Термовибрационная конвекция бинарной смеси в ячейке Хеле - Шоу Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012 Серия: Физика Вып. 2 (20)

УДК 532.5, 532.5.013.4, 532.517.3

Термовибрационная конвекция бинарной смеси в ячейке Хеле - Шоу

А. Ф. Глухов, В. А. Демин, Е. А. Попов

Пермский государственный национальный исследовательский университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

В работе аналитически и численно изучено влияние высокочастотных поступательных вибраций на конвективные режимы бинарной жидкости в ячейке Хеле - Шоу, помещённой в однородное статическое поле тяжести. Показано, что при подогреве полости снизу в зависимости от наклона оси вибраций в плоскости широких граней возможна как стабилизация, так и дестабилизация состояния механического квазиравновесия. По вибрационному числу Грас-гофа проведено разграничение областей параметров c “мягким” и “жестким” возбуждением осредненного одновихревого конвективного движения.

Ключевые слова: термовибрационная конвекция, бинарная смесь, ячейка Хеле - Шоу, термодиффузия, высокочастотные вибрации, подогрев снизу.

1. Введение

Проблеме изучения трёхмерных конвективных течений и их устойчивости посвящено много экспериментальных и теоретических работ [1, 2]. Моделью полости, позволяющей свести трехмерную задачу о конвективном движении жидкости к плоской, является ячейка Хеле - Шоу. Опыт показывает, что даже в области больших надкритичностей имеется хорошее согласие эксперимента с теоретическими расчётами, полученными на основе двумерного моделирования. Свободная тепловая конвекция однородной жидкости в подогреваемой снизу ячейке Хеле - Шоу с широкими гранями высокой теплопроводности и размерами 1:5:10 была исследована с помощью спектрального метода в работах [3,4]. В результате было установлено, что в такой полости первым критическим движением является одновихревое движение в плоскости широких граней. Это движение при потере устойчивости сменяется нестационарным четырехвихревым режимом с перезамыканием вихрей. На плоскости безразмерных параметров задачи построены границы устойчивости для различных многовихревых течений в зависимости от размеров ячейки.

В работе [5] численно методом конечных разностей были изучены конвективные движения в ячейке Хеле - Шоу, находящейся в условиях невесомости при воздействии продольных высокочастотных вибраций для разных соотношений сторон широких граней. Было показано, что все рассмотренные многовихревые режимы осредненной виб-

рационной конвекции для разных размеров полости возбуждаются “мягко”.

Условия существования механического квазиравновесия однородной жидкости в подогреваемой снизу ячейке Хеле - Шоу с соотношением сторон 1:5:10, находящейся в условиях внешнего высокочастотного вибрационного воздействия, найдены в [6]. Рассматривался случай горизонтальных вибраций, ориентированных продольно широким граням полости. Полость имела идеально теплопроводные широкие грани. В зависимости от интенсивности вибрационного воздействия были изучены сценарии перехода от квазиравновесия к нерегулярным колебаниям, построена карта вибрационноконвективных режимов. В работе [7] были проанализированы устойчивые и переходные вибрационно-конвективные течения в ячейке Хеле - Шоу с теплоизолированными широкими гранями при подогреве снизу с учетом влияния узких твердых границ. Построена карта устойчивости конвективных режимов в широком диапазоне значений управляющих параметров. В [8] изучены регулярные и хаотические надкритические режимы вибрационной конвекции в подогреваемой снизу ячейке Хеле - Шоу, подвергающейся действию вертикальных вибраций. Рассматривалась полость с соотношением сторон широких граней 1:10:20. Изучено поведение во времени многовихревых нестационарных течений. Построены карты устойчивости различных режимов.

Ниже будут представлены результаты исследования термовибрационной конвекции бинарной жидкости в ячейке Хеле - Шоу.

© Глухов А. Ф., Демин В. А., Попов Е. А., 2012

2. Постановка задачи

2.1. Геометрия задачи

Ячейка Хеле - Шоу представляет собой полость в форме параллелепипеда, один из линейных размеров которого много меньше двух других. В безразмерных единицах полутолщины ячейки ее параметры будут иметь следующие значения: толщина ячейки 2, высота Н, длина Ь. Горизонтальные грани изотермичны, узкие вертикальные - теплоизолированы, широкие - идеально теплопроводны. Ячейка находится в однородном поле тяжести и подвергается воздействию высокочастотных вибраций вдоль вектора п, лежащего в плоскости (х, у) и направленного под углом а к оси х (рис. 1). Градиент температуры, поддерживаемый на широких твердых гранях, направлен вниз, что соответствует подогреву снизу.

У

Рис. 1. Ячейка Хеле-Шоу

2.2. Основные уравнения

Система осредненных уравнений, описывающая термовибрационную конвекцию бинарной смеси в замкнутой неоднородно нагретой полости с учетом термодиффузии, может быть записана в следующей форме [2, 9]:

— V

— + (5 У)5 = -Ур + Д5 + Ог (Т - С)у +

+Огу (шУ)[(Т - С)п - ш], (1)

-С 1

-ж+(5У)С=& (ДС+еДТ) • (2)

ВТ 1

— + (5У)Т = —ДТ , = 0, (3)

-г '' ' Рг

div ш = 0,го1 ш = (УТ-УС)хп. (4)

Здесь V, Т, С, р - осредненные, медленно меняющиеся со временем поля скорости, температуры, концентрации тяжелой компоненты смеси и давле-

ния; ш - дополнительная медленная переменная, пропорциональная амплитуде пульсационной компоненты скорости. Характерные масштабы: размер 1 (полутолщина ячейки), время 12/у, скорость у/ 1, давление ру2/12 , температура в, концентрация в/?1 / // . В уравнения входят пять безразмерных параметров: число Грасгофа Ог, вибрационный аналог числа Грасгофа Огу , число Прандтля Рг, число Шмидта Бе и управляющий параметр е, описывающий действие термодиффузии в смеси:

Ог =

9р\в(1

Ог¥ =

Рг = —, Бе = —, е=— 3

(ЬШрв)

2у2 /2

3

/1

Здесь у , 1, 3, 3Т, /, /2 - соответственно коэффициенты кинематической вязкости, температуропроводности, диффузии, термодиффузии, теплового расширения и коэффициент, связывающий изменение плотности смеси с изменением концентрации; Ь и П - амплитуда и частота вибраций; 1 - полутолщина ячейки; д - ускорение силы тяжести; в - характерная разность температур. Дополнительными безразмерными параметрами являются угол наклона оси вибраций а, длина Ь и высота Н полости.

2.3. Граничные условия

Выпишем граничные условия к этой системе уравнений. На осредненное поле скорости должно накладываться условие прилипания на твердых гранях у|г = 0 . Характер пульсационного течения

“невязкий”, поэтому на амплитуду пульсационной компоненты скорости должно быть поставлено условие непротекания шп | = 0. Ввиду того, что

размеры широких граней значительно превышают толщину полости Ь, Н >> 1, взаимодействием с узкими боковыми стенками будем пренебрегать. На широких гранях поддерживается вертикальный градиент температуры. В дальнейшем удобно вместо концентрации использовать новую переменную К = С + еТ, так как именно для нее справедливо граничное условие УКп | = 0.

3. Методика расчетов

Геометрия позволяет свести трехмерную задачу к плоской, поэтому анализ термовибрационной конвекции выполняется на основе уравнений, записанных в терминах функций тока У и Ф, соответственно для скорости V и амплитуды пульса-ционной компоненты скорости Ш :

2

V

5х = дУ/ду, 5у = -дУ/дх , шх = дФ/ду, и>у = -дФ/дх .

Для проведения численных и аналитических расчетов различных режимов преобразуем уравнения в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям с помощью обобщенного метода Галеркина - Канторовича. Для этого из искомых скалярных полей У Т, Ф, К выделяются равновесные решения, а отклонения от них разлагаются в ряды по пространственным базисным функциям с амплитудами, зависящими от времени (в качестве базисных используются тригонометрические функции):

При разложении в ряды ограничимся базисными функциями , фп, вп, в02, /п, /02. Отметим, что

граничные условия имеют частично модельный характер, чтобы при минимальном наборе базисных функций работали все объемные механизмы:

х = 0, Ь : = 0, = 0, — = 0, — = 0,

дх дх

У = 0, Н : 5у = 0, Шу = 0, К = 0, Т = 0, -1,

_ - -к

г = +1: V = 0, Т = - у/Н, = 0 , — = 0 .

дг

Процедура Галеркина - Канторовича, примененная к системе (1) - (3), даёт пять обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка для амплитуд. Интегрирование уравнения (4) приводит к алгебраическому выражению, которое позволяет выразить амплитуду пульсационной компоненты скорости в уравнении Навье - Стокса через соответствующие амплитуды функций Т и К.

4. Стационарная задача

Расчеты проводились при заданных значениях параметров Н = 20, Ь = 10, Рг = 7, Бе = 2100. Термодиффузионный параметр е > 0 соответствует нормальной (положительной) термодиффузии, а е < 0 - аномальной термодиффузии.

4.1. Амплитудные кривые

Стационарная конвекция бинарной смеси при положительной термодиффузии возбуждается при значительно меньших числах Грасгофа, нежели при отрицательной (рис. 2). На рис. 3, 4, 5 слева

изображены фрагменты в увеличенном масштабе, иллюстрирующие характер возбуждения конвекции.

||.| ¥\\

у

ь 4

г 1 и р ь

О |П К) .4) йг -III

Рис. 2. Амплитудные кривые при а = 30° для Огу = 100, при следующих термодиффузионных параметрах: 1 - е = 0.21; 2 - е = 0; 3 - е = - 0.21

и.10 II -1^ I

Щ\/У у ^1

п ,ос> ш ( / /

ш /

1 1 к!1

]и о ш эи Ог

Рис. 3. Амплитудные кривые в случае горизонтальных вибраций для е = 0.21: 1, 2, 3 - Ог5 = 0, 50, 100

Как видно из рис. 3, более интенсивные горизонтальные вибрации приводят к смещению амплитудных кривых влево, что отвечает сдвигу критического числа Рэлея в область меньших значений. В случае вертикальных вибраций (рис. 5), при увеличении вибрационного числа Грасгофа, амплитудные кривые смещаются вправо, т.е. критические числа Рэлея становятся больше.

Рис. 4. Амплитудные кривые при а = 30°, е = 0.21 для следующих вибрационных чисел Грасгофа: 1, 2, 3 - Огу = 0, 50, 100

Рис. 5. Амплитудные кривые при а = 90° для е = 0.21: 1,2,3- Огу = 0, 50, 100

Таким образом, вертикальные вибрации проявляют себя как стабилизирующие, а горизонтальные вибрации, напротив, играют дестабилизирующую роль. Для горизонтальных вибраций состояние равновесия теряет устойчивость при гораздо меньших числах Грасгофа, чем в случае вертикальных вибраций. Из рис. 4 и 5 можно также заметить, что в отсутствие вибрационного воздействия при положительной термодиффузии конвекция возбуждается мягко, а при наличии любых негоризонтальных вибраций возбуждение конвекции происходит жестко, так же, как в случае отрицательной термодиффузии. Появляется зона подкри-тичности, и конвекция может возникнуть при значениях числа Грасгофа меньших, чем критическое число, полученное из линейной задачи устойчивости. Причем область подкритичности наиболее ярко выражена при промежуточных углах наклона оси вибраций (рис. 4). Таким образом, термодиффузия сильнее всего проявляет себя при вибрациях под острым углом. При положительной термодиффузии с ростом вибрационного числа Грасгофа порог вибрационной конвекции понижается, а форма “носиков” у амплитудных кривых становится более ярко выраженной, и для нее характерна более широкая область подкритичности.

4.2. Устойчивость равновесия

В случае положительной термодиффузии граница линейной устойчивости одновихревого течения относительно бесконечно малых монотонных возмущений находится значительно ниже границы устойчивости относительно бесконечно малых колебательных возмущений. Таким образом, монотонные возмущения являются наиболее “опасными” при положительной термодиффузии. Расчеты устойчивости проводились при заданных числах: Н = 20, Ь =10, Рг = 7, Бе = 2100, е = 0.21. Для сравнения, в отсутствие вибраций критическое число Грасгофа равно Огт = 0.022 , а число Грас-гофа, определяющее границу колебательной устойчивости, имеет значение Огк = 20.17 . Поэтому

для положительной термодиффузии далее будем рассматривать только границы монотонной устой-

чивости. На рис. 6, помимо границ устойчивости (сплошные прямые линии), изображены также значения числа Грасгофа, отвечающие за глубину области подкритичности, для различных углов наклона оси вибраций.

Рис. 6. Границы монотонной устойчивости одновихревого течения и границы области подкритичности для положительной термодиффузии е = 0.21 при следующих углах: кривые 1-7 соответствуют а= 0°, 30°, 45°, 48°, 54°, 60°, 90°

Граница области подкритичности всегда находится ниже границы линейной устойчивости и асимптотически стремится к ней при уменьшении вибрационного числа Грасгофа до нуля. Вместе эти две границы образуют область подкритичности, в которой будет “жестко” возникать конвекция. Наиболее широкой область подкритичности является при промежуточных углах вибраций, причем чем сильней вибрации, тем шире эта область.

В случае отрицательной термодиффузии наиболее “опасными” являются уже не монотонные, а колебательные возмущения (в отличие от нормальной термодиффузии).

Рис. 7. Границы колебательной устойчивости и границы области подкритичности одновихревого течения для е = - 0.01 при следующих углах: 1-4- а = 0°, 45° 60°, 90°

Для сравнения, при заданных числах: Н = 20, Ь = 10, Рг = 10, Бе = 50, е = - 0.01, Огу = 0 критическое число Грасгофа для монотонных возмущений равно Огт = 121, а число Грасгофа, определяющее границу устойчивости относительно беско-

нечно малых колебательных возмущений, составляет Огк = 17.1 (рис. 7).

На рис. 7 изображены границы монотонной неустойчивости, колебательной неустойчивости и границы области подкритичности (штриховые линии, сплошные линии и точки соответственно) в зависимости от вибрационного числа Грасгофа. С ростом вибрационного параметра появляется об-

ласть между границами подкритичности и колебательной устойчивости. Это означает, что в определенном интервале чисел Грасгофа конвекция может возникать только жестко в результате развития возмущения с конечной амплитудой. На рис. 8 схематически изображены различные нестационарные решения, характерные для отрицательной термодиффузии. Проследим за поведением конвективной системы, увеличивая число Грасгофа. Ниже границы области подкритичности Grp все

возмущения со временем затухают. В жидкости имеет место состояние механического квазиравновесия. Следующий интервал находится между носиком области подкритичности и границей колебательной неустойчивости Gr. На этом отрезке уже существуют стационарные решения, возникающие в результате нарастания возмущений с конечной амплитудой. Выход на стационар в результате внесения возмущения конечной амплитуды происходит через затухающие колебания. Если начальное возмущение недостаточно велико, то оно затухает. Для отрицательной термодиффузии малые колебательные возмущения более опасны по сравнению с монотонными возмущениями. Если число Грасгофа больше Gr, то любого сколь угодно малого начального возмущения будет достаточно, чтобы

система колебательным образом вышла на нелинейный режим. Заметим, что этот выход осуществляется сначала посредством нарастающих колебаний, а затем имеет место участок установления стационарного решения через довольно длительное колебательное затухание. Далее идет граница устойчивости, относительно бесконечно малых монотонных возмущений Огт. При числах Грас-

гофа, превышающих Огт, выход на стационар выглядит иначе, чем в предыдущей области. Здесь с бесконечно малого начального возмущения происходит монотонное нарастание до значения стационарного решения, с последующим довольно быстрым затуханием на нем. Таким образом, можно различать стационарные решения по характеру выхода на него, т.е. по переходному режиму.

5. Нестационарная задача

5.1. Установившиеся колебания

Среди различных нестационарных решений для случая положительной термодиффузии существуют регулярные колебательные режимы, которые формируются через определенный промежуток времени путем нарастания колебательных возмущений. Эти регулярные колебания имеют место при числах Грасгофа выше порога устойчивости относительно колебательных возмущений. Форма, частота и амплитуда установившихся колебаний не меняются с течением времени. В эксперименте [10] в ходе термопарных измерений фиксировался суммарный вклад амплитуд 6п^) и 0О2(£), поэтому введем

Рис. 8. Выход на стационарный режим при отрицательной термодиффузии

некоторую величину ® = рви+ц602 с весовыми коэффициентами р и ту. Весовые коэффициенты в расчетах подбирались эмпирически.

Ц.02

Рис. 9. Установившиеся колебания

Численное моделирование проводилось с помощью пакета программ аналитических вычислений MAPLE. Полученные колебания при заданных параметрах H = 42, L = 22, Pr = 5, Sc = 50, Gr = 117.6, Grv = 0, s= 0.3 изображены на рис. 9.

О. 40 30 120 160 Оґу 200

Рис. 10. Зависимость амплитуды установившихся колебаний от вибрационного числа Грасгофа при следующих углах: 1-3 - а = 0°, 30°, 90°

Рис. 11. Зависимость частоты установившихся колебаний от вибрационного числа Грасгофа при следующих углах: 1-3 - а = 0°, 30°, 90°

Расчеты также показали, что для не вертикальных вибраций амплитуда и частота этих колебаний

зависят от интенсивности вибрационного воздействия. Причем вертикальные вибрации не влияют на установившиеся колебания, а горизонтальные оказывают наиболее сильное воздействие. Зависимости амплитуды и частоты от вибрационного числа Грасгофа представлены на рис. 10 и 11.

5.2. Пикообразные выбросы

В случае положительной термодиффузии на амплитудной кривой появляется характерный “носик”, за счет которого сильно снижается порог устойчивости равновесия, и в результате конвекция может возникнуть ниже экспериментально наблюдаемого порога, который в опытах приблизительно соответствует критическому числу Грасгофа для є = 0. Выход на стационарный режим ниже экспериментального порога происходит через пикообразные выбросы [11], наличие которых объясняется слабым разделением смесей вдоль вертикали за счет термодиффузии (рис.12). Такие же пикообразные выбросы наблюдались ранее при возникновении конвекции бинарных смесей с положительной термодиффузией в длинных связанных каналах [12]. Расчеты проводились при заданных числах: Н =42, Ь = 22, Рг = 5, Эе = 50, Ог = 33.6, Огу = 0 , є = 0.3 . Из рис. 12 видно, что выход на стационарный режим происходит очень медленно, что, очевидно, приводит к затруднениям в ходе экспериментальной проверки наличия “носиков” у амплитудных кривых при положительной термодиффузии. Например, для раствора №2804 в воде безразмерное время 6000 необходимо умножить на размерный множитель С2/у, который для полости толщиной порядка 2 мм равен приблизительно единице, т.е. за время 1.7 часа величина &, отражающая интенсивность конвекции, практически остается равной нулю, несмотря на наличие одного - двух пикообразных выбросов.

0.003 &

0.002 М01

й.т

6000 7000 8(Н)0 ! 25000 50000 75000 1ШШІ

І f I

-0.001 |

Рис. 12. Выход на стационарный режим через пикообразные выбросы

6. Заключение

В работе решена задача устойчивости состояния механического квазиравновесия бинарной жидкости в подогреваемой снизу ячейке Хеле -Шоу относительно бесконечно малых монотонных и колебательных возмущений, построены границы устойчивости как для положительной, так и для отрицательной термодиффузии. Проведены расчеты стационарной и нестационарной термовибрационной конвекции для ячейки с идеально теплопроводными широкими гранями. Рассмотрены всевозможные варианты наклона оси вибраций в плоскости широких граней. Построены амплитудные кривые для положительного и отрицательного параметра термодиффузии при различных интенсивностях вибрационного воздействия. В нестационарной задаче изучено влияние высокочастотных вибраций на установившиеся колебания при положительной термодиффузии. Показано, что вертикальные вибрации слабо влияют на форму (амплитуду и частоту) этих колебаний. Также показана возможность выхода на стационарный режим через пикообразные выбросы при числах Грасгофа ниже экспериментально наблюдаемого порога конвекции.

Список литературы

1. Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.

2. Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М., Непомнящий

А.А. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989. 320 с.

3. Любимов Д. В., Путин Г Ф., Чернатынский В. И. О конвективных течениях в ячейке Хеле -

Шоу // ДАН СССР. 1977. Т. 235, № 3. С. 554556.

4. Любимов Д. В., Путин Г. Ф., Чернатынский

В.И. Конвекция в ячейке Хеле - Шоу при подогреве снизу // Гидродинамика. Пермь, 1977. Вып.10. С. 3-14.

5. Браверман Л. М. О вибрационной тепловой конвекции в ячейке Хеле - Шоу // Конвективные течения. Пермь, 1989, С. 73-78.

6. Демин В. А., Файзрахманова И. С. Устойчивость вибрационно-конвективных движений в ячейке Хеле - Шоу // Вестн. Перм. ун-та. Сер: Физика. 2003. Вып. 1. С. 108-113.

7. Бабушкин И .А., Демин В. А. К вопросу о вибрационно-конвективных течениях в ячейке Хеле - Шоу // Инженерно-физический журнал. 2008, Т. 81, № 4. С. 712-720.

8. Демин В. А., Макаров Д. В. Устойчивость конвективных течений в ячейке Хеле - Шоу при воздействии вертикальных вибраций // Вестн. Перм. ун-та, Сер.: Физика. 2003. Вып. 1. C. 108-113.

9. Браверман Л. М. Некоторые задачи вибрационно-конвективной устойчивости однородной жидкости и смеси: дис... канд. физ.-мат. наук. Пермь, 1987. 215 с.

10. Demin V. A., Glukhov A. F. Thermal Convection of Binary Mixes in Thin Channels // VIII International Meeting on Thermodiffusion (Lecture Notes). Julich, Germany, 2008. P. 187-195.

11. Глухов А.Ф., Демин В.А. Тепловая конвекция бинарных смесей в вертикальных слоях и каналах при подогреве снизу // Вестн. Перм. ун-та. Сер: Физика. 2009. Вып. 1(27). С. 16-25.

12. Демин В. А. Влияние переменных силовых полей на нелинейные конвективные режимы: дис. докт... физ.-мат наук, Пермь, 2009. 291 с.

Thermovibrational convection of a binary mixture in a Hele - Shaw cell

A. F. Glukhov, V. A. Demin, E. A. Popov

Perm State University, Bukirev St. 15, 614990, Perm

The influence of high frequency linear vibration on convective Hows of a binary mixture in a Hele -Shaw cell placed in the uniform static gravity field was studied analytically and numerically. Under the conditions of heating from below it is possible to get stabilization of quasi-equilibrium state or destabilization in dependence on orientation of vibration axis in the plane of wide boundaries. The regions delimitation for hard and soft excitation of averaged one-vortex convective flow has been carried out of governing parameters Grasgof and vibration Grasgof.

Keywords: Thermovibrational convection, binary mixture, Hele - Shaw cell, thermodiffusion, high frequency vibration, heating from below.