Тепловая и термовибрационная конвекция в вертикальном слое при подогреве снизу Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2007 Физика Вып. 1 (6)

Тепловая и термовибрационная конвекция в вертикальном слое при подогреве снизу

И. А. Бабушкин, В. А. Демин, А. Н. Платонова

Пермский государственный университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

Изучено влияние, оказываемое поступательными высокочастотными вибрациями на тепловую конвекцию в подогреваемой снизу ячейке Хеле - Шоу, находящейся в однородном статическом поле тяжести. Определены критические значения вибрационного и гравитационного чисел Рэлея, при которых происходит смена конвективных течений. По результатам расчетов построена карта устойчивости режимов для полости с теплоизолированными широкими гранями.

1. Введение

Конвективные течения в жидкостях и газах, возникающие в поле тяжести при наличии пространственной неоднородности плотности, являются одним из самых распространенных видов движения жидкостей и газов в природе. Обладая более богатым спектром структур по сравнению с изотермическими течениями, они играют огромную роль в конструировании и создании разнообразных технических устройств. Этим объясняется заинтересованность в изучении условий возникновения гравитационно-конвективных течений, необходимость исследования их устойчивости и пространственно-временной эволюции в различных ситуациях, например, при наличии примесей, воздействии переменных инерционных ускорений, электрического и магнитного полей или с учетом других осложняющих факторов. Теоретическое исследование часто встречающихся в природе типичных конвективных течений и сравнение с экспериментом удается провести при использовании кювет классической геометрической формы, таких как кубическая полость, горизонтальный слой жидкости, шаровая полость и т.д. Хорошей физической моделью, позволяющей преобразовать трехмерную задачу к плоской, является полость в форме прямоугольного параллелепипеда, один из горизонтальных размеров которого много меньше двух других линейных размеров. В литературе такую полость называют ячейкой Хеле - Шоу.

В [1] представлены результаты экспериментального и теоретического исследования свободной тепловой конвекции в подогреваемой снизу ячейке Хеле - Шоу. По экспериментальным данным построена диаграмма критических чисел Рэ-

лея, при которых происходит смена различных конвективных режимов. Показано, что последовательность конвективных режимов в зависимости от надкритичности сильно зависит от соотношения сторон и теплопроводности широких граней. Позднее методом конечных разностей был выполнен расчет этой диаграммы [2]. Получено хорошее согласие теоретических и экспериментальных данных, в частности, было показано, что порядок следования конвективных режимов совпадает с экспериментальным.

Расчет индуцированных высокочастотными вибрациями первых критических движений в ячейке Хеле - Шоу, находящейся в условиях невесомости, произведен в [3]. Рассмотрен специфический термов ибрационный механизм возбуждения конвекции, изучена форма стационарных конвективных течений в зависимости от соотношения сторон широких граней.

Действие горизонтальных высокочастотных вибраций на конвекцию в ячейке Хеле - Шоу, находящейся в однородном поле тяжести, изучено экспериментально и теоретически в работе 14]. Рассматривалась полость с теплоизолированными широкими гранями. Исследованы нелинейные режимы вибрационной конвекции в надкритической области. Показано, что горизонтальные вибрации, продольные широким граням полости, понижают порог устойчивости квазиравновесия. Найдены области существования одно- и двухвихревых стационарных течений, изучены нестационарные регулярные и хаотические режимы термовибрационной конвекции. Обнаружены новые хаотические режимы в ячейке Хеле - Шоу, которые были названы пульсационными течениями. Расчеты, выполненные методом Галеркина - Канторовича, показали, что пульсационные течения являются ре-

© И. А. Бабушкин, В. А. Демин, А. Н. Платонова, 2007

зультатом нелинейного взаимодействия “нижних” мод, отвечающих за реализацию регулярных надкритических конвективных режимов.

Влияние, оказываемое вертикальными вибрациями на конвекцию в ячейке Хеле - Шоу, которая находится в поле тяжести, исследовано теоретически в работе [5]. В широком диапазоне значений управляющих параметров, характеризующих вибрационное и тепловое воздействие, произведен расчет конечно-амплитудных движений. На плоскости этих параметров построена карта устойчивости конвективных течений. Показано, что вертикальные вибрации повышают порог устойчивости механического квазиравновесия.

В случае горизонтальных вибраций карта кон-вектив1шх режимов для ячейки Хеле - Шоу с идеально теплопроводными широкими гранями представлена в работе [6]. Найдены области существования механического квазиравновесия, стационарных одно-, двух- и трехвихревого течений, а также четырехвихревого колебательного режима с перезамыканием вихрей. Показано, что горизонтальные вибрации понижают порог устойчивости всех обнаруженных надкритических течений.

Данная работа посвящена изучению тепловой и термовибрационной конвекции в ячейке Хеле -Шоу с теплоизолированными широкими вертикальными гранями. Построена карта устойчивости конвективных режимов в осях гравитационного и вибрационного чисел Рэлея. Полученные теоретические результаты сопоставляются с экспериментальными данными [1,4].

2. Постановка задачи

2.1. Геометрия задачи

Пусть в рассматриваемой полости (рис. 1) реализуются конвективные течения только в плоскости широких граней (*,.>')■

Рис. 1. Ячейка Хеле - Шоу

Выбирая в качестве единицы длины полутол-щшгу полости, получим следующие геометриче-

ские параметры ячейки: толщина - 2, высота - Я, длина - Полость находится в однородном статическом поле тяжести и подвергается действию горизонтальных высокочастотных вибраций вдоль единичного вектора п. На широких твердых гранях поддерживается постоянный вертикальный градиент температуры, направленный вертикально вниз. Горизонтальные грани идеально теплопроводны, вертикальные - теплоизолированы.

2.2. Основные уравнения и безразмерные параметры

Для теоретического описания течений в полости будем использовать уравнения тепловой конвекции в приближении Буссинеска путем добавления к статическому ускорению силы тяжести вибрационного ускорения. После процедуры осреднения обезразмерешгые уравнения запишем в форме [7] дь 1

— +—(1^)1; = -V^?-ьДI>^-Ra7Y^-0/ Рг

+ Kz(wV)(Tn-w\

дТ

Рг— + (vV)T = AT, div w = О, dt

(1)

rotw = Vrxn, diviw=0.

Система (1) содержит следующие безразмерные параметры: число Рэлея, вибрационный аналог числа Рэлея и число Прандтля соответственно:

Ra =

gfiAtt

(bpnAd2)2

2кг

Pr = -,

Ч X

где Ь, ¿2- амплитуда и круговая частота вибраций; ш - соленоидальная часть поля Тп, которая имеет смысл амплитуды пульсационной компоненты скорости; V, р и Т - соответственно осредненные поля скорости, давления и температуры; у, /? и х~ коэффициенты кинематической вязкости, теплового расширения и температуропроводности соответственно. Характерный градиент температуры А определяется через высоту полости; % - величина ускорения свободного падения; у - единичный вектор, направленный вертикально вверх.

Из обшей процедуры осреднения следует, что на осредненную компоненту скорости на твердых границах полости необходимо наложить условие прилипания у\г = 0. Пульсационное течение имеет “невязкий” характер, поэтому на амплитуду пульсационной компоненты скорости нужно поставить условие непротекания IVп = 0 .

В нашем случае площадь узких граней пренебрежимо мала по сравнению с площадью широких граней, что позволяет пренебречь диссипацией за счет сдвиговой вязкости на узких гранях ячейки. Таким образом, можно отказаться от условия прилипания на осредненную компоненту скорости и

ограничиться лишь условием непротекания на узких гранях.

На широких гранях поддерживается вертикальный градиент температуры, следовательно, Т\г = -у . В итоге граничные условия имеют вид

(х = О, L): v = О,

* дх

ди р>т

=0' €=0' дх

ди

{.У - 0, //): V =0, —^ = 0, Т = 0, -//, у ду

(г = ± 1): 1» = 0, Т = -у, ?-0.

дг

Ограничения на толщину ячейки позволяют использовать приближение плоских траекторий V. = 0, ьи. = 0 , поэтому дальнейший анализ тепловой и термовибрационпой конвекции будет выполняться на основе уравнений, записанных в терминах функций тока для осредненной и пульсаци-онной компонент скорости:

v, =

d4J ду ’ дФ_ ду

дУ

V’~'

дФ

Wy~ дх

(2)

3. Методика расчета

3.1. Линейная задача

Линейная задача устойчивости механического квазиравновесия относительно малых нормальных возмущений для ячейки с теплоизолированными широкими гранями решается аналитически [5]. Граница устойчивости определяется соотношением

6 ( / \2 / \2 ,^

П ( П

- -- 4-

И

Rac =

8

п

\Ьу

1

+ — 4

/

/ (mb' \2} - Rav / Ґ mL4 2n

1 + 1 +

ч { пН V ч

(3)

Индексы пат отвечают различным модам возмущения. Далее с помощью уравнения (3) найдем пять “низших” мод, которые будем использовать при решении нелинейной задачи.

3.2. Нелинейная задача

Расчет различных нелинейных режимов вибрационной конвекции осуществлялся с помощью обобщенного метода Галеркина - Канторовича. Для этого поля функций тока (2) и температуры раскладывались в ряды по базисным функциям с амплитудами, зависящими от времени:

пп

\

sin

тп

~Н

cos

П

Ф=<Рпт( О COS

(

пп \ . r тп

X sin

L ) ч Н

пп ^ ( тп

X COS

L ) 1 н

(4)

Разложение (4) офаиичивалось следующим набором базисных функций:

1^2!» ^12 > ^22 > Ч'ъъ

в,

01’

>1> ^12 >

22 > 1>

^02> ^11» ^21

<Р0\> ^02> ^11> ^21» ^2> 4°22> ^Г

Интегрирование системы уравнений (1), записанной в терминах функций тока, по объему ячейки дает систему из 12 обыкновенных дифференциальных уравнений для амплитуд. Уравнение для функции тока амплитуды пульсационной компоненты скорости не является эволюционным, что

позволяет алгебраически связать амплитуды (р„т и впт. В результате “вибрационная сила” в уравнении Навье - Стокса полностью выражается через амплитуды температурного поля. Полученная система итерировалась с помощью пакета программ аналитических вычислений МаШетаПса 5.0. Размеры ячейки 2x20x40 были фиксированы и соответствовали эксперименту [1, 4]. Для обнаружения смены конвективных режимов анализировались зависимости амплитудных характеристик от времени при разных значениях теплового и вибрационного чисел Рэлея. Методом установления отслеживались стационарные, а также регулярные и хаотические нестационарные течения. По результатам расчетов полей функции тока и температуры находились границы различных конвективных режимов, которые аппроксимировались кривыми в соответствии с правилами интерполяции.

Рис. 2. Карта режимов: 1 — квазиравновесие; стационарные течения: 2 - одновихревое, 3 -двухвихревое; 4 - регулярные пульсации; четырехвихревые колебательные режимы с перезамыка-нием вихрей: 5 -хаотический, 6 - регулярный; 7-нерегулярные пульсации

В отсутствие вибраций (Rav = 0) при наложении произвольных начальных условий в интервале Ra - 0 -ь 0.12 в ячейке устанавливается механическое квазиравновесие, экспериментальная фотография которого представлена на рис. 3.

Рис. 4. Обновихревое течение

Увеличение числа теплового Рэлея приводит к тому, что при Яа = 0.53 двухвихревое стационарное течение становится неустойчивым и в ячейке возникают нерегулярные пульсации, реализующиеся в несколько этапов. Один из вихрей (например, левый) начинает расти, вытесняя второй в нижний угол (рис. 6). В то же время в верхнем углу полости образуется небольшое возвратное течение. Этот возвратный вихрь имеет значительно меныпую интенсивность, чем основное течение, занимающее центральную область полости. Далее начинает расти правая ячейка, и в некоторый момент времени она поглощается основным течением. После этого процесс повторяется. В итоге реализуются пульсации нижней ячейки вблизи основного асимметричного течения, занимающего практически всю полость.

Рис. 6. Стадия нерегулярного пульсацион-

ного режима

В ходе вычислений при Ra ~ 0.36, Rav -1.1 был обнаружен четырехвихревой режим с нерегулярным перезамыканием вихрей, вертикальная ось симметрии которого сдвинута по г. Картина расположения вихрей теперь не подчиняется инверсионному преобразованию симметрии относительно вертикальной оси. Диагонально противоположные вихри имеют разную интенсивность и размеры (рис. 8). В этой области управляющих параметров эксперименты не проводились, поэтому описываемое течение ранее не наблюдалось.

Направление сдвига вертикальной оси зависит от начальных условий. Асимметричный четырехвихревой режим с перезамыканием вихрей со смещением вертикальной оси влево (рис. 8, а) соответствует начальным условиям:

0О|(О) = 0.1, 0О2(О) = О.1,

Рис. 3. Жидкость в состоянии механического квазиравновесия

С ростом числа Рэлея квазиравновесие становится неустойчивым: при Яа > 0.12 появляется стационарное одновихревое течение, фотофафия и расчетные изолинии функции тока которого изображены на рис. 4. При достижении Ка = 0.38 одновихревой режим сменяется двухвихревым стационарным течением (рис. 5).

При Ra > 0.65 и Rav = 0 пульсационное течение сменяется четырехвихревым колебательным режимом с нерегулярным перезамыканием вихрей, форма которого в определенный момент времени представлена на рис. 7. “Включение” малых вибраций (Rav < 0.03) не меняет структуру этого течения (область 5 на карте режимов).

Рис. 5. Двухвихревое течение

0М(О) = О.1, , (0) = 0.1,

^2,(0) = 0.06, ^21(0) = 0.05,

0,2(0) = 0.9, ^]2(0) = !.54,

^22(0) = 0.3, ^22 (0) = 0.01,

03,(О) = 1.62, ^з](0) = 2.24.

I

f:4

жт,}

*' »\LsDbV . ■ . ■ • і

'Штщ;-¡'Фії А

й§амГ •;

штш ш .

10 1Ь 70 25 ЗО

Рис. 7. Хаотический четырехвихревой режим с перезамыканием вихрей

а о

Рис. 8. Асимметричный четырехвихревой режим с перезамыканием вихрей

Мри других начальных условиях возможен режим со смещением вертикальной оси вправо (рис. 8, Ь):

0О| (0) = 0.1, 0П(О) = О.1; 02](О) = 2.06, 0,2 (0) = 0.9, 022 (0; = 0.3, 03,(0) = 1.62,

4)2(0) = 0.1, V'l |(0) = 0.1, ^2] (0) = 2.05, ^,2(0) = 1.54,

у/->2 (0)= 0.01.

^зі(0) = 2.24.

'(М

Очевидно, что равноправие левого и правого позволяет в расчетах реализовать обе возможности.

4. Заключение , • f ^ {

В настоящей работе численно исследовано влияние высокочастотных горизонтальных вибраций на нелинейные конвективные режимы в ячейке Хеле - Шоу, находящейся в однородном статическом поле тяжести. Расчеты произведены для ячейки с теплоизолированными широкими гранями с соотношением сторон 2x20x40. Приближенно вычислены критические значения чисел Рэлея, при которых происходит смена конвективных режимов. Произведен расчет полей функции тока и температуры для различных типов течений в полости. Обнаружены все наблюдавшиеся в эксперименте течения: стационарные одновихревое и двухвихревое течения, регулярный и нерегулярный пульсационные режимы, регулярный и хаотический четырехвихревые режимы с перезамыканием вихрей. Наряду с этим при определенных значениях управляющих параметров обнаружен асимметричный хаотический четырехвихревой режим с перезамыканием вихрей. Построена карга устойчивости в осях гравитационного и вибрационного чисел Рэлея.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант Урал - 2004 № 04 - 02 -96026) и Американского фонда гражданских исследований и развития (грант РЕ-009-0/В2М409).

Список литературы

1. Anferov D. V., Babushkin /. A., Demin V. А. II Advanced Problems in Thermal Convection. Abstrs Int. Conf. Perm, Russia, 2003. P. 14.

2. Бабшкин //. А., Демин В. A. II Изв. РАН. Мех. жидкости и газа. 2006. № 3. С. 3.

3. Браверман Л. М. // Конвективные течения: межвуз. сб. науч. тр. / Перм. пед. ин-т. Пермь, 1989. С. 73.

4. Бабупикин И. А., Демин В. А. // Изд. СО РАН. Прикл. мех. и техн. физ. 2006. № 2. С. 40.

5. Демин В. А., Макаров Д. В. И Вестн. Перм. унта. 2004. Вып. 1. Физика. С. 101.

6. Демин В. А., Платонова А Н. И Там же. 2006. Вып. 1. Физика. С. 9.

7. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Непомнящий А. А. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989.320 с.

8. Зеньковская С. М, Симоненко И. Б. II Изв. АН СССР. Мех. жидкости и газа. 1966. № 5. С. 73.