na,a+b(Ri) = 2, ki = — 1 при Na,a+b(Ri) = — 2, где i = 1 или 2. В любом из случаев
Ф^ак^а+ь) = Ф^к в3а+ь) = k2h1a 111Xe-3a+b modAnnR, (5)
Ф^^а+ьеа) = Ф(Ы2 е3а+ь) = k2l\1a 1а 1а 1xe;ia+b modAnnR, (6)
где li = 1 при Na,2a+b(Ri) = 3, li = —2 при Na>2a+b(Ri) = — 3, где г = 1 или 2. Домножим на —2 в (5), получим
ф^к^а б-2а+ь) = ф—к^а+ъ) = 4к21а 1а 1а 1хв3а+ь modAnnR. (7)
Из равенства (6) и (7), обратимости элементов 1а и 1х получим, что 3 = 0, то есть charK = 3. Остальные соотношения проверяются тривиально. Откуда ф - изоморфизм тогда и только тогда, когда charK = 3.
3) Nb,3a+b(Ri) = -1, Nb,3a+b(R2) = 1, но Na,a+b(Ri), Na,2a+b(Ri) выбираются произвольно для любых г = 1, 2. Найдём левые аннуляторы колец Ri ж R2:
Ann1 Ri = Keb + Ke3a+2b, AnnlR2 = A2tKe2a+b + Ke3a+b + KeSa+2b,
где t = 1 при Na,2a+b(Ri) = — 3 и t = 0 в остальных случаях. Из того, что идеалы AnnR, Ri, и Ann1 RiW¿>и i = 1, 2 сохраняются под действием произвольного изоморфизма ф и выполяются равенства
ф(Кеа+ь + Кеза+2ь) = <¡>(Ri • (Кеь + Кеза+2ь)) = Ф^1 • AnnlRi) = R2 • Ann1 R2 = Кеза+2Ъ = AnnR = ф(АппК) = ф(Кеза+2ь),
следует, что ф - не изоморфизм. III. Na,b(Ri) = Na¿(R2) = —1.
1) Nb,3a+b(Ri) = Nb,3a+b(R2) = -1, но Na,a+b(Ri), Na,2a+b(Rí) выбираются произвольно для любых г = 1, 2. При одинаковых Na,2a+b(Rí) Для каждой из Ri изоморфизм получается тривиально. Проверим действие ф для разных Na>2a+b(Ri)■ Пусть Na,2a+b(Ri) = 3, Na,2a+b(R2) = —3.
Учитывая, что ф сохраняет идеалы L2, L3 и L4 проверим действие изоморфизма ф, используя идеалы C1modLA (Ri) := {7 е R | а7 = 0modL4 У a е Ri} = Keb + L3 = C1modLA (R2) и ClmodL3 (Ri) = + L2 = ClmodL3 (R2). Кольца Ri порождаются аддитивными подгруппами Kea и Keb, поэтому действие на них характеризует ф
ф(хеа) = ха eamodL2, ф(уеь) = yxebmodL3,
где а,\ G End К+. Сюръективность а, А, то есть выполнение равенств Ка = К = Кх, следует из того, что ф сохраняет идеалы C7modLi(Ri),ClmodL3(Ri) и ДВУХ серий равенств
Кеа + L2 = Cl0dLi (R2) = Ф(С1т odL3 (Ri)) = Ф(Ке ) + L2 = Ка eamodL2,
Keb + L3 = Crmodb4 Ш = Ф(С т odL4 (Ri)) = Ф(Кеъ) + L3 = К xebmodL3. В силу того, что ф сохраняет множества L2 и L3, то имеем
L2 = ф(Е2) = ф(Кеа+ь + L3) = ф(Кеа+ъ) + L3 = ф(Кеь • 1еа) + L3 = ф(1еь • Кеа) + L3 = Кх1аea+bmodL3 = 1хКаea+bmodL3.
Откуда и из леммы 3 следует обратимость в К элементов 1а, 1х. Исследуем действие эндоморфизмов а, А, проверив все соотношения изоморфизма ф. Пусть
Ф(еье-а) = Ф(еа+ь) = 1Л1СТ ea+b modL3, Ф(еаеа+ь) = Ф^^а+ь) = к21а 1Л1СТ e2a+bmodAnnR,
при ki = 1 при Na,a+b(Ri) = 2, ki = — 1 при Na,a+b(Ri) = —2, где г = 1 или 2. В любом из случаев
Ф^ак^а+ь) = <ß(kie3a+b) = 1* 1Л1СТ еза+bmodAnnR, (8)
Ф^^а+ъеа) = ф(—2кleзa+b) = к21а 1а 1Л1СТ e3a+bmodAnnR. (9)
ф^к^а&2а+ь) = Ф^к^за+ь) = 1а 1а 1xe3a+bmodAnnR. (10)
Из равенства (9) и (10), обратимости элементов 1а и 1х получим, что 3 = 0, то есть charK = 3. Остальные соотношения проверяются тривиально. Откуда ф - изоморфизм тогда и только тогда, когда charK = 3.
2) Nb,3a+b(Ri) = Nb,3a+b(R2) = 1, но Na,a+b(Ri), Na,2a+b(Ri) выбираются произвольно для любых i = 1, 2. При одинаковых Na,2a+b(Ri) для каждой из Ri изоморфизм получается тривиально. Проверим действие 0 для разных Na,2a+b(Ri). Пусть Nat2a+b(Ri) = 3, Na,2a+b(R2) = —3.
Проверим действие изоморфизма ф, используя идеалы ClmoAL (Ri) = Кеа+L2 = ClmodL:j (R2) и Annr(Ri) = Keb + AnnR = Annr(R2). В силу того, что ф сохраняет идеалы Clmod¿3(Ri), Ann1"(Ri),L2m AnnR, то ф действует
ф(хеа) = ха eamodL2, ф(уеь) = у xebmodAnnR,
где а,\ £ End К+. Сюръективность а, \, то есть выполнение равенств Ка = К = Кх, следует из следующих двух серий равенств
Кеа + L2 = ClmodL3 (R2) = Ф(ClmodL3 (Ri)) = Ф(Кеа) + L2 = Ка eamodL2,
Keb + AnnR = Ann1 (R2) = ф(Аппг (Ri)) = ф(Кеь) + AnnR = KxebmodAnnR. Обратимость в К элементов 1а, 1х следует из леммы 3 и равенств
L2 = ф(Ь2) = ф(Кеа+ь + L3) = ф(Кеа+ь) + L3 = ф(Кеь • 1еа) + L3 = ф(1еь • Кеа) + L3 = Кх1аea+bmodL3 = 1хКаea+bmodL3.
Исследуем действие эндоморфизмов а, \, проверив все соотношения изоморфизма ф. Пусть
Ф(еь&а) = Ф(еа+ь) = 1Х 1а еа+ь modAnnR, Ф(еаеа+ь) = Ф^^а+ь) = к21а 1Л1СТ e2a+b modAnnR,
при ki = 1 при Na,a+b(Ri) = 2, ki = — 1 при Na,a+b(Ri) = —2, где г = 1 или 2. В любом из случаев
Ф^ак^а+ь) = Ф(Ьк &3а+ь) = к2Ыа 1а 1Л1СТ&3а+ъ modAnnR, (11)
Ф^^а+ьеа) = Ф(Ы2&3а+ь) = k2h1a 11Х1° в3а+ь modAnnR, (12)
—2
Ф^к^а е2а+ь) = ф^к^а+ь) = 4к21° 1* 1х 1* e3a+b modAnnR. (13)
Из равенства (12) и (13), обратимости элементов 1а и 1х получим, что 3 = 0, то есть charK = 3. Остальные соотношения проверяются тривиально. Откуда ф - изоморфизм тогда и только тогда, когда charK = 3.
3) Nb,3a+b(Ri) = —1 Nb,3a+b(R2) = 1, но Na,a+b(Ri), Na,2a+b(Ri) выбираются произвольно для любых г = 1, 2. Найдём правые аннуляторы колец Ri ж R2:
Annr Ri = A2tKe2a+ь + Кв3а+ь + Кв3а+2ь, Annr R2 = Кеь + Кв3а+2ь,
где t = 1 при Na,2a+b = —2, t = 0 при Na,2a+b = 2. Из того, что идеалы Ann1 Ri (г = 1, 2), AnnR сохраняются под действием произвольного изоморфизма ф и выполняются равенства
Кеа+ьmodAnnR = AnnrR2 • R2 = ф(АппгRi • Ri) С L3 = ф(Ь3),
следует, что ф - не изоморфизм. □
Следствие 1. Число неизоморфных точных обёртывающих колец при char К = 3 равно 8, при chаг К = 3 равно 4.
4. Автоморфизмы точных обёртывающих колец Я типа С2
Выделим нестандартные автоморфизмы точного обёртывающего кольца К алгебры Ли N Ф(К) тип а ^2 при Ь е К следующих трёх типов.
: еа —^ е-а + 1е-а+Ъ, е-За+ь еза+ь + 1еза+2Ъ, (14)
ег —ег для усталь пых г е Ф+.
Ь^) : еа —+ Ьеза+ь, еа+ьеа+ь + 1еза+2ъ, (15)
ег —для устальных г е Ф+.
£з(£) : еа —^ е-а + Ъеа+ъ, еза+ъ еза+ъ - 2геза+2ъ, (16)
ег —ег для усталь ных г е Ф+.
Автоморфизм (14) является внутренним автоморфизмом кольца Ли ИС2(К). Автоморфизмы (15) и (16) являются гиперцентральными автоморфизмами кольца Ли ИС2(К) высоты 2 и 4 соответственно.
Исследуем автоморфизмы точных обёртывающих колец К кольца Ли N Ф(К) таи а С2-
Теорема 2. Произвольный автоморфизм тонного обёртывающего кольца, К - есть произведение стандартного автоморфизма и одного из наборов авт,ом,орфизмов соответственно:
1. вида (14), если Кеь С Апп1К или АппгК;
2. вида, (15) и вида, (16) в остальных случаях.
Доказательство. Пусть К - точное обёртывающее кольцо кольца Ли ЫС2(К) и ф е АЫК. Кольцо К порождается аддитивными подгруппами Кеа, Кеь- Поэтому действие ф на них определяет автоморфизм ф однозначно. Используя определение (1) и лемму 1, находим, что Апп К = Кеза+2ь для любого точного обёртывающего кольца.
1. Случай Иа^ь = 1, Иа^а+Ь = 3, Щ,за+Ь = 1. Ясно, что централизаторы идеалов Ь^, г = 1, 2, 3, 4, 5 характеристичны, в частности, централизатор С(Ь4) = Кеа + Ь2. По лемме 4 идеал Кеь + Ьз = С1тоЛь4(&) тоже является характеристичным. Учитывая характеристичность этих идеалов и Ь^, г = 1, 2, 3, 4, 5, получаем
(хеа)ф = ха еато(1Ь2, (уеь)ф = ухеьто(Ьз,
для подходящих эндоморфизмов а, А аддитивной группы К+ кольца К (пользуемся тем, что ф сохраняет сложение в К).
Сюръективность а, А, то есть выполнение равенств Ка = К = Кследует из характеристичности идеалов С (К4), С1тоАЬ4 (К),Ь2,Ьз и двух серий равенств
Кеа + Ь2 = С (Ь4) = (С (ЬА))Ф = (Кеа )ф + (Ь2)ф = еашо(Ь2, Кеь + Ьз = С1тоАи (К) = (С1то&ы тФ = (Кеь)ф + (Ьз)ф = Кх еьшо(Ьз.
Докажем инъективность а. Пусть х,у Е К и х = у, тогда
(хеа)^ = ха eamodL2,
(уеа)ф = Уа eamodL2.
Предположим, что Xa = ya = с, тогда
(хеа)ф = cea + Vi, Vi Е L2,
(уеа)ф = cea + Y2, Y2 Е L2. Пусть Yi — Y2 = Y Е L2 и A = cea + Yi, В = cea + Y2, откуда
1) (A — В)ф 1 = Аф-1 — Вф-1 = (х — у)еа.
2) (А — В)ф-1 = Уф-1 Е L2.
Учитывая характеристичность L2 и 1), из 2) получаем, что Уф 1 = 0, откуда х = у. Инъективность а доказана. Аналогичное доказательство для Л Е End К Отсюда вытекает включение а,\ Е Aut К +.
По модулю справедливы две серии равенств
Kea+b = (Kea+b)ф = (Keat * еф = Ka ■ 1xea+b,
Kea+ь = (Kea+b)ф = еф * (Кеь)ф = 1a ■ Kxea+b,
откуда Кa ■ 1х = К и 1a ■ Кх = К. Обратимость в К элементов 1a и 1х следует из того, что Ka = К, Кх = К, соотношений, указанных выше, а также леммы 3.
Умножая ф на диагональный автоморфизм, мы получим 1a = 1х = 1 Далее, ф-инвариантность основных соотношений кольца R даёт
(xea * еъ)ф = (xea)ф * еф = Xa ■ 1хea+ьmodL3,
(xea * еь)ф = ефа * (хеъ)ф = 1a ■ x^a+ьmodLs, (х Е К).
Поэтому хх = Xa для любого х Е К, то есть Л = а. Кроме того, для любых х,у Е К, а Е Aut R, в силу равенств (по модулю L3)
ха ■ yaea+ь = (xaea) * (yaeb) = (xea)ф * (уеь)ф = (xyea * еь)ф = (xy)aea+ь.
Умножая ф, если необходимо, на кольцевой автоморфизм a-i, получим а = 1, откуда
(хег)ф = xermodQ(r) (г Е Ф+),
где Q(r) := YI Kes. Считаем, что s > г, если коэффициенты разложения s — г по базе П(Ф+)
s>r
положительны. Кроме того,
(xea)ф = xea + Xa'ea+b + Xa"e2a+b + Xa"'esa+bmodAnn R,
(хеь)ф = xeb + Xх' e2a+b + xx"esa+ьmodAnn R,
для некоторых а', а", а"', X', X" е End К +. Проверим действие этих эндоморфизмов
0 = 0ф = (хеа * еа)ф = (hx1a' + hxa')e2a+b + (х1а" — 2ха" )e3a+bmodAnnR, (17)
где li = —12ш li = 1 при Na,a+b = 2 или li = — 1 при Na+b,a = —2- Отсюда ха' = х1а'.
(хеа+ь)ф = (хеа * еь)ф = хеа+ь + х1х'e3a+bmodAnn R,
(хеа+ь)ф = (еа * хеь)ф = хеа+ь + ху e3a+bmodAnn R, (18)
откуда х1х' = хх'.
(12Хв2а+ь)ф = (хеа+ь * еа)ф = 12Хв2а+Ь + х1а" в3а+2Ъ,
(12Хв2а+ь)ф = (еа+Ь * хеа)ф = I2Хв2а+Ь + Ха"в3а+2Ъ, (19)
аналогично предыдущим случаям х1а = ха .
0 = 0ф = (еь * хеь)ф = хх"е3а+2Ь, (20)
откуда хх" = 0 то есть X" = 0 для всех х е К. Из (17)-(20) следует, что а', а", X' е End К+ действуют как умножения на скаляр.
Умножением ф на автоморфизм вида (14) при t = —1а получим
(хеа)ф = хеа + ха'' в2а+ь + ха"' e3a+bmodAnn R, (хеь)ф = xeb + хх'e2a+bmodAnn R.
Откуда
0 = 0ф = (еь * хеа)ф = (—2) ■ 1х'хе3а+ь + ха"'е3а+2Ь, из чего следует, что ха" ' = 0 то есть а"' = 0 для всex х е К.
0 = 0ф = (хеа * еа)ф = (х1а'' — 2 ■ ха")е3а+ь,
откуда х° = 0 то есть а" = 0 для всех х е К. Далее, из равенств 0 = 0ф = (еа+ь * хеь)ф = = хх e3a+2b, получаем равенство А' = 0.
Умножаем на центральный автоморфизм из леммы [16, лемма 1.1.] вида (1 + С,)(&а) = = еа + se3a+2b, (1 + С)(еь) = еь + te3a+2b(s, t е К), (1 + ()(er) &r для остальных г е Ф+, получаем (хеа)ф = хеа, (хеь)ф = хеь.
2. Случай Na,b = 1, Na,2a+b = 3, Nb,3a+b = —1. По лемме 4 идеалы С(L4) = Кеа + L^ и Ann1 R = Keb + AnnR являются характеристичными. Учитывая характеристичность этих идеалов и L2, AnnR, получаем
(хеа)ф = ха eamodL2,
(Уеь)ф = yxebmodAnnR,
для подходящих эндоморфизмов а, X аддитивной группы К + кольца К (пользуемся тем, что ф сохраняет сложение в R).
Сюръективность а, X, то есть выполнение равенств Ка = К = Кх, следует из характеристичности идеалов С(L4), AnnlR, L2, AnnR и двух серий равенств
Кеа + L2 = С (L4) = (С (Ь4))ф = (Кеа )ф + (Ь2)ф = eamodL2,
Keb + AnnR = Ann1 R = (AnnlR)4' = (Кеь)ф + (AnnR)ф = KxebmodAnnR.
Инъективность a, X £ End К + доказывается аналогично случаю 1. Отсюда вытекает включение а,\ £ Aut К+.
По модулю L3 справедливы две серии равенств
Кеа+Ь = (Кеа+Ь)ф = (Кеа)ф * ефь = К° • 1хеа+ь,
Кеа+Ь = (Кеа+Ь)ф = еф * (Кеь)ф = 1а • Кхеа+Ь,
откуда Ка • 1х = К и 1а • Кх = К. Обратимость в К элементов 1а и 1х следует из того, что Ка = К, Кх = К, соотношений, указанных выше, а также леммы 3.
Умножая ф на диагональный автоморфизм, мы получим 1а = 1х = 1 Далее, ф-инвариантность основных соотношений кольца R даёт
(хеа * еь)ф = (хеа)ф * еф = ха • 1xea+bmodL3,
(хеа * еь)ф = еф * (хеь)ф = 1а • xxea+bmodL3, (х £ К).
Поэтому хх = ха для любого х £ К, то есть Л = а. Кроме того, для любых х,у £ К, а £ Aut R, в силу равенств (по модулю L3)
ха • уаеа+ь = (хаеа) * (уаеь) = (хеа)ф * (уеь)ф = (хуеа * еь)ф = (ху)аеа+ь.
Умножая ф, если необходимо, на кольцевой автоморфизм a-i, получим а = 1, откуда
(xer)ф = xermodQ(r) (г £ Ф+),
где Q(r) := YI Kes. Кроме того,
s>r
(хеа)ф = хеа + ха'еа+ь + ха"е2а+ь + ха'"e3a+bmodAnn R,
(хеъ)ф = xebmodAnn R, для некоторых а', а", а'" £ End К +. Проверим действие этих эндоморфизмов
0 = 0ф = (хеа * еа)ф = (hx1a' + hxa')е2а+ъ + (х1а" — 2х°")е3а+ьmodAnnR, (21)
где li = —12ш li = 1 при Na,a+b = 2 или li = — 1 при Na+b,a = —2. Отсюда ха' = х1а'.
(hxe2a+b)ф = (еа * хеа+ь)ф = liхе2а+ь + х1а"е3а+2Ь,
(lixe2a+b)ф = (хеа * еа+ь)ф = liхе2а+ь + ха"е3а+2Ь, (22)
аналогично предыдущим случаям х1а" = ха". Из (21),(22) следует, что а', а'' £ End К+ действуют как умножения на скаляр. Умножением ф последовательно на автоморфизмы вида (15) при t = —1 и (16) при t = —1 получим
(хеа)ф = хеа + ха"' е2а+ъmodAnn R, (хеь)ф = xebmodAnn R.
Откуда
0 = 0ф = (хеа * еа)ф = (х1°" — 2 ■ ха")е3а+ь,
откуда ха = 0, то есть а" = 0 для всex х £ К.
Умножаем на центральный автоморфизм из леммы [16, лемма 1.1.] вида (1 + ()(еа) = = еа + se3a+2b, (1 + С)(еь) = еъ + te3a+2b(s, t £ К), (1 + ()(er) er для остальных г £ Ф+, получаем (хеа)ф = хеа, (хеь)ф = хеь.
3. Случай Na,b = 1, Na,2a+b = —3, Щ,3а+ь = 1. Ясно, что централизаторы идеалов Li, г = 1, 2, 3, 4, 5 характеристичны, в частности, централизатор С(L4) = Кеа + L2- По лемме 4 идеал ClmodAnnR(R) = Кеь + L4 тоже является характеристичным. Учитывая характеристичность этих идеалов и L2,L4, получаем
(хеа)ф = ха eamodL2, (уеь)ф = у xebmodL4,
для подходящих эндоморфизмов а, X аддитивной группы К + кольца К (пользуемся тем, что ф сохраняет сложение в R).
Сюръективность а, X, то есть выполнение равенств Ка = К = Кх, следует из характеристичности идеалов С(R4), ClmodAnnR(R),L2,L4 и двух серий равенств
Кеа + L2 = С (L4) = (С (Ь4))ф = (Кеа )ф + (L2)ф = К° eamodL2,
Кеь + L4 = ClmodAnnR (R) = (CmodAnnR(R))4> = (Кеь)ф + = KxebmodL4-
Инъективность а, X £ End К + доказывается аналогично случаю 1. Отсюда вытекает включение а,Х £ Aut К+.
По модулю L3 справедливы две серии равенств
Кеа+Ь = (Кеа+Ь)ф = (Кеа)ф * гфф = К° ■ 1хеа+ь,
Кеа+Ь = (Кеа+Ь)ф = еф * (Кеь)ф = 1° ■ Кхеа+Ь,
откуда Ка -1х = К и 1а ■ Кх = К. Обратимость в К элементов 1а и 1х следует из того, что Ка = К, Кх = К, соотношений, указанных выше, а также леммы 3.
Умножая ф на диагональный автоморфизм, мы получим 1а = 1х = 1 Далее, ф-инвариантность основных соотношений кольца R даёт
(хеа * еь)ф = (хеа)ф * еф = ха ■ 1хеа+ь,
(хеа * еь)ф = ефа * (хеь)ф = 1а ■ ххеа+ь, (х £ К).
Поэтому хх = ха для любого х £ К, то есть Л = а. Кроме того, для любых х,у £ К, а £ Aut R, в силу равенств (по модулю L3)
ха ■ Уаea+b = (хаеа) * (уаеь) = (хеа)ф * (уеь)ф = (хуеа * еь)ф = (ху)аеа+ь.
Умножая ф, если необходимо, на кольцевой автоморфизм a-i, получим а = 1, откуда
(xer)ф = xermodQ(r) (г £ Ф+),
где Q(r) := Kes. Кроме того,
s>r
(хеа)ф = хеа + ха'еа+ь + ха" е2а+ь + ха"'e3a+bmodAnn R,
(хеь)ф = хеь + хх'е3а+ьmodAnn R, для некоторых а', а", аш, А' Е End К+. Проверим действие этих эндоморфизмов
0 = 0ф = (еь * хеь)ф = хх'еза+2Ь,
откуда хх = 0 то есть А' = 0 для всex х Е К.
0 = 0ф = (еь * хеа)ф = (—2) ■ Iх'хе^а+ь + ха"'еза+2Ь,
из чего следует, что ха" ' = 0 то ест ь а"' = 0 для вс ex х Е К.
0 = 0ф = (хеа * еа)ф = (hxY7' + hx*)е2а+ь + (—2x1°" + ха")е3а+ьmodAnnR, (23)
где 1\ = —12ш l\ = 1 при Маа+Ь = 2 или l\ = —1 при Ма+Ьа = —2. Отсюда х°' = xla'.
(12Х&2а+Ь)ф = (Хва+Ь * &а)ф = hХв2а+Ъ + Xl*" е3а+2Ь, (1тхе2а+ъ)ф = (еа+ь * хеа)ф = 12хета+ъ + Ха"е3а+2Ь,
аналогично предыдущим случаям х1°" = ха". Подставив это равенство в (23), получим, —ха = 0. Откуда а'' = 0 для всех х Е К. Из (23) следует, что а' Е End К + действуют как умножения на скаляр.
Умножением ф на автоморфизм вида (14) при t = —1а получим
(хеа)ф = хеато(1Апп R, (хеь)ф = хеьто(Апп R.
Умножаем на центральный автоморфизм из леммы [16, лемма 1.1.] вида (1 + ()(еа) = = еа + ве3а+2Ь, (1 + С)(еь) = еь + 1е3а+2Ь(s, t Е К), (1 + ()(ег) ег для остальных г Е Ф+, получаем (хеа)ф = хеа, (хеь)ф = хеь.
4. Случай Иа^Ь = 1,^а,2а+Ь = —3,ЯЬ,3а+Ь = —1. По лемме 4 идеалы С(L4) = Кеа + L^ и Ann1 R = Кеъ + AnnR являются характеристичными. Учитывая характеристичность этих идеалов и L2, AnnR, получаем
(хеа)ф = ха еато((Ь2,
(уеь)ф = у xebmodAnnR,
для подходящих эндоморфизмов а, А аддитивной группы К + кольца К (пользуемся тем, что ф сохраняет сложение в R).
Сюръективность а, А, то есть выполнение равенств Ка = К = Кх, следует из характеристичности идеалов С(L4), AnnlR, L2, AnnR и двух серий равенств
Кеа + L2 = С (L4) = (С (Ь4))ф = (Кеа )ф + (Ь2)ф = К* еато(Ь2,
Keb + AnnR = Ann1 R = (AnnlR)4' = (Кеь)ф + (AnnR)ф = KxebmodAnnR.
Инъективность а, X £ End К + доказывается аналогично случаю 1. Отсюда вытекает включение а,Х £ Aut К+.
По модулю L3 справедливы две серии равенств
Кеа+Ь = (Кеа+Ь)ф = (Кеа)ф * еф = К° ■ 1хеа+ь,
Кеа+Ь = (Кеа+Ь)ф = ефа * (Кеь)ф = 1° ■ Кхеа+Ь,
откуда Ка -1х = К и 1а ■ Кх = К. Обратимость в К элементов 1а и 1х следует из того, что Ка = К, Кх = К, соотношений, указанных выше, а также леммы 3.
Умножая ф на диагональный автоморфизм, мы получим 1а = 1х = 1. Далее, ф-инвариантность основных соотношений кольца R даёт
(хеа * еь)ф = (хеа)ф * еф = ха ■ 1xea+bmodL3,
(хеа * еь)ф = еф * (хеь)ф = 1а ■ xxea+bmodL3, (х £ К).
Поэтому хх = ха для любого х £ К, то есть Л = а. Кроме того, для любых х,у £ К, а £ Aut R, в силу равенств (по модулю L3)
ха ■ уаеа+ь = (хаеа) * (уаеь) = (хеа)ф * (уеь)ф = (хуеа * еь)ф = (ху)аеа+ь.
Умножая ф, если необходимо, на кольцевой автоморфизм a-i, получим а = 1, откуда
(xer)ф = xermodQ(r) (г £ Ф+),
где Q(r) := Kes. Кроме того,
s>r
(хеа)ф = хеа + ха'еа+ь + ха"е2а+ь + ха"'e3a+bmodAnn R,
(хеь)ф = xebmodAnn R, для некоторых а', а'', аш £ End К +. Проверим действие этих эндоморфизмов
0 = 0ф = (хеа * еа)ф = (hx1a' + hxa')е2а+ъ + (х1а" — 2ха")е3а+ьmodAnnR, (24)
где li = —12ш li = 1 при Na,a+b = 2 или li = — 1 при Na+b,a = —2. Отсюда х°' = х1а'.
(hxe2a+b)ф = (хеа+ь * еа)ф = I2хе2а+ь + х1а"е3а+2ь, (12хе2а+ь)ф = (еа+ь * хеа)ф = I2хе2а+ь + ха"е3а+2Ъ,
аналогично предыдущим случаям х1а" = ха". Отсюда и из (24) а'' = 0. Далее
(хеа+ь)ф = (еа * хеь)ф = хеа+ь + ха"'е3а+2Ь,
(хеа+ь)ф = (хеа * еь)ф = хеа+ь + х1а"'е3а+2Ь, (25)
аналогично предыдущим случаям х1а"' = ха"' . Отсюда и из (24) следует, что а', а''' £ End К+ действуют как умножения на скаляр. Умножением ф последовательно на автоморфизмы вида (15) при t = —1 и (16) при t = —1 получим
(хеа)ф = xeamodAnn R, (хеь)ф = xebmodAnn R.
Умножаем на центральный автоморфизм из леммы [16, лемма 1.1.] вида (1 + ()(еа) = = еа + яеза+2Ь, (1 + С)(еь) = еь + 1еза+2Ь(s, t Е К), (1 + ()(ег) ег для остальных г Е Ф+, получаем (хеа)ф = хеа, (хеь)ф = хеь.
5. Случай Ыа,Ь = —1, ^а,2а+Ъ = 3, NbM+b = 1. Ясно, что централизаторы идеала Ь4 характеристичны, в частности, централизатор С(Ь4) = = Кеа + L2- По лемме 4 идеал AnnrR = Кеь + AnnR тоже является характеристичным. Учитывая характеристичность этих идеалов и L2, AnnR, получаем
(хеа)ф = ха enmodL2,
(уеь)ф = у xebmodAnnR,
для подходящих эндоморфизмов а, X аддитивной группы К + кольца К (пользуемся тем, что ф сохраняет сложение в R).
Сюръективность а, X, то есть выполнение равенств Ка = К = Кх, следует из характеристичности идеалов С(R4), AnnrR, L2, AnnR и двух серий равенств
Кеа + L2 = С (L4) = (С (Ь4))ф = (Кеа )ф + (Ь2)ф = К* eamodL2,
Кеь + AnnR = Annr R = (Annr R)ф = (Кеь)ф + (AnnRf = KxebmodAnnR.
Инъективность a, X Е End К + доказывается аналогично случаю 1. Отсюда вытекает включение а,Х Е Aut К+.
По модулю L3 справедливы две серии равенств
Кеа+ь = (Кеа+ь)ф = (Кеь)ф * еф = Кх ■ 1*еа+ь,
Кеа+ь = (Кеа+ь)ф = еф * (Кеа)ф = 1х ■ К*еа+ь,
откуда Ка ■ 1х = К и 1а ■ Кх = К. Обратимость в К элементов 1а и 1х следует из того, что Ка = К, Кх = К, соотношений, указанных выше, а также леммы 3.
Умножая ф на диагональный автоморфизм, мы получим 1а = 1х = 1. Далее, 0-инвариантность основных соотношений кольца R даёт
(хеь * еа)ф = (хеъ)ф * ефа = хх ■ 1* еа+ь,
(хеь * еа)ф = еф * (хеа)ф = 1х ■ х°еа+ь, (х Е К).
Поэтому хх = ха для любого х Е К, то есть А = а. Кроме того, для любых х,у Е К, а Е Aut R, в силу равенств (по модулю L3)
ха ■ уаеа+ь = (хаеь) * (уаеа) = (хеь)ф * (уеа)ф = (хуеь * еа)ф = (ху)аеа+ь.
Умножая ф, если необходимо, на кольцевой автоморфизм аполучим а = 1, откуда
(хег)ф = xermodQ(r) (г Е Ф+),
где Q(r) := Kes. Кроме того,
s>r
(хеа)ф = хеа + Ха'еа+ь + Ха"е2а+ь + Ха"' еза+ъmodAnn R,
(хеь)ф = xebmodAnn R, для некоторых а', а", а'" Е End К + . Проверим действие этих эндоморфизмов
0 = 0Ф = (хеа * еа)ф = (hx1a' + 12ха')е2а+ь + (х1а" — 2ха")е3а+ьmodAnnR, (26)
где 1\ = —12ш l\ = l при Na,a+b = 2 или l\ = —1 при Na+b,a = —2. Отсюда ха' = х1а'.
(l\X&2a+b)Ф = (Хва * еа+b)Ф = WХв2а+Ь + XG"e3a+2b, {l\xe2a+b)ф = (еа * xea+b)ф = l\xe2a+b + Xla"e3a+2b,
аналогично предыдущим случаям х1°" = ха". Подставив это равенство в (26), получим, —х° = 0. Откуда а'' = 0 для всex х Е К. Далее
(xea+b)ф = (еь * Хва)Ф = Хва+b + Ха"'e3a+2b,
(xea+b)ф = (хеь * еа)Ф = Хва+b + Xla"'e3a+2b, (27)
аналогично предыдущим случаям х1а"' = ха"' . Из (26) следует, что а', аш Е End К + действуют как умножения на скаляр.
Умножением ф последовательно на автоморфизм вида (16) при t = —1а и автоморфизм вида (15) при t = —1а получим
(хеа)ф = xeamodAnn R, (хеь)ф = xebmodAnn R.
Умножаем на центральный автоморфизм из леммы [16, лемма 1.1.] вида (1 + ()(еа) = = еа + se3a+2b, (1 + С)(еь) = еь + te3a+2b(s, t Е К), (1 + ()(ег) ег для остальных г Е Ф+, получаем (хеа)ф = хеа, (хеь)ф = хеь.
6. Случай Na,b = —1, Na,2a+b = 3, Nb,3a+b = —1. По лемме 4 идеалы С(L4) = Кеа+Ь2ш C1modAnnR(R) = Кеь+L4 являются характеристичными. Учитывая характеристичность этих идеалов и L2, L4., получаем
(хеа)ф = ха eamodL2, (уеь)ф = У xebmodL4,
для подходящих эндоморфизмов а, X аддитивной группы К+ кольца К (пользуемся тем, что ф сохраняет сложение в R).
Сюръективность а, X, то есть выполнение равенств Ка = К = Кх, следует из характеристичности идеалов С(L4), CmmodAnnR(R), L2, L4 и двух серий равенств
Кеа + L2 = С (L4) = (С (Ь4))ф = (Кеа )ф + (Ь2)ф = К° eamodL2,
Кеь + La = Cm odAnnR (R) = (CrmodAnnR(R))4> = (Кеь)ф + (ЬА)Ф = KxebmodLA.
Инъективность a, X Е End К + доказывается аналогично случаю 1. Отсюда вытекает включение а,Х Е Aut К+.
По модулю L3 справедливы две серии равенств
Кеа+ь = (Кеа+ь)ф = (Кеь)ф * ефа = К* ■ 1хеа+ь,
Кеа+Ь = (Кеа+Ь)ф = ефь * (Кеа)ф = 1а ■ Кхеа+Ь,
откуда Ка -1х = К и 1а ■ Кх = К. Обратимость в К элементов 1а и 1х следует из того, что Ка = К, Кх = К, соотношений, указанных выше, а также леммы 3.
Умножая ф на диагональный автоморфизм, мы получим 1а = 1х = 1. Далее, ф-инвариантность основных соотношений кольца R даёт
(хеь * еа)ф = (хеь)ф * еф = х° ■ 1хва+ьшоёЬэ,
(хеь * еа)ф = еф * (хва)ф = 1а ■ ххва+ьшоёЬэ, (х е К).
Поэтому хх = ха для любого х е К, то есть Л = а. Кроме того, для любых х,у е К, а е Aut R, в силу равенств (по модулю L3)
Ха ■ еа+Ь = (хаеь) * (уава) = (хеЬ)ф * (ува)ф = (хуеЬ * еа)ф = (хУу ва+Ь.
Умножая ф, если необходимо, на кольцевой автоморфизм аполучим а = 1, откуда
(хег)ф = xermodQ(r) (г е Ф+),
где Q(r) := Kes. Кроме того,
s>r
(хва)ф = хеа + Ха'еа+ь + ха" е2а+ь + ха"'е3а+ьmodAnn R,
(хеь)ф = хеь + хх е3а+ьmodAnn R, для некоторых а', а", а'", А' е End К+. Проверим действие этих эндоморфизмов
0 = 0ф = (хеа * еа)ф = (hx1a' + 12ха')е2а+ь + (х1а" - 2ха")еза+ьmodAnnR, (28)
где 1\ = —12ш 1\ = 1 при Маа+ь = 2 или 1\ = — 1 при Ма+ьа = —2. Отсюда х°' = х1а'.
(кхе2а+Ь)ф = (хеа+Ь * ва)ф = 12Хе2а+Ъ + х1а" еза+2Ь, (кхе2а+Ь)ф = (еа+Ь * Хеа)ф = 12Хе2а+Ъ + Х°"еза+2Ь,
аналогично предыдущим случаям х1а = ха . Отсюда и из (28) а'' = 0. Далее
0 = 0ф = (еа * хеь)ф = ха" ' еза+2Ъ,
аналогично предыдущим случаям а''' = 0.
0 = 0ф = (хеь * еь)ф = ххеза+2Ь, (29)
откуда А' = 0 для всех х е К. Отсюда и из (28) следует, что а' е End К + действует как умножение на скаляр. Умножением ф на автоморфизм вида (14) при t = —1а получим
(хеа)ф = хеаш()(1Апп R, (хеь)ф = xebmodAnn R.
Умножаем на центральный автоморфизм из леммы [16, лемма 1.1.] вида (1 + ()(еа) = = еа + веза+2Ь, (1 + С)(еь) = еь + 1еза+2Ь(s, t е К), (1 + ()(er) er для остальных г е Ф+, получаем (хеа)ф = хеа, (хеь)ф = хеь.
7. Случай Na,b = —1,Na,2a+b = —3,Nb,3a+b = 1. По лемме 4 идеалы С(L4) = Кеа + L2 и AnnrR = Кеь + AnnR являются характеристичными. Учитывая характеристичность этих идеалов и L2, AnnR, получаем
(хеа)ф = ха eamodL2,
(уеь)ф = у xebmodAnnR,
для подходящих эндоморфизмов а, X аддитивной группы К + кольца К (пользуемся тем, что ф сохраняет сложение в R).
Сюръективность а, А, то есть выполнение равенств Ка = К = Кх, следует из характеристичности идеалов С(L4), Ann1"R, L2, AnnR и двух серий равенств
Кеа + L2 = С (L4) = (С (Ь4))ф = (Кеа )ф + (Ь2)ф = к* eamodL2,
Кеь + AnnR = Annr R = (Annr R)ф = (Кеь)ф + (AnnR)ф = KxebmodAnnR.
Инъективность a, X Е End К + доказывается аналогично случаю 1. Отсюда вытекает включение а,Х Е Aut К+.
По модулю L3 справедливы две серии равенств
Кеа+ь = (Кеа+ь)ф = (Кеь)ф * еф = Кх ■ 1*еа+ь,
Кеа+ь = (Кеа+ь)ф = еф * (Кеа)ф = 1х ■ К*еа+ь,
откуда К * -1х = К и 1а ■ Кх = К. Обратимость в К элементов 1* и 1х следует из того, что Ка = К, Кх = К, соотношений, указанных выше, а также леммы 3.
Умножая ф на диагональный автоморфизм, мы получим 1а = 1х = 1. Далее, ф-инвариантность основных соотношений кольца R даёт
(хеь * еа)ф = (хеь)ф * еф = хх ■ 1* еа+ь modL3,
(хеь * еа)ф = еф * (хеа)ф = 1х ■ хаеа+ьmodL3, (х Е К).
Поэтому хх = ха для любого х Е К, то есть А = а. Кроме того, для любых х,у Е К, а Е Aut R, в силу равенств (по модулю L3)
ха ■ уаеа+ь = (хаеь) * (уаеа) = (хеь)ф * (уеа)ф = (хуеь * еа)ф = (ху)аеа+ь.
Умножая ф, если необходимо, на кольцевой автоморфизм аполучим а = 1, откуда
(xer)ф = xermodQ(r) (г Е Ф+),
где Q(r) := Kes. Кроме того,
s>r
(хеа)ф = хеа + Ха'еа+ь + Ха"е2а+ь + Ха"' е3а+ьmodAnn R, (хеь)ф = xef,modAnn R,
для некоторых а', а", а"' Е End К + . Проверим действие этих эндоморфизмов
0 = 0ф = (хеа * еа)ф = (hxla' + 12ха')е2а+ъ + (-2x1°" + xa")e3a+bmodAnnR, (30)
где 1\ = —12ш l\ = 1 при Na,a+b = 2 или l\ = —1 при Na+b,a = —2. Отсюда ха' = xla'.
(12хе2а+ь)ф = (xea+b * еа)ф = l2xe2a+b + Xla"e3a+2b, (hxe2a+b)ф = (ea+b * xea)ф = 12X&2a+b + X°"e3a+2b,
аналогично предыдущим случаям x1a = xa . Отсюда и из (30) а'' = 0. Далее
(xea+ь)ф = (еъ * xea)ф = xea+ь + ха" ' e3a+2b,
(xea+b)ф = (xeb * eaf = xea+b + Xla"'e3a+2b, (31)
аналогично предыдущим случаям х1а"' = ха"'. Отсюда и из (30) следует, что а', а'" Е End К+ действуют как умножения на скаляр. Умножением ф последовательно на автоморфизмы вида (15) при t = —1° и (16) при t = —1° получим
(хео)ф = xeamodAnn R, (хеь)ф = xebmodAnn R.
Умножаем на центральный автоморфизм из леммы [16, лемма 1.1.] вида (1 + ()(ea) = = ea + se3a+2b, (1 + С)(еъ) = еъ + te:ia+2b(s, t Е К), (1 + ()(ег) ег для остальных г Е Ф+, получаем (хеа)ф = xea, (хеъ)ф = хеь.
8. Случай Na,b = —1,Na,2a+b = —3,Nb,3a+b = —1. По лемме 4 идеалы С(L4) = Kea + L2 и (R) = Кеь + L3 являются характеристичными.
Учитывая характеристичность этих идеалов и L2,L3, получаем
(хеа)ф = ха eamodL2,
(уеъ)ф = У xebmodL3,
для подходящих эндоморфизмов а, X аддитивной группы К+ кольца К (пользуемся тем, что ф сохраняет сложение в R).
Сюръективность а, X, то есть выполнение равенств К° = К = Кх, следует из характеристичности идеалов С(R4), C^dLi(R),L2,L3 и двух серий равенств
Kea + L2 = С (L4) = (С (Ь4))ф = (Кеа )ф + (L2)ф = eamodL2,
Keb + L3 = CrmodL4 (R) = (CrmodL4 (R)f = (Кеь)ф + (Ь3)ф = Кх ebmodL3.
Инъективность а, X Е End К + доказывается аналогично случаю 1. Отсюда вытекает включение а,Х Е Aut К+.
По модулю L3 справедливы две серии равенств
Кеа+ь = (Кеа+ь)ф = (Кеь)ф * еф = Кх ■ 1°еа+ь,
Кеа+Ь = (Кеа+Ь)ф = еф * (Кеа)ф = 1Л ■ К°еа+ь,
откуда Ка -1Л = К и 1а ■ КЛ = К. Обратимость в К элементов 1а и 1Л следует из того, что Ка = К, КЛ = К, соотношений, указанных выше, а также леммы 3.
Умножая ф на диагональный автоморфизм, мы получим 1* = 1х = 1. Далее, ф-инвариантность основных соотношений кольца R даёт
(хва * еь)ф = (хеь)ф * еф = хх ■ 1*ва+ьmodL3,
(хва * еь)ф = еф * (х&а)ф = 1х ■ Хаеа+ьmodL3, (х Е К).
Поэтому хх = ха для любого х Е К, то есть А = а. Кроме того, для любых х,у Е К, а Е Aut R, в силу равенств (по модулю L3)
Х° ■ у* еа+ь = (ха еь) * (уа ва) = (хеь)Ф * (ува)Ф = (хуеь * ва)ф = (хУу еа+ь.
Умножая ф, если необходимо, на кольцевой автоморфизм аполучим а = 1, откуда
(xer)ф = xermodQ(r) (г Е Ф+),
где Q(r) := Kes. Кроме того,
s>r
(хеа)ф = хва + ха'еа+ь + х"" &2а+ь + х"" ' &3а+ьmodAnn R,
(хеь)ф = хеь + хх' е2а+ь + хх"в3а+ьmodAnn R, для некоторых а', а", аш, У, X" Е End К +. Проверим действие этих эндоморфизмов
0 = 0Ф = (хеа * еа)ф = (hx1a' + l2Xa')в2а+ь + (-2x1*" + х°" )t3a+bmodAnnR, (32)
где 1\ = —12ш 1\ = 1 при Маа+ь = 2 или 1\ = — 1 при Ма+ьа = —2. Отсюда х°' = х1а'.
(хва+ь)ф = (хеь * &а)ф = хва+ь + ХХ'в3а+ьmodAnn R,
(х&а+ь)ф = (еь * хеа)ф = хва+ь + х1х'в3а+ьmodAnn R, (33)
откуда х1х = хх .
(1\Х&2а+ь)Ф = (хва * еа+ь)Ф = WХв2а+ь + Х°"в3а+2ь,
(1\Хв2а+ь)Ф = (е-а * Хва+ь)Ф = hХв2а+ь + х1°" в3а+2ь, (34)
аналогично предыдущим случаям х1а" = ха".
0 = 0ф = (еь * хеь)ф = хх"в3а+2ь, (35)
откуда хх = 0, то есть X" = 0 для всех х Е К. Далее, из равенств 0 = 0ф = (хеь * еа+ь)ф = = хх е3а+2ь, получаем равенство А' = 0. Из равенств
0 = 0Ф = (хеа * еь)Ф = Ха" ' в3а+2ь,
из чего следует, что ха" ' = 0, то есть а''' = 0 для всex х Е К.
Из (17)-(20) следует, что а',а'',\' Е End К + действуют как умножения на скаляр. Умножением ф на автоморфизм вида (14) при t = —1* получим
(хеа)ф = xeamodAnn R, (хеь)ф = xef,modAnn R.
Умножаем на центральный автоморфизм из леммы [16, лемма 1.1.] вида (1 + ()(еа) = = еа + 8в3а+2ь, (1 + С)(^ь) = еь + 1в3а+2ь(s, t Е К), (1 + ()(er) &r ДЛЯ остальных Г Е Ф+, получаем (хеа)ф = хеа, (хеь)ф = хеь. □
5. Заключение
В статье установлены критерии изоморфизма точных обёртывающих колец R колец Ли N Ф(К) тип a G2 над произвольным ассоциативно-коммутати вным кольцом К с единицей, также получено явное описание их автоморфизмов.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Albert A. Power-Associative Rings // Transactions of the American Mathematical Society. 1948. Vol. 64, № 3, P. 552-593.
2. Mvung H.C. Some Classes of Flexible Lie-Admissible Algebras // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. Vol. 167. P. 79-88.
3. Laufer P.J. Some Lie admissible algebras // Canad. J. Math. 1962. Vol. 14, № 2. P. 287-292.
4. Levchuk V. M. Connections between a unitriangular group and certain rings. Chap. 2: Groups of automorphisms. // Siberian Mathematical Journal. 1983. Vol. 24. P. 543-557. DOI: 10.1007/BF00969552
5. Cao Y., Jiang D., Wang J. Automorphisms of certain nilpotent Lie algebras over commutative rings // Intern. J. Algebra and Computation. 2007. Vol. 17, №. 3. P. 527-555.
6. Левчук B.M. Автоморфизмы унипотентных подгрупп // Алгебра и Логика. 1990. Т. 29, № 3. С. 316-338.
7. Литаврин А. В. Автомофизмы нильпотентной подалгебры NФ(К) алгебры Шевалле сим-плектического типа // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2015. Т. 13, С. 41-55. D01:'l0.26516/1997-7670.2024.47.9
8. Левчук В.М., Литаврин,А. В. Гиперцентральные автоморфизмы нильтреугольных подалгебр алгебр Шевалле [Электронный ресурс]
Сибирские электронные математические известия. DOI: 10.17377/semi.2016.13.040. URL: http://semr.math.nsc.ru/vl3/p467-477.pdf 2016.
9. Литаврин А. В. Автоморфизмы нильтреугольных подколец алгебр Шевалле классических типов/ Дисс. на соиск. ученой степени кандид. физ.-мат. наук. СФУ. 2017. С. 74.
10. Казакова А. В. Автомофизмы нильтреугольных подколец алгебр Шевалле типа G2 над областями целостности. I // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2024. Т. 47. С. 93-106. DOI: 10.26516/1997-7670.2024.47*9
11. Казакова А. В. Автоморфизмы нильтреугольных подколец алгебр Шевалле типа G2 над полем характеристики 2 // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2024. № 88. С. 26-36. DOI: 10.17223/19988621/88/3
12. Gibbs J.A. Automorphisms of certain unipotent groups //J. Algebra. 1970. Vol. 14, №. 2. P. 203-228.
13. Левчук В. M. Нильтреугольная подалгебра алгебры Шевалле: обёртывающая алгебра, идеалы и автоморфизмы // Доклады академии наук. 2018. Т. 478, № 2. С. 137-140.
14. Carter R. Simple Groups of Lie Type // New York, Wiley and Sons. 1972. 331 P.
15. Казакова А. В., Кириллова Е.А. Автоморфизмы и центральные ряды нильтреугольных подколец алгебр Шевалле // Мальцевские чтения : тезисы докладов международной конференции. (Новосибирск, 16-20 ноября 2020 г.) С. 191.
16. Kuzucuoglu F., Levchuk V. М. The automorphism group of certain radical rings. //J. Algebra. 2004. Vol. 243. P. 473-485. DOI: 10.1006/jabr.2001.886
REFERENCES
1. Albert, A. 1948, "Power-Associative Rings", Transactions of the American Mathematical Society, vol. 64, no. 3, pp. 552-593.
2. Mvung, H. C. 1972, "Some Classes of Flexible Lie-Admissible Algebras", Trans. Amer. Math. Soc., vol. 167, pp. 79-88.
3. Laufer, P.J. 1962, "Some Lie admissible algebras", Canad. J. Math., vol. 14, no. 2, pp. 287-292.
4. Levchuk, V. M. 1983, "Connections between a unitriangular group and certain rings. Chap. 2: Groups of automorphisms", Siberian Mathematical Journal, vol. 24, pp. 543-557. doi: 10.1007/BF00969552
5. Cao, Y., Jiang, D., k, Wang, J. 2007, "Automorphisms of certain nilpotent Lie algebras over commutative rings", Intern. J. Algebra and Computation, vol. 17, no. 3, pp. 527-555.
6. Levchuk, V. M. 1990, "Automorphisms of unipotent subgroups of chevallev groups", Algebra and Logic, vol. 29, pp. 211-224. doi: 10.1007/BF01979936
7. Litavrin, A. V. 2015, "Automorphisms of the nilpotent subalgebra NФ(К) Chevallev algebra of svmplectic type", The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics, vol. 13, no. 3, pp. 41-55. (in Russian)
8. Levchuk, V. M., Litavrin, A. V. 2016, "Hvpercentral automorphisms of nil-triangular subalgebras in Chevallev algebras", Siberian Electronic Mathematical Reports, vol. 13, pp. 467-477, Available at: http://semr.math.nsc.ru/vl3/p467-477.pdf (in Russian)
9. Litavrin, A. V. "Automorphisms of nil-triangular subrings of algebras Chevallev of classic types", Thesis for: Cand. Sc. (Physics and Mathematics): 01.01.06. Siberian Federal University, 2017, 74 p. (in Russian)
10. Kazakova, A. V. 2024, "Automophisms of Nil-Triangular Subrings of Algebras Chevallev Type G2 Over Integral Domain. I", The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics, vol. 47, pp. 93-106. (in Russian) doi: 10.26516/1997-7670.2024.47.93
11. Kazakova, A. V. 2024, "Automorphisms of nil-triangular subrings of Chevallev algebras of type G2 over the field of characteristic 2", Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics, no. 88, pp. 26-36. (in Russian) doi: 10.17223/19988621/88/3
12. Gibbs, J.A. 1970, "Automorphisms of certain unipotent groups", J. Algebra, vol. 14, no. 2, pp. 203-228.
13. Levchuk, V. M. 2018, "Niltriangular subalgebra of Chevallev algebra: the enveloping algebra, ideals and automorphisms", Dokl. Math., vol. 97, no. 1, pp. 23-27.
doi: 10.7868/S0869565218020032
14. Carter, R. 1972, Simple Groups of Lie Type. Wiley and Sons, New York, 331 pp.
15. Kazakova, A.V., Kirillova, E. A. "Automor-phisms and central series of niltriangular subrings of Chevallev algebras", Collection of Abstracts of International Conference "Mal'tsev Meeting", Novosibirsk. Novosibirsk, 2020, p. 191.
16. Kuzucuoglu, F., Levchuk, V. M. 2001, "The automorphism group of certain radical rings", J. Algebra, vol. 243, pp. 473-485. doi: 10.1006/jabr.2001.886
Получено: 14.03.2024 Принято в печать: 04.09.2024
