CC BY
25
Доказательство теоремы 2. Пусть V = Ч>, т. е. существует точка у* € У такая, что множество
{/(х): Ф(х) = у*}
ограничено снизу. По определению его точная нижняя граница совпадает с ш(у*). Возьмем произвольную точку у € У и покажем, что у , т. е., что множество
{/(х) : Ф(х) = у}
ограничено снизу.
Из а -накрываемости отображения Ф следует, что для произвольной точки х € X такой, что Ф(х) = у существует точка х* € X , для которой
Ф(х*) = у* и рх(х,х*) < 1 ру(у,у*).
а
Следовательно,
/ (х) > / (х*) - 1рх (х,х*) > ш(у*)--ру (у,у*)
а
для любой точки х € X такой, что Ф(х) = у . Значит множество {/(х): Ф(х) = у} ограничено снизу. Следовательно у €V .В силу произвольности выбора у € У получаем V = У .
Покажем, что функция ш является (а-11) -липшицевой. Возьмем произвольные точки у1,у2 € У , произвольное положительное число е, точку х1 € Ф-1(у1) такую, что /(х1) < < ш(у1) + е. Из а -накрываемости отображения Ф следует, что существует точка х2 € € Ф-1(у2), для которой
рх(х1,х2) < 1 ру(у1,у2). а
Следовательно,
ш(у2) - ш(у1) < /(х2) - (/(х1) - е) < 1рх(х1,х2) + е < -ру (у1,у2) + е.
а
Переходя к пределу при е ^ 0 получаем
ш(у2) - ш(у{) < ру(у1,у2).
В силу произвольности выбора у1,у2 € У из последнего неравенства следует, функция ш является (а-11) -липшицевой. □ Доказательство теоремы 3. В силу предположения 3) существует точная нижняя граница 7 > 7 множества значений функции п(-) . Обозначим
и(х) := и(х) - 7.
Очевидно, что точная нижняя граница множества значений функции и(■) равна нулю.
Покажем, что функция и(■) удовлетворяет условию Каристи (см. [16]) с константой а. Действительно, пусть х € X , и(х) = 0 . Тогда и(х) > 7 . Следовательно, по определению точной нижней границы существует значение у € и(X) такое, что
и(х) > у > ч-
В силу предположения 1) существует точка х' € X такая, что
' ' \и(х') - и(х)\
и(х )= у и рх(х,х ) <-
а
1994
Следовательно,
и(х') + арх(х, х') < и(х') + \и(х') — и(х)\ < < и(х') + и(х) — и(х') = и(х') — 7 + и(х) — и(х') = и(х).
Итак, доказано, что функция и(•) удовлетворяет условию Каристи.
Из предположения 2) и теоремы 3 из [16] следует, что существует точка минимума х* € X функция и(•) , для которой имеет место неравенство
рх(хо,х*) < и(х) = и(х0) — 7 < и(хо) — 7.
а а а
Из определения функции и(•) следует, что найденная точка х* является точкой минимума функции и(^) . □
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002.
2. Avakov E.R., Arutyunov A.V., Izmailov A.F. Exact penalties for optimization problems with 2-regular equality constraints // Comp Math. and Math. Phys. 2008. V. 48. Iss. 3. P. 346-353.
3. Avakov E.R., Arutyunov A.V., Izmailov A.F. On convergence rate estimates for power penalty methods // Comp Math. and Math. Phys. 2004. V. 44. Iss. 10. P. 1684-1695.
4. Арутюнов А.В. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки // ДАН. 2007. Т. 416. № 2. С. 151-155.
5. Uderzo A. A metric version of Milyutin theorem // Set-Valued Var. Anal. 2012. V. 20. Iss. 2. P. 279-306.
6. Arutyunov A., Avakov E., Gel'man B., Dmitruk A., Obukhovskii V. Locally covering maps in metric spaces and coincidence points //J. Fixed Points Theory and Appl. 2009. V. 5. № 1. P. 105-127.
7. Арутюнов А.В. Устойчивость точек совпадения и свойства накрывающих отображений // Математические заметки. 2009. Т. 86. № 2. P. 163-169.
8. Арутюнов А.В., Аваков Е.Р., Жуковский Е.С. Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 5. С. 613-634.
9. Арутюнов А.В., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е. О корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 11. С. 1523-1537.
10. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra equations // Nonlinear Anal. 2012. V. 75. № 3. P. 1026-1044.
11 . Arutyunov A.V., Zhukovskiy S.E. Existence of local solutions in constrained dynamic systems // Applicable Analysis 2011. V. 90. Iss. 6. P. 889-898.
12 . Арутюнов А.В., Жуковский С.Е. Локальная разрешимость управляемых систем со смешанными ограничениями // Дифференциальные уравнения 2010. Т. 46. № 11. С. 1561-1570.
13. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. К вопросу о разрешимости управляемых дифференциальных систем // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2013. Т. 18. Вып. 1. С. 49-54.
14 . Mordukhovich B.S. Variational Analysis and Generalized Differentiation. I: Basic Theory. Springer-Verlag. Berlin, 2006.
15 . Bonnans J.F., Shapiro A., Perturbation analysis of optimization problems // Springer. N.Y., 2000.
16 . Арутюнов А.В. Условие Каристи и существование минимума ограниченной снизу функции в метрическом пространстве. Приложения к теории точек совпадения // Труды МИАН. 2015. Т. 291. С. 30-44.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты №№ 15-01-04601, 16-31-50040) и гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ, № НШ-8215.2016.1.
Поступила в редакцию 10 октября 2016 г.
1995
Жуковский Сергей Евгеньевич, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: s-e-zhuk@yandex.ru
Филиппова Ольга Викторовна, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры функционального анализа, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: philippova.olga@rambler.ru
UDC 517.988.38
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-1990-1997
EXACT PENALTY CONSTANTS FOR EXTREMAL PROBLEMS
IN METRIC SPACES
© S. E. Zhukovskiy , O. V. Filippova 2)
The Peoples' Friendship University of Russia 6 Miklukho-Maklay St., Moscow, Russian Federation, 117198 E-mail: s-e-zhuk@yandex.ru 2) Tambov State University named after G.R. Derzhavin 33 Internatsionalnaya St., Tambov, Russian Federation, 392000 The Peoples' Friendship University of Russia 6 Miklukho-Maklay St., Moscow, Russian Federation, 117198 E-mail: philippova.olga@rambler.ru
A constrained optimization problem in metric spaces is considered. Conditions for the set of solutions to coincide with the set of minimum points of a penalized function are obtained. Some properties of minimum functions are studied. Key words: penalty function; covering mapping; coincidence point
REFERENCES
1. Vasil'ev F.P. Metody optimizacii. M.: Faktorial Press, 2002.
2. Avakov E.R., Arutyunov A.V., Izmailov A.F. Exact penalties for optimization problems with 2-regular equality constraints // Comp Math. and Math. Phys. 2008. V. 48. Iss. 3. P. 346-353.
3. Avakov E.R., Arutyunov A.V., Izmailov A.F. On convergence rate estimates for power penalty methods // Comp Math. and Math. Phys. 2004. V. 44. Iss. 10. P. 1684-1695.
4. Arutyunov A.V. Nakryvayushchie otobrazheniya v metricheskih prostranstvah i nepodvizhnye tochki // DAN. 2007. T. 416. № 2. S. 151-155.
5. Uderzo A. A metric version of Milyutin theorem // Set-Valued Var. Anal. 2012. V. 20. Iss. 2. P. 279-306.
6. Arutyunov A., Avakov E., Gel'man B., Dmitruk A., Obukhovskii V. Locally covering maps in metric spaces and coincidence points //J. Fixed Points Theory and Appl. 2009. V. 5. № 1. P. 105-127.
7. Arutyunov A.V. Ustojchivost' tochek sovpadeniya i svojstva nakryvayushchih otobrazhenij // Matematicheskie zametki. 2009. T. 86. № 2. P. 163-169.
8. Arutyunov A.V., Avakov E.R., Zhukovskiy E.S. Nakryvayushchie otobrazheniya i ih prilozheniya k differencial'nym uravneniyam, ne razreshennym otnositel'no proizvodnoj // Differencial'nie uravneniya. 2009. T. 45. № 5. S. 613-634.
9 . Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. O korrektnosti differencial'nyh uravnenij, ne razreshennyh otnositel'no proizvodnoj // Differencial'nie uravneniya. 2011. T. 47. № 11. S. 1523-1537.
1996
10. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra equations // Nonlinear Anal. 2012. V. 75. № 3. P. 1026-1044.
11 . Arutyunov A.V., Zhukovskiy S.E. Existence of local solutions in constrained dynamic systems // Applicable Analysis. 2011. V. 90. Iss. 6. P. 889-898.
12. Arutyunov A.V., Zhukovskiy S.E. Lokal'naya razreshimost' upravlyaemyh sistem so smeshannymi ogranicheniyami // Differencial'nie uravneniya. 2010. T. 46. № 11. S. 1561-1570.
13 . Zhukovskiy E.S., Pluzhnikova E.A. K voprosu o razreshimosti upravlyaemyh differencial'nyh sistem // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Review. Series: Natural and Technical Sciences, 2013. T. 18. Vyp. 1. S. 49-54.
14 . Mordukhovich B.S. Variational Analysis and Generalized Differentiation. I: Basic Theory. Springer-Verlag. Berlin, 2006.
15 . Bonnans J.F., Shapiro A., Perturbation analysis of optimization problems // Springer. N.Y., 2000.
16 . Arutyunov A.V. Uslovie Karisti i sushchestvovanie minimuma ogranichennoj snizu funkcii v metricheskom prostranstve. Prilozheniya k teorii tochek sovpadeniya // Trudy MIAN. 2015. T. 291. S. 30-44.
ACKNOWLEDGEMENTS: The work is partially supported by the Russian Fund for Basic Research (projects №№ 15-01-04601, 16-31-50040) and by the grant of the Russian Federation President for the state support of leading scientific schools № NSh-8215.2016.1.
Received 10 October 2016
Zhukovskiy Sergey Evgen'evich, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: s-e-zhuk@yandex.ru
Filippova Olga Viktorovna, Tambov State University named after G.R. Derzhavina, Tambov, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Functional Analysis Department, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: philippova.olga@rambler.ru
Информация для цитирования:
Жуковский С.Е., Филиппова О.В. Точные константы штрафа для экстремальных задач в метрических пространствах // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2016. Т. 21. Вып. 6. С. 1990-1997. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-1990-1997
Zhukovskiy S.E., Filippova O.V. Tochnye konstanty shtrafa dlya ekstremal'nyh zadach v metricheskih prostranstvah [Exact penalty constants for extremal problems in metric spaces]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Review. Series: Natural and Technical Sciences, 2016, vol. 21, no. 6, pp. 1990-1997. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-1990-1997 (In Russian)
1997
УДК 512.71
Б01: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-1998-2004
ДВА ЧАСТНЫХ СЛУЧАЯ БЛОЧНО-РЕКУРСИВНОГО АЛГОРИТМА ЪИ-РАЗЛОЖЕНИЯ МАТРИЦ НАД ИДЕМПОТЕНТНЫМИ ПОЛУПОЛЯМИ
Предлагаются алгоритмы для двух частных случаев блочно-рекурсивного ЬИ-разложения матриц над идемпотентными полуполями. Мы рассматриваем случаи, в которых блочная полоса имеет ширину 1 или 2. Для каждого из них мы получаем алгоритм разложения и приводим пример.
Ключевые слова: ЬИ-разложение; блочно-рекурсивный алгоритм; идемпотентное полуполе
Во многих задачах линейной алгебры построение ЬИ-разложения матрицы составляет основу решения. Это имеет место и для задач линейной алгебры над полуполями. Интерес к блочно-рекурсивным матричным алгоритмам вызван двумя причинами. С одной стороны, такие алгоритмы позволяют уменьшить число операций, а с другой стороны, они позволяют распараллеливать алгоритмы на вычислительных системах с распределенной памятью.
Целью является создание дихотомического блочно-рекурсивного алгоритма. Пока будут рассмотрены два частных случая, когда блочная полоса имеет размер 1 или 2.
Пусть Я - идемпотентное полуполе, Т - заданный в нем порядок, А € ]пхп [1]. Требуется найти нижнетреугольную матрицу Ь € Япхп и верхнетреугольную матрицу и € Япхп с рангом, отличным от нуля, для которых выполняется равенство А = Ьи над Я. Обозначим элементы матрицы А = (а^), г,] = 1,... ,п. Единицу и ноль идемпотентного полуполя обозначаем, соответственно 1 и 0 . В общем случае они отличны от числовых нуля и единицы. Будем вычислять ЬИ-разложение матрицы А без использования перестановок [2].
I. В случае п = 1 будем использовать такое разложение: Ь = (1), и = (ац). Понятно, что можно взять и другое: Ь = (ац), и = (1).
II. п = 2.
1. Если а и = ® , то возможны следующие случаи:
© C. А. Киреев
Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33 E-mail: seregakireeff@yandex.ru
Введение
Алгоритм блочного разбиения с полосой ширины два
б) если a2a^L12 >T a22, то LU-разложение не существует. 2. Если aii = ® , то возможны следующие случаи:
ац
1998
в) если а12 = ® и а21 = ®, то ЬИ-разложение не существует. III. п> 2.
1. Разобьем матрицу А на 4 блока следующим образом: А = ^ ^ ,
А € Ц(п-2)х(п-2), в € Е(п-2)х27 С € Е2х(п-2), О € К2х2.
2. Найдем ЬИ-разложение блока А. Для этого вызывем алгоритм для блока А. В случае, если блок А разложим, получим матрицы £1, ^1, для которых выполняется А = £1^. Если же разложение не существует для А, то ЬИ-разложение не существует для всей матрицы.
3. Решим матричные уравнения £1^2 = В и £3^1 = С, где и и £3 - неизвестные матрицы. Если решение не существует хотя бы для одного матричного уравнения, то ЬИ-разложение не существует для матрицы А .
Общим решением этих матричных уравнений могут быть множества матриц. Те элементы матриц в решении, которые нельзя изменить, будем называть фиксированными. Элементы, которые могут изменяться в пределах отрезка, назовем интервальными. Пусть х - фиксированный элемент, [а,Ь], [с,й] - интервальные элементы. Для работы с общими решениями матричных уравнений введем следующие операции:
• х ф [а,Ь] = [а,Ь] ф х = [х ф а,х ф Ь];
заметим, что в случае, если х >т а и х >т Ь, результатом будет фиксированный элемент
• х ф [а,Ь] = [а,Ь] ф х = [х ф а,х ф Ь];
• [а, Ь] ф [с, й] = [а ф с,Ь ф й];
• [а, Ь] ф [с, й] = [а ф с,Ь ф й].
С помощью этих операций будем находить произведение £3^2 на следующих шагах алгоритма.
Обозначим ит, £т - матрицы с наибольшими значениями на интервальных элементах решения. и0,£3 - матрицы с наименьшими возможными значениями, т. е. фиксируем алгебраические нули на интервальных элементах решения.
4. Проверяем, существует ли для блока О ЬИ-разложение. Так как О € Я2х2, то используем алгоритм для матриц второго порядка, описанный выше.
5. Если разложение О = £4 и существует, то возможны следующие случаи:
а) если £0и0 <т О (должны выполняться все неравенства соответствующих элементов), £1 0 ) ( и и20
то £ = тГ[ , и = .
V £3 £4 / V ® и4
б) если £зи0 ^т О, то ЬИ-разложение матрицы А не существует.
Если мы не хотим лишних нулей в ЬИ-разложении, то нужно найти произведение общих решений £з3и2- Из полученного множества матриц выберем матрицу, для которой выполняется £зи <т О. Затем зафиксируем значения на интервальных элементах в £3 и и такие, при которых получается выбранная матрица.
6. Если для блока О не существует ЬИ-разложение, то мы должны решить следующую подзадачу:
£3и2 ф О = Б.
1999
Из решений матричных уравнений на шаге 3 необходимо выбрать такие матрицы Ьз и и2, для которых выполняется Ьзи2 <т О и среди решений подзадачи есть разложимая матрица
О = Ь'Аи'А.
В случае, если матричное уравнение не имеет решений, или среди решений отсутствует разложимая матрица при всех Ьз, и2 , разложение А = Ьи не существует [3].
Пусть О = ((1ц), О = ), Ь3и2 = (е^), г,] = 1, 2. Опишем алгоритм решения этой подзадачи.
а) Среди всех решений Ьз, и выбираем такие, для которых выполняется хотя бы одна из систем:
(1)
ei2 = di2; ец <т dii; e2i <т d2i; е22 <T ¿22 ■
(2)
e2i = ¿2i; eii <т dn; ei2 <т di2; e22 <т ¿22.
Если таких матриц среди решений нет, то ЬИ-разложение не существует. б) Если (11 = ® и (22 = ®, то найдем число
( = ЙЙ ■ Заметим, что ( = , т. к. в противном случае (21 = ® или (12 = ® , откуда следует, что матрица О разложима и шаг 6 алгоритма не выполнялся бы.
В случае выполнения системы (1) :
/ ( , если dn = di2 = { d„
и d22 = fl в противном случае.
Остальные элементы матрицы О совпадают с элементами матрицы О. В случае выполнения системы (2) :
( = { ^Т, если (ц = ® и (22 = 0; 21 \ Ю, в противном случае.
Остальные элементы матрицы О совпадают с элементами матрицы О. Таким образом, получили разложимую матрицу О , которая является решением матричного уравнения ЬзЩ Ф О = Б.
в) Найдем разложение О = Ь4и4 , воспользовавшись алгоритмом для матриц второго порядка. Таким образом, ЬИ-разложение матрицы А :
L
Н Li 0 ) и = Н Ui U2 )
U L'J ,U ii U'J ■
При
I 2
3
A' =
мер. Найдем над max, + LU-разложение матрицы 4 3 7 5 6 \
2 1
5
V 4
I. A
LiU = B, LsUi = C;
56 45 33 77 6 9 24 35
8 7 9 11 11
7
8 6 10 12
7 7
9 12 11 /
= (:Ди= (2 5)^46 7)-с= (14);
получаем U2 = (6 м ); U0 = () 7);
Ls
( 1 №,-1] У ro =M OA V -1 №, -2] ) ; Ls V -1 ® )
решаем
2000
О - разложимый, так как 3 + 7 — 5 = 5 < 9; £4 =
выполняется. Разложение
( —2!)-и = Ц 7) <т О;
£1
0
3
(2 6 )<т( 3 9);
£03 £4
II. £
1
/ 1 о 0 0 \ 2 43 7 5 6
1 0 0 , и1 = 0 56 0 , В = 7 7
1 0 1 0 0 5 7 8 7
V —1 0 —2 \ V 0 0 0 9 6 9
и- и0
и4
С=
( 5 7 7 11 ( ;
у 4 6 9 11 );
5
£-^2 = В, и2 =
6
£3и- = С; £3 = 10 12
7 [ , 7]
8 7 [ , 6] 9 ) ( 3 [ , 1] 2 2 , 3 1 [ , 2] 2
, 2] ,
2, 2] .
О
2 [0, 1] 4 [0, 2] У ' V 2 [0, 1] 4 [0, 2] ( 1о ) - не разложим, так как 12 + 12 — 10 = 14 > 11; й =3;
0 5 6 \
£3и2 =
(
3 [®, 1] 2
2
^ 2 1 2 [0, 1] 4 [0, 2]
10 11 ; 12 11 ;
7 [ , 7] 87 [ , 6] 9
10 12 12 11 х / = ( 1 ® \ и' / 10 12 9 11 у ~4 V -1* ) V ® 11
В £3 и и2 фиксируем наибольшие значения и получаем разложение для матрицы А
10 <т (
(
^ ; выполняется система (2), значит 11 п \ ,
иА =
( 1 0 0 0 0 0 \ 2 43 7 5 6 \
1 1 0 0 0 0 0 56 0 7 7
1 0 1 0 0 0 , и = 0 5 7 8 7
—1 0 —2 1 0 0 0 0 0 9 6 9
3 1 2 2 1 0 0 0 0 0 10 12
V 2 1 4 2 —1 V 0 0 0 0 0 11 /
£
Алгоритм блочного разбиения с полосой ширины один
I. В случае п = 1 будем возвращать разложение таким: £ = (1), и = (а11). Заметим, что в случае а11 = ® может потребоваться разложение вида: £ = (©), и = (1).
II. п> 1.
1. Разобьем матрицу А на 4 блока следующим образом: А = ^ А , А € Я(п-1)х(п-1), В € Я(п-1)х1, С € Я1х(п-1), О € Я.
2. Найдем ЬИ-разложение блока А. Для этого вызывем алгоритм для блока А. В случае, если блок А разложим, получим матрицы £-, и-, для которых выполняется А = £-и-. Если же разложение не существует для А, то ЬИ-разложение не существует для всей матрицы.
3. Решим матричные уравнения = В и £3^ = С, где и и £3 - неизвестные матрицы. Если решение не существует хотя бы для одного матричного уравнения, то ЬИ-разложение не существует для матрицы А .
4. Проверяем, выполняется ли £3и <т О. Для этого нужно найти произведение общих решений £3и2 с помощью операций, введенных в предыдущем алгоритме. Если на шаге 3 получено
2001
