Устойчивость вибрационно-конвективных движений в ячейке Хеле-Шоу Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2003 Физика Вып. 1

Устойчивость вибрационноконвективных движений в ячейке Хеле-Шоу

В.А.Демин*, И.С.Файзрахманова|

* Пермский государственный университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15 + Институт механики сплошных сред УрО РАН, 614061, Пермь, ул. Королева, 1

Численно и аналитически исследованы условия существования механического квазиравновесия. его устойчивость и надкритические конвективные движения в ячейке Хеле-Шоу при подогреве снизу в условиях внешнего высокочастотного воздействия. Рассмотрены особенности теплопереноса, связанного с наличием дополнительного вибрационного механизма возбуждения конвекции и изучены сценарии перехода от квазиравновесия к нерегулярным движениям.

1. Введение

Эксперименты и теоретические расчеты показывают, что высокочастотные колебания полости способны вызвать в неоднородно нагретой жидкости осредненные конвективные течения даже в невесомости (явление термовибрационной конвекции) [1,2]. С другой стороны, в жидкости, подвергающейся воздействию высокочастотных вибраций, возможно состояние механического квазиравновесия, которое характеризуется тем, что при наличии мелкомасштабных пульсаций осредненные движения в жидкости отсутствуют [3-5].

В данной работе теоретически рассматривается задача, которая позволяет продемонстрировать как явление термовибрационной конвекции, так и состояние механического квазиравновесия в жидкости, находящейся в условиях высокочастотного вибрационного воздействия, а именно, производится расчет вибрационно-конвективных движений в ячейке Хеле-Шоу. Особое внимание уделяется специфическому виброконвективному механизму теплопереноса, а также вопросам управления конвективными режимами с помощью вибраций.

Ранее свободная конвекция в ячейке Хеле-Шоу при подогреве снизу исследовалась теоретически и экспериментально в работах [6-8], где продемонстрировано хорошее согласие экспериментальных данных и результатов теоретических расчетов. В [9] проанализированы общие свойства переходов от механического квазиравновесия к хаотическим

режимам в случае высокочастотного вибрационного воздействия на жидкость. Расчет индуцированных вибрациями первых'критических движений в ячейке Хеле-Шоу, находящейся в условиях невесомости, произведен в [10] для разных значений отношения сторон широких граней.

2. Постановка задачи

2.1. Основные уравнения

Система осредненных уравнений, описывающая термовибрационную конвекцию в замкнутой неоднородно нагретой полости, впервые была получена Зеньковской и Симоненко [3] и может быть записана в следующей форме:

dv 1

— + —(vV)v - -Vp + Av +

dt Pr

+ RaTy + Rav{ivV){Th - w), (1)

Pr-—+ uVT -AT, div ¿5 — 0 , (2)

dt

rot w = VTy.h, divu) = 0. (3)

Здесь v, T‘ p - осредненные поля скорости, тем-

пературы и давления, медленно меняющиеся со временем; ьи - дополнительная “медленная” переменная, пропорциональная амплитуде ггульсаци-онной компоненты скорости. В уравнения входят три безразмерных параметра: число Рэлея (Ra ), вибрационный аналог числа Рэлея (Rav ) и число Прандтля (Рг), имеющие вид

© В. А. Демин, И.С. Файзрахманова, 2003

Ка =

90АсГ

П

1?а„ =

(ьорА<12)2

2уХ

Рг = —

Здесь Д V и х ~ коэффициенты теплового расширения, кинематической вязкости и температуропроводности соответственно; 2с? - толщина ячейки; А - характерный градиент температуры; д -ускорение силы тяжести. Вибрационный параметр Каи, содержащий произведение малой амплитуды

колебаний Ь на высокую частоту Д имеет конечное значение. Дополнительным параметром задачи является отношение сторон широких граней 1/Н,

однако, в данной работе при проведении расчетов используется масштабный фактор 1:2.

В общем случае на твердых границах полости на осредненную составляющую скорости должны быть поставлены условия прилипания = 0, в то

время как на амплитуду пульсациоиной компоненты скорости можно наложить лишь условие непротекания ъип\р = 0 .

Что касается тепловых граничных условий, то далее будет рассматриваться ячейка Хеле-Шоу (см. рис. 1) с идеально теплопроводными широкими гранями, на которых поддерживается вертикальный градиент температуры, соответствующий подогреву снизу. Узкие вертикальные грани предполагаются теплоизолированными.

2.2. Геометрия задачи

Как известно, ячейка Хеле-Шоу представляет собой полость в форме параллелепипеда, два линейных размера которого много больше третьего: К I» <3, где Н - высота, I - длина, 2<2 - толщина ячейки (после обезразмеривания уравнений толщина ячейки Хеле-Шоу равна 2). Ограничения на толщину ячейки при моделировании конвекции позволяют использовать приближение плоских траекторий, согласно которому в жидкости возможны конвективные движения только в плоскости широких граней (х, у).

Пусть узкие вертикальные грани теплоизолированы, горизонтальные - изотермичны. Полость подогревается снизу и подвергается высокочастотным горизонтальным вибрациям, которые ориентированы продольно широким граням ячейки. Ранее задача в подобной постановке без вибрационного воздействия решалась в работе [6] методом Галеркина, а с учетом вибраций, но в условиях невесомости рассматривалась в [10] с помощью метода конечных разностей.

3. Методика расчетов

Дня теоретического описания осредненных конвективных движений в ячейке Хеле-Шоу бу-

дем использовать уравнения термовибрационной конвекции (1) - (3). Геометрия позволяет свести трехмерную задачу к плоской, поэтому анализ вибрационной конвекции выполняется на основе уравнений, записанных в терминах функций тока и температуры. Численные и аналитические расчеты различных режимов вибрационной конвекции производятся с помощью обобщенного метода Га-леркина-Канторовича. Для этого поля функций тока и температуры разлагаются в ряды по пространственным базисным функциям с амплитудами, зависящими от времени (в качестве базисных используются тригонометрические функции):

п,гп

п,т

(7ГГП ) . ( ЯП (л \

Ьг» БШ X 11 СОБ и2]

(ЛТП Л ( ЛП (я Л

1~ьу. СОБ СОБ Л

п,тп

тст

-У

( тт СО Б -----X

{ I )

N /«г ^ П

СОБ

Рис. 1. Ячейка Хеле-Шоу

При разложении температуры и функции тока в ряды ограничимся следующим набором базисных функций [6]:

Т1 ГГУ ггл гр ГТУ гр ГТК

01» '02» -41’ М2» -*21» ‘ 22 > '31.

^11,^12.^21.^22.^31.

Интегрирование уравнений Навье-Стокса и переноса тепла с соответствующими весами дает систему 12 обыкновенных дифференциальных уравнений для амплитуд, описывающую эволюцию возмущений в системе.

Отметим, что функция тока амплитуды пульса-ционной компоненты скорости раскладывается, как и температура, по семи базисным функциям. Уравнение для функции тока амплитуды пульса-ционной компоненты скорости не является эволюционным. Интегрирование этого уравнения дает

систему алгебраических уравнений, которая позволяет выразить амплитудные коэффициенты функции тока “пульсационного” поля через соответствующие амплитуды температуры. Таким образом, “вибрационная сила” в уравнениях для амплитуд функции тока осредненной компоненты скорости полностью выражается через амплитуды температурного поля.

Система 12 дифференциальных уравнений для амплитуд решалась численно методом пошагового интегрирования Рунге-Кутта-Фельдберга 4-5 порядка точности. В ходе расчетов использовался метод установления. Программный модуль был написан на языке программирования Рог1хап-90.

4. Триплетная подсистема

Из “полной” системы дифференциальных уравнений может быть выделена замкнутая триплетная подсистема (одна амплитуда для функции тока, две

- для температуры), которая отличается от классического триплета Лоренца наличием дополнительного слагаемого, характеризующего осредненное вибрационное воздействие:

Ra

11 я4 (s + 1)

Tu-bWll + Ra

;r4(s +1)2

(4Т„Го2 + Tul

(4)

(5)

(6)

Т’|1=Рг-|(4У|1Ги-ЬГ11+^|]), Г0! = Рг-'(-2^„7;|-сГ05).

Здесь введены следующие обозначения: с = 4s р + 0.25 , s = I2 ¡h2 b = р(1 + s) + 0.25 , р = І/і2

Триплетная подсистема (4) - (6) допускает аналитическое решение, что позволяет построить стационарные одновихревые движения для разных значений вибрационного и гравитационного чисел Рэлея и числа Прандтля:

Гм =

(яа' - 2b2)-*- T¡Ra'2 + 4 b2Ra'v

c(Ra' - 2b2) + y¡Ra'2 + 4b2Ra'v 8 cRa' + y¡Ra’2 +Ab2Ra'u

512cbyjcb(Ra' - 2b1 j + by¡Ra'2 +4b2Ra'v 8 Ra' + y¡Ra'2 + 4 b2Ra'v где Ra' = ——•, Rcifj'- ^av

Я (S + 1)

ff4(s +l)2

Зависимости максимальных значений функции тока от числа Рэлея для разных значений вибрацион-

ного числа представлены графически на рис. 2. Видно, что решение, соответствующее стационарному одновихревому режиму, “мягко” ответвляется от квазиравновесия, а амплитуда движения в случае малых надкрнтичностей при увеличении числа Рэлея растет по корневому закону.

Рис. 2. Максимальные значения функции тока в зависимости от числа Рэлея. Кривые соответствуют следующим значениям вибрационного числа Рэлея: 1 - Rav = 0,2-Rav =3,3- Rav =6,4- Rau = 9

5. Результаты и обеувдение

Можно показать, что в случае достаточно малых значений гравитационного и вибрационного чисел Рэлея в подогреваемой снизу ячейке Хе-ле-Шоу реализуется состояние механического квазиравновесия. В жидкости, находящейся в состоянии механического квазиравновесия, отсутствует осредненное конвективное движение и устанавливается линейное распределение температуры. Наличие пульсаций в жидкости характеризуется квазиравновесным значением функции тока амплитуды пульсационной компоненты скорости:

= 0, Т0 =-у, F0 — 2/2 .

В линейной постановке расчет границ устойчивости относительно монотонных мод вида

. (пгтт > (птг ) (к Л

Ч* ~ sin ----у sin -—X cos —z ,

L h J U J U J

^)cos(^x}c^f z)’

т • f mn T ~ sin --

V h

F ~ cosí—y]cosí— xlcosf-z

h ~) W

дает следующий результат:

.4 ~2

U

Ran,m =JLr(n2 +m2s¡4p(n2 +m2s)+lf -16 n

Таким образом, расчеты показали (см. рис. 4), что с увеличением управляющих параметров Ra и Rav возможны два сценария перехода от квазиравновесия к нерегулярным колебаниям.

• В случае малых чисел Рэлея при увеличении вибрационного числа Рэлея реализуется следующая последовательность конвективных режимов: квазиравновесие -> двухвихревой режим (п-2, т

- 1) -> одновихревой режим (п = 1, т= 1) -» регулярные колебания с перезамыканием вихрей (п =

2, т = 2) -» нерегулярные колебания;

• В противоположном случае малых значений вибрационного числа Рэлея с ростом теплового числа Рэлея наблюдается другая последовательность конвективных режимов: квазиравновесие -» одновихревой режим (п = 1, т = 1) -» регулярные колебания с перезамыканием вихрей (п = 2, т = 2) -» нерегулярные колебания.

п2

-#ау —-------—. (7)

п~ + т з

Из формулы (7) видно, что в отсутствие вибраций наиболее опасны одновихревые движения, в другом предельном случае больших значений вибрационного числа Рэлея и малых фавитационных чисел Рэлея порог устойчивости определяется двухвихревой модой (см. рис. 3).

Рис. 3. Границы устойчивости механического квазиравновесия для разных мод: 1 - п = 1, т = 1; 2 - п = 2, т=1;3-п = 2, т = 2;4-п=1, т = 2; 5 - п - 3, т = 2. Результат анализа линейной задачи устойчивости

Численный анализ “полной” системы амплитудных уравнений показывает, что в случае малых значений вибрационного числа Рэлея при переходе через границу устойчивости механического квазиравновесия за счет увеличения гравитационного числа Рэлея “мягко” ответвляется стационарный одновихревой режим. С ростом гравитационного или вибрационного чисел Рэлея стационарное одновихревое течение сменяется сложным четырехвихревым режимом с периодическим перезамыканием вихрей (в покадровом режиме вид течения представлен на с. 112). Дальнейшее увеличение числа Рэлея приводит к хаотизации колебательного четырехвихревого конвективного движения.

В условиях микрогравитации при увеличении вибрационного числа Рэлея квазиравновесие сменяется двухвихревым режимом. Далее рост управляющего параметра приводит к перестройке двухвихревого режима в одновихревой, который впоследствии переходит в четырехвихревой режим с периодическим перезамыканием вихрей. После потери устойчивости нестационарный четырехвихревой режим с перезамыканием вихрей сменяется нерегулярными колебаниями.

Rav 1 - квази-равн 2 - двухвихре 3 -одновихре 4 - нестацион; рехвихревс овесие юй режим юй режим ірньїй четы-й режим с

перезамык 5 - нерегулярі інием вихрей !ые движения

\

Xі V

О 10 20 30

Рис. 4. Карта устойчивости вибрационно-конвективных режимов в ячейке Хеле-Шоу. Нумерация областей на карте устойчивости соответствует следующим конвективным режимам: 1 - квази-

равновесие, 2 - двухвихревой режим, 3 -одновихревой режим, 4 - колебания с перезамыканием вихрей, 5 - нерегулярные колебания

6. Заключение

В работе показано, что продольные вибрации индуцируют конвекцию в ячейке Хеле-Шоу даже в отсутствие силы тяжести (явление термовибрационной конвекции). В случае малых значений управляющих параметров в жидкости возможно состояние механического квазиравновесия. Когда термовибрационный механизм возбуждения конвекции превалирует над термогравитационным, порог устойчивости квазиравновесия определяется двухвихревой модой.

а)

б)

Рис. 5. Изолинии функции тока нестационарного четырехвихревого режима с периодическим перезамыканием вихрей. Представлен пример вибрационной конвекции в условиях микрогравитации, а - первая четверть периода; б - вторая четверть периода

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке из средств гранта РЕ-009-0 Американского фонда гражданских исследований и развития (АФ-ГИР), а также государственной программы поддержки ведущих научных школ (грант 00-15-96112).

Список литературы

1. Гершуни Г.З., Жуховищий Е.М. И Докл. АН СССР. 1979. Т. 249, №3. С. 580.

2. Бабушкин И.А., Богатырев Г.П., Глухов А. Ф., Путин Г.Ф., Авдеев С.В., Бударин Н.М., Иванов А. М., Максимова М.М. II Космические исследования. 2001. Т. 32, № 2. С. 150.

3. Зеньковская С.М., Симоненко И.Б. // Изв. АН СССР. Механ. жидк. и газа. 1966. № 5. С. 51.

4. Гершуни Г.З.у Дёмин В.А. I/ Изв. РАН. Механ. жидк. и газа. 1998. №1. С. 8.

5. Demin V.A., Gershuni G.Z., Verkholantsev J.V. II Int. J. Heat Mass Transfer. 1996. Vol. 39, N 9. P. 1979.

6. Любимов Д.В., Путин Г.Ф., Чернатынский В.И. II Докл. АН СССР. 1977. Т. 235, №3. С. 554.

7. Мызникова Б.И. // Исследование тепловой конвекции и теплопередачи. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1981. С. 23.

8. Вертгейм И.И., Любимов Д.В. II Там же. С. 32.

9. Lyubimov D.V. // Eur. J. Mech., В/Fluids. 1991. Vol. 10, N2. Suppl. P. 43.

10. Браверман Л.М. II Конвективные течения / Перм. гос. пед. ин-т. Пермь, 1989. С. 73.