Слабая вибрационная конвекция в неоднородно нагреваемом цилиндре Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012 Серия: Физика Вып. 2 (20)

УДК 532.546

Слабая вибрационная конвекция в неоднородно нагреваемом цилиндре

М. А. Г олдобин,

Пермский государственный национальный исследовательский университет,

614990, Пермь, ул. Букирева, 15

Рассматривается слабая термовибрационная конвекция в бесконечном цилиндре кругового сечения при малых амплитудах и конечных частотах вибраций. Распределение температуры на поверхности цилиндра соответствует однородному градиенту ("дипольный" нагрев). Показано, что интенсивность течения зависит от взаимной ориентации оси вибраций и градиента температуры. При определенных углах между осью вибраций и градиентом температуры возможны состояния квазиравновесия. Среднее течение в большинстве случаев имеет одновихревую структуру, однако при значениях а , близких к тт/2, оно является четырехвихревым. Интенсивность среднего течения максимальна при а=п/4. При изменении числа Прандтля и фиксированной частоте вибраций наблюдается изменение знака вихрей.

Ключевые слова: вибрационная конвекция, цилиндрическая полость, неоднородный нагрев, ползущее течение.

Д. В. Любимов

1. Введение

Под свободной конвекцией понимают движение жидкости, возникающее за счёт сил плавучести при наличии неоднородности плотности жидкости в поле массовых сил. Если поля тяжести нет, то конвекция может появиться по другим причинам. Например, если сосуд, в котором находится неоднородно нагретая жидкость, колеблется, то возникает вибрационная конвекция в поле сил инерции.

Вибрационной конвекции посвящено большое число работ. В них обсуждаются вопросы, связанные с описанием конвективных течений, возникающих в полостях различной формы с различными температурными распределениями на границе.

Упомянем некоторые из них, которые наиболее близки по физической постановке к рассматриваемой в настоящей статье.

В [1] приводится вывод уравнений, описывающих явление термовибрационной конвекции, включающих уравнения для средних полей скорости и температуры. Термовибрационная конвекция рассматривается как для замкнутой полости, в частности цилиндрической, так и в случае, когда полость, которая заполнена жидкостью, имеет свободную границу.

Исследование вибрационной конвекции в цилиндрической полости проводилось в работах [3-

5]. В [3] получены условия механического квазиравновесия неравномерно нагретой жидкости в вибрационном поле. В [4] найдена граница устойчивости квазиравновесия при направлении приложенного градиента температуры, перпендикулярном направлению вибраций.

В работе [5] в рамках высокочастотного приближения аналитически и численно исследовано осредненное конвективное течение, возникающее при нарушении условия квазиравновесия. Цилиндр вместе с жидкостью совершает гармонические колебания вдоль направления, перпендикулярного оси цилиндра. На поверхности задано распределение температуры, соответствующее однородному градиенту

Т =всо5 (3-а),

где а - угол между градиентом температуры и направлением вибраций, а 3 - полярный угол, отсчитываемый от оси вибраций. При а= 0, т/2 выполняется условие квазиравновесия.

При изучении вибрационной конвекции обычно либо рассматривают предел высоких частот и тогда интересуются средними течениями, как, например, в упомянутой выше работе [5], либо рассматривают явления резонанса, обычного или параметрического [1]. Лишь в небольшом числе работ изучается влияние вязкости на пульсацион-ное поле скорости (см., например, [2]). В настоя-

© ГолдобинМ. А., ¡Любимов Д. В.,|2012

щей работе исследуется как раз один из таких случаев, а именно слабая вибрационная конвекция в бесконечном цилиндре кругового сечения при малых амплитудах и конечных частотах вибраций, в отсутствие силы тяжести.

2. Термовибрационная конвекция при нагреве, соответствующем однородному градиенту

2.1. Физическая постановка задачи

Будем рассматривать слабую вибрационную конвекцию в бесконечно длинном круговом цилиндре, внутри которого находится вязкая несжимаемая жидкость (рис. 1 ). Цилиндр колеблется по гармоническому закону с заданной частотой и амплитудой вдоль направления, перпендикулярного его оси. На границе задано распределение температуры, соответствующее однородному градиенту. Сила тяжести не учитывается.

дТ

------ь V -УТ = % АТ;

дґ

&у V = 0.

(1)

коэффициент температуропроводности, р - плотность жидкости, t - время, а - угловая частота вибраций. Последнее слагаемое в правой части первого уравнения представляет собой силу инерции.

На границе задано распределение температуры, соответствующее градиенту в направлении оси х, и условие прилипания

г = Я : Т =0созф; V = 0. (2)

Обезразмерим уравнения (1), выбрав следующие единицы: Я - расстояние, в - температура, Я2/V - время, у/Я - скорость, ру2/Я - давление.

В безразмерной форме уравнения (1) записываются в виде

дv

-----ь V -Уv = -Ур +Аv + ОгТ) соБаґ;

дґ

дТ 1

-----ь V-УТ = —АТ;

дґ Рг

(3)

&у V = 0.

Уравнения содержат следующие безразмерные параметры: число Грасгофа Ог, безразмерная частота вибраций а*, число Прандтля Рг

аа2врЯъ

Ог = -

Рис. 1. Геометрия задачи

Здесь у - ось, вдоль которой происходят колебания, к - ось цилиндра, х - ось вдоль направления приложенного градиента.

Поскольку направления градиента плотности и вибраций, вообще говоря, не совпадают, жидкость не может находиться в равновесии [1]. Она обязательно будет совершать колебательное (пульсаци-онное) движение. Кроме того, за счет нелинейных эффектов возможна генерация среднего течения, изучение которого и является целью настоящей работы.

2.2. Математическая постановка задачи

Система уравнений, описывающих конвективное движение жидкости в приближении Буссине-ска, записанная в неинерциальной системе отсчёта, связанной с цилиндром, имеет вид

— + V •Vv = —1 Ур + vДv + аа2 рТ соБю//;

дt р

Здесь V - скорость жидкости, Т - температура, р - конвективная добавка к гидростатическому давлению, р - коэффициент объемного расширения жидкости, а - амплитуда вибраций, % -

Безразмерную частоту а" в литературе часто называют параметром Стокса, для неё в дальнейшем будет использоваться следующее обозначение:

а* ^ St.

Следует отметить, что в системе (3) присутствует еще один безразмерный параметр, это угол а между направлением приложенного градиента температуры и осью вибраций.

Граничные условия после обезразмеривания также переписываются следующим образом:

г = 1: Т = созф; V = 0. (4)

Ограничимся рассмотрением слабой вибрационной конвекции в пределе малых амплитуд пуль-сационной скорости, в этом случае число Грасгофа должно быть малым параметром, т.е. Ог ~ 1.

Найдем теперь главные части распределений скорости и температуры.

2.3. Теплопроводное распределение температуры

Распределение температуры будем искать в виде Т = Т0 + Т, где Т0 - теплопроводная часть, не

зависящая от скорости, Т - малая добавка, обусловленная движением жидкости.

Пренебрегая пульсациями, для теплопроводной части получим задачу

2

V

АТо = 0,

(5)

Т0 |г = = со8?>.

Решение задачи (5) имеет вид

Т0 = Г соБ^, (6)

что соответствует однородному градиенту.

2.4. Пульсационное поле скорости

Подставляя (6) в уравнение Навье - Стокса и пренебрегая нелинейным слагаемым V •Vv , получаем

дг

— = -Ур +Дv + Огг cosаt соб^/.

дt

Удобно использовать комплексную форму записи, тогда истинное решение будет являться вещественной частью найденного комплексного решения

V = Ув‘^, р = ре^и,

iSt V = -Ур + Д V + Огг соб^/'; йкУ = 0.

Удобно переписать задачу в терминах функции тока, которую введем соотношением V = го1(ук). Применим операцию взятия ротора к уравнению движения. Заметим, что произведение г соб^ есть проекция г на ось х, т.е. х = гсоб^ . Учтем, что

го1(х) = Ухх у = ех х у = к Бша,

где ех - единичный вектор вдоль оси х, / - единичный вектор вдоль оси колебаний, а а - угол между векторами ^ и / . Тогда для функции тока получим уравнение

-іБґ Ау = -А2у + Ог єша,

ду

дг

= 0.

(7)

(8)

Задача для у инвариантна относительно вращений вокруг оси цилиндра, поэтому можно искать решение, зависящее только от радиуса, у = у(г) . Это означает, что отлична от нуля лишь азимутальная компонента скорости. Обозначим Ау = ф, где ф имеет смысл завихренности течения, тогда уравнение (7) примет вид

д2ф 1 ёф дг2 г ёг

А = Ог єіпа.

^ + ±^-іБґф= А;

дг г ёг

(9)

Частное решение (9) имеет вид ф = і А, где

А = А/Бґ.

Полным решением уравнения (9) является сумма бесселевых функций [7-9] и частного решения

ф = А - J0 (Гіг) +

ё2 - ^

(41г) +і а .

Константу ё2 нужно положить равной нулю, т.к. функция N0 (4Хг ) расходится при г = 0.

Перепишем уравнение А у = ф . Сделав замену независимой переменной у = ■Дг, X = -і Бґ, получим

Ау +1у = А+4 -J (у).

ёу у ёу XX

(10)

Общим решением однородного уравнения, соответствующего (10), является сумма й3 + й4 1п(у), но 1п(у) расходится при у = 0 , поэтому константу й4 нужно положить равной нулю.

Частное решение уравнения (10) будем искать в виде

у = ЬЛ (у)+Ь2 у2 •

(11)

Подставляя выражение (11) в уравнение (10), находим константы

1 й ,Л1

Ь = —1, Ь = i—^.

1 Я 4Х

Полное решение уравнения (10) имеет вид

у = -й ^0(у)+у2+'

Делая обратную замену у = у[Хг и применяя граничные условия (8), определяем константы А,

А:

А = -і

ах4х

2 Jl(4X)

л -А

А = -і —1 3 4

1+2

Jо(JX) Jl(4x ^л/Х

Таким образом, выражение для пульсационной функции тока имеет вид

(

Jо (4Хг) - Jо (4х) | г2 -1 Jl(4x )у[Х 2

А і Ог .

где а = і — =----------------єіпа .

2 2 Бґ

Используем полученное выражение для нахождения скорости, азимутальная компонента которой имеет вид

(

V = а

Jl(г4x) J1(^fx)

\

г=1

Обсудим зависимости функции тока и скорости от радиальной переменной. Для представления результатов выберем следующие значения параметров: —г = 0.01, Рт = 10 , а = л/4 , ^ = 1000.

V, 10-6

Рис. 3. Зависимости вещественных частей скоростей V и V от радиуса. Цифрой 1 отмечен профиль V, цифрой 2 — V!

Для малых частот, например = 1, профиль скорости близок к профилю скорости в низкочастотном пределе. Это видно на рис.3, где профили скорости почти не отличаются.

Пренебрегая в уравнении Навье - Стокса членом, содержащим производную скорости по времени, и учитывая условия прилипания на границе, имеем выражение для V в виде

V = - ——г ( г2 -1)Бша .

1 16 1 ’

На рис. 4 приведена зависимость вещественной части скорости от радиальной переменной для

= 100.

При средних частотах, чему соответствует значение = 100, зависимость скорости от радиуса нелинейная.

V, 10-5

Рис. 2. Зависимости вещественной части скорости от радиуса для случаев вязкой -1 и идеальной - 2 жидкостей

Как видно из рис. 2, зависимость скорости от радиальной координаты нелинейна лишь в небольшой приграничной области. Это означает, что жидкость в основном совершает твердотельное колебательное движение, что соответствует случаю идеальной жидкости, т.е. случаю высоких частот, когда вязкостью можно пренебречь. Действительно, в невязком случае нужно применить только условие непроницаемости, а выражение для скорости будет иметь вид

К =-Ч—.

V, 10-4

Рис. 4. Зависимость вещественной части скорости от радиуса, = 100

В заключение обсуждения пульсационного течения отметим, что наибольшая амплитуда пуль-сационной скорости имеет место, когда направление вибраций ортогонально к направлению нагрева (а=л/2). При вибрациях, параллельных приложенному градиенту температуры (а = 0), пульсационная скорость обращается в нуль, имеет место механическое равновесие.

2.5. Пульсационное поле температуры

Перейдем теперь к нахождению пульсационной составляющей температуры Т . Пренебрегая нелинейным слагаемым V • V?, получим уравнение

д? 1 -

---Ь V •VТ = —Д Т .

да Рт

Пульсации температуры будем искать в комплексной форме, так же как искали пульсации скорости, т.е. в виде

Т = ©е‘“, для © получим уравнение I Г©+ РтУ •V? =Д© ,

(12)

(13)

г

где Г - безразмерный параметр, представляющий собой комбинацию чисел Прандтля и Стокса

Г = БГРт

и имеющий смысл безразмерной частоты вибраций, измеренной в тепловых единицах.

Решение уравнения (13) удается найти аналитически, оно имеет вид

(

0=q

St

1

(1 - Pr) J (1 - Pr) J1 (Л)

-r

sin^.

Используя последнее выражение и форму (12), получаем

(

T=lq

St

1

Ji (r4r) Pr Ji ( гЩ

A2V = 1 Re(rotz (V* x VV - Gr0j)).

(14)

Р = 3- ^з, в = -3- ^3.

г г

Найдем решение (16) в комплексном виде, а потом возьмём от него вещественную часть, что и даст искомую среднюю функцию тока ц .

Введем обозначение ц = КеР . Для Р будем иметь уравнение

Д2У = -G(Pcos(2ф-а~) + Bcosa).

(17)

(1-Рт) 4 (Д) (1-Рт) 4 (VI)

2.6. Среднее поле скорости

Перейдем к нахождению средней функции тока. Будем использовать приближение ползущего течения. Вернёмся к уравнению Навье - Стокса, применим к нему операцию осреднения по времени и пренебрежем нелинейными слагаемыми, содержащими только среднее течение.

Чтобы избавиться от давления, применим операцию взятия ротора, тем самым получаем уравнение для средней функции тока:

Преобразуем отдельно каждое слагаемое в правой части уравнения (14):

rotz (V* х V V) = rotz (V х kД¥) = -V х УДТ .

Поскольку пульсационная скорость имеет только угловую отличную от нуля компоненту, а функция тока не зависит от угловой переменной, то последнее выражение обращается в нуль, т.е.

rotz (V* х VV) = 0 .

Теперь распишем второе слагаемое:

rotz (0j) = 0rsin (a -q)- ^cos (a -q) .

Здесь индексы обозначают дифференцирование по соответствующей переменной.

Найденное ранее выражение для 0 представим в компактной форме:

0=3(r )sinq. (15)

Подставляя (15) в (14), получим уравнение

__ Gr

Д2^ = —— Re (P cos ( 2q-a) + B cosa). (16)

Аналитически решение уравнения (17) найти не удается, поэтому оно решалось численно. Угловая зависимость определяется видом правой части, а обыкновенные дифференциальные уравнения для радиальной части решались методом Рунге-Кутты.

Структура среднего течения для = 100, Рт = 10 и разных а приведена на рис. 5.

ó

е

Рис. 5. Изолинии функции тока среднего течения: а — а=л/6; б — а=л/4 ; в — а = л/ 3 ; г — а = 12/25 л ; д — а = л/2; е — а = 13/25 л

Видно, что в большинстве случаев среднее течение имеет одновихревую структуру, однако при

а

значениях а , близких к л/2, течение является четырехвихревым. Интенсивность среднего течения зависит от взаимной ориентации вибраций и нагрева. Она максимальна при а = л/4 .

Как и в работах [4, 5], при а , равных нулю и л, реализуются состояния равновесия, движения жидкости нет.

Рис. 6. Изолинии функции тока среднего течения: а - Рт = 0.8; б — Рт = 0.9; в —

Рт = 1; г — Рт = 1.2

При изменении числа Прандтля и фиксированной частоте вибраций наблюдается изменение знака вихрей (см. рис. 6-9, где изображены средние поля скорости для Рт = 0.8;0.9;1;1.2 и St = 1000, а = л/ 2).

При некотором значении числа Прандтля в центре области зарождаются малые вихри (рис. 6 а). При дальнейшем увеличении Рт эти вихри занимают все больший объем (рис. 6 б) и в конце концов вытесняют к границе исходные вихри противоположного знака (рис. 6 в—г).

Аналогичное явление описано в [10] для задачи о вращательных вибрациях квадратной области. В [10] этот переход имел место при изменении частоты - при возрастании частоты постепенно формируется пограничный слой, в который "сжимается" течение, наблюдавшееся при малых частотах, а его место занимает течение похожей структуры, но другого знака. В рассматриваемом в настоящей работе случае меняется число Прандтля, но это действительно близкое явление, так как при малых числах Прандтля толщина температурного динамического пограничного слоя

велика, хотя толщина слоя Стокса мала. При возрастании числа Прандтля тонким становится и температурный пограничный слой.

3. Заключение

Рассмотрена слабая вибрационная конвекция в цилиндрической полости. Исследование проведено в пределе малых амплитуд вибраций.

Рассмотрен случай нагрева, соответствующего однородному градиенту. Пульсационное поле скорости при таком нагреве является одновихревым, среднее течение в большинстве случаев также имеет одновихревую структуру, однако при значениях а , близких к л/2, оно является четырехвихревым. Интенсивность среднего течения зависит от взаимной ориентации оси вибраций и градиента температуры. Она максимальна при а = л/4 . Как и в работах [4, 5], при а , равных нулю и л, реализуются состояния равновесия, движение отсутствует.

При изменении числа Прандтля и фиксированной частоте вибраций наблюдается изменение знака вихрей: при этом при некотором значении числа Прандтля в центре области зарождаются малые вихри, при дальнейшем увеличении Рт эти вихри занимают все больший объем и в конце концов вытесняют к границе исходные вихри противоположного знака.

Механизм смены знака связан с тем, что в задаче присутствуют две безразмерные частоты St и Г , которые имеют вид

St = — R v

Г=— R2 X

и связаны соотношением

Г = StPг.

При малых числах Прандтля толщина температурного динамического пограничного слоя велика, хотя толщина слоя Стокса мала. При возрастании числа Прандтля тонким становится и температурный пограничный слой.

Список литературы

1.

Gershuni G. Z., Lyubimov D. V. Thermal Vibrational Convection. Wiley; N.Y. et al., 1998. 358 p.

2. Любимов Д. В., Черепанов А. А. Влияние вязкости на структуру пульсационного поля скорости в вибрирующем сосуде. Динамика вязкой жидкости. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1987. С. 49-58.

3. Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М. О свободной тепловой конвекции в вибрационном поле в условиях невесомости // ДАН СССР. 1979. Т. 249, №3. С. 580-584.

б

а

в

г

4. Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М. О конвективной неустойчивости жидкости в вибрационном поле в невесомости // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1981. №4. С. 12-19.

5. Шарифулин А. Н. Вибрационная конвекция в цилиндрической полости в невесомости при произвольных ориентациях направления подогрева // Конвективные течения. Пермь. 1981. С. 22-29.

6. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика // Гидродинамика. Т. 6. 1986. 736 с.

7. Тихонов А.Н., Самарский А .А. Уравнения Математической физики. 1977. С. 632-655.

8. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации. М.: Мир, 1980. 607 с.

9. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. М.: Иностр. лит., 1949. 798 с.

10. Lyubimov D. V., Lyubimova T. P. Theoretical and experimental investigation of the behaviour of nonuniform systems under the influence of vibrations. Report on the contract N 920 / 18 - 5208 / 96 for the developing of scientific-technical production, code TM-18, 1996.

The weak vibrational convection in non-uniform heated cylinder

M. A. Goldobin, |D. V. Lyubimov

Perm State University, Bukirev St. 15, 614990, Perm

In work the weak vibrational convection in endless cylinder of circular cross-section at limit of small amplitude and finite frequencies is considered for case of "dipole" heat corresponding to homogeneous gradient. It is shown, that intensity of the stream depends on mutual orientation of vibrations and heating. At certain angles a between the axis of vibration and temperature gradient quasi-equilibrium states are existed. The average flow in most cases has one vortex structure, but at values close to n/2, flow has structure of four vortices. The intensity of the average flow reaches a maximum at a = n/4 . At fixed frequencies and different Prandtl numbers a change in the sign of vortices is observed.

Keywords: vibrational convection, cylindrical cavity, non-uniform heat, crawl flow.