Влияние теплопроводности границ на вибрационную конвекцию в ячейке Хеле - Шоу Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2006 Физика Вып. 1

Влияние теплопроводности границ на вибрационную конвекцию в ячейке Хеле - Шоу

В.А. Демин, А.Н. Платонова

Пермский государственный университет, 614990, Пермь, ул, Букирева, 15

Изучено влияние высокочастотных горизонтальных вибраций на конвективные режимы в ячейке Хеле - Шоу, находящейся в однородном поле тяжести при подогреве снизу. Рассмотрены две линейные задачи устойчивости механического квазиравновесия жидкости для теплоизолированных и идеально теплопроводных широких граней полости. Исследованы надкритические режимы вибрационной конвекции в ячейке с идеально теплопроводными широкими гранями. Определены критические значения чисел Рэлея, при которых происходит смена конвективных режимов. Обнаружено нестационарное трехвихревое течение, представляющее собой колебательный переходный режим с медленно убывающей по времени амплитудой колебаний. Построена карта устойчивости вибрационно-конвективных режимов.

1. Введение

Проблеме изучения трехмерных конвективных течений и их устойчивости посвящено много экспериментальных и теоретических работ. Моделью полости, позволяющей свести трехмерную задачу устойчивости течения к плоской, является ячейка Хеле - Шоу.

Тепловая конвекция однородной жадности в подогреваемой снизу ячейке Хеле - Шоу с размерами 1х5х]0 численно исследована в работе [1]. В результате было установлено, что первым критическим движением является одновихревое движение в плоскости широких граней ячейки. Это движение при потере устойчивости сменяется нестационарным четырехвихревым режимом с пе-резамыканием вихрей.

В [2] численно изучены конвективные движения в ячейке Хеле - Шоу, находящейся в условиях невесомости при воздействии продольных высокочастотных вибраций для разных соотношений сторон широких граней. Произведен расчет первых критических движений, показано, что вибрационная конвекция в невесомости возбуждается “мягко”. В работе [3] найдены условия существования механического квазиравновесия однородной жидкости, заполняющей ячейку Хеле - Шоу, находящейся в условиях внешнего высокочастотного воздействия. Изучены сценарии перехода от квазиравновесия к нерегулярным колебаниям. Показано, что при наличии сильного вибрационного

воздействия первым критическим движением может быть двухвихревое течение.

Влияние, оказываемое вертикальными вибрациями на конвекцию в ячейке Хеле - Шоу, которая находится в статическом поле тяжести, исследовано численно и аналитически в работе [4]. В широком диапазоне управляющих параметров исследованы течения с конечной амплитудой. Установлено, что вертикальные вибрации повышают порог устойчивости квазиравновесия.

Различные пульсационные режимы в ячейке Хеле - Шоу были исследованы экспериментально в [5]. Обнаружены одновихревые и двухвихревые пульсационные режимы, динамика которых такова: на фоне основного течения в углу полости случайным образом рождается небольшой возвратный вихрь, который с течением времени растет до некоторых размеров и поглощается основным течением.

Целью данной работы является теоретическое изучение влияния теплопроводности границ на вибрационную конвекцию однородной жидкости в подогреваемой снизу ячейке Хеле - Шоу.

2. Постановка задачи

2.1. Геометрия задачи

Ячейка Хеле - Шоу представляет собой полость, один из линейных размеров которой много меньше двух других. Выберем в качестве единицы длины полутолщину ячейки, тогда высота ячейки -

© В. А. Демин, А. Н. Платонова, 2006

Н. длина - Ь, толщина 2. Горизонтальные грани всегда идеально теплопроводны, узкие вертикальные - теплоизолированы.

8

S7T

Ячейка находится в однородном поле тяжести и подвергается действию высокочастотных горизонтальных вибраций. Градиент температуры, поддерживаемый на вертикальных гранях, направлен вниз, что соответствует подогреву снизу.

2.2. Основные уравнения

Течения в полости описываются осредненными уравнениями термовибрационной конвекции в приближении Буссинеска путем добавления к статическому ускорению силы тяжести вибрационного ускорения. После процедуры осреднения они будут иметь следующий вид:

° Ь + (V V)V = - ' Ур + уА д/ЗТу +

31 р

(b/Xlf(wV)(Tn-w), ())

сТ

dt

+ (v У)Т = л'Д'Г, div v = 0,

юно = V Т хм, и> = 0.

Здесь V, р и Т - осредненные поля скорости, давления и температуры; V, /? и х - коэффициенты кинематической вязкости, теплового расширения и температуропроводности соответственно; д - ускорение силы тяжести; у - единичный вектор, направленный вертикально вверх вдоль оси у\ р -средняя плотность жидкости. Вибрационное воздействие характеризуется параметрами Ь и О. (амплитуда вибраций и круговая частота); ш - соле-ноидальная часть поля Тп. которая имеет смысл амплитуды пульсационной компоненты скорости.

Обезразмерим систему уравнений (1), выбрав в качестве единицы длины полутолщину ячейки d,

времени - d2/v, скорости - %/d, давления

pv%jd2, температуры - Ad, где А - характерный градиент температуры. В результате система уравнений принимает форму;

d v 1

+ (v V) v = -Vp + Д v+ RaTy +

dt Pr

+Rav( w V)(T n- w),

dT

(2)

Pr — + (v Y)T = AT, div v = 0,

dt

rot w = VT x n, div w = 0.

Система содержит безразмерные параметры: число Рэлея, вибрационный аналог числа Рэлея и число Прандтля соответственно;

Яа.№*,

VX

Rav

0ЬрШсі2 У ру = 2v%

На осредненное поле скорости на твердых гранях накладывается условие прилипания: 1>|г =0. Ввиду “невязкого” характера пульсационного течения на амплитуду пульсационной компоненты скорости необходимо поставить условие непроте-кания: шп|г = 0. На широких гранях поддерживается вертикальный градиент температуры, следовательно, Т|г = -у . Таким образом, граничные

условия будут иметь вид:

дУ,. дТ

х = 0 ,Ь: их = 0, —£ = 0, — = 0, дх дх

у = О, Я: V = 0, 2^ = 0, Г = 0. - Я. (3)

у ду

2 = ± 1: V = 0 ,Т = -у.

3. Приближение плоских траекторий

В связи с тем, что Ь, Н » d, полагаем ъ-компоненты осредненной и пульсационной скорости равными нулю (иг = 0, ьиг = 0). Это предположение позволяет ввести функции тока: ^(Х, у, 2) - для осредненной скорости

ь(их,уу, 0) и Ф(х.у.г) - для пульсационной скорости ьи (иох, шу, 0):

=

wv =

54V ду ’ 6Ф

ду

vy=-

дч*

дх

дФ

дх

(4)

Подставляя эти выражения в (2), получим систему уравнений для осредненных полей:

^ + — [фуФх - ФхРу) =&<Р- Ка®х +

+ Лаи^Фуу@х -&х + Фд^(1 _®у)]> ^

РгВх +(Ч'у&х-Ч'х@у) + Ч'х = Д0, д1Ф =

В этих уравнениях нижний индекс означает дифференцирование по соответствующей координате; <р = (Ч*хх + Фуу) - завихренность.

Д, =

Ґ £ІІ_ д2 ^ К~2+ду2;

плоский оператор Лапласа,

дх< ду'

Ч1, Ф, 0 - отклонения от равновесных осред-ненных значений

^„=0, Ф^'-Шу-у2), Т„ = -у.

4. Линейная задача

4.1. Теплоизолированные грани

Рассмотрим линейную задачу устойчивости механического квазиравновесия жидкости относительно малых возмущений для ячейки с теплоизолированным» широкими гранями. Эта задача допускав! решения вида

... ■г-ч . П.7Г . . ТПК . . 112 .

У = 2- *)51П(—^1/)С05(—-),

ь н 2

& = Е 9пп, с0!;( Х)5ІП( ^ у)>

тк

~Н

т к ~~Н

где п = 0,1, 2 ..., т = 1, 2, 3 ..., и удовлетворяет граничным условиям, записанным в терминах функций тока:

(х = 0 ЛУ- = Ч/хх = ©х = 0,

(у = 0.Я): Ч*х =^да=в*0,

(г = ±1): ^ = ©г=0.

(7)

раических уравнений относительно Яа, получаем выражение, определяющее критическое число Рэлея:

77“ I [ ГП1.

К&пт

\2 і V

г * Є

- 2

1 - Ка., , (™ь\

1+ —

4 и [пН] V 7

-1 (9)

На рис. 2 графически изображены результаты исследования задачи устойчивости механического квазиравновесия жидкости для ячейки (2 х 20 х 40).

(6)

Умножим систему (5) на базисные функции из разложения (6) и проинтегрируем по ширине ячейки (г-координате). Линеаризуем полученную систему уравнений и запишем стационарную задачу:

2

- Яа„(ФХ!) - ®,)] = 0,

Д ,0 = -^. (8)

71

Д1 ф = ©у.

Подставляем выбранные аппроксимации (6) в уравнения (8). Решая полученную систему алгеб>

Рис. 2. Границы устойчивости квазиравновесия, соответствующие различным .йодам (п,т) для ячейки с темоизолированными широкими гранями

Из рис. 2 видно, что для ячейки с теплоизолированными широкими гранями наиболее опасным возмущением является одновихревое возмущение (мода (1,1))-

4.2. Идеально теплопроводные широкие грани

Рассмотрим задачу устойчивости механического квазиравновесия жидкости относительно малых возмущений для ячейки с идеально теплопроводными широкими гранями. Задача допускает точное решение вида

... ^ . пл . тк 712

^ = ъ Ч>Пт5'п(-Гх)^п(-7ГУ)С0*(^г)>

1 И 2

® = X 9пт С0$( х)бІп( ~~~ У )С05( )' ( 1 0)

тк

7Г2

Я

V- пк тк .

ф = 2- <Рпт™*(-х)со$(---у)

пут

и удовлетворяет граничным условиям:

х = о М ч/у = ч/хх = ®х = о,

У = 0, Я: Ч/х = Ч/уу =0 = 0,

2 = ± 1: ^=© = 0.

Умножая систему (5) на базисные функции разложений (10) и интегрируя по ширине ячейки, получим систему уравнений вида

<Рі

ЗлРг

(~ Ч'хРу) = Др - 1?а@х + ^ Фмвх-вк+Ф^[~ви

(12)

РЪ+^ч’увх-Ч'х&у)+У* = да

эТ1

Линеаризуем систему (12) и запишем стационарную задачу:

д,р - Е£ - Кавх + Яа„ (^Фху- ©.V) - 0.

А,в = Ух.

Д|Ф = -0г

(13)

Решая систему алгебраических уравнений для амплитуд, полученную при подстановке (10) в систему (13). ограничимся анализом выражения, которое позволяет определить критическое число Рэлея:

Капт ~ 71

'.+г^Г

{п

II

+ — 4

(14)

- Яа„

1 +

пН)

Сравнивая это выражение с результатом, полученным в [4]. где исследовалось влияние вертикальных вибраций, легко заметить, что выражения для Яапт отличаются лишь знаком перед вибрационным числом Рэлея, Из (14) следует, что горизонтальные вибрации понижают порог устойчивости (вертикальные вибрации его повышают).

Рис. 3. Границы устойчивости квазиравновесия для ячейки с идеально теплопроводными широкими гранями для различных мод (п, т)

Анализируя выражение (14), представим графически границы устойчивости (рис. 3). Видно, что для ячейки с соотношением сторон (2x20x40) с идеально теплопроводными широкими гранями наиболее опасным является двухвихревое возмущение (мода (2,1)). Границы устойчивости построены для 5 мод, которые в дальнейшем будут использованы для решения нелинейной задачи.

5. Нелинейная задача

Рассмотрим нелинейную задачу устойчивости для ячейки с идеально теплопроводными широкими гранями. Решение ищем в виде разложений (10) с зависящими от времени амплитудами.

иг V1 /*ч • ч • /т7Г \ , ЯЗЧ

^ = 2- Упт (фт( — Х)81П( — у)соб( — ),

п,т Ь Н 2

0 = X 0пт(ОсО5(^ *)ш(^ 1/)С05( ~), (15) п,т Ь И 2

Ф = Е /пт(0сОБ( ^ х)со*( ~ У)• п,т

Подставим эти функции в систему (12), домно-жим на базисные функции из разложения (15) и проинтегрируем по координатам х и у (в плоскости широких граней ячейки).

С помощью пакета программ аналитических вычислений Мар1е VIII были получены уравнения для амплитуд 1рптЦ), вптУ), (рптЦ). Данная процедура позволила свести систему нелинейных уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

Интегрирование третьего уравнения системы (12) позволяет выразить амплитуды /пт(£) функции тока пульсационной скорости через амплитуды впт (£) поля температуры. Таким образом, неизвестными в системе (12) остаются ц>пт(,£) и 0„т(О. В разложениях (15) ограничимся следующими базисными функциями:

VII. Ч>)2- Ч121> Ч>22> ^31»

0ОЬ ^02* ®11’ ^12’ ®21> ®22? ®31> (1^)

/о1 > /о2: /п> /12’ У*21> /22- /31-

После обезразмеривания получаем систему 12 дифференциальных уравнений для амплитуд. Эта система решались численно методом Рунге - Кут-ты - Фельдберга 4-5 порядка точности с автоматическим выбором шага интегрирования. Компьютерный код был написан на языке программирования РоПгап-90.

Для обнаружения смены конвективных режимов исследовалась зависимость функции тока от числа Рэлея при различных значениях вибрационного числа Рэлея, строились графики этих зависимостей и изолинии функций тока. Размеры ячейки (2x20x40) были фиксированы.

Рис. 4. Изолинии функции тока нестационарного трехвихревого режима в различные моменты времени (Яа = 4.8, Яау = 5.4)

6. Карта устойчивости

По результатам расчетов изолиний функции тока найдены границы конвективных режимов. Границы режимов на карте устойчивости были аппроксимированы прямыми линиями.

Рис. 5. Карта устойчивости вибрационно-конвективных режимов в ячейке X'еле -Шоу. Цифрами обозначены следующие режимы: I - квазиравновесие, 2 - двухвихревой стационарный, 3 - трехвихревой стационарный, 4 - нестационарный трехвихревой, 5 - регулярные колебания с перезамыканием вихрей

Расчеты показывают, что в интервале вибрационных чисел Рэлея от 0 до 3.8 при Яа = 0 квазиравновесие сменяется стационарным двухвихревым течением. Последний, при увеличении Иа, сменяется стационарным трехвихревым течением. Далее появляется нестационарный трехвихревой режим, являющийся колебательным переходным режимом с медленно убывающей со временем амплитудой колебаний максимального значения функции тока. На рис. 4 приведены изолинии функции тока этого режима. С течением времени вертикальная ось центрального вихря наклоняется. При этом интенсивность боковых вихрей противоположной закрутки растет, они поглощают центральный вихрь. Затем центральный вихрь вновь зарождается, увеличиваясь со временем, и все повторяется сначала.

С увеличением вибрационного числа Рэлея Rav область существования этого режима расширяется (рис. 5). При дальнейшем росте Ra нестационарный трехвихревой режим сменяется регулярным колебательным четырехвихревым режимом с перезамыканием вихрей.

7. Заключение

Аналитически и численно изучено влияние высокочастотных горизонтальных вибраций на конвективные режимы в ячейке Хеле - Шоу, помещенной в однородное статическое поле тяжести. Рассмотрены линейные задачи устойчивости механического квазиравновесия жидкости для ячейки с теплоизолированными и идеально теплопроводными широкими гранями, построены границы устойчивости. Определены критические значения чисел Рэлея, при которых происходит смена конвективных режимов. Обнаружены области существования двухвихревого и трехвихревого стационарного, колебательного четырехвихревого и нестационарного трехвихревого режимов. Построена карта устойчивости в осях гравитационного и вибрационного чисел Рэлея.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант Урал - 2004 № 04 -- 02 -96026) и Американского Фонда Гражданских Исследований и Развития (грант РЕ-009-0/В2М409).

Список литературы

1. Любимов Д. Я, Путин Г. Ф., Черноты некий В. И. II ДАН СССР. 1977. Т. 235, № 3. С. 554.

2. Браверман Л. М. II Конвективные течения: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. пед. ин-т. Пермь, 1989. С. 73.

3. Демин В. А., Файзрахманова И. С. II Вестн. Перм. ун-та. 2003. Вып. 1. Физика. С. 108.

4. Демин В. АМакаров Д. В. // Там же. 2004. Вып.1. Физика. С. 101.

5. Anferov D. К, Babushkin I. A., Demin V. А. II Advanced Problems in Thermal Convection: Abstr. Int. Conf. Perm, Russia, 2003. P. 14.