CC BY
22
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №9_
ФИЗИКА
удк 534.16:535.341
Т.Х.Салихов, А.Махмалатиф, Ю.П.Ходжаев, Р.К.Рахмонов
ТЕОРИЯ ГЕНЕРАЦИИ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ НЕЛИНЕЙНОГО ФОТОАКУСТИЧЕСКОГО СИГНАЛА ОПТИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНЫМИ
ТВЁРДЫМИ ТЕЛАМИ
Таджикский национальный университет
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан С.Одинаевым 07.10.2015 г.)
Предложена теория генерации второй гармоники (ВГ) нелинейного ФА-сигнала в оптически неоднородных и полупрозрачных твёрдотельных образцах. Для наиболее интересных случаев установлены зависимости амплитуд и фазы этого сигнала от частоты модуляции падающего луча и термических коэффициентов (ТК) теплофизических и оптических параметров.
Ключевые слова: фотоакустика - тепловая нелинейность - нелинейный фотоакустический отклик - вторая гармоника.
Известно [1,2], что фотоакустический сигнал (ФА) состоит из линейной и нелинейной составляющих. Линейная теория формирования ФА-сигнала была предложена в [3]. Нелинейная составляющая ФА-сигнала, в основном, обусловлена наличием температурной зависимости теплофизических и оптических параметров образца. Учёт этой зависимости становится важным, когда в ФА-экспериментах происходит нагрев образца на десятки и более градусов. В [4-7] было показано, что нелинейная составляющая ФА-сигнала состоит из набора гармоник и наиболее важными из них являются первые две. Теория генерации ВГ ФА-сигнала показала, что её параметры связаны не только с самими теплофизическими и оптическими параметрами среды, но и с термическими коэффициентами (ТК) этих величин. Следовательно, из измерения амплитуды ВГ ФА-сигнала можно определить термические коэффициенты макроскопических параметров, а затем и их температурные зависимости. Вышеупомянутые работы посвящены оптически однородным системам. Между тем известно, что оптический коэффициент поглощения среды также является функцией температуры Р^Х) _ Р(Г(1;, х)), что приводит к оптической неоднородности образца [8]. Целью настоящей работы является создание теории ВГ ФА-сигнала оптически неоднородных образцов при газомикрофонной регистрации сигнала.
Система уравнений, описывающая генерацию ВГ тепловой волны Фж (х,;) для всех трёх слоев ФА-камеры с оптически неоднородным образцом, имеет вид [9]:
д2Ф^ 1 _ 1(3 52 8Я а)Гф2(;хУ1 (1)
Адрес для корреспонденции: Салихов Тагаймурод Хаитович. 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]
2 ..(0) 0) "-0 5 ^
д2Ф2N8 = _±_ дФ2N8 _ 05(ё ё18 ^2
ах2 - а ' 128 ах2 а;
х
х{5ъФ15 (О, г) + ёф (X, г) + Р(0) | Ф18 (у, г )Ф ]}. ехр[Юг ]
2к
(0)
(2)
а ф 1 ао
а Ф2N5 1 аФ2N5 _
= _ _4)а)[ФьС,х)].
ах2 %10) ал 2^2Ьах2 ал
Граничные условия для Фгт($, х) имеют вид:
Ф2» ) = Ф22 (^ ) = 0 > Ф2 N. С,0) =Ф2 ^ С,0) > Ф2 N _1Ь _ ) = Ф2 N. (2)^ _1Ь _ ) >
(3)
а^ 2 ъ (/, х) к(0) (г, х) а^2 ь (/, х) К(0) = К.(2) а^2, (/, х)
ах х=0 ах ах х=0 К(0) ах
где С, х) = ФМ & х) + 0,5ёъФ1(, х) ; С™ = С„ (Т0), к;(0) = к(Т), А(0) = Д70), Р(0) = Р(Т) - начальные значения теплоёмкости единицы объёма, теплопроводность соответствующих слоев, поглощательная способность и коэффициент поглощения образца, а ё = (1/ С(0))(5С ■ / аТ),
ёъ = (1 / ^ )(а^ / аТ) , ё = (1 / Л(0) )(ал / аТ) , ё4 = (1 / А(0))(аР / аТ) - ТК этих параметров; Фи (¿, х) - линейная составляющая колебания температуры, вид которой для рассматриваемой геометрии эксперимента был получен в [3]:
Ф^(х,ю) = 0^х , Фьъ(х,ю) = (х+/), Фь.(х,ю) = иьв^ + У£
"-Ее
Рх
иь = А:/А
V = А2 / А, А = Е[(Е + т)(Ь + 1)е" _ (Е _ 1)(Ь _ т)ер1 ]: В = (0.5Л(0)р/0 (к (0))_,
Е = В(Р2 _о2)
.2)",
А2 = Е[(ъ + 1)(Ь _ г)еР _ (Ь _ 1)(ъ + тут"' ], А = [(ъ + 1)(Ь + 1)е" _ (1)(Ь - 1)е"" ],
"I
(0).
ъ = к?" / К?". , Ь = "Г / 0) , т = (1 _ //2, о: = (1 + ,') / / //0 = (ю / 2^0) )12 , = к}0) / С(0) - длина тепловой волны на основной гармонике и начальное значение температуропроводности соответствующих слоев.
Учитывая, что Ф^ «Ф^(ю,х)ехр(12Ю) , в (1)-(3) положим х) = ¥2г(ю,х)ехр('2Ю),
тогда для функции (ю, х) получим следующую систему уравнений:
_"22g^2Ng = (Ю, х), 0 < х < 1я
(4)
0
а2Т х
-^N = Х (®,х)-Б5ЪФи(а^-Бд^Фи^х) + р\ФЬ8(у,а)ф, ах 0
-I < х < 0, (5)
а2т
—т^- 2ш = 2/^02^(®,х), -I < х < -¡-¡ь, (6)
ах
где и^ = 2р / , = д / >/2 - длина тепловой волны ВГ, ^ = 0,25(^ - .
Решения уравнений (4)-(6) имеют вид
Т2Я (р, х) = ©2^етг*х + е"2^ (р, х) - е °2^е (р, х), (7)
Т2ь (а, х) = ^ те+а2Ь (х+/) + еСТ2Ь (х+/(а, х) - е ет2ь (х+/^ (р, х), (8)
2b V ? 7 " 2Nb^ ' ^ ^ " 2bv
42s (р, х) = U2 sX + V2 n^ ~ <2 sX + e<2 sX W (p, X) - Qis (х, p) - 03s (х, p)] -
-<2sx Г
(9)
-e 02 sX [ W2 s (p, x) - Q2, ( x, p) - Q4 х (x, p)]
Здесь использованы следующие обозначения:
Wlg (p, x) = R2g Jв-°2*хФ1 (p, x)dx, W2g (p, x) = R2g Jв°2*хФ1 (p, x)dx, (10)
Wb (p, x) = Rъ J e"02Ъ (х+l)ФLb (p, x)dx, W2ъ (p, x) = Rъ J e<2b (х+l)Ф2a (p, x)dx , (11)
Qis (p, X) = 0,5Бёз<0-] JфLs (p, 0)e( p-<2 s )xdx , 02s (p, x) = 0,5БЙ< JФLs (P,0)ep< )xdx, (12)
DC X
Q3s(p,X) = J[0LS(p,x)-pJФи(р,у^*(p-<2s)dx , Wb(p,X) = RsJe<2-хФL(p,x)dx, (13)
2<2s 0
BS X
Qas (p, x ) = J [ФLs(р,x)-pJ ФLs(р,y)dy]e( p+°2 s) dx ,W2 s (p, X) = R s J e<2 -хФ Ls (p, x)dx . (14)
2<2s 0
Алгебраическая система из четырёх уравнений
02N + Wig (р, 0)-W2g (р, 0) = U2 n + V N + W^ (р, 0) --W2s(p,0) + Q2s(p,0) + Q4s(P,0)-Q3S(P,0)-Qis(p,0) + 0.50L(Sg-Ss) '
(15)
-02 N + Wig (p, 0) + W2 g (p,0) =
= :[U2 N-V2 N + Wis (p,0) + W2s (p, 0) - Qis (p,0) - Q2 s (p,0) - Q3s (p,0)-QJp,0)] '
(16)
Uwe-°2sl + V2Ne°2sl + e <2sl [Ws (p, -l)- Qu (p, -l)- Q3s (p,-1)]-
-e<2 sl [W2 s (p, -l) - Q2 s (p, -l) - Q4 s (p, -l)] = , (17)
= W2N + Wb (P, -l) - W2b (P, -l)) + 0. 5ФLs (P, -l)(S2s - S2b )
и^е" _У^1 + е"2"1 [Ж(Ю_1) _Я.(ю_) _ 03.(ю,-0] +
^ 7 ' (18)
+е"2.1 [^2. (ю-1) _ 02. (Ю-1) _ 04. (Ю -I)] = Ь[^2N + Ъь (Ю _1) + ^ (Ю _)] полученных из вышевыписанных граничных условий, позволяет найти величины 02ЛГ, Т/2ЛГ , ^лт и Ълт. В частности, для 02ЛГ - амплитуды ВГ тепловой волны, генерируемой из поверхности образца в газовую среду, получим выражение
02 N =Л 2 {(Ь + 1)\(ю)е". (Ь _ 1)Л 2(ю)е~"2. ЬФ 2.(ю, _1 )(ё2. _ё2ъ) _
' (19)
2
_4ЬЪ2ъ(ю, _1) + —(ё2ъ _ ё2.)[(Ь _ 1)е"+ (Ь + 1)е"]}
в котором использованы следующие обозначения:
Лх(ю) = (1 + ъ )Ъ ъ (ю,0) + (ъ _ 1)^ (ю, 0) _ 2[Ъ2. (ю, _0) _ (ю,0) _ 04. (ю,0)] + +2[ Ъ, (ю, _1) _ 02. (ю, _1) _ 04, (ю, 0)]
Л2(ю) = (1 _ ъ ъ (ю, 0) _ (ъ + (ю,0) + 2[Ъ1. (ю, 0) _ (ю,0) _ 0з. (ю,0] _ _2[ЪЬ (ю, _1) _ (ю, _1) _ Оз8(ю, 0)] *
(20)
(21)
Акустическое возмущение давления на ВГ, детектируемое высокочувствительным микрофоном, определяется выражением
ёЛN(2ю) = ФгN(ю) (ё_ + )]. (22)
Подставляя явный вид функции (ю, х) в подынтегральные выражения (10)-(14), входящие в (7)-(9), выполнив интегрирование, получим:
ж (ю, х) =--ъ е "+")х, Ж (ю, х) =--ъ е ")х .
Т12 2и V V2
ж (ю, х) = [-и-е(г"._"2.)х + ^^е-"2.х +-^-е-("2.+2")х ],
("2. " ) "2. ("2. + )
Т12 2и V V2 ж (ю, х) = Я2 [-и-е("+"2.)х + ^и^е™ +-^-е("2-__)х],
("2. + ) "2. ("2. " ) Ж (ю, х) = ^ е_"2. _2")(х+/), Ж2Ъ (ю, х) = ^ е"+2")(х+/) ,
(2"Ь _"2Ь ) (2"Ь +"2Ь )
Л(0р10ё3- е( Р_"2. ) х 0 (юх) = Л(0р10ёз- е( Р+"2. ) х 4К>2. (Р_"2. ) ' ^ (,) 4К>2. (Р + "2. ) :
BS
2о
ue
(Р-<2s < ) X
Р-02 s +°s
(i + Р) + Ve
Q3s (P, X) =
(Р-<2s)X £ pe
P-<2s -<s °S <s (P-<s)
(P-<2s )X T7j2P-°2s )X J7o(P-°2s )X"
(U-V )-2 —-+ Ee
2P-<2s P-<2
_ BS4
2<2s
Q4s (P X) =
TUP+°2 s <)X R T/J.P+°2s-0s)X R RjP+°2s )x T7o(2P+a2s)X J7jP+°2s)х
Ue -(1+ P) + V-(1-P)-P-(U-V) - 2 —-+ —e
P + <2s P + <2s -<s <S <s (P + <s) 2P + <2s P + <2s
Явный вид этих функций совместно с выражениями (19)-(22) позволяет получить конкретные выражения для амплитуды и фазы генерируемого ФАсигнала. Очевидно, что наибольший интерес представляют сильнопоглощающие системы, для которых Pl >> 1 и exp(-Pl) — 0 . Между тем известно, что параметры ВГ нелинейного ФА-сигнала существенно зависят от соотношения между толщиной образца l, длиной тепловой волны /и(Р), ju2s (р) и длиной пробега фотона Hp = P 1. В дальнейшем учтём, что g << 1.
А). Термически тонкие образцы с l << jUs, jUsP >> 1, тогда exp(±<l) - 1, |r| >> 1 и |r| >> b . Тогда справедливы следующие равенства:
= = г(1-Ь) — (r-Ю — = 05IA(0)(k(0)P)-1
L 2b L 2b b 0 s
Qi s (p - l) - Q2, (p, -l) = 0, wu (p, 0) - W1s (p, -l) = 0, w2 , (p, 0) - W2 , (p, -l) = 0,
Q3, (P, -l) - Q4 , (p, -l) = 0. Учёт последних приводит к следующим выражениям:
Л1 (р) = W2g(p,0)-Wg(p,0) + 2Q2s(p,0) + 2Q4s(p,0) , к2(р) = W2g(p,0)-Wg(p,0)-2Q1 ^(p,0)-2Q3s(p,0) , ©2N = 0.5{[Л 1 (р) + Л2(р)] + [Л (р)-Л2(р)]Ъ1 + Wl2(S-S )-4W2b (р, -l) + ©L (S2 g -$2S)} . Для этого случая также Qlx (p,0) - Q2s (p,0) и Q3s (p,0) - Q4x(p,0) , тогда
©2N = W2g (p,0)-W g (p,0) + 2[Q s (p, 0) + Q3s (P,0)]b- +
+0.5Wl2(^2s -S2b )-2W2b (P, -l) + 0.5©L (S2 g -S2s).
После соответствующих вычислений получаем:
©2n = 0.5©L[2S2g -Sg- 6b) + ^2(63 + S4)]. (23)
Подставляя выражение (23) в (22) и выполняя соответствующие вычисления, для ВГ акустического колебания давления получаем
^(2ю,ЛР>> = тШ/кР^^К2*> , (24)
где К 2(1 )= (2 + ^/г)_1[(2^ _ ё ) _ (2ёг6 + >/2ё6)] + у[2(ёг + ё4) - нелинейный коэффициент, определяемый как комбинация ТК теплофизических и оптических величин, а фаза щ2 (ю, / << /) = / 4 при К2(1) > 0 и щ2 (ю, / << /) = л /4 при К2(1) < 0 .
Б). Случай термически толстых образцов. Тогда справедливы условия /< /, />/,
/ > /р, ехр(_р/) « 0 и ехр(_",/) « 0 и |т| > 1, учёт которых приводит к равенствам Т = тЕ ,
V = 0, — =(т _ 1) Е, Е = ВР 1, Ж = 0,
02.(ю,0) = 0.25А(0)/0ёз©£[к.0)"2.]_ Р-ВДт_ ^Г1 0и(ю_/) «02,(ю,_/) = 0 (ю, _/) = 0 04. (ю,0) = 0.5Вё4—"2. _ = Р—ё4[2(т _ 1)"2,]-1 (ю, _/) = Ж,(ю, /) = 0 Принимая во внимание эти равенства, из (19) получим выражение
-2N =Л!(ю) + 0.5—2,(ё2ъ _ё2.) . (25)
Учитывая равенства
, UL , 2EUl | E2 Ul 2EUl | E2,
ч2а, -а-2, а^ -а-, -0 20-а2,' ~ ^(2а, -а^ Р 20'
U2 2EUr E2 „ „ U2 2EUr E\ ^„r2E2
'2. L
W2, (0,0) = Я2,(-1---1— +-) * -1---1 + —) ,
2A ' 2A 2а, +а2, а2, +а, +Р а^ + 2р 2а, +а2, Р 2р (2а, +а2,)
получим выражение
Л,0) = W2g (0,0) - (0,0) - 2[W2,(0,0) - Q,(0,0) - Q4,(0,0)] *
©2 ё -ё г- ■ (26)
ё -ё2g +ё4]
Тогда выражение (25) примет вид
©2„ = ©L[2ё2g - ёя + ё^ё - ё2, +^2(ёз + ё4)] ■
Подстановка этого выражения в (22) позволяет получить следующую формулу для искомой величины:
5р(2а,I >д) = К2(2), (27)
где К2(2) = (2 + у/2)~1(232 -3 -25^-л/25*) + л/2"(53 + 54) - нелинейный коэффициент, соответствующий этому случаю. Из (27) следует, что амплитуда ВГ для нелинейного ФА-сигнала для этого случая зависит от ТК коэффициента поглощения и поглощательной способности образца, а также теплофизических величин газа и образца и не зависит от параметров подложки. Принимая во внимание равенство
©! =(г-1)£ - г£ = А(0)1) , выражение (27) можно написать в виде
5р(2а, I > д) = У* ^ К2(2) ехр[^(I > Д ]. (28)
Из (28) следует, что фаза этого сигнала при К2(2) < 0 равна 450, а при К2(2) > 0 составляет -135о;
-3/2
частотная зависимость подчиняется закону ~ а .
С). Термически толстые образцы. Для этого случая выполняются условия д << I, д < д
, ехр(-01) - 0 и ехр(-аI) — 0 , |г| < 1. Тогда имеют место следующие равенства:
иь = гЕ, Уь = 0, =(г -1) Е, Е = -Ба-2, Жь = 0, Ж2ь (а, -I) = (а, I) = 0, ^* (а, -I) = 0,
а (р, -) - а,(р, -)=0,
02* = ¿(0);ВД©£\_4Ka\sГ =-©3за2[2а22*(г-1)]1 -©^а2^Г1,, О* = [4ед2* Г1 =-©34а2[2а22* (г-1)]1 -©^а2^ Г1,
*2* (а,0) = ^+ ^) = К2£2(-^---+ - ^ .
2 а* + а2 * а* + а 2 * а 2 * 2 а* + а2 * а* + а 2 * а 2 * а2*
Принимая во внимание эти равенства, из (19) получим выражения
©2ш = \(ю) + 0-5©!(52г -52*) , (29)
-02* (а, 0)-04 * (а, 0)] -
(30)
Л^а) = ^2 г (а,0)(а, 0) - 2[Ж, * (а,0)-02* (а,0)-04 * (а,0)] - 0.5©![52я -5я +52* -5* + 5з + 54]
Подставляя (30) в (29), а затем полученное выражение в (19), для акустического колебания давления на ВГ получим выражение
(20, ^Р<
m( 10 А(0У)2У2 grf
1 „(0)2 2(3) 001ъК
где К2^ = (2ё2я _ ё Х^/2 + 2)_1 _ ё, + ё3 + ё4 - нелинейный коэффициент, соответствующий этому
случаю. Спад амплитуды с ростом частоты при этом подчиняется закону ~ ю 5 2, а фаза этого сигнала равна 3ж /4 при К2(3) > 0 и ж /4 при К2(3) < 0.
Из полученных выше выражений (24), (27) и (30) следует, что амплитуда ВГ ФА-сигнала простым образом связана с нелинейными коэффициентами. Следовательно, из результатов измерения этого параметра принципиально возможно определение ТК величин, входящих в К2(г ^, включая ё3 и
ёА - ТК поглощательную способность и коэффициент поглощения образцов.
Поступило 17.07.2015 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гусев В.Э., Карабутов А.А. Лазерная оптоакустика. - М.: Наука, 1991, с. 304.
2. Лямшев Л.М. Лазерное термооптическое возбуждение звука. - М.: Наука, 1989, с.237.
3. Rosencwaig A., Gersho A. - J. Appl. Phys., 1976, v.47, № 1, pp. 64-69.
4. Мадвалиев У., Салихов T.X., Шарифов Д.М. и др. - ЖПС, 2006, т.73, № 2, с. 170-176.
5. Мадвалиев У., Салихов Т.Х., Шарифов Д.М. - ЖТФ, 2006, т.76, № 6, с. 87-97.
6. Салихов Т.Х., Шарифов Д.М., Туйчиев Х.Ш. - ДАН РТ, 2011, т.54, № 6, с.465-472.
7. Салихов Т.Х. - Изв. АН РТ. Отд. физ.-мат., хим, геол. и техн.н., 2011, №4(145), с.76-85.
8. Handbook of Optics, v.2., Ch.33. Properties of crystals and glasses. EdMBass, McGraw-Hill, 1995, рр.33.3-33-101.
9. Салихов Т.Х.,. Махмалатиф А., Ходжаев Ю.П., Рахмонов РК - Вестник ТНУ, № 1/3(134), 2014, с.66-70.
ТД.Солих,ов, А.Махмалатиф, Ю.П.Хочаев, Р.К.Рах,монов НАЗАРИЯИ ТАВЛИФИ ГАРМОНИКАИ ДУЮМИ СИГНАЛИ ГАЙРИХАТТИИ ФОТОАКУСТИКЙ ДАР ^ИСМ^ОИ САХТИ ОПТИКИ
ГАЙРИЯКЧИНСА
Донишго^и миллии Тоцикистон
Назарияи тавлифи гармоникаи дуюми сигнали гайрихаттии фотоакустикй дар чисмх,ои сахти оптикй гайриякчинса пешних,од карда шудааст. Барои мавридх,ои мухдм вобастагии амплитуда ва фазаи ин сигнал аз басомади модулятсияи нури афтанда ва коэффисинтх,ои терми-кии бузургих,ои гармофизикй ва оптикй мукарар карда шудааст.
Калима^ои калиди: фотоакустика - гайрихаттияти уароратй - сигнали гайрихаттии фотакустики - гармоникаи дуюм.
T.Kh.Salikhov, A.Mahmalatif, Yu.P.Khojaev, R.K.Rahmonov THE THEORY OF THEGENERATION OF SECOND HARMONIC OF THE NONLINEAR PHOTOACOUSTICS SIGNAL OF THE OPTICAL
INHOMOGENEOUS SOLIDS
Tajik national university
The theory of second harmonic (SH) nonlinear PA - signal optically inhomogeneous and semi transparences solids has been presented. Depending on the amplitude and phase of the signal from the frequency modulation of the incident beam and thermal coefficient (TC) of thermal and optical parameters for most of interest cases are obtained.
Key words: photoacoustic - thermal nonlinearity - nonlinear photoacoustic response - second harmonic.
