Точное решение задачи о пространственном взаимодействии ударной волны с движущимся клином Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том VI 1975

№ 4

УДК 533.6.011

ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ПРОСТРАНСТВЕННОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ УДАРНОЙ ВОЛНЫ С ДВИЖУЩИМСЯ КЛИНОМ

В. П. Колган,

Рассмотрен новый класс точных решений задачи о пространственном взаимодействии ударной волны и движущегося клина. Приведены значения параметров, определяющих найденный класс решений.

Проблема взаимодействия ударной волны с движущимся телом является достаточно сложной и в общем случае может быть решена только с помощью численных методов. Однако в некоторых случаях удается найти такие условия, налагаемые на форму тела и параметры задачи, при которых картина взаимодействия достаточно проста. В ряде работ (например, [1, 2]) рассмотрены различные случаи плоской задачи о набегании ударной волны на клин, движущийся со сверхзвуковой скоростью, и определены значения параметров, при которых ударные волны после взаимодействия не искривляются и потоки за ними остаются однородными.

Покажем, что и в пространственной задаче существуют аналогичные случаи взаимодействия ударной волны и движущегося клина. Правую прямоугольную, декартову систему координат х, у, г, связанную с клином, расположим так, чтобы ось х совпадала с передней кромкой клина, а ось у была перпендикулярна вектору невозмущенной скорости

V0 (фиг. 1). Движение со скольжением сводится к рассматриваемому с помощью преобразования Галилея. Орт нормали

к поверхности клина w имеет компоненты

w {0, cos е, sine}, (1)

где е — угол клина.

Компоненты орта нормали щ к поверхности присоединенной волны уплотнения записываются в виде

{0, cos (е + 8), sin (е + 5)}, (2)

здесь 8— угол между поверхностью клина и фронтом присоединенной волны

Пусть на рассматриваемый клин спереди набегает плоская ударная волна,

л

фронт которой распространяется в направлении орта и2- Рассмотрим условия, которые необходимо наложить на параметры задачи, чтобы при взаимодействии фронты ударных волн не искривлялись и отсутствовали отраженные ударные волны и контактные разрывы.

Во-первых, интенсивности присоединенной и набегающей ударных волн должны быть равны. Тогда после их взаимодействия не образуется контактного разрыва.

Во-вторых, угол между присоединенной и набегающей ударной волной должен иметь определенную величину 2 ю*, получаемую из решения уравнения

cos 2 <»* =-i-ft — 1), (3)

где f — показатель адиабаты.

Из теории отражения ударных волн известно (см. например, [3]), что при такой величине угла между взаимодействующими волнами фронты падающей и проходящей волн лежат в одной плоскости. Иными словами фронты волн не испытывают искажения при взаимодействии. Это справедливо для случая 1<7<3 при произвольной интенсивности ударных волн. При этом величина давления газа р2 после взаимодействия оказывается точно такой же, как и при лобовом столкновении ударных волн

= (Зт — l)Pi + Cr— 1)Л> /4>

Pi (7+ 1)А>+ (Т— !)Pi ’

здесь ро — давление в невозмущенном потоке, pt — давление за фронтом падающей ударной волны.

В-третьих, набегающая, ударная волна должна распространяться в направлении, параллельном верхней поверхности клина. В этом случае набегающая ударная волна после взаимодействия не образует отраженных от стенки новых ударных волн. Если выбрать орт нормали и2 к фронту набегающей ударной волны в виде

п2 {— s cos е sin р, s sin е cos р, — s cos е cos Р}, (5)

где s = (1 — sin2 £ sin2 Р)—1/2, Р — угол между осью х и линией пересечения фронта

набегающей ударной волны с плоскостью у = 0, то третье условие будет выпол-

нено автоматически, так как из выражений (1) и (5) следует

(и2, w) = 0.

Для выполнения второго условия необходимо наложить ограничение на величину угла р, так чтобы выполнялось соотношение

(пи я2) = — cos 2 о*,

откуда, после подстановки выражений (2) и (5), получаем

s cos р sin 5 — cos 2м*. (6)

Угол р может принимать значения в диапазоне 0 <; р <; 2 м*. Очевидно, что случай р = 0 приводит к плоской задаче, рассмотренной ранее в [1]. При Р=2и>Н! угол клина е = 0, угол волны уплотнения В = я/2 (волна уплотнения прямая), сверхзвуковое число М для невозмущенного набегающего потока может принимать произвольное значение.

Итак, выполнение указанных выше трех условий обеспечивает отсутствие преломления ударных волн в рассматриваемом пространственном течении. Для выбранных значений угла клина е и числа М можно подобрать такое значение угла р, чтобы выполнялось второе и третье условия и реализовать указанное течение. В результате имеем семейство решений задачи, зависящее от трех независимых параметров, например, М, р и 7.

На фиг. 2 и 3 приведены рассчитанные в соответствии с указанными условиями зависимости величины угла клина е от числа М невозмущенного потока при различных значениях угла р и значениях показателя адиабаты 7 =1,4 (фиг. 2) и 7 = 2,5 (фиг. 3).

Рассмотрим особенности приведенных зависимостей е = е (М). При фиксированном значении угла р и возрастании числа М до бесконечности угол клина е монотонно увеличивается, стремясь к некоторому предельному значению Soo , зависящему от значения р. Зависимость е^ от величины угла р для различных значений f приведена на фиг. 4. Для значений l<f<2 с увеличением р от

нуля до некоторого Pi = arc cos (7 — 1) величина сначала увеличивается от-

до максимально возможного предельного значения = arc sin —.

При дальнейшем увеличении р от Рх до 2(0,. величина уменьшается от

есо= arcsin -1— до нуля. Кривая е = е(М), соответствующая P = Pi, пересекается

по нормали с осью абсцисс при М = 2 независимо от значения параметра f, Огибающей всего семейства линий е(М, Р) при f= const является кривая е=епр(М). обозначенная на фиг. 2 пунктиром. Здесь еПр обозначает предельно возможный угол поворота потока при данном числе М. Из данных фиг. 2 видно, что через каждую точку (М, в), лежащую в области между кривой для р=0 и огибающей, проходят две различные кривые найденного семейства решений, соответствующие разным значениям угла р. Известно, что поворот сверхзвукового потока на угол е, вообще говоря, можно осуществить двумя способами — с сильной или слабой ударной волной. Из двух кривых, проходящих через данную точку,, кривая с большим углом наклона касательной к оси абсцисс соответствует слабому скачку, а кривая с меньшим наклоном — сильному. В области, лежащей правее кривой р = 0, рассматриваемые течения возможны только при наличии сильного скачка уплотнения на клине.

При значениях 2 < f <3 кривая, соответствующая P = Pi, отсутствует. При изменении величины р от нуля до 2<о4 значение монотонно уменьшается от еоо= “* д0 НУЛЯ- Характерно, что в этом диапазоне изменения f все кривые-е = е(М) не имеют точек с вертикальной касательной, тогда как при 1 2

такие точки обязательно существуют. Огибающей семейства линий е = е (М> является только часть кривой е = епр(М), заключенная между осью абсцисс и некоторой точкой А (фиг. 3), в которой кривая е = епр(М) и кривая семейства решений при р = 0 касаются. Можно показать, что угол клина, соответствующий точке А, определяется формулой

(1- 0(4-7)+ /(T-»m-2)(3-f)+l V(-i+ 1) (3 — т) (2-л) + /(Т-1)(Т-2)(3-7)+1

Автор благодарен К. А. Бежанову за ряд ценных, указаний.

ЛИТЕРАТУРА

1. Голубинский А. И. Набегание ударной волны на клин, движущийся со сверхзвуковой скоростью. ПММ, т. 28, вып. 4, 1964.

2. АрутюнянГ. М. О набегании ударной волны на клин,движущийся со сверхзвуковой скоростью. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1968, № 4.

3. Курант Р., Фридрихе К. Сверхзвуковое течение и ударные волны М., Изд. иностр. лит., 1950.

Рукопись поступила 2JjVl 1974 г~