Точное неравенство Джексона-Стечкина в l для наилучших приближений тригонометрическими полиномами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТОЧНОЕ НЕРАВЕНСТВО ДЖЕКСОНА-СТЕЧКИНА В ДЛЯ НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ПОЛИНОМАМИ1

С. Н. Васильев (Stanislav.Vasilyev@imm.uran.ru) Институт математики и механики УрО РАН

Пусть Ь2 есть пространство 2п-периодических комплекснозначных функций с конечной нормой

1 гп \ V2

1 I , „, , ,2 , \

' —п

И

ЕЛ!) = ьЧ \\! - я\\ ■ д(х) = £ яье'к', яь е С

^ к=—п

есть величина наилучшего приближения функции ! е Ь2 пространством тригонометрических полиномов степени не выше п с комплексными коэффициентами. Символом М = {Из обозначим ненулевой набор комплексных чисел Из, такой, что ^2зе-£ | Из I < Определим разностный оператор по набору М

Ам!(х) = ^ Из! (х + А),! е Ь2, I е Е.

Чтобы

м В НуЛЬ Нс1 КОНСТаНТаХ^ ДОЛЖНО ВЫПОЛ-

няться равенство Из = 0 Для разностного оператора Ам определим модуль непрерывности

им(!,5) = 8ПР \\АМ!\\, ! е Ь2, I е Е, 5 > о. (1)

Конечному набору Мт = {из = (—1)т—зОт}т=0 (все остальные коэффициенты Из равны нулю) соответствует классический модуль непрерывности имт (!, 5) = ит(!, 5) порядка т.

В 1967 г. Н.И. Черных [1] доказал неравенство

Еп—Л!) < -От ит! п), ! е ¿2, п,т е Н, (2)

причем константу 1/л/О^т нельзя уменьшить при фиксированных п,т е Н, п > т. Подобные оценки величины Еп(!) через значение модуля непрерывности им (!, 5) в некоторой точке 5 называют неравенствами типа Джексона-Стечкина. В работе [2] доказано, что точное неравенство типа (2)

верно для

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 02-01-00782, 02-01-06159) и Совета по государственной поддержке ведущих научных школ (проект 00-15-96035).

широкого класса модулей непрерывности, содержащего классические модули непрерывности дробного порядка т Е К, и более того, вместо значения модуля непрерывности в точке можно брать значение в точке | П Здесь будут приведены точные неравенствах типсХ Джексона (лсчкпна для класса модулей непрерывности, содержащего все модули непрерывности шм если М удовлетворяет условию | ^ ¡з |2 < з^ъ |2-

Для произвольной функции / € Ь2 запишем ряд Фурье /(х) = ^2к^ъ /ке%кх • Тогда, как известно, ЕП(/) = ^2\к\>п \/к|2- Поскольку ряд ¡з абсолютно

СХОДИТСЯ ^ то

дм/ii2 = £ /кмщ, ф) = м)

кеж

(3)

Здесь р — неотрицательная 2^-перподпческая функция. Из условия ¡з = 0 следует, что р(0) = 0.

Обозначим символом Ф класс всех неотрицательных интегрируемых ограниченных 2^-периодических функций те эквивалентных нулю. Для р Е Ф определим модуль непрерывности равенством

и<р(М = *ир /к|2р(Н)) , /(х) = £ Ткек Е 12. (4)

кк

Из (1) и (3) видно, что в таком виде представимы все модули непрерывности, соответствующие разностным операторам с постоянными коэффициентами, если сумма модулей коэффициентов ограничена.

Обозначим через I(р) = среднее зндчение функции р на пери-

оде. Легко убедиться, что если р = рм, то I(р) = ^^|2-

Теорема 1. Для каждой функции р Е Ф существует число ^ > 0, зависящее только от р, такое, что для любых / Е Ь2 и п Е N выполняется неравенство

Еп-1(/' < ^ (/'П) . <6)

Для доказательства теоремы потребуется следующая лемма.

Лемма 1. Для любой функции р Е Ф существуют число ^ > 0 « неотрицател,ьная, непрерывная на [—1,1] функция V, не равная тождественно нулю, такие, что при всех К Е К К > 7, верно неравенство

J р(ммг)сИ > I(р) у v(t)dt.

2

Доказательство. Обозначим ф(Ь) = + ц>(—^)/2. Очевидно, что ф также лежит в классе Ф, и I(ф) = I(ф)\ кроме того, функция ф — четная. Потребуем, чтобы функция V С)ЫЛа четной^тогда

[ ^(кф(г)м = ! ф(ммг)& = 2 [

и-1 и-1 ио

Найдем неотрицательную на [0,1] ненулевую функцию V и константу ^ > 0, такие, что при \к\ > 7 выполнено неравенство

[ ф(ы^(г)м > I(ф) ! v(t)dt, (6)

ио ио

отсюда будет следовать утверждение леммы.

По функции ф определим функции Сз (3 = 0,1, 2,...) следующим образом:

ш = I(ф) - ф^), Сз^) = [ Сз-1 (фх при 3 е Н, t е Е

о

Так как функция ф — чётная, то при нечетном 3 функции Сз

Н6Ч6ТНЫ? а При

четном 3 функции Сз тётны. Очевидно, что когда ф эквивалентна константе, утверждение леммы выполнено для любой функции V. Далее будем считать, что ф те эквивалентна константе, тогда £0 не эквивалентна нулю. Из определения I(ф) следует, что /о С0(t)dt = 0. Пусть

5 = шш|3 е Н : ^ Сз (^ = ^ .

Число 5 конечно, так как если /02п Сз (t)dt = 0 при вс ех 3 = 0,1,2,..., то

1оП С0(Ъ)&dt = 0 при вс ех 3 = 0,1, 2,..., а ненулевая функция Со не может быть ортогональна всем алгебраическим полиномам в Ь2. Заметим, что при 0 < 3 < 5 Сз ЯВЛЯЮТСЯ 2^-периодическими. Отсюда, в частности, следует, что 5 — четное число, поскольку интеграл по периоду от нечётной функции равен нулю.

Рассмотрим величину

о

Из определения С« находим, что

д^,к)= [ (I(ф) - ф(Ы)) v(t)dt = I(ф) [ v(t)dt -[ ф(кф(^. (7) ио ио ио

Сравнивая (6) и (7) видим, что для доказательства леммы достаточно найти такие неотрицательную функцию V и число ^ > 0 чтобы величина Q(v,к) была

неположительна при к > 7 (поскольку Q(v,h) = Q(v, —к), далее будем рассматривать только положительные к). Потребуем, чтобы на отрезке [0,1] функция V была непрерывно дифференцируема 5 — 1 раз и кусочно дифференцируема 5 раз. Интегрируя выражение для Q(v, к) по частям в раз, находим, что

1

Q(v,h) = I £s)(ht)v(t)dt

L

( 1)5+16s-3)(ht)v(3-1)(t)

1 h

5 = 1

+ 1 b(ht)v(s)(t)dt. (8)

При j = 1, 2,..., s значения j)(0) равны нулю. Потребуем, чтобы значения v(j-1^(1) были равны нулю, тогда внеинтегральная сумма в правой части (8) будет равна нулю. Покажем, что интеграл (—1)s J0 $iS(ht)v(s"1 (t)dt можно сделать неположительным при \h\ > 7 для достаточно большого числа 7. Обозначим

г 2п

a = Cs(t)dt. Jo

Из определения числа s следует, что a = 0.

Случай 1: a < 0. Положим v(t) = (1 — t)s/s\. Эта функция удовлетворяет всем наложенным выше ограничениям. Так как её производная порядка s тождественно равна (—1)s, то Q(v,h) = f0 ^s(ht)dt/hs. Определим величину

b = sup / £s(x)dx. 0<t<2n Jo

На отрезке [0,1] у функции £s(ht) есть \Jn~\ полных периодов, интеграл по каждому из которых равен 2na/h < 0 (здесь [x] означает целую часть числа x).

b/h b

делению является наибольшей величиной интеграла с левым концом в точке, соответствующей нулю. Следовательно ?

[ Uht)dt < h

h_ 2П

+1 ю

Заметим, что при больших к первое (отрицательное) слагаемое в правой части (9) будет больше по модулю, чем второе. То есть, при

Ь

к > 7 = 1 — 2п-а

интеграл /0 будет неположителен (выражение — 2пЬ/а неотрицательно^

поскольку в рассматриваемом случае а < 0 и Ь > 0).

o

Случай 2: а > 0. Напомним, что 5 — четное натуральное число. Возьмем неотрицательную на отрезке [0, ] Функцию

{ ^ /5! при t е [0,1],

и() =\ (Г - 2^ - 1)«)/5! при t е [1, ].

Очевидно, что и= 1 при t е [0,1], и и= -1 при t е [1, ]• Легко

проверить, что на отрезке [0, ] функцпя и(Ь) непрерывно дифференцируема 5 - 1 раз. Положим

= и (ц - V ^

- 1

Тогда v{s)(t) = -1 при t е [0, -щ], и v{s)(t) = 1 при t е [-4—, 1], причем все ранее наложенные на функцию ^ ^^^^^^^^^^^ ^^^толняются. Так как 5 > 2, то длина первого отрезка строго больше длины второго. При к > 2п/(-щ - 1) существует такое число £ е Н, что в отрезке [0, -4-] найдется отрезок вида [-4- -—П£, 1 - —П£], то есть отрезок [-щ, 1] сдвинутый на целое число периодов функции Си(Ы). Так как v(s\t) на этих отрезках равна по модулю и противоположна по знаку, то сумма интегралов от Сs(кt)v(s"l (t) по этим отрезкам будет равна нулю. На оставшемся множестве и = [0, 4- - —П£] и [1 - —П£, ] ФункДия v(s\t) тождественно равна -1 к

интеграл от СДк^ по множеству и неотрицателен.

Введем величины

г-ь

Ь = т£ / Сs(x)dx, с = т£ / Сs(x)dx.

о<ь<_^о^ -_п<ь<т <_п]1_

На множестве и находится не менее чем [(2(,5-1)/'5 - 1) -л] - 2 периодов функции ^(М), интеграл СДк^ по которым положителен, интеграл Си (к) по остатку пер-

Ь/к

с/к

1иС3(к^ > (-1) А] - 2)

2 | а + Ь + с к к к

Следовательно, при

, 2п ( Ь + с

к>7 = 2Ш-1)/^ 1 2

величина Сs(кt)dt положительна (выражение 2 - положительно, т.к. в рассматриваемом случае а > 0, Ь <0, с < 0). Так как та множестве и функция v(s)(t) = -1, то величина Q(v,к) = [и Сs(кt)v(s (t)dt отрицательна.

т

В обоих случаях значение к, начиная с которого величина Q(v,h) неположительна, определяется по величинам а, Ь, с, которые, в свою очередь, определяются только функцией р. Лемма доказана.

Доказательство теоремы 1. Возьмем произвольную функцию р Е Ф. Из равенства (4) следует, что 6) > ^кег \/к\2р(Ы) при \г\ < 6. Пусть V есть вес — неотрицательная интегрируемая на [—1,1] функция, не равная тождественно нулю. Для произвольного числа 6 > 0 и вес а V имеем

/6 рб

(1/6) СИ >£\Д\2 / Р(кф (г/6) СИ >

6

г1

2

\к\>п J-1

> 6£ Ик\2 I р (кбг) v(t)dt. (10)

\к\>п

Определим для т Е М величину

3(V, т) = р(кф(г)Сг : \h\y\T\, к Е М

Из (10) получаем, что для любых 6 > 0 и натурального п верно неравенство

Г6

/ <22(!,г) V (г/6) сг > 6£ Цк\23(V,к6).

^-6 \к\>п

Поскольку величина 3(V, т) неубывает при т > 0, отсюда следует, что Г6

/ <22(!,г)V(г/6)сг > 63^,п6)£ \¡к\2 = 63(V,п6)Е2п-Л!). (п)

^-6 \к\>п

Положим Р(V) = v(t)dt. Делая замену переменных, выводим

Р(V) = \ [ V (г/6) сг. 6

Из (11) получаем, что

г-ё

(¡,ф (г/6) сг

Р (V)_ У- 2 ») г6

V (г/6) сг

ЕП-^ < -. (12)

-

Так как модуль непрерывности не убывает, из (12) следует неравенство

^> < 7^6) (13>

По лемме 1 существует такой вес ■и, что J (v,y) > I(Ф)Р(v) для некоторого числа j > 0. При 6 = y/п из (13) следует (5). Теорема доказана.

Неулучшаемость константы 1 /\JI(ф) в неравенстве (5) при дополнительных условиях на ф следует из теоремы 2, приведенной ниже.

Замечание. Насколько известно автору, точность неравенства (5) в случае когда ф(0) = 0 следует из более общих результатов, полученных ранее А.И. Коз-ко и А.В. Рождественским. Однако, поскольку упомянутые результаты еще не опубликованы, для полноты изложения здесь приводится авторское доказатель-

Для доказательства теоремы 2 потребуется следующая лемма.

Лемма 2. Для любой непрерывной функции ф Е Ф, такой, что ф(0) < I(ф), и для произвольной неубывающей на [-6,6] функции ц, такой, что -(6) — l(—6) < 1, при каждом n Е N верно неравенство

inf i tb(kx)du(x) < I(ф). (14)

k&l, k>n J-S

Доказательство. Рассмотрим последовательность вло^кенных мно^кеств

U1 = {x Е [—6,6]: x = 2na, а Е Z, b Е n} , и при натуральных m > 2

а

Um =|x е [—6,6]: x = 2n-, а Е Z, b Е N, а = 0,

дробь a несократима, b > m|.

Неубывающей на [—6,6] ограниченной функции l соответствует конечная а-адаитивная мера | на [—6, 6] (см., иаиример, [3]). Множества Um счетны, поэтому измеримы по мере Так как Um+1 с Um и Р| Um = 0, то lim l(Um) = 0.

Для произвольного £1 > 0 возьмем такое чпело m > n, что l(Um) < е1. Рассмотрим последовательность функций

1k

gk(x) = — / ф^т^), x Е Е. k

3 = 1

Функции gk(x) непрерывны, поэтому измеримы по мере Очевидно, что при всех x Е Е и k Е N выполнены неравенства 0 < gk(x) < ||ф||с, где !ф^с = тахжеК ф(x) < ж.

U1

рых к периоду рационально. Следовательно, для всех остальных чисел, т.е. при x Е [—6, 6]\Ul5 сдвиг на m!x является эргодпчным преобразованием окружности (теорема Вейль-фон Неймана, см., например, [4, стр.19]), поэтому gk(x) ^ I(ф) при k ^ <х>.

При x G U1 \ Um числa m!x кратны 2п Следовательно, ф(jm!x) = ф(0) при j G N, значит, gk (x) = ф(0) при всex k G N.

При x G Um величины m!x = 2пгдер и q некоторые целые числа. Поскольку функция ф является 2п-периодической, последовательность величин ф(jm!x) периодична по j с периодом q. Так как величины gk (x) есть средние арифметические величин "(jm!x) по j = 1,..., k, последовательность gk(x) имеет предел при k ^ то равны й ф(¿m\x). Очевидно, что этот предел не превосходит

Mo- 9 =

Таким образом, на [—5, 5] последовательность непрерывных функций gk (x) равномерно ограничена константой \ф\с и поточечно сходится к функции

I(ф) при x G [-5,5] \ U1,

g(x) = ^ ф(0) при x G Ui \ Um,

"(£m\x) при x G Um, m!x = 2np. g

g(x) всюду за исключением, быть может, множества Um те превосходит I(ф), то справедлива цепочка неравенств

/Ó pó

g(x)d¡(x) < / I(ф№(Ь) + ¡2(Um)Mc < I(ф)+ еА\ф\\с. ó J-ó

Значит, для последовательности функций gk выполнены условия теоремы о предельном переходе под знаком интеграла (см., например, [3, §7.2, пункт (г)]), поэтому

/ó ró

gk (x)d¡(x) = g(x)d¡(x),

ó J-ó

следовательно, для произвольного £2 > 0 найдется такое k G N, что

/ó pó

gk(x)d¡(x) < / g(x)d¡(x) + £2 < I(ф) + £i\\ф\\с + £2. ó -ó

Так как величина f_ó gk(x)d¡(x) есть среднее арифметическое величин

fóó ф(jm\x)d¡(x) по j = 1,...,k, то среди последних найдется хотя бы одна, не превосходящая I(ф) + £1\ф\с + е2. В силу произвольности £1 и £2 отсюда следует (14). Лемма доказана.

Теорема 2. Для произвольной непрерывной функции p G Ф, такой, что p(0) < I(p), при любы,х 5 > 0 и n G N верно неравенство

sup щ > —L= (15)

feb2 ^(J,Ó) л/1(p)

(здесь и далее в аналогичных ситуациях считаем, что 0/0 = 0).

Доказательство. Следуя схеме доказательства, использованной в лемме 1 работы [5] и в работе [6], определим класс функций

H = < h(t) = £ p(kt) : ak > 0, £ ak =

I \k\>n \k\>n

Тогда

E^-l(f) Y,\k\>n \fk i2 1 , .

sup = SUP - - = sup nTN-• U")

fеь2 ^(f,ö) feb2 J2\k\>n IfkЫЫ)

heH \\h\\c[-¿,5]

Так как множество функций H является выпуклым подмножеством пространства C[—6,6], то в силу теоремы двойственности (см. [7, с.28])

if Wc-ss] = sup inf h(t)d|(t), (17)

heH цеи(s)heH J-s

U(6)

ций i определенных на [—6,6], полная вариация которых не превосходит еди-

h Е H

l

/ё рб

h(t)d-(t) = inf у ak p(kt)di(t) =

s ak>0, E ak=1 j-s ,77^

\k\>n \k\>n

/6 pS

p(kt)d-(t) = inf p(kt)d-(t), s \k\>nJ-s

\k\>n \k\>n

и последняя величина по лемме 2 не превосходит I(p), получаем

Гs

sup inf h(t)d-(t) < I(p).

^eu(s) heH J-s

Отсюда, с учетом (17) и (16) следует (15). Теорема доказана.

Следствие. Если функция p Е Ф непрерывна и p(0) = 0, то в неравенстве (5) при каждом n Е N константу 1 /у/I(p) нельзя уменьшить одновременно для всех f Е Ь2. В частности, неравенство (2) является точным при всех n Е N, а n > m

p(0) < I(p)

^(f,6) > u(f, 0) > En-i(f )л/РЩ >En-i(f)л/Др) щж En-i(f) = 0,

следовательно, неравенство (15) неверно при любых n Е N 6 > 0.

Автор выражает благодарность В.И. Бердышеву за постановку задачи и А.Г. Бабенко за рецензирование и помощь в оформлении результатов.

Список литературы

[1] Черных Н.И. О наилучшем приближении периодических функций три-

гонометрическими полиномами в L2 // Мат. заметки, 1967, т. 2, вып. 5, с. 513-522.

[2] Vasil'ev S.N. Jackson-Stechkin Inequality in L2[-n,n] // Proceedings of the

Steklov Institute of Mathematics, Suppl. 1, 2001, pp. S243-S253. Translated from Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, Vol. 7, No. 1, 2001.

[3] Камке E. Интеграл Лебега-Стилтьеса - M.: Физ-матлит, 1959.

[4] Синай Я.Г. Введение в эргодическую теорию. 2-е изд. - М.: ФАЗИС, 1996.

[5] Арестов В.В., Попов В.Ю. Неравенства Джексона на сфере в L2 //

Известия вузов. Математика, 1995, № 8 (399), с. 13-20.

L2

заметки, 1986, т. 39, № 5, с. 651-664.

[7] Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения - М.: Наука, 1976.