CC BY
68
УДК 528 (091); 528 (092)
ТОЧНОСТЬ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ РАБОТ В ДРЕВНЕЕ ВРЕМЯ (НА ПРИМЕРЕ ПРОБИВКИ ТУННЕЛЯ НА ОСТРОВЕ САМОС)
Мария Леонидовна Синянская
Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, аспирант кафедры инженерной геодезии и маркшейдерского дела, тел. (913)010-35-56, e-mail: mariyateterina8888@mail.ru
В статье описывается технология геодезических работ в древнее время, отмечается точность таких работ на примере пробивки туннеля встречными ходами на острове Самос. Дается геодезическое обеспечение прямолинейно-прямоугольного хода строительства туннеля.
Ключевые слова: точность измерений, средняя квадратическая погрешность, хоробата.
PRECISION SURVEYING IN ANCIENT TIMES (FOR EXAMPLE, PUNCHING TUNNEL ON THE ISLAND OF SAMOS)
Maria L. Sinensky
Siberian State University of Geosystems and Technologies, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., graduate, tel. (913)010-35-56, e-mail: mariyateterina8888@mail.ru
The article describes the technology of surveying in ancient time, there is the accuracy of such works on the example of a perforation tunnel counter moves on the island of Samos. Given a geodesic support straight-rectangular course of the construction of the tunnel.
Key words: accuracy, root mean square error, hororata.
Получить представление о точности геодезических работ в древнее время можно по сохранившимся до нашего времени сооружениям. Наиболее характерен для определения точности работ в древнее время достоверный и доступный для расчета пример - пробивка туннеля на острове Самос. По исследованиям раскопок на этом острове известно, что длина этого туннеля 1036 м. Пробивка туннеля осуществлялась одновременно с двух концов - с северного и южного. На стыке двух пробивок несовпадение в плане достигает 6 м, а по высоте - 1 м. Определено, что внутри туннеля по правой стороне пола пробит канал, в котором по деревянным желобам текла вода [1, 2, 5, 7].
Геодезическое обеспечение строительства туннеля выполнено в виде прямолинейно-прямоугольного (рис. 1.) и нивелирного ходов. Нивелирный и плановый хода были проведены в пределах доступной точности и превысили длину туннеля не менее чем в 1,5 раза. Самое точное нивелирование представлялось как водное, в частности с применением хоробаты, брус в которой (с выемкой для воды) имел длину 6 м [4].
Рис. 1. Прямолинейно-прямоугольный ход
Высотная точность. Чтобы установить точность нивелирования на станции (¡), воспользуемся формулой подсчета средней квадратической погрешности (СКП) для хода, состоящего из п-го количества станций:
где п - число станций (одна станция - одно уложение инструмента) в нивелирном ходе (250, имея в виду, что длина нивелирного хода 1,5 км, а длина хороба-ты 6 м, откуда п=1500/6);
Л - точность нивелирования на станции; тн - СКП нивелирного хода.
Общая точность нивелирования (тобщ) определяется величиной нестыковки в 1 м и состоит из двух частей: точности нивелирного хода между точками входа и выхода из туннеля (тн), точности, полученной при пробивке туннеля (тг - ошибка горизонтирования):
где А - ошибка горизонтирования при пробивке туннеля в секундах; 5000 - протяженность половины туннеля в см; р - константа перехода из градусной меры в радианную (р=206265''). Второй член в правой части формулы (3) определяет точность пробивки туннеля по горизонтали от начала (или от конца) до середины. При этом А определяет ошибку в направлении оси, допущенной при пробивке туннеля. Величина ошибки пробивки туннеля в заданном направлении не может быть менее 3'. Ранее [4] было определено, что ошибка в направлении при использовании диоптры колеблется от 3' до 15'. В VI в. до н.э., вероятно, диоптры еще не использовались. При пробивке туннеля на острове Самос для горизонтирования возможно использовалось какое-либо устройство с использованием воды [1, 2, 7, 10]. Значение л/2 характеризует точность нивелирования, связанную с
входом и выходом, одинаковую, поэтому второй член выражения умножен на72[3].
Из формулы (2) можно установить соотношение между л и А, значения которых определяются соответственно ошибками в нивелирном ходе и в туннеле. Эти соотношения приведены в табл. 1. Из них вытекает, что наиболее вероятные значения А и л соответственно равны 4,8' и 1,1 см.
Таблица 1
Таблица возможных значений СКП нивелирного хода
А (мин) тн (см) тг (см) Л (см)
3 77,4 1 4,9
4 55,3 1,4 3,5
4,5 37,9 1,5 2,4
4,8 17,4 1,6 1,1
тн = тг 4,3
В любом случае, исходя из приведенных расчетов, ошибка на станции в нивелирном ходе была близка к 1 см. Из этого следует, что ошибка нивелирного хода:
т„ = {1л/п = 1см-\/250 = 15,8 см.
Имея в виду, что длина хода равнялась 1,5 км, получим, что СКП нивелирного хода (нивелирования) на 1 км хода равняется примерно 10 см. Этот показатель вполне соотносится с соответствующими характеристиками логистического закона этого периода развития [9, 10].
Второй вариант расчетов (замкнутый ход). Если предположить, что две части нивелирования (в ходе и в туннеле) составляют в целом замкнутый нивелирный ход, длиною в 2,5 км, то применяем формулу:
/= тпрл/Ь, (3)
где / - невязка нивелирного хода;
тпр - предельная СКП;
Ь - длина замкнутого нивелирного хода в км.
При значении f=1 м и Ь=2,5 км, получим, что тпр=62 см. Откуда следует, что ошибка на 1 км хода будет равна около 20 см. Следовательно, в эту эпоху ошибка нивелирования характеризовалась величиной 10 см на 1 км хода и более; порядка 1 см была ошибка на станции.
Плановая точность. Как известно, нестыковка в плане двух «пробивок» туннеля составила около 6 м. Эта величина в какой-то мере показатель точности геодезических измерений при пробивке туннеля с двух сторон.
На каждой станции допускались три вида ошибок: линейные, угловые и ошибка трассирования [1, 2, 7]. Примем угловую ошибку на станции в 5', а ли-
нейную - 1:1000. Примем, что стороны хода были длиной 50 м, а число сторон такого хода будет порядка 30. Тогда линейная ошибка по ходу:
а общая угловая ошибка:
На входе в туннель строился прямоугольный треугольник для определения направления оси туннеля [1, 2, 4, 7]. Пусть линейные ошибки двух катетов этого треугольника одинаковы и равны та. Тогда общая ошибка будет равна:
ть = = + ш\ = та\! 2
из этого получим:
Исходя из прямоугольности треугольника, получим, что направление оси туннеля определяется как:
(4)
Дифференцируя (4) и подставляя соответствующие значения, получим:
Сг+а <5>
та 2
-— = 7П
№5*0: а
Для простоты дальнейших расчетов в целях определения приближенного значения та будем полагать, что а=5Ь. Такое соотношение между катетами вполне справедливо с учетом конфигурации хода и длины туннеля (1036 м). При этом, учитывая, что длина хода равна 1,5 км, получим, что а+2Ь=1500 м или 5Ь+2Ь=1500 м, откуда следует, что Ь=214 м и а= 1071 м. Получим, что:
(6)
Чтобы получить значение та в градусной мере правую часть выражения (6) умножим на постоянную - радиан (р=206265'') и подставим а=107100 см, та=19,6 см. Также учтем, что длина туннеля около 1 км, и полагая, что а=5Ь, то, Ь-200 м, тогда 1§а=0,2, а соэа=0,98~1 (а=11°03'), получим та=38''.
Будем полагать, что относительная ошибка всего хода в целом (1,5 км) в размере 1:1000 дает величину 1,5 м, тогда:
т.е. в 5 раз больше чем приведенная выше (19,6 см). В этом случае та будет увеличена также в 5 раз, т.е. при та=106 см, получим та=3'26'~3,5'. По вычисленному значению угла а производилась пробивка с двух сторон[1, 2, 7]. Имея в виду, что ошибки угловых измерений по ходу и ошибки в ориентации значительно больше указанной величины (3,5'), то в дальнейшем расчетной величиной та можно пренебречь.
Обозначим ошибки при пробивке туннеля с двух сторон как т1 и т2, тогда СКП туннеля выразим как тТ. Полагая, что т\=т2, получаем:
тТ = т1л/2 (7)
Таким образом, окончательная СКП (известна и равна 6 м) тобщ выйдет как результат ошибок, допущенных при прокладке прямолинейно-прямоугольного хода (тх) и пробивке туннеля (тт). Получим, что:
(8)
где Лу - СКП на станции, за счет ошибки в построении прямого угла на каждой станции, а также ошибки трассировки; п - число станций в ходе.
Значения тх и тт могут быть выражены как в метрической (линейной) форме, так и в угловой, тогда:
(9)
где Б - длина половины туннеля (500 м).
Выражая ¡лу относительно всех других членов выражения (9), получим:
(10)
Задавая различные значения т1 будем получать ¡лу. В результате вычислений получена следующая табл. 2:
Таблица 2
Таблица возможных значений плановой СКП
т1, т2 (мин) тт (мин) тх (мин) (мин)
10 14,1 38,8 7,1
15 21,2 35,8 6,5
20 28,2 30,8 5,6
25 35,3 22,6 4,1
тт = тх 5,3
Исходя из общей величины нестыковки северного и южного туннелей, равному 6 м, точность ориентировки туннеля (m1 и m2) колеблется от 10' до 25'. Ошибка в трассировании сторон хода (и построении прямого угла) на станции изменяется соответственно от 4,1' до 7,1'. В то же время ошибки mi и m2 в ориентации оси туннеля были, с учетом приведенных в таблице результатов, больше в 2-6 раз. Если принять соотношение между ¡лу и m1, в 4-5 раз, то значение = 5,6' и m1=20', наиболее реально для геодезических измерений, выполнявшихся в исследуемое время при решении различных инженерно-технических задач [3, 6].
Так, в геодезических работах в эллинистическую эпоху при проложении прямолинейно-прямоугольных ходов, суммарная ошибка в построении прямого угла и трассирования имела значение 5-6'. Анализ точности рассмотренного выше нивелирования показал, что ошибка горизонтирования при пробивке туннеля была близкой к 5' [3]. Точность построения прямого угла в особых условиях (например, при строительстве пирамид) с использованием египетского треугольника могла достигать 1,5-2' [5, 6, 8].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Гудфилд Д. Тоннель Эвполина [Электронный ресурс] - Режим доступа: http://www.kachestvo.net/news.php?id=658.
2. Задача про туннель [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://geodesist.ru/forum/threads.
3. Тетерин Г. Н. О точности геодезических измерений (исторический аспект, тенденции развития) // Геодезия и картография. - 1997. - № 8. - С. 49-53.
4. Тетерин Г. Н. История геодезии (до XX в.). - Новосибирск: ООО «Альянс-Регион» 2008 - 300 с.
5. Тетерин Г. Н. Биографический и хронологический справочник (Геодезия, до ХХ в.). -Новосибирск: СГГА. - 2009. - 516 с.
6. Тетерин Г. Н., Синянская М. Л. Геометрическая концепция и теория развития (предопределенности) геодезии: монография. - Новосибирск: СГГА, 2014. - 239 с.
7. Apostol Т.М. The Tunnel of Samos [Электронный ресурс] / T.M. Apostol // ENGINEERING & SCIENCE. - 2004. - № 1. - С. 30-40. - Режим доступа: http://www.freerepublic.com/focus/chat/2221910/posts.
8. Синянская М. Л. Прямоугольность как геометрический фактор развития геодезии // Вестник СГГА. - 2013. - Вып. 1 (21). - С. 11-15.
9. Синянская М. Л. Логистический закон развития геодезии как пространственно-временная предопределенность // Вестник СГГА. - 2014. - Вып. 3 (27). - С. 54-63.
10. Тетерин Г. Н., Синянская М. Л. Теория развития геодезии и факторы предопределенности // Вестник СГГА. - 2014. - Вып. 1 (25). - С. 3-11.
© М. Л. Синянская, 2015
