Устойчивость конвективных течений в ячейке Хеле-Шоу при воздействии вертикальных вибраций Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2005 Физика Вып. 1

Устойчивость конвективных течений в ячейке Хеле-Шоу при воздействии вертикальных вибраций

В. А. Демин, Д. В. Макаров

Пермский государственный университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

Изучено влияние высокочастотных вибраций на конвективные движения в подогреваемой снизу ячейке Хеле-Шоу, которая находится в однородном поле тяжести. Аналитически решена линейная задача устойчивости механического квазиравновесия (найдены границы устойчивости). Численно исследованы нелинейные режимы вибрационной конвекции в надкритической области. Определены критические значения теплового и вибрационного чисел Рэлея, при которых происходит смена конвективных режимов в ячейке Хеле-Шоу. Построена карта устойчивости регулярных и хаотических режимов. Показано, что вертикальные вибрации повышают порог устойчивости квазиравновесия.

1. Введение

Важным направлением в гидродинамике является исследование течений жидкости в трехмерных областях, однако расчеты таких течений всегда связаны с большими трудностями. Определенные предположения о геометрии области и характере течения позволяют свести трехмерную задачу к плоской. Хорошей физической моделью, позволяющей преобразовать трехмерную задачу к двумерной, является ячейка Хеле-Шоу.

Ранее в работах [1-3] теоретически и экспериментально проводилось описание свободной конвекции в подогреваемой снизу полости, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда 2</х£хЯ, ширина которого 2<4 много меньше длины Ь и высоты Н (вертикальная ячейка Хе-ле-Шоу). При расчетах использовался метод Га-леркина-Канторовича для фиксированных размеров ячейки Н =20, /, = 10. Найдены значения параметров, которым соответствуют различные режимы течений. Эксперименты проводились с дистиллированной водой Рг = 6.7. Результаты эксперимента находятся в качественном согласии с данными расчетов.

Свободная конвекция в ячейке Хеле-Шоу при подогреве сбоку в поле тяжести рассмотрена в [4] методом сеток. Применялась неявная схема, стационарные решения находились методом установления. Геометрические параметры ячейки были такими же, как в работах [1, 2]. Расчеты были выполнены для трех чисел Прандтля Рг = 1,3, 7 в следующих диапазонах чисел Грасгофа:

Сг = Н950, 25-4-175, 1^-60. Во всех проведенных расчетах имело место одновихревое движение, возвратных течений не наблюдалось.

Влияние тепловых граничных условий на конвекцию в ячейке Хеле-Шоу изучено в [5] методом сеток. Результаты расчетов разделены на две группы в зависимости от значений коэффициентов теплопередачи.

В работе [6] численно исследована тепловая вибрационная конвекция в ячейке Хеле-Шоу в невесомости на основе классических уравнений термовибрационной конвекции [7]. Проведен расчет первых критических движений в ячейке Хеле-Шоу для различных отношений сторон широких граней Ь/Н , равных 1:1, 3:1, 5:1 и 8:1.

Влияние горизонтальных вибраций на конвекцию в ячейке Хеле-Шоу в гравитационном поле исследовано теоретически и экспериментально в [8-9]. В работе [9] численно и аналитически исследованы условия существования механического квазиравновесия, его устойчивость и надкритические конвективные движения в ячейке Хеле-Шоу при подогреве снизу в условиях внешнего высокочастотного воздействия. Изучены сценарии перехода от квазиравновесия к нерегулярным движениям. Показано, что вибрации индуцируют конвекцию в ячейке Хеле-Шоу даже в отсутствие силы тяжести (явление термовибрационной конвекции).

Целью данной работы является численное изучение влияния, оказываемого вертикальными вибрациями на конвекцию в ячейке Хеле-Шоу, которая находится в однородном статическом

гравитационном поле и подогревается снизу.

© В. А. Демин, Д. В. Макаров, 2005

2. Постановка задачи

2.1. Геометрия задачи

Ячейка Хеле-Шоу представляет собой полость (рис.1) в форме прямоугольного параллелепипеда, один из размеров которого 2с1 много меньше двух других Н и I.

Ячейка находится в поле тяжести и подвергается воздействию вертикальных высокочастотных вибраций. На широких твердых гранях поддерживается постоянный вертикальный градиент темпе-

рагуры, направленный вниз (подогрев снизу). Узкие грани считаются свободными, причем вертикальные теплоизолированы, а горизонтальные - изотермичны [1,2].

2.2. Основные уравнения

При описании течений в полости используется метод осреднения уравнений конвекции в приближении Буссинеска с добавлением к статическому ускорению силы тяжести вибрационного ускорения [10]. Метод осреднения применяется в предельном случае высоких частот. Имеется также ограничение по частоте сверху, обусловленное использованием модели несжимаемой жидкости: длина звуковой волны должна быть много больше характерного размера задачи. Таким образом, период вибраций т должен быть много меньше гидродинамического и теплового времен, но

больше акустического:

V

где с - скорость звука, с1 - полутолшина ячейки.

После процедуры осреднения уравнения термовибрационной конвекции будут иметь следующий вид:

— + (vV)v =—-У/? +уДи+ £|ЗГу+

9/ р

^ + («У)Г = хД7\ сііу» = 0,

гої и> = УГхл , сііун»=0.

0)

Здесь ь,Т, р - осредненные поля скорости, температуры и давления; н> - соленоидальная часть поля Тп, которая представляет собой амплитуду пульсационной компоненты скорости; V,

Р - соответственно коэффициенты кинематической вязкости, температуропроводности и теплового расширения; Ь, О. - амплитуда и круговая частота вибраций; % - ускорение силы тяжести; р

- средняя плотность жидкости; у - единичный

вектор, направленный вверх.

Введем безразмерные переменные. Выберем в качестве единицы расстояния полутолщину ячейку2 X

ки а , времени------, скорости-----, температуры

1 Л

V

- Аа, давления - Здесь А - характерный

с1~

градиент температуры, а г| - коэффициент динамической вязкости. Тогда система уравнений (1) принимает форму

+ j = -У/? + Дг + КаГу +

4!Кау(н,У)(7>1-и>),

— + (иУ)7’ = Д7\ ді ' '

гої = У7"х//,

сііу V = 0, сііу н> = 0 .

(2)

Система (2) содержит три безразмерных параметра:

Яа,, =

(бР04б/2)2

УХ

где Рг - число Прандтля, Яа - число Рэлея, Яау - вибрационный аналог числа Рэлея.

На твердых границах полости на осредненную составляющую скорости ставится условие прилипания и|г = 0 . Ввиду “невязкого” характера пуль-

сационного течения на амплитуду пульсационной компоненты скорости следует поставить условие непротекания %|г =0 .

Как уже говорилось ранее, на широких твердых границах поддерживается вертикальный градиент температуры Т\г = -у .

Тогда граничные условия к системе (2) можно записать следующим образом:

дТ

(* = 0,£): vx=0, -^ = 0, — = 0;

дх дх

(у = 0,Н): vy =0, ^ = 0, Т = 0, -Н ] (3) чи

(z = ±l): V = 0, w, = 0, Т =-у .

3. Приближение плоских траекторий

Геометрия области (£, Я»1) и экспериментальные данные позволяют предположить, ЧТО 2 компоненты осредненной и пульсационной скоростей малы. Поэтому будем считать, что V, = 0 и = 0. Это предположение вместе с уравнением непрерывности позволяет ввести функцию тока Т(ду, г) для осредненной скорости

V = (ух, Уу, 0) с помощью следующих соотношений:

Vx~ ду' Vy~ дх

(4)

аналогично вводим Ф(х, у, z) для пульсационного поля w = (м’д., wyl О):

w„=-

ЭФ

ду

дФ

дх

(5)

Уравнения (2) в терминах функций тока можно записать следующим образом:

+ У,И', -= А1У-Яа0д. +

+Яа%,(ф.ч.0, + Ф.„(1-0),)), (6)

0,+У,©,-У,©,=Д© + ЧЛс, (7)

Ф„+Ф„,=0,, Ф„=0;, Фгу = 0, (8)

где IV = -(*Нхх + 1РХУ) - завихренность.

Нижний индекс в уравнениях означает дифференцирование по соответствующей координате. Уравнения (6-8) записаны для отклонения температуры от равновесного значения 0 (заметим, что У0 = 0 и Ф0 = 0).

Граничные условия (3), переписанные в терминах функций тока, будут иметь вид

(* = 0,1): Ч' = Ч'„=©,=0;

(у = 0,Н): Т = Тда=© = 0;

(z = ±l): Ч' = Ф = © = 0.

(9)

4. Линейная задача

Рассмотрим линейную задачу устойчивости механического квазиравиовесия жидкости относительно малых возмущений. Квазиравновесием называют такое состояние, при котором имеются лишь высокочастотные колебания жидкости, но отсутствует осредненное течение. Линеаризуем систему уравнений (6-8) и запишем стационарную задачу

А1У - Яа©^ + ЯауФхс = 0, (10)

Д0 + ¥Х=О, (11)

Ф.и+Фд.=®,. Фи=®г. Ф.т = 0. (12)

Уравнения допускают решения, удовлетворяющие граничным условиям (9), следующего вида:

. (ПК } . (тп \ (п

'Р = У|/ди8ш1 ух18ш1 — Исов!

0 = 0»/jjCOS^~~A' |Sin

^ . (пп

Ф = фш81п1уХ |Sin

т я | f тс

— у COS —Z

И У) \2

пт '1 (л

— V cos —z

Н ) 12

(13)

где п = О,1, 2..., т = 1, 2,3 ....

Уравнения (12) для функции тока пульсационной компоненты скорости будут выполнены только в среднем. Причем нетривиальный результат даст только первое из уравнений (12). Подставляя выбранные аппроксимации (13) в уравнения (10-12), получим алгебраическую систему уравнений. Условие разрешимости этой системы дает выражение, которое определяет критическое число Рэлея

( , rs2V

i+f^

\пН

/

+Ra.

1+f—

[пН

(14)

Предельный случай Rav = 0 приводит к известному выражению, полученному ранее в [1, 2]. Сравнение формулы (14) с результатом, представленным в работе [9], для случая горизонтальных вибраций показывает, что отличие в выражениях заключается только в знаке перед вибрационным числом Рэлея Rav. Из границ устойчивости (14) следует то, что вертикальные вибрации повышают порог устойчивости квазиравновесия. Горизонтальные вибрации его понижали [9]. На рис. 2 приведены результаты исследования линейной задачи устойчивости для ячейки с размерами И = 40, L = 20 (размеры даны в полутолщинах ячейки d).

Рис. 2. Границы устойчивости квазиравновесия для различных мод (п, т) вида (13)

На рис. 2 изображены границы устойчивости для пяти мод, которые далее будут учитываться при решении нелинейной задачи. Решение линейной задачи устойчивости показывает, что для выбранной ячейки при Rav <5.5 наиболее опасным является двухвихревое возмущение (мода (2,1)). В случае Rav>5.5 граница устойчивости определяется одновихревой модой (1,1).

5. Нелинейная задача

Используем функции, являющиеся решением линейной задачи, в качестве базиса для описания координатной зависимости решения нелинейной задачи. Поэтому, следуя процедуре Галеркина -Канторовича, решение ищем в виде разложений с зависящими от времени амплитудами

Далее подставляем разложения в систему уравнений (6-8), умножаем на базисные функции из разложения (15) и интегрируем по объему ячейки.

В ходе расчетов уравнения для коэффициентов

М/пт(0» ®лт(0 и Фюл(0 6ЫЛИ ПОЛучеНЫ С ПОМОЩЬЮ пакета программ аналитических вычислений Мар1е-У. В результате систему нелинейных уравнений в частных производных (6-8) удалось свести к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Уравнения (8) для функции тока пуль-

сационной компоненты скорости не являются эволюционными. Поэтому интегрирование этих уравнений дает систему алгебраических уравнений, которая позволяет выразить коэффициенты функции тока пульсационной компоненты скорости через амплитуды 0,,„,(/) поля температуры. Слагаемые, характеризующие вибрационное воздействие, в уравнениях для амплитуд vj/,„„(/)

функции тока осредненной компоненты скорости будут полностью выражены через амплитуды 9/mi(0 температурного ПОЛЯ.

Тогда для амплитуд 0,ш(/) и y\Jnn,(t) будем иметь уравнения следующего вида:

< • Siww. • <»

i j'k

где f - переобозначенные амплитуды улт(/) и 0(,,„(/), а коэффициенты а/; и - различные

комбинации параметров Н , L , Pr, Ra , Rav .

Ограничимся в разложениях (15) следующими семнадцатью базисными функциями:

Н'Ц.Ч'12>ЧЬ|-Ч'22>Ч'31>

001' 0О2> 0Ц' 012' 021' 022- 031 > 0^)

ФП' Ф|2> Ф21' Ф22' Ф31 •

Таким образом, получаем пять алгебраических и двенадцать обыкновенных дифференциальных уравнений для амплитуд функции тока и температуры вида (16). Вследствие большого объема система дифференциальных уравнений здесь не приводится. Отметим, что сравнение с соответствующей системой уравнений, полученной в [9], где исследовано влияние горизонтальных вибраций, дает отличие только в знаке перед вибрационным числом Рэлея Rav .

5.1. Триплетная подсистема

В системе вида (16) можно выделить замкнутые подсистемы. Если в начальный момент времени все амплитуды, кроме амплитуд данной подсистемы равны нулю, то они останутся нулевыми и во все последующие моменты времени. Таким образом, для амплитуд ^ц,0ц,0о2 выделяется замкнутая триплетная подсистема

фи =/v(Ra0n -a\$f11-Raveil(4§02 + l)),

0ц = (40Q2 + 1)ф| 1 — я011^ (18)

002 = "^002 “20цфц .

Здесь для удобства введены следующие обозначения:

>2 2 ~ 2

=т“777Н/п » ~Т77®11 ’ ®02 =Tt7®02>

inLH З Н ЪН

Ra =

Ra

71 (l + s)

, Rav =

Ra,

я4 (1 + 5)

.1 1 1 ) H +16

fl = —=- +—-------------------, 0-----------г— , S-----------7Г .

L2 H 4 J AH H

При Rav = 0 система (18) с точностью до коэффициентов совпадает с известным триплетом Лоренца. Кроме этой триплетной подсистемы можно выделить триплетные подсистемы для амплитуд

Ч/21*®21'®02 И 4^31' ®31' ®02 -

Система уравнений (18) имеет аналитическое стационарное решение

Vn

= ±^-(Ra - 2«2 + - 4a2tav J,

1Jab Ra-2a2 -f-^Ra2 -4a2Rav J

Gn =±-

2 Ra + >yRa2 -4crRa^ 1 Ra-2 a2+/ka2 -4a2Rav

, (19)

4 Ra + ^Ra2-4o2Ia^

Видно, что решение вырождено по числу Прандтля Рг. Результаты решения (19) для тех же размеров ячейки, что были выбраны ранее, представлены на рис. 3.

Рис. 3. Зависимость модуля максимального значения функции тока от числа Рэлея Ка для различных вибрационных чисел Рэлея Яа„

В случае малых надкритичностей амплитуда движения растет по корневому закону. Причем для

больших чисел Рэлея при увеличении вибрационного числа равновесие сменяется одновихревым режимом. Это означает, что вибрации оказывают стабилизирующее действие на систему.

5.2. Численное решение нелинейной системы

Решение системы двенадцати дифференциальных уравнений вида (16) производилось численно методом пошагового интегрирования Рунге-Кутта-Ингленда 4-5 порядка точности с автоматическим выбором шага [11]. Компьютерный модуль был написан на языке программирования Иог-1гап-90.

В расчетах использовался метод установления. Число Прандтля в ходе расчетов было фиксированным Рг = 6.7. Расчеты сделаны для размеров ячейки Н — 40, Ь = 20 (для ячейки с таким соотношением сторон будет производиться эксперимент).

Для обнаружения смены режима исследовались зависимости максимального значения функции тока (рис. 4) и числа Нуссельта (рис. 5) от числа Рэлея при различных значениях вибрационного числа Рэлея. По результатам этих зависимостей и изолиний функции тока найдены критические значения чисел Рэлея, при которых происходит смена конвективных режимов в ячейке Хеле-Шоу.

Рис. 4. Зависимость модуля максимального значения функции тока от числа Рэлея Ка для вибрационного числа Рэлея = 4. Цифрами на рисунке обозначены участки кривой, которым соответствуют следующие состояния системы: 1 - квазиравновесие, 2 - стационарный двухвихревой режим, 3 - колебательный регулярный четырехвихревой режим с перезамыканием вихрей (см. рис. 1)

Рис. 5. Зависимость числа Нусселыпа Nи от числа Рэлея Я а для вибрационного числа Рэлея Яах, = 4 (М/0 - число Нусселыпа в равновесии). Цифрами на рисунке обозначены участки кривой, которым соответствуют следующие состояния системы: / - квазиравновесие, 2 - стационарный двухвихревой режим, 3 - колебательный регулярный четырехвихревой режим с перезамыканием вихрей (см. рис. 7)

6. Карта устойчивости

В результате численны^ расчетов были найдены границы режимов, обнаруженных при расчетах изолиний функции тока. Границы режимов, аппроксимированные прямыми, представлены на рис. 6. Из карты устойчивости видно, что вертикальные вибрации повышают порог устойчивости квазиравновесия.

Для Rav<5.5 при увеличении числа Рэлея квазиравновесие сменяется двухвихревым стационарным течением (рис. 6, область 2). При увеличении числа Рэлея двухвихревой режим сменяется стационарным трехвихревым (рис. 6, область 3), далее он сменяется регулярным колебательным четырехвихревым с перезамыканием вихрей (рис.

6, область 4,а и рис. 7). Исследование поведения мод, используемых в разложении функции тока, показали, что не затухают амплитуды у,,, у22 и i|/31. Причем амплитуда 1|/п совершает колебания около ненулевого значения, а ц/22 и V31 " вблизи нуля. Изолинии функции тока этого колебательного режима в различные моменты времени в течение одного периода представлены на рис. 7. На фоне одновихревого течения (рис. 7,а) с течением времени появляются маленькие вихри в противоположных углах полости с закруткой, отличающейся от закрутки главного вихря (рис. 7,6). Затем маленькие вихри растут в размерах и пережимают

Ra

Рис. 6. Карта устойчивости вибрационно-конвективных режимов. Цифрами обозначены области, которым соответствуют различные конвективные режимы: 1 - одновихревой режим, 2 - двухвихревой режим, 3 - трехвихревой режим, 4а и 4Ь - четырехвихревые регулярные колебательные режимы, 5, 6 и 7 - разные хаотические режимы

Рис. 7. Изолинии функции тока нестационарного четырехвихревого режима с перезамыканием вихрей в различные моменты времени в течение одного периода для Яа- 12, Яау - 0 (рис6, область 4а)

Рис. 8. Изолинии функции тока пулъсационного хаотического режима для Яа = 15.8, Яау = 8 (рис. б, область 5)

3 и к

Рис. 9. Изолинии функции тока пулъсационного хаотического режима для Яа = 15.8, Яа,=8 (рис. б, область 5)

диагональный вихрь, разделяя его на два (рис. 7,в-г). Вновь образовавшиеся вихри увеличиваются, вытесняя два других из ячейки (рис. 7,д). Далее один из вихрей опускается вниз, а другой поднимается вверх (рис. 7,е). С течением времени они сливаются в один вихрь (рис. 7,ж-л), и все повторяется сначала.

Дальнейший рост числа Рэлея Ra приводит к возникновению нерегулярных колебаний (рис. 6, область 6). В них участвуют те же три гармоники, но теперь амплитуды yn, v|/22 и vjy3) колеблются

хаотически, причем \\и i|/22 - около нулевого значения. Структура течения качественно похожа на структуру течения предыдущего режима. Затем нерегулярные колебания опять сменяются регулярным четырехвихревым режимом (рис. 6, область 4Ь).

Отличие этого режима от предшествующего регулярного четырехвихревого с перезамыканием вихрей в том, что перезамыкание происходит только между двумя определенными вихрями, лежащими в противоположных углах ячейки (возможно, это связано с колебаниями амплитуды v(/3]

вблизи ненулевого значения).

Увеличивая число Рэлея, четырехвихревой регулярный режим перестраивается снова в нерегулярный (рис. 6, область 7). Теперь в колебаниях участвуют все пять гармоник, используемых в разложении функции тока. Но особенность поведения амплитуд V(/|2 и \\i2\, которые раньше затухали, в том. что их эволюция со временем представляет собой чередование стационарных участков и участков хаотических колебаний.

Увеличивая вибрационное число Рэлея, область существования трехвихревого режима сужается, а при Rav >2 исчезает.

Для Rav>5.5 при увеличении числа Рэлея квазиравновесие сменяется одновихревым стационарным течением (рис. 6, область 1). Теперь переход к четырехвихревому режиму происходит через хаотический режим (рис. 6, область 5 и рис. 8-9). В этом хаотическом режиме все пять мод функции тока из разложения (15) совершают колебания вблизи нуля. Индуцируемое течение представляет собой смену вихрей с различной закруткой, поочередно вытесняющих друг друга.

На рис. 8 изображены изолинии функции тока данного пульсационного хаотического режима в течение некоторого промежутка времени. Видно, что кроме главного вихря в углах полости время от времени появляется вихрь (рис. 8,а-в), который, увеличиваясь в размерах (рис. 8,г-и), пытается вытеснить основной, но затухает. Возможен другой финал эволюции вихря (см. рис. 9). Возникнув в одном из углов ячейки (рис. 9,а), он становится больше (рис. 9,б-в) и вытесняет из полости вихрь, существовавший до этого (9,в-к).

7. Заключение

Аналитически и численно изучено влияние, оказываемое вертикальными вибрациями на конвекцию в ячейке Хеле-Шоу, которая находится в однородном статическом гравитационном поле. Рассмотрена линейная задача устойчивости механического квазиравновесия. Исследованы нелинейные режимы вибрационной конвекции в надкритической области. Представлены результаты расчетов полей функции тока и температуры для различных конвективных движений в ячейке. Определены критические значения теплового и вибрационного чисел Рэлея, при которых происходят смены конвективных режимов. Показано, что вертикальные вибрации повышают порог устойчивости квазиравновесия. Обнаружены области существования одно, двух и трехвихревых стационарных режимов, различные регулярные и нерегулярные колебательные режимы. Проведено исследование структуры течений обнаруженных хаотических режимов. Построена карта устойчивости в осях теплового и вибрационного чисел Рэлея.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант № 03 - 01 - 00327, и Урал - 2004 № 04 - 02 - 96026).

Список литературы

1. Любимов Д. В., Путин Г. Ф., Чернатынский

B. И. II Докл. АН СССР. 1977. Т. 235, №3.

C. 554.

2. Любимов Д. В., Путин Г. Ф., Чернатынский

B. И. II Гидродинамика / Перм. пед. ин-т. Пермь, 1977. Вып.10. С. 3.

3. Путин Г. Ф., Ткачева Е. А. II Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1979. №1. С. 3.

4. Вертгейм И. И., Любимов Д. В. II Исследование тепловой конвекции и теплопередачи / УНЦ АН СССР. Свердловск, 1981. С. 32.

5. Мызникова Б. И. Там же. С. 23.

6. Браверман Л. М. II Конвективные течения / Перм. пед. ин-т. Пермь, 1989, С. 73.

7. Зеньковская С. М., Симоненко И. Б. II Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1966. № 5.

C. 51.

8. Бабушкин И. А., Демин В. А., Путин Г. Ф., Файзрахманова И. С. II Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность: Тез. докл. М., 2002.

9. Демин В. А., Файзрахманова И. С. II Вестн. Перм. ун-та. 2003. Вып.,1. Физика. С. 108.

10. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Непомнящий А. А. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989. 320 с.

11. Арушунян О. В., Залеткин С. Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране. М.: Изд-во МГУ, 1990.336 с.