Автоморфизмы нильтреугольных подколец алгебр Шевалле типа G2 над полем характеристики 2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

2024

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика и механика Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics

№ 88

Научная статья

УДК 512.554 MSC: 17D99

doi: 10.17223/19988621/88/3

Автоморфизмы нильтреугольных подколец алгебр Шевалле типа G2 над полем характеристики 2

Алёна Викторовна Казакова

Сибирский федеральный университет, Красноярск, Россия, [email protected]

Аннотация. Пусть NФ(K) - нильтреугольная подалгебра алгебры Шевалле ассоциативно-коммутативного кольца K с единицей, ассоциированная с системой корней Ф (базис NФ(K) составляют все элементы er Е Ф+ базиса Шевалле). Мы описываем автоморфизмы нильтреугольного кольца Ли типа G2 над полем K при ограничении 2K = 0. Для исследования автоморфизмов существенно используются верхние и нижние центральные ряды, описываемые в данной работе.

Ключевые слова: алгебра Шевалле, нильтреугольная подалгебра, кольцо, стандартные автоморфизмы, гиперцентральный автоморфизм

Благодарности: Работа поддержана Красноярским математическим центром, финансируемым Минобрнауки РФ (соглашение 075-02-2024-1429).

Для цитирования: Казакова А.В. Автоморфизмы нильтреугольных подколец алгебр Шевалле типа G2 над полем характеристики 2 // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2024. № 88. С. 26-36. (!ог 10.17223/19988621/88/3

Original article

Automorphisms of nil-triangular subrings of Chevalley algebras of type G2 over the field of characteristic 2

Alyona V. Kazakova

Siberian Federal University, Krasnoyarsk, Russian Federation, [email protected]

Abstract. Let NФ(K) be the nil-triangular subalgebra of the Chevalley algebra over an associative commutative ring K with the identity associated with a root system Ф (The basis of NФ(K) consists of all elements er E Ф+ of the Chevalley basis). This paper studies the well-known problem of describing automorphisms of Lie algebras and rings NФ(K). Automorphisms of the Lie algebra NФ(K) under restrictions K = 2K = 3K on ring K are described by Y. Cao, D. Jiang, J. Wang (Intern. J. Algebra and Computation, 2007). When passing from algebras to Lie rings, the group of automorphisms expands. Thus, the subgroup of central automorphisms is extended, i.e. acting modulo the center, ring automorphisms induced by automorphisms of the main ring are added. For the type An, a description of automorphisms of Lie rings NФ(K) over K was obtained by V.M. Levchuk

© А.В. Казакова, 2024

(Siberian Mathematical Journal, 1983). Automorphisms of the Lie ring NФ(K) are described by V.M. Levchuk (Algebra and Logic, 1990) for type D4 over K, and for other types by A.V. Litavrin (Thesis for: Cand. Sc. (Physics and Mathematics) - 01.01.06. Siberian Federal University, 2017), excluding types G2 and F4. The author (2022) obtained a description of automorphisms of Lie rings NФ(K) of type G2 when K is an integrity domain and K = 2K = 3K or 3K = 0. In this paper we describe automorphisms of a nil-triangular Lie ring of type G2 over a field K under restriction 2K = 0. To study automorphisms, the upper and lower central series described in this work are essentially used. A new non-standard automorphism was found, called an S-automorphism. Keywords: Chevalley algebra, nil-triangular subalgebra, ring, automorphism, hypercen-tral automorphism

Acknowledgments: This work is supported by the Krasnoyarsk Mathematical Center and financed by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (Agreement No. 075-02-2024-1429).

For citation: Kazakova, A.V. (2024) Automorphisms of nil-triangular subrings of Chevalley algebras of type G2 over the field of characteristic 2. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 88. pp. 26-36. doi: 10.17223/19988621/88/3

Введение

Алгебру Шевалле над полем K характеризуют системой корней Ф евклидова пространства и базисом Шевалле, который составляют подходящий базис подалгебры Картана и векторы er, r 6 Ф. Подалгебру с базисом {er | r 6 Ф+} для системы Ф+ положительных корней, как и в [1], обозначим через NФ(K) и назовем нильтреугольной.

Далее K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Автоморфизмы алгебры Ли NФ(K) при ограничениях K = 2K = 3K на кольцо K описаны в 2007 г. в [2].

Автоморфизмы алгебры N^K) являются и автоморфизмами множества N^K), рассматриваемого как кольцо. При переходе от алгебр к кольцам Ли группа автоморфизмов расширяется, поскольку в кольце не обязано сохраняться умножение на скаляр. Так, расширяется подгруппа центральных автоморфизмов, т.е. действующих тождественно по модулю центра, добавляются кольцевые автоморфизмы, индуцированные автоморфизмами основного кольца.

Для типа An описание автоморфизмов колец Ли NФ(K) над K получил в 1983 г. В.М. Левчук [1]; в основном существование нестандартных автоморфизмов здесь зависит от аннулятора в кольце K элемента 2.

Автоморфизмы кольца Ли NФ(K) выявлены в [3] также для типа D4; в [4-6] их описание редуцировано к исключительным типам G2 и F4.

В [7] получено описание автоморфизмов колец Ли NФ(K) типа G2, когда K есть область целостности и K = 2K = 3K или 3K = 0.

В статье описываются автоморфизмы кольца Ли NФ(K) типа G2, когда K есть поле характеристики 2 - теорема 3.1. В доказательстве теоремы 3.1 существенно используется структура центральных рядов кольца Ли NФ(K) типа G2, полученная в лемме 1.1. Также найден новый нестандартный автоморфизм, называемый S-автоморфизмом.

1. Центральные ряды и гиперцентральные автоморфизмы

Для описания автоморфизмов колец нам потребуются определенные характеристические идеалы. Аннулятором множества M в произвольном кольце R называем множество Ann r (M) = {a E R | Ma = aM = 0}.

В произвольном кольце Ли R = (R, +, *) аналогично группам вводят гиперцентральный или верхний центральный ряд

0 = Z0 с Z1 с... с Zt с Zt+1 с..., Zl+1:=(g е R | g * R gzZ,} (i > 0), и нижний центральный ряд

R = Г ЭГ2 Э.ЭГ„ з..., Ги+1 := Ги *R (n > 1).

Автоморфизм, действующий тождественно по модулю центра Z1, называют центральным. В 1990 г. в [3] введено обобщение центральных автоморфизмов -гиперцентральные автоморфизмы.

Автоморфизм группы или кольца Ли L, единичный по модулю m-го гиперцентра и неединичный по модулю (т-1)-го гиперцентра, называют гиперцентральным высоты m (кратко - гиперцентральным, когда L не совпадает с m-м гиперцентром).

Пусть Ф+ - множество положительных корней системы Ф, а П = {п, ..., ri} -ее фундаментальная система простых корней из Ф. Для любого r E Ф через ht(r) обозначим высоту корня r. По определению при r = a1r1 + ... + afi полагаем ht(r) = a1 + ... + ai. Согласно теореме о базисе алгебры Шевалле [8. Теорема 4.2.1], для произвольных корней r, s E Ф+ имеем er * es = 0 при r + s Ф и er * e, = Nr ser+,, N,, =-Nrs (r + s еФ),

где структурные константы Nr,s = ±1, ±2 или ±3, причем равенство Nr,s = ±3 возможно только для Ф типа G2. Выбор знаков Nr,s далее зафиксируем в соответствии с [8. С. 211].

В [8] введен стандартный центральный ряд алгебры Ли NФ(K), где ^ 3 L2 3.3 Lh-1 з Lh =

L := <Ker | r e Ф+, ht(r) > i> (1 < i < h -1).

Когда верхний и нижний центральные ряды в NФ(K) стандартны, имеем

L, =Г = Zh-i (1 < i < h).

Описание верхних и нижних центральных рядов завершено в [5, 6] для классических типов и требуется лишь для типа F4 (см.: [9]). Приведем их для типа G2. Пусть a, b - простые корни для Ф типа G2, корень a - короткий, и |a| < |b|. Тогда Ф+ = {a, b, a + b, 2a + b, 3a + b, 3a + 2b}.

Аннулятор элемента t в кольце K обозначаем через At.

Лемма 1.1. [9] Пусть K - произвольное ассоциативно-коммутативное кольцо с 1. Для кольца Ли NG2(K) = L1 верны равенства

Г2 = Kea+b + 2Ke2a+b + 3Ke3a+b + Ke3a+2b , Г3 = 2Ke2a+b + 6Ke3a+b + 3Ke3a+2b ,

Г = 6Lt, i = 4,5,6,

Z1 =A2 A3 ea+b +A3 e2a+b + L5 ,

Z2 = Д2Д3 ea + Д2Д3 eb + (Д2 +Дз) ea+b +Д3 e2a+b + L4>

Z, = (Д2 +Дз)А + L6_i, i = 3,4.

Замечание 1.2. Очевидно, для произвольного элемента t 6 K, t Ф 0, не являющегося делителем нуля в кольце K, любой At = 0. Поэтому для поля K получаем Д2Дз = 0, и формулы в лемме 1.1 для Z1 и Z2 упрощаются.

Следствие 1.3. Верхний или нижний центральный ряд кольца Ли NG2(K) при 2K Ф K не является стандартным.

2. Некоторые автоморфизмы кольца Ли NGi(K)

Кольцо Ли NФ(K) порождают множества Ker (r 6 Ф+), а при = K, где

^(Ф) = max {(r,r)/(s,s) | r, s 6 Ф} = 1, 2 или 3, даже Ker (r 6 П). К основным соотношениям относятся также и соотношения в кольце коэффициентов.

Для автоморфизмов кольца Ли NФ(K) полезна (и очевидна)

Лемма 2.1. Автоморфизм Ф аддитивной группы кольца Ли NФ(K) есть его автоморфизм тогда и только тогда, когда Ф сохраняет соотношения xer + yer = (x + y)er (r e Ф+, x, y e K), xer * yes = xyNr ser+s (r, s, r + s e Ф+),

xer * yes = 0 (r, s e Ф+, r + s e Ф+ ).

В алгебре Шевалле типа Ф над K подалгебра NФ(K) характеристична относительно каждого корневого автоморфизма xr(t) (r 6 Ф, t 6 K) [8. § 4.3]. Его ограничение дает автоморфизм подалгебры NФ(K), называемый внутренним. Действием на базе он определяется по правилу

q

xr (t): er ^ er, es ^ £MrJeir+, (s e ф+ \{r}\

i=0

Mr,s,0 := 1, Mrsi := (1/i!)Nr N r+s ...Nr .

Все корневые автоморфизмы xr(t) порождают подгруппу J внутренних автоморфизмов алгебры Ли NФ(K). Известно, что она изоморфна фактор-группе уни-потентной группы U = иФ(Х) по центру.

Диагональный автоморфизм h(x) : er ^ x(r)er (r 6 Ф+) алгебры Ли NФ(K) сопоставляет любому K-характеру х решетки корней, т.е. гомоморфизму подгруппы (Ф)+ аддитивной группы V+ в мультипликативную группу K обратимых элементов кольца K [8. § 7.1]. Хорошо известно, что х определяется однозначно значениями на простых корнях.

Кольцевые автоморфизмы алгебры Ли NФ(K) выделяем по аналогии с [8].

Произведения внутренних, диагональных, кольцевых и центральных автоморфизмов называют стандартными автоморфизмами.

Один нестандартный автоморфизм, известный для Ф типа An с 1950-х гг., определен Гиббсом [10] для всех k 6 K, а для Ф типа G2 - по правилу (r 6 Ф+)

^(k) : ea ^ ea, eb ^ eb + ke3a+b , er ^ er . (1)

В соответствии с [2] и [11] его называют автоморфизмом Гиббса. Ясно, что при k Ф 0 он является гиперцентральным автоморфизмом высоты 2.

Далее мы выделим нестандартные автоморфизмы кольца Ли NФ(K) типа G2 при t 6 K следующих четырех типов:

е2а+Ь ^ е2а+Ь + ^еа+Ь ,

ег ^ ег для остальных г Е Ф+, (2)

е2а+Ь ^ е2а+Ь + е , е3а+Ь ^ е3а+Ь + *еа+Ь ,

ег ^ ег для остальных г Е Ф+, (3)

£3 (О : еЬ ^ еЬ + ^е2а+Ь , еа+Ь ^ еа+Ь + ¿е3а+Ь >

ег ^ ег для остальных г Е Ф+, (4)

£4 (X) : еЬ ^ е2а+Ь , еа+Ь ^ е3а+Ь , е2а+Ь ^ еЬ , е3а+Ь ^ еа+Ь ,

ег ^ ег для остальных г Е Ф+. (5)

Автоморфизм £4(/) назовем Б-автоморфизмом, так как он связан с подстановками положительных корней.

Лемма 2.2. Отображения (/' = 1, 2, 3) при 2К = 0 и £4 при 4К = 0 являются автоморфизмами кольца Ли АФ(К) типа 02 над кольцом К.

Доказательство. Нетрудно проверить, что отображения - автоморфизмы К-модуля ЖФ(К) типа 02. Из того, что в кольце АФ(К) выполняются обычные свойства линейности (ах +Р>")ф = а(х)ф + Р(у)ф, следует, что ф - линейное преобразование, под действием которого сохраняется умножение на скаляр. Проверим соотношения из леммы 2.1 при / Е К.

£1(хе2а+Ь * еа ) =^1(^2а+Ь,ае3а+Ь ) = М2а+Ь,а^1(е3а+Ь ) = М2а+Ь,ае3а+Ь , £1(е2а+Ь ) *£1(еа ) = (е2а+Ь + К+Ь ) * еа = М2а+Ь,ае3а+Ь + К+Ь,а{е2а+Ь •

Инвариантность этих соотношений следует сейчас из равенства Ма+ь,а / = 0, откуда 2/ = 0.

£1(Хе2а+Ь * еа+Ь ) = £1(^2а+4,а+4е3а+24 ) = ^2а+4,а+4е3а+2Ь , £1(е2а+Ь ) *£1(еа+Ь ) = (е2а+Ь + ^а+Ь ) * еа+Ь = ^2а+Ь,а+Ье3а+2Ь •

хе2а+4 * е2„+4) = £ 1(0) = 0,

(е2а+4 ) * (е2а+4 ) = (е2а+4 + +4 ) * (е2а+4 + ^а +4 ) = 0

Инвариантны и остальные соотношения. Поэтому - автоморфизм. Далее.

£2(еа * е2а+Ь ) = £2 (Na,2a+4e3a+4 ) = Na,2a+4£2 (e3a+4 ) = Na,2a+4 (е3а+4 + ^ а+4 ), £2 (еа ) * £2 (е2а+4 ) = е„ * (е2а+4 + ^4 ) = Nа,2а+4e3а+4 + ^,,4^+4 ,

инвариантность этого соотношения, очевидно, равносильна условию (М,,ь -- ^,2а+ь)( = 0, где = -1, ^,2а+ь = 3. Поэтому 4/ = 0.

£2(е2а+4 * е3а+4 ) = 0

£2 (е2а+4 ) * £2 (е3а+4 ) = (е2а+4 + ^е4 ) * (е3а+4 + ^а+Ь ) = ^2а+4,а+4е3а+24 + ^4,3а+4е3а+24 •

Инвариантность этого соотношения, очевидно, равносильна условию (%а+ь,а+ь +

+ Щ,3а+ь)/ = 0. Так как N2а+ь,а+ь = -3, Nь,3а+ь = 1, то 2/ = 0.

£ 2(е2а+4 * еа+4 ) = ^2а+4,а+4е3а+24 , £2(е2а+4 ) *£2(еа+4 ) = (е2а+4 + ^4 ) * еа+4 = ^2а+4,а+4е3а+24 •

£2 (е3а+4 * е4 ) = ^3а+4,4е3а+24 , £2 (е3а+4 ) * £2 (е4 ) = (е3а+4 + ^а+Ь ) * е4 = ^3а+4,4е3а+24 •

% 2К+4* еа) = О,

%2(е3а+4 ) *%2(еа ) = (е3а+4 + {ва+Ь ) * ва = -а+4 ,аб2а+4 ,

инвариантность этого соотношения следует сейчас из равенств Ыа+ь^ = 0, откуда 2/ = 0. Инвариантны и остальные соотношения. Поэтому ^ - автоморфизм. Далее.

%3 (е * ба ) = N^+4 ) = N,а%3 ^а+4 ) = N,а ^а+4 + ^а+4 X %3(е4 ) *%3(ба ) = (еЬ + ?б2а+4 ) * ба = -4 ,аба+4 + -2а+4 ,а?б3а+4 •

Инвариантность этого соотношения следует сейчас из равенства (Ыь,а - Ыа+ьа)/ = 0. Поскольку Ы2а+ь,а = -3, Ыь,а = 1, то 4/ = 0.

%3(б * ба+4 ) = 0,

%3 (е4 ) * %3 (еа+4 ) = (е2а+4 + ) * (б3а+4 + ^ва+4 ) = -2а +4,а+4¿в3а+24 + —4,3а+4^в3а+24 •

Инвариантность этого соотношения следует сейчас из равенства (%а+ь,а+ь +

+ Ыь,за+ь)/ = 0. Так как Ы2а+ь,а+ь = -3, Ыь,за+ь = 1, то 2/ = 0.

%3 (еа+4 * еа ) = -а+4,аб2а+4 , %3 (еа+4 ) * %3 (еа ) = (еа+4 + ?е3а+4 ) * еа = -а+4,ае2а+4 •

%3(еа+4* е4 ) = 0,

%3 (еа+4 ) * %3 (е4 ) = (еа+4 + ^е3а+4 ) * (е4 + ^е2а+4 ) = —а+4,2а+4 ^е3а+ 24 + -3а+4,4 ^е3а+24 •

Поскольку Ыа+ь,2а+ь = 3, Ыза+ь,ь = -1, то 2/ = 0.

%3(еа+4 * е2а+4 ) = —а+4,2а +4 е3а+24, %3(еа+4 ) *%3(е2а+4 ) = (еа+4 + ^е3а+4 ) * е2а+4 = -а+4,2а+4 е3а+24 •

Инвариантны и остальные соотношения. Поэтому - автоморфизм. Далее.

% 4 (е * еа ) = % 4 (-4 ¿еа+4 ) = N4 ,

%4 ({е4 ) * %4 (еа ) = ?е2а+4 * еа = -2а+4,а^3а+4 •

Инвариантность этого соотношения следует сейчас из равенства (Ыь,а - Ы2а+ь,а)/ = 0. Так как Ыа+ь,а = -3, Ыь,а = 1, то 4/ = 0.

%4(е * е3а+4 ) =%4(—4,3а+4^б3а+24) = ^,3а+4^е3а+24 , %4 (^е4 ) * %4 (е3а+4 ) = ^е2а+4 * еа+4 = N2а+4,а+4^е3а+24 •

Инвариантность этого соотношения следует сейчас из равенства (Ыь,3а+ь -

- Ы2а+ь,а+ь)/ = 0. Из того, что Ыь,3а+ь = 1, Ы2а+ь,а+ь = -3 следует равенство 4/ = 0.

%4(^еа+4 * е2а+4 ) = %4 (—а+4,2а+4 ^е3а+24) = —а+4,2а+4 ^е3а+24 , %4 (^еа+4 ) * %4 (е2а+4 ) = ^е3а+4 * е4 = -3а+4,4^е3а+24 •

Инвариантность этого соотношения следует сейчас из равенства (Ы+ь,2а+ь -

- Ыэа+ь,ь)/ = 0. Из серии равенств Ыа+ь,2а+ь = 3, Ыа+ьь = -1 следует, что 4/ = 0. Инвариантны и остальные соотношения. Поэтому - автоморфизм.

3. Автоморфизмы кольца N62(8) при 2К = 0

Исследуем описание автоморфизмов кольца Ли Ы02(К) или ЫФ(К) типа 02 над полем К при 2К = 0.

Теорема 3.1. Пусть Я - кольцо Ли ЫФ(К) типа 02 над полем К при 2К = 0. Тогда справедливы два случая.

1. Автоморфизм ф кольца R есть произведение стандартного автоморфизма, автоморфизмов вида (3) и (4), а также гаперцентральных автоморфизмов высоты 2 вида (1), (2);

2. Автоморфизм ф кольца R есть произведение ^-автоморфизма вида (5), стандартного автоморфизма, автоморфизмов вида (3) и (4), а также гиперцентральных автоморфизмов высоты 2 вида (1), (2).

Доказательство. Исследуем произвольный автоморфизм ф 6 Aut R. Кольцо R порождается аддитивными подгруппами Кеа, Кеъ и Ке2а+Ъ. Поэтому действие на них характеризует автоморфизм ф. Вначале исследуем действие по модулю R2 = = Kea+ъ + Кеза+ъ + Кеза+2Ъ. Находим аннуляторы кольца R и его степени R2:

Ann R = Кв3а+24, Ann R2 = Kea + Kea+b + Кв3а+Ь + ^+2b. Учитывая характеристичность членов верхнего и нижнего центральных рядов кольца R и характеристичность идеалов Ann R2 при x,y,z £ К, получаем

(хеа)°=хаеа modi?2, 0*4)ф = +у\ + /'e2a+b mod R\ (ze2 a+b )ф = z^ ' efl + z^ ' e + z^e2 a+b mod R2 (6)

для подходящих эндоморфизмов о, X, X', X ", ц, ц', ц'' аддитивной группы К+ поля К (пользуемся тем, что ф сохраняет сложение в R). Рассмотрим два случая.

1. Одновременно xk, yн Ф 0 при x, y Ф 0, x, y 6 K. Учитывая, что К - поле, умножив ф последовательно на автоморфизм вида (3) при t = с = z^z1)-1 и автоморфизм вида (4) при t = (yX + ух"с)"1уцИ, получаем

(xea )ф = xn e mod R2,

(yeb )ф = /e, + (yx + /VV )-')eb mod R2,

(ze2 a+b )Ф= z^ + z% a+b mod R2.

Отображение y: yy = (yX + yX''z1''(z1)-1) будет эндоморфизмом аддитивной группы поля К, так как

(x + y)* = (x + y)x + (x + y)rz^"( zц )-1 = xx + yx + ((xr + yr ) z^" (z^ )-1) = x* + y*.

Учитывая, что ф - автоморфизм, получаем, что y Ф 0. Отсюда получаем, что X' и ц' равны 0, используя равенства

0 = (yeb )ф * (ze2a+b )ф = (yX + y^z^V Г'^Ч+ь + y^^a+i mod Ann R. Исследуем о 6 End К+. Учитывая характеристичность идеалов Ann R2, R2 и серию равенств

Kea + R2 = Ann R2 = (Ann R2)ф = (Kea )ф + (R2)ф = Kn ea + R2,

из равенства Ко = К получаем сюръективность о.

Докажем инъективность о. Пусть х, y 6 К и x Ф y, тогда

(xea )ф = xn e mod R2,

(yea )ф = y"ea modR2. Предположим, что хо = уо = с, тогда

(xea)ф= cea + Y„ Y, e R2, (yea)ф= cea + Y2, Y2 e R2.

Пусть Y1 - Y2 = Y £ R2 и A = cea + Y1, 5 = cea + Y2, откуда

1)(A - £)ф" = Аф-1 - £ф-1 = (x - y)ea, 2) (A - В)ф-1 = 7ф-1 e R2.

Учитывая характеристичность R2 и 1), из 2) получаем, что 7ф = 0, откуда х = у. Инъективность с доказана. Отсюда вытекает включение с £ Aut K+. По модулю Ann R имеем

Kea+b + Ke3a+b = (Keb * ea )ф + (Kela+b * ea )ф = Kea+i + KДГ e3„+i, откуда KyF = K, = K и аналогично 1VK° = K, IK = K. Отсюда и из того, что K - поле, вытекают равенства Ky = K = K, т.е. сюръективность у, д £ Aut K+. Докажем инъективность д. Пусть x, y £ K и x Ф y, тогда

(xe3a+b )ф= ^e3a+b modR',

(ye3a+b )ф= yЦ e3 a+b mod R2. Предположим, что хд = уд = c, тогда

(xe3a+b )ф= b + Yu 7 e R2,

(ye3a+b )ф= ce3a+b + 72, 72 e R2. Пусть Yi - Y2 = Y £ R2 и A = cesa+b + Yi, В = cesa+b + Y2, откуда 1)(A - В)ф-1 = Аф-1 - Вф-1 = (x - y)e3a+b, 2) (A - В)ф-1 = 7ф-1 e R2.

Учитывая характеристичность R2 и 1), из 2) получаем, что 7ф = 0, откуда х = у. Инъективность д доказана. Аналогичное доказательство для у £ End K+. Отсюда получаем, что у, д £ Aut K+.

С точностью до умножения ф на диагональный автоморфизм мы получим

1с = iy = 1д = i.

Далее, ф-инвариантность основных соотношений кольца R дает (по модулю Ann R)

(Xeb * ea )ф = (Xeb )ф * ^ = ^ 1<J ea+b ,

(xeb * ea )ф= e\ * (xea )ф = F x^+b, (xe2a+b * ea )ф= (xe2a+b )ф * e^ = xT e3a+b, (xe2a+b * ea )ф= eJa+b * (xea )ф= 1Ц xne3a+b. Поэтому ху = Xе = хд для любого х £ K, т.е. у = с = д. Кроме того, для любых х, у £ K, с £ Aut K в силу равенств (по модулю Ann R)

x<1 У" ea+b = (^ eb )*( y"ea ) = (xeb )ф *( yea )ф = (^eb * ea )ф = ( ea+b ■ С точностью до умножения ф на кольцевой автоморфизм ст-1 мы получим, что с = 1, откуда (х £ K)

(xer)ф = xer modQ(r) (r e Ф+ \{2a + ft}), (xe2a+b)ф = xe2a+b modR2,

где Q(r) := ^ Kes. Считаем, что s > r, если коэффициенты разложения s - r по

s>r

базе П(Ф+) положительны.

Умножаем ф последовательно на внутренние автоморфизмы вида %ь(и), %2о+ь(и), Xa(u), Xa+ь(м), Xзa+ь(м), автоморфизмы вида (1), (2) и на аннуляторные автоморфизмы из леммы [12], получим

(Xea )Ф = Xea ,

(ye4 )Ф = ye4 ,

(ze2a+4 )Ф = ze2a+4 + ce3a+4 (X, У, Z c e KУ

Так как О = e * ze2a+ht = ceзa+2ь, получаем, что c = О. Значит

(xea )Ф = xea , (ye4 )Ф = ye4 , (Ze3a+4 )Ф = Ze3a+4 •

2. Хотя бы один из Xх, yH равен 0 при x, y Ф 0, x, y E K.

Лемма 3.2. В (6) для NG2(K) над любым ассоциативно-коммутативным кольцом K с единицей характеристики 2, если хотя бы один из хД у1ц равен О для некоторых х1, y1 Ф О, х1, y1 E K, то одновременно х1'', уц'' Ф О для любых х, y Ф О, х, y E K.

Доказательство. Предположим, что для некоторого х E K, х1 = О. Откуда ^ь)ф = х^-'ea + xx"e2a+ь mod R2. Проверим, что уц'' Ф О для любого y Ф О, y E K. Пусть существует такой (у Ф О) E K такой, что у1ц" = О, тогда

(y^a+4 )Ф = (ea * У^+4 )Ф = (ea )Ф * (e2a+4 )Ф = 1" уГe3a+4 mod Ann R,

(y1e3a+24 )Ф = (y1e3a+4 * e4 )Ф = (y1e3a+4 )Ф * (y1e4 )Ф = 0

т.е. получаем противоречие, так как ф - автоморфизм и идеал Ann R характеристичен. Отсюда уц'' Ф О для любого (y Ф О) E K.

Проверим, что х1'' Ф О для любого х Ф О, х E K. Пусть существует такой (х1 Ф О) E K такой, что х11' = О, тогда

(%+4 )ф = (ea * X1e4 )ф = (ea )ф * (X1e4 )ф = 0,

т.е. получаем противоречие, так как ф - автоморфизм.

Для случая уц = О для некоторого (у Ф О) E K доказывается аналогично предыдущему случаю х1 = О для некоторого (х Ф О) E K. Лемма доказана.

Умножая ф на автоморфизм (5), переходим к случаю 1. Теорема доказана.

Список источников

1. Левчук В.М. Связи унитреугольной группы с некоторыми кольцами. Ч. 2. Группы авто-

морфизмов // Сибирский математический журнал. 1983. Т. 24, № 4. С. 64-80.

2. Cao Y., Jiang D., Wang J. Automorphisms of certain nilpotent Lie algebras over commutative

rings // Intern. J. Algebra and Computation. 2007. V. 17 (3). P. 527-555.

3. Левчук В.М. Автоморфизмы унипотентных подгрупп Шевалле // Алгебра и Логика.

199О. Т. 29, № 3. С. 315-338.

4. Литаврин А.В. Автоморфизмы нильпотентной подалгебры NФ(K) алгебры Шевалле

симплектического тина // Известия Известия Иркутского государственного университета. Сер. Математика. 2015. Т. 13, № 3. С. 41-55.

5. Левчук В.М., Литаврин А.В. Гиперцентральные автоморфизмы нильтреугольных подал-

гебр алгебр Шевалле // Сибирские электронные математические известия. 2016. Т. 13. С. 467-477. doi: 10.17377/semi.2016.13.040. URL: http://semr.math.nsc.ru/v13/p467-477.pdf

6. Литаврин А.В. Автоморфизмы нильтреугольных подколец алгебр Шевалле классиче-

ских типов : дис. ... канд. физ.-мат. наук. Красноярск, 2О17.

7. Казакова А.В. Автоморфизмы нильтреугольного подкольца алгебры Шевалле типа G2 //

Сборник статей Всерос. молодежной науч. конф. «Все грани математики», Томск, 2О22. Томск : Красное знамя, 2О22. С. 28.

8. CarterR. Simple Groups of Lie Type. New York : Wiley and Sons, 1972. 331 p.

9. Казакова А.В., Кириллова Е.А. Автоморфизмы и центральные ряды нильтреугольных

подколец алгебр Шевалле // Мальцевские чтения : тезисы докладов междунар. конф., Новосибирск, 2020. Новосибирск : Ин-т математики им. С.Л. Соболева СО РАН. С. 191.

10. Gibbs J.A. Automorphisms of certain unipotent groups // J. Algebra. 1970. V. 14 (2). P. 203208. doi: 10.1006/jabr.2001.886

11. Левчук В.М., Литаврин А.В. Автоморфизмы нильтреугольных подколец алгебр Шевалле ортогональных типов // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М.Ф. Решетнева. 2016. Т. 17, № 2. С. 324-327.

12. Kuzucuoglu F., Levchuk V.M. The automorphism group of certain radical rings // Journal of Algebra. 2001. V. 243. P. 473-485.

References

1. Levchuk V.M. (1983) Connections between a unitriangular group and certain rings. Chapter 2:

Groups of automorphisms. Siberian Mathematical Journal. 24. pp. 543-557. DOI: 10.1007/BF00969552.

2. Cao Y., Jiang D., Wang J. (2007) Automorphisms of certain nilpotent Lie algebras over com-

mutative rings. International Journal of Algebra and Computation. 17(3). pp. 527-555.

3. Levchuk V.M. (1990) Automorphisms of unipotent subgroups of Chevalley groups. Algebra

and Logic. 29. pp. 211-224. DOI: 10.1007/BF01979936.

4. Litavrin A.V. (2015) Avtomorfizmy nil'potentnoy podalgebry АФ(К) algebry Shevalle

simplekticheskogo tipa [Automorphisms of the nilpotent subalgebra NФ(K) of the Chevalley algebra of symplectic type]. Izvestiya Irkutskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya Matematika - The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics. 13(3). pp. 4155.

5. Levchuk V.M., Litavrin A.V. (2016) Gipercentral'nye avtomorfizmy nil'treugol'nyh

podalgebr algebr Shevalle [Hypercentral automorphisms of nil-triangular subalgebras in Chevalley algebras]. Siberian Electronic Mathematical Reports. 13. pp. 467-477. URL: http://semr.math.nsc.ru/v13/p467-477.pdf.

6. Litavrin A.V. (2017) Avtomorfizmy nil'treugol'nykh podkolets algebr Shevalle klassicheskikh

tipov [Automorphisms of nil-triangular subrings of Chevalley algebras of classic types]. Dissertation. Siberian Federal University.

7. Kazakova A.V. (2022) Avtomorfizmy nil'treugol'nogo podkol'tsa algebry Shevalle tipa G2

[Automorphisms of the nil-triangular subring of the Chevalley algebra of type G2]. Collection of papers of the All-Russia Young Researchers' Scientific Conference "All Faces of Mathematics, " Tomsk, 2022. Tomsk: Krasnoye Znamya. p. 28.

8. Carter R. (1972) Simple Groups of Lie Type. New York: Wiley and Sons.

9. Kazakova A.V., Kirillova E.A. (2020) Avtomorfizmy i central'nyye ryady nil'treugol'nyh

podkolets algebr Shevalle [Automorphisms and central series of niltriangular subrings of Chevalley algebras]. Collection of Abstracts of the International Conference "Mal'tsev Meeting, " Novosibirsk, 2020. Novosibirsk: Novosibirsk State University. p. 191.

10. Gibbs J.A. (1970) Automorphisms of certain unipotent groups. Journal of Algebra. 14(2). pp. 203-228. DOI: 10.1006/jabr.2001.886.

11. Levchuk V.M., Litavrin A.V. (2016) Avtomorfizmy nil'treugol'nykh podkolets algebr Shevalle ortogonal'nykh tipov [Automorphisms of nil-triangular subrings of Chevalley algebras of orthogonal types]. Vestnik sibirskogo gosudarstvennogo aerokosmicheskogo universiteta imeni Akademika M.F. Reshetneva - Siberian Aerospace Journal. 17(2). pp. 324327.

12. Kuzucuoglu F., Levchuk V.M. (2001) The automorphism group of certain radical rings. Journal of Algebra. 243. pp. 473-485. DOI: 10.1006/jabr.2001.886.

Сведения об авторе:

Казакова Алёна Викторовна - аспирант Института математики и фундаментальной информатики Сибирского федерального университета, Красноярск, Россия. E-mail: [email protected]

Information about the author:

Kazakova Alyona V. (Postgraduate Student at the Institute of Mathematics and Computer Science, Siberian Federal University, Krasnoyarsk, Russian Federation). E-mail: [email protected]

Статья поступила в редакцию 26.01.2024; принята к публикации 10.04.2024 The article was submitted 26.01.2024; accepted for publication 10.04.2024